华师大版中考数学总复习《因式分解》导学案

12.5因式分解第三课时 十字相乘法【学习目标】1、了解“二次三项式”的特征；2、会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。

【重点难点】重点：掌握公式：x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)难点：二次项系数不是1的二次三项式的分解问题。

【学法指导】自主预习，小组合作、归纳【知识链接】１．因式分解与整式乘法的关系： ；２．已有的因式分解方法： ；【自学指导、合作探究】一、自学指导独立思考，相信聪明的你一定能出色完成下列任务！自学1、二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为关于字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．自学2、请直接填写下列结果（x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。

自学3、观察()pq x q p x q x p x +++=++)()(2，可知())()(2q x p x pq x q p x ++=+++这就是说，对于二次三项式b ax x ++2，如果常数项b 可以分解为p 、q 的积，并且有p q a +=，那么))((2q x p x b ax x ++=++。

这就是分解因式的十字相乘法。

由此，你能下面这个问题吗？因式分解：562--x x二、合作探究探究1、把x 2+3x+2分解因式分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项(+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数---------- 十字交叉线2x + x = 3x解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2)例1 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤：①竖分二次项与常数项②交叉相乘，和相加③检验确定，横写因式-x + 7x = 6xx 2+3x+2 = (x+1) (x+2)顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

21.2.3 因式分解法学习目标：1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程； 2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性. 重点、难点1、 重点：应用分解因式法解一元二次方程.2、 难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习. 1：知识准备将下列各题因式分解：am+bm+cm= ； a 2-b 2= ； a 2±2ab+b 2= .因式分解的方法： . 解下列方程．（1）2x 2+x=0（用配方法） （2）3x 2+6x=0（用公式法）2：探究仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？ 3、归纳：（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为__________ _______的形式，再使_________________________，从而实现_____ ____________，这种解法叫做__________________。

（2）如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据. 如：如果(1)(1)0x x +-=，那么10x +=或_______，即1x =-或________.练习1、说出下列方程的根：（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=练习2、用因式分解法解下列方程：(1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1、用因式分解法解下列方程(1)2540x x-= (2)(2)20x x x-+-=（3）3(21)42x x x+=+(4) 2(5)315x x+=+例2、用因式分解法解下列方程（1）4x2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2（3）221352244x x x x --=-+（4）3x 2-12x=-12活动3：随堂训练1、 用因式分解法解下列方程（1）x 2+x=0 （2）x 2（3）3x 2-6x=-3 （4）4x 2-121=0（5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)22、把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.活动4：课堂小结因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1） 将方程右边化为 ；（2） 将方程左边分解成两个一次因式的 ； （3）令每个因式分别为 ，得两个一元一次方程；（4） 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【课后巩固】1．方程(3)0x x +=的根是 2．方程22(1)1x x +=+的根是________________3．方程2x （x-2）=3（x-2）的解是_________ 4．方程（x-1）（x-2）=0的两根为x 1、x 2，且x 1>x 2，则x 1-2x 2的值等于___5．若（2x+3y ）2+2（2x+3y ）+4=0，则2x+3y 的值为_________．6．已知y=x 2-6x+9，当x=______时，y 的值为0；当x=_____时，y 的值等于9． 7．方程x （x+1）（x-2）=0的根是（ ）A ．-1，2B ．1，-2C ．0，-1，2D ．0，1，28．若关于x 的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ） A ．（x+5）（x-7）=0 B ．（x-5）（x+7）=0 C ．（x+5）（x+7）=0 D ．（x-5）（x-7）=0 9．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）A ．x=-4B ．x=5C ．x 1=-4，x 2=5D ．以上结论都不对 10、用因式分解法解下列方程：(1) (41)(57)0x x -+= (2) 2x =(3) 3(1)2(1)x x x -=- (4) 2(1)250x +-=(5) 22(3)9x x -=- (6) 2216(2)9(3)x x -=+(7) 3x(x-1)=2(x-1) (8)x 2+x （x-5）=0。

