第九讲
行列式单元测试题点评
一、填空题（每小题2分，满分20分）
1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321；
2. 奇排列经过奇数次对换变为 偶 排列，奇排列经过偶数次对换变为 奇 排列；
3. 行列式D 和它的转置行列式D '有关系式D D '= ；
4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号；
5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这个行列式等于 零 ；
6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边；
7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式 的值不变 ；
8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 零 ；
9. 1112122211220;
0n n
nn nn
a a a a a a a a a =L
L
K M
M M M L
10.当
k=22
±时，542k k k =。
二、判断题（每小题3分，满分24分）
1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨）
的符号
的一般项则设n n j i j i j i nn
n n n
n
a a a a a a a a a a a a D ΛΛ
M
M M M ΛΛ2211D ,.221
2222111211=
.)
1()
(21n j j j Λπ-是 （×）
3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×)
5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×）
6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×)
7.
11
121313233321222312
222331
32
33
11
21
31
a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×)
8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×）
三、单项选择题（每小题4分，满分20分）
1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
（A ）k-1 (B) n-k-1 (C) k n C (D) 2
n C k -
2.设12n i i i L 是奇排列，则121n n i i i i -L 是（C ） （A ）奇排列； （B ） 偶排列；
（C ）奇偶性不能仅由n 的奇偶性确定的排列； （D ）奇偶性仅由n 的奇偶性确定的排列。
3．一个不等于0的n 阶行列式中非零元素个数至少为（D ）； 4．以下数集作成数环的是( C )
(1) S={}
Z ∈; (2) S={}
0a a Q ≠∈;
(3) S={},a b Z +∈; （4）
S={}
,a a b Q +∈. （A ）（1）、（3） （B ）（2）、（4） （C ）（3）、（4） （D ）（1）、（4）
5．行列式000
000
a e b
f g
c h d
中元素f 的代数余子式是（ C ） 四、计算下列各题（每小题5分，满分20分）
1．计算(
)πL (2k)1(2k-1)2(k+1)k ； 3．计算行列式
D=
2223
3
3
4
4
4
3453453
4
5
345的值。
4．计算行列式 1
2
3
11100
0220
000011n n
n n
--=---L
L
L
M M M M M L n D 的值。 五、证明下列各题（满分16分）
1212,F F F F I 1.设均为数域，证明也是数域。（5分） 2．已知a,b,c 均不为0，证明ay bx c
cx az b bz cy a +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
有唯一解。（5分）
证明 因为方程组的系数行列式
所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。
3．设a,b,c是一个三角形的三边，证明0
0.
a b c
a c b
b c a
c b a
<（6分）证明
（因为a,b,c是三角形的三边）本讲作业：
（一）解答下列各题
1.计算行列式
123
113
121
1231
n
x n D x n
x
+
=+
+
L
L
L
M M M O M
L
2.计算n阶行列式
51000
65100
06500
00051
00065
D=
L
L
L
M M M O M M
L
L
2222
2222
2222
2222
123
12(1)
(1)1(2)
2341
n
n n
n n n
-
--
L
L
L
M M M L M
L
说明:此行列式称为循环行列式，以后见到以下类型的行
列式计算，可直接利用这一结果。
例如计算行列式 D=
（二）阅读教材P49-60，并回答什么是矩阵、矩阵的相等？矩阵有哪些运算和性质？有哪些
