1应重视用枚举法解题
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应重视用枚举法解题
题1 某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆.某天干先生准备从该汽车站前往省城办事,但他不知道客车的等级情况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么干先生乘上上等车的概率是 .
解 这里的一次试验是“每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车各一辆”,试验成功的情形是“干先生采取上述策略能乘上上等车”.
先枚举出一次试验可能的所有情形:①上、中、下,②上、下、中,③中、上、下,④中、下、上,⑤下、上、中,⑥下、中、上.其中试验成功的情形是③④⑤三种,所以所求
的概率是
2
163=. 题2 3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有2名女生相邻,不同排法种数是?
解 设想6位同学站成一排分别站的位置是1,2,3,4,5,6.因为男生甲不站两端,所以可分以下四种情形:
(1)甲站的位置是2.
此时3位女生站的位置只能是(1,34),(1,45),(1,56),(34,6),(3,56)这5种情形,可得此时有60A A 522
33=种排法. (2)甲站的位置是3.
此时3位女生站的位置只能是(12,4),(12,5),(12,6),(1,45),(1,56),(2,45),(2,56)这7种情形,可得此时有84A A 722
33=种排法. (3)甲站的位置是4.
此时的排法数同(2). (4)甲站的位置是5. 此时的排法数同(1).
所以所求答案为2882)8460(=⨯+.
注 列举时可先选好标准进行分类,而每一类中列举时可按照字典排列法(小的在前大的在后),这样可做到不重不漏.
题3 (2013年高考全国大纲卷第20题)甲乙丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为
2
1
,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判. (1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)(理)X 表示前4局中乙当裁判的次数,求X 的数学期望. (文)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率.
解 先列举出所有的情形(括号里面的表示裁判),见表1:
表1
因为各局中双方获胜的概率均为2
1,所以所列举的8种情形是等可能的,从而可得答案: (1)
4
182=. (2)(理)可得随机变量X 的概率分布列,见表2:
表2
所以8
9
412851810)(=⋅+⋅+⋅=X E .
(文)
8
5
. 题4 (2008年高考全国卷I 理科第12题)如图1,一环形花坛分成D C B A 、、、四块.现有4种不同的花供选择,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )
图1
A.96
B.84
C.60
D.48
解 B .可共种2种花,先把D C B A 、、、分成两组使得每组能种同一种花,只有一种分法),(BD AC ,有24A 种种法;可共种3种花,先把D C B A 、、、分成三组使得每组能种同一种花,只有两种种分法),,(),,,(BD C A D B AC ,有34A 2种种法;可共种4种花,有44A 种种法.并且别无它法,所以共有84A A 2A 44
342
4=++种种法. 题5 (2012年卓越联盟自主招生数学试题第7题)设b a ,是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数.
(1)求直线b ax y +=与圆222=+y x 有公共点的概率;
(2)设X 为直线y ax b =+与圆22
2x y +=公共点的个数,求随机变量X 的分布列及数学期望()E X .
解 直线
y ax b =+与圆222x y +=的公共点为0(1,2)
个
22(,2(,)2b a ⇔
>=<⇔->=<,由此可列出各种情形(表中的X 表示直线
y ax b =+与圆222x y +=公共点的个数),见表3:
表3
(1)直线y ax b =+与圆2
2
2x y +=有公共点的概率为61912525
-
=. (2)随机变量X 的分布列(见表4)及数学期望()E X 分别为
表4
611837()01225252525
E X =⋅
+⋅+⋅=