第 1 页华东师大版初三数学因式分解法和配方法学案学习目标：灵敏应用因式分化法解一元二次方程。

学习要领：读议展练 学习历程：一、自主学习：1、你能用几种要领解方程x 2－x = 0？ 仔细查看方程的左边，可以发觉这个等式的左边有公因式 ，这时可把 发起来，左边即为两项的乘积，我们知道：两个因式的乘积即是0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解。

解：x 2-x ＝0，＝0，于是 ＝0或 ＝0．∴x 1= ，x 2= .这种解一元二次方程的要领叫做因式分化法。

2、解方程： (1) 9x 2-16=0 (2)49122=+-x x 二、合作探究：1、用因式分化法解下列方程 :（1）0)1(922=--t t （2）3x (x +2)=5(x +2) (3)x (x -3）+ x -3 =0 (4)（3x +2)2=(x -3)2(5) 25x 2＝10x －1. （6）（1+2y ）2−4(1+2y )+4=0 2 、总结纪律（1）用因式分化的要领解一元二次方程其理论依据是什么？（2）用因式分化法解一元二次方程，必须要先化成一般形式吗？用分化因式的要领求解一元二次方程，该方程要化成什么形式？ 三、稳固练习：1、方程23x =的根是（ ） A. 123x x ==B. 12x x ==C. 12x x ==12x ==2、已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程(x －2)(x －4)＝0的两个根，则该等腰三角形的周长为( ) A ．8 B ．10 C ．8或10 D ．123、小明解方程x (2x －5)＋4(5－2x )＝0的历程如下：先将方程变为x (2x －5)－4(2x －5)＝0，移项得x (2x －5)＝4(2x －5)，方程双方都除以(2x －5)得x ＝4.请你鉴别小红的解法是否正确，若不正确，请给出正确解法．4、解下列方程：(1)x (x +2)-4x =0; (2) (2x ＋3)2－9(3x +1)2＝0. (3) 16(x －1)2＝225； (4) 2x 2－4x ＝－2; （5）2(x －3)2＝x 2－9 ； (6)x 2−x −6=05、右图是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面，要是正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求x 的值（列出方程）． 课后反思：课题：22.2.3配要领 课型：新授 主备人： 时间: 年 月学习目标:1、掌握用配要领解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，领会化归思想。

南城中学八年级数学导学案班级： 编制：八年级数学备课组 课题：12.5.4因式分解复习 课时：第 课时 学习目标：1.使学生理解因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，是整式乘法的逆变形．2.使学生灵活应用乘法公式进行分解因式，注意因式分解的彻底性．3.培养良好的逆向思维，形成代数意识，和严谨的学习态度．重点：能利用因式分解的常用方法进行分解因式．>难点：灵活地应用因式分解的常用方法分解因式．关键：抓住乘法公式的结构特征应用于多项式的分解，注意检验多项式是否分解彻底了．预习案一、阅读教材填空.1.⑴_____________________________________叫做因式分解. ⑵因式分解的常用方法有__________________________.找公因式的方法:___________________________,两个公式是:________________________________. ⑶整式乘法和因式分解是______关系.:2.强调：⑴有公因式，应先提取，而且要提取彻底．⑵分解因式要分解到不能再分解为止．⑶分解结果中的每一个因式应当是整式．⑷分解结果若出现相同因式，应写成幂的形式．3.平方差：m 4－___=(m 2＋5)(m 2－___); _____－16q 8=(3p 3＋____)(____－4q 4)完全平方：a 236 ＋ab 6 ＋____=(____＋2; 49x 2＋_____＋y 2=(____－y )2十字相乘：x 2＋7x ＋12=(x ＋3)(x ＋____)4.判断题：从左到右是否是因式分解⑴(a 2－b 2)(a 2＋b 2)=a 4－b 4 ( )⑵a 2－ab ＋14b 2=(12b －a )2 ( ) ⑶4a 3＋6a 2＋8a =2a (2a 2＋3a ＋4a ) ( )⑷a 3－2a 2＋a －1=a (a －1)2－1 ( ) ⑸(x －y )2－2(x －y )＋1= (x －y －1)2 ( )5.分解因式⑴a 3b 2－3a 2b 3; ⑵－20a －25ab ; ⑶a 2－36b 2;&⑷－9x 2＋16y 2; ⑸a 2＋4ab ＋4b 2; ⑹x 2－6x ＋8探究案 例1.分解因式x 2y 2－5x 2y －6x 2; 9x 2(3x －2)＋(2－3x )； 4(x ＋2y )2－81(x －y )2；@例－9x －22; 3x 2＋5x ＋2； 81x 5y 5－16xy练习案姓名：1.下列变形中，从左到右是因式分解的是（）＋nx－n=(m＋n)x－n=3x3·7y3,－9=(2x＋3)(2x－3) D.(3x＋2)(x－1)=3x2－x－22.用提公因式法分解因式．⑴9a3x2－27a5x2＋36a4x4⑵a m－a m＋1⑶a2(x－2a)2－a(2a－x)2⑷(x－m)3－m(x－m)3.用公式法分解因式．@144x2－256y2；－z2＋(x－y)2；(a＋2b)2－(a－3b)2；a－a5；a4－81b4.4.用十字相乘法因式分解p2－5p－36; t2－2t－8; x2－4xy＋3y2; x4－5x2＋4.|5.分解因式: ⑴mn(m－n)－m(n－m) ⑵x(x－y)3－x2(y－x)3⑶4(a＋2b)2－25(a－b)2⑷(x＋y)2＋4(x＋y)＋4 ⑸p2(a－1)＋p(1－a) ⑹2x3－8x⑺5x2＋13x－6\6.若n为整数，则(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被________整除．7.因式分解:－x3y2－x2y2－xy=___________; (x－2)2－(2－x)3=_______.8.因式分解:(x＋y)2－81=____________; 1－6a＋9a2=_______.9.当m______时，a2－12a－m可以写成完全平方式．10.若4a2－ka＋9是完全平方式，则k=_______．11.若x2＋mx＋4能分解成两个一次因式的积，则m的值是___________.12.利用因式分解计算：2014×＋425×－×8000=________．(13.下列各式从左边到右边的因式分解中，正确的是( )＋y2－2xy=(x＋y)2－2xy B.(m－n)(a－b)2－(m＋n)(b－a)2=－2n(a－b)2(a－b－c)=a2b－ab2－abc＋a m＋1=a m＋1(a＋1)14.把a2(x－3)＋a(3－x)分解因式，结果是( )A.(x－3)(a＋a) (x－3)(a＋1) (x－3)(a－1) (3－x)(1－a)15.分解因式下列各式⑴2x4－32y4⑵(a－b)＋2m(a－b)－m2(b－a) ⑶ab2(x－y)－ab(y－x)⑷125a2(b－1)－100a(1－b) ⑸14m4＋2m2n＋4n2⑹－a4＋2a2b2－b4⑺(x＋y)2－4z2⑻25(3x－y)2－36(3x＋y)2⑼x2－3x－28。

八年级数学上册导学案20命题人：刘英明 审题人：曹金满 课型：新授课课题：12.5.3 因式分解（分组分解法,十字相乘法）学习目标:1.了解分组分解法,十字相乘法分解因式.2.能用分组分解法,十字相乘法分解因式.3.能用适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习重点:学会用分组分解法，十字相乘法分解因式. 学习难点:灵活运用各种方法分解因式. 一、复习旧知:1.分解因式学了哪几种方法?2.分解因式:（1）22916x y - (2)34xy xy - (3)4482--a a 二、新知教授: 1.分解因式：(1))()(b a n b a m +++ (2))2()2(6x x x -+- (3)22)()(m n n n m m --- 2.分组分解法:适用于四项以上的多项式请看下面的式子:nb na mb ma +++，这个多项式共有四项，各项没有公因式，但这个多项式的前两项含有公因式，后项也含有公因式，我们可以把原多项式分成两组，即第一项与第二项一组，第三项与第四项一组，然后每组都可以提公因式，那么第一组变形为)(b a m +，第二组变形为)(b a n +，再看他们又都含有因式)(b a +，再提公因式就完成可这个多项式的因式分解了。

即: nb na mb ma +++=)(b a m ++)(b a n +像这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。

xx x x 1165=+x 2-1x x x 7)3(10=-+试一试：nb na mb ma +++还可以怎么分组？ 3.十字相乘法:二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中若能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，且b a +等于一次项系数中的p ，则就可以分解成:))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++. 注意：此公式的三个条件要理解:(1)二次项系数是1(2)常数项是两个数之积(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.例1:把101132++x x 分解因式 例2:把5762-+x x 分解因式例1把多项式分解因式 (1)bc ac ab a -+-2 (2)3722++x x (3)3722+-x x 四、小结:谈谈今天你的收获？ 五、作业：教材第45页习题1、2、3.随堂检测一、选择题：1.若))((2b x a x q px x ++=+-,则p =( )A.abB.b a +C.ab -D.)(b a +- 2.若305)(22--=+++x x b x b a x ,则=b ( )A.5B.-6C.-5D.63.多项式a x x +-32可分解为))(5(b x x --,则b a ，的值分别为（ ）A.10,-2B.-10,2C.10，2D.-10，-2 4.不能用十字相乘法分解的是（ ）A.22-+x xB.31032+-x xC.22865y xy x --D.242++x x 5.分解122--a a 的（ ）A.)4)(3(+-a aB.)4)(3(-+a aC.)2)(6(+-a aD.)2)(6(-+a a 6.分解822-+x x 的（ ）A.)2)(4(-+x xB.)2)(4(+-x xC.)2)(4(++x xD.)2)(4(--x x 7.若多项式M 分解的因式是)3)(2(--x x ，则M 是（ ）A.652--x xB.6532++x xC.652+-x xD.652-+x x 8.下述多项式分解后，有相同因式（x-1）的多项式有（ ）个.A.2B.3C.4D.5 二、计算题： 9. 把多项式分解因式(1)bc ac ab a -+-2 (2)bx by ay ax -+-5102 (3)n mn m m 552+-- (4)22441b ab a --- (5)bc c b a 2222+-- (6)bc ac b ab a --++222 (7)1492++x x (8)1072+-x x (9)822--x x (10)83952--x x (11)22865y xy x -- (12)71522++x x 三、解答题：10.把334224222xy y x y y x x --++分解因式，并求当14=x ,13=y 时的值. 11.已知0136422=+-++y y x x ，求y x 的值. 12.若6=-y x ,3617=xy ,则代数式32232xy y x y x +-的值为？ 四、合作探究 2. 三一型观察下面的式子：1222-++ab b a 这个多项式有四项，各项没有公因式，也不符合前面学过的公式，因此不能用提公因式和公式法分解了，只能考虑分组分解法。

因式分解【课前预习】 (一):【知识梳理】1•分解因式：把一个多项式化成 ______________ 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因 式.2 .分解困式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出 来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式 法.⑵运用公式法：平方差公式 ： _________________________________________________ ;完全平方公式： ___________________________________________________ ;3 .分解因式的步骤：(1)分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后 再考虑是否能用公式法分解.(2)在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公 式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。

4 .分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.若有一项被全部提出，括号内的项“ 1 ”易漏掉.分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续 分解等(二):【课前练习】1.下列各组多项式中没有公因式的是( )A . 3x — 2 与 6x 2— 4x B.3 (a — b ) 2与 11 (b — a ) C . mx — my 与 ny — nx D . ab — ac 与 ab — bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是()2 2A.x 2 1 (x 1)(x 1) ;B.1 4y 2 (1 2y)(1 2y)C.81x 264y 2(9x 8y)(9x 8y); D.( 2y)2 x 2( 2y x)(2 y x)3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是()A.9 x 2 49 y 2B. 9x 2 49 y 2 C .9x 249 y 2D. (9 x 249 y 2)4. 分解因式：x +2xy+y — 4 = ______5.分解因式：(1) 9n 22； 2a 2(4) (a b)2 4(a b)2 ； (5)以上三题用了 _________________________________________ 公式.：【经典考题剖析】1.分解因式：2 2 327x (3) x 1 x 1；(4) 4 x y 2 y x分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。