湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2019-2020高三9月月考数学(理)试题(解析版)

则 f (x) 在 (0, a ) 上单调递减，在 ( a , +) 上单调递增…………………………………8 分
i）当 a 1时， f (x) 在[0,1] 上单调递减，则 f (x)min = f (1) = −3a ……………………9 分
ii）当 0 a 1时， f (x) 在 (0, a ) 上单调递减，在 ( a ,1) 上单调递增
x +1 f (x) 0 ，得 x − 1− a 或 x 1− a f (x) 0 ，得 − 1− a x 1− a i）− 1− a −1即 a 0 时， f (x) 在 (−1, 1− a ) 单调递减，( 1− a, +) 单调递增…4 分 ii） − 1− a −1即 0 a 1时， f (x) 在 (− 1− a，1− a ) 单调递减，
法二：由正弦定理，
在 ABC 中， AB = AC ………………………………………………………2 分 sin BCA sin ABC
在 BCD中， BD = CD ……………………………………………………4 分 sin BCD sin DBC
由 D 为 AC 的中点， sin ABC = sin DBC
则 f (x)min = f ( a) = −2a a −1…………………………………10 分
−1, a 0
综上得，
f
( x)min
=

−3a, a 1
．………………………………………………12 分
−2a a −1, 0 a 1
21．解：（1）法一： SABC
=
1 2
AB BC sin ABC
−3 x −1 x −2或x 3

宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考高三（理科）数学（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B ⋂=（ ）A ．{5}B ．{1,3,7}C ．{2,4}D ．{6}2．已知命题2:,10p a R a a ∀∈++≥，则p ⌝为（ ）A ．2000,10a R a a ∃∈++≤B ．2,10a R a a ∀∈++≤C ．2000,10a R a a ∃∈++<D ．2,10a R a a ∀∈++<3．已知向量(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，若c r 满足()//c a b +r r r ，()c a b ⊥+r r r，则c =r （ ）A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,3)-D ．(0,1)4．函数01()()2f x x =- ）A ．112,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．[)2,-+∞C ．112,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2,-+∞5．已知函数2()ln 2f x x x =+-，则()y f x =的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,3)6．已知1sin23α=，则2cos()4πα+=（）A．16B．13C．23D．1223±7．在平面直角坐标系中，»AB、»CD、»EF、¼GH是单位圆上的四段弧（如图），点P在其中一段弧上，角α以Ox为始边，OP为终边，若tan cos sinααα<<，则P所在的圆弧是（）A．»AB B．»CD C．»EF D．¼GH8．设函数2|1|2,||1()1,||11x xf xxx--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则((1))f f=（）A．1-B．13C．14D．159．为了得到函数3sin3cos3y x x=+的图象，可以将函数2sin3y x=的图象沿x轴（）A．向右平移6π个单位B．向左平移6π个单位C．向右平移18π个单位D．向左平移18π个单位10．下列四个图中，函数ln|1|1xyx+=+的图象可能是（）11．函数(1)f x+是偶函数，且1x≤时，()2xf x=，若()1f a<，则a的取值范围是（）A．(0)(2,)-∞⋃+∞，B．(0)(1,2)-∞⋃，C．(,0)-∞D．(0)(3,)-∞⋃+∞，xyOBADCFEHG12．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],m n D ⊆使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()x a f x a t =+，（0,1a a >≠）是“成功函数”，则t 的取值范围是（ ）A ．11[,)42B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．1(0,]4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上． 13．函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 14．在ABC ∆，120,5,7A AB BC =︒==，则sin sin BC的值为 ．15．平面向量(1,0),(a b ==-r r，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为 ．16．已知函数4()2f x x x =+-，若存在1231,,,,[,4]4n x x x x ∈L ，使得1()f x +2()f x ++1()n f x - =()n f x ，则正整数n 的最大值为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本题满分10分）已知命题:||3p x <，命题2:450q x x --≤，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围．18．（本题满分12分）在△ABC 中，c b a ,,分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足,2sin a b c b a B >>=． （1）求A 的大小；（2）若2a b ==，求△ABC 的面积．19．（本题满分12分）已知函数2()cos sin f x x x x x R =⋅+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最值及相应x 的值．20．（本题满分12分）已知0a b c ++=r r r r ，3a =r ，5b =r ，7c =r．（1）求a r 与b r的夹角；（2）是否存在实数k ，使a b +r r 与a kb -r r垂直？21．（本题满分12分）已知函数()()33xxf x R λλ-=+⋅∈．（1）是否存在实数λ使得()f x 为奇函数？若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的结论下，若不等式(41)(2)0ttf f m -+->在[]1,1t ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本题满分12分）设R a ∈，函数()ln f x a x x =-． （1）若()f x 无零点，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个相异零点12x x ，，求证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<．宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考高三（理科）数学参考答案一、选择题二、填空题13．y x = 14．35 15．12- 16．8三、解答题17．解：:33p x -<<，…………………2分:15q x -≤≤，…………………4分Q p q ∧为假，p q ∨为真，则,p q 一真一假…………………5分（1）若p 真q 假，则33{15x x x -<<<->或，∴31x -<<-…………………7分（2）若p 假q 真，则33{15x x x ≤-≥-≤≤或，∴35x ≤≤…………………9分所以31x -<<-或35x ≤≤…………………10分 （另解请酌情给分．．．．．．．）18．解：（1）∵2sin b a B =，∴由正弦定理化简得：sin 2sin sin B A B =，…………………………2分 ∵sin 0B ≠，∴1sin 2A =，…………………………3分 ∵a b c >>，∴A 为钝角，…………………………4分 则56A π=．…………………………6分（2）∵a =2b =，cos A =，∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即241222c c =+-⨯⨯，整理得：280c -=，…………………………8分计算得出：c =，…………………………10分则111sin 2222S bc A ∆==⨯⨯⨯=12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）19．解：（1）11cos 2()sin 2sin(2)2223x f x x x π+=+=-…………2分 ∴=T π………………4分（2）[,]44x ππ∈-，52[,]366x πππ-∈-………………6分 当236x ππ-=即4x π=时，max 1()sin 62f x π==………………9分当232x ππ-=-即12x π=-时，min ()sin()12f x π=-=-………………12分（另解请酌情给分．．．．．．．）20．解：（1）∵a b c +=-r r r ，∴22()a b c +=r r r ，……………1分则2222a a b b c +⋅+=r r r r r ，即得152a b ⋅=r r ，…………3分∴1cos ,2a b a b a b ⋅<>==r rr r r r ，,[0,]a b π<>∈r r ，…………5分∴a r 与b r 的夹角为3π．…………7分（2）∵a b +r r 与a kb -r r 垂直，∴()()0a b a kb +⋅-=r r r r，…………8分则22(1)0a k a b kb +-⋅-=r r r r ，15159+25022k k --=，…………10分∴3365k =．…………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）21．解：（1）若()f x 为奇函数，则(0)0f =，…………1分 即1+=0λ，解得1λ=-，…………2分()33(33)()x x x x f x f x ---=-=--=-，则存在1λ=-，使得()f x 为奇函数………4分（2）()33xxf x -=-（x R ∈），()(33)ln 30xxf x -'=+>，…………5分 则()f x 在R 上为增函数，…………6分 ∵()f x 为奇函数，(41)(2)0ttf f m -+->， 即(41)(2)tt f f m ->-，…………7分又()f x 在R 上为增函数，∴412t t m ->-，…………8分 则2421(2)21,([1,1])ttt tm t <+-=+-∈-恒成立， 令12[,2]2t n =∈，则22151()24m n n n <+-=+-，…………10分 令215()()24g n n =+-， min 1()4g n =-，…………11分∴14m <-…………12分（另解请酌情给分．．．．．．．）22．解：（1）①若0<a 时，则()10af x x'=-<，()f x 是区间()0,+∞上的减函数， ∵11(1)10,()1,aaf f e e =-<=-而10a<，则101a e <<，即11()10aa f e e =->∴1(1)()0af f e ⋅<，函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ②若0,()a f x x ==-，在区间()0,+∞无零点； ③若0>a ，令()0f x '=，得x a =，在区间(0,)a 上， ()0f x '>，函数()f x 是增函数； 在区间(,)a +∞上，()0f x '<，）是减函数；函数x f ( 故在区间上，),0(+∞的最大值为)(x f ()ln ,f a a a a =-无零点，由于)(x f 则()ln 0f a a a a =-<，解得0a e <<， 故所求实数a 的取值范围是[)0,e ………………5分（2）因为1x ， 2x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根． ∴()()112201{02alnx x alnx x -=-=两式相减得()1212ln ln ()0a x x x x ---=，解得1212ln x x a x x -=要证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<，即证： 212x x a <，即证： ()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证()221211221221ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，………………8分 不妨设12x x <，令12(0,1)x t x =∈．只需证21ln 2t t t<-+． 设()21ln 2g t t t t=--+，∴()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎝'⎪⎭； 令()12ln h t t t t =-+，∴()22211110h t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭'，∴()h t 在()01，上单调递减，∴()()1h t h > 0=，∴()0g t '>，∴()g t 在()01，为增函数，∴()()10g t g <=．即21ln 2t t t<-+在()01，恒成立，∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a -+<．………………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）。

2020届湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．集合{1,2}A =，2{|30}B x x x =-≤，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．{0,1,2,3}C ．[1,2]D ．[0,3]【答案】A【解析】先化简集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：∵{1,2}A =，{|03}B x x =剟， ∴{1,2}A B =I ． 故选：A ． 【点睛】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递减的是（ ）A ．1y x=B ．cos y x =C ．2y x =D ．1||y x =【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，1y x=，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，cos y x =，为余弦函数，是偶函数但在区间(0,)+∞上不是减函数，不符合题意；对于C ，2y x =，为二次函数，是偶函数但在区间(0,)+∞上是增函数，不符合题意；对于D ，1,011,0x x y x x x⎧>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递减，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3．函数tan(2)4y x π=-的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π 【答案】A【解析】直接利用正切函数的周期公式求解即可． 【详解】解：函数tan(2)4y x π=-的最小正周期为：2π． 故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的周期的求法，考查计算能力，属于基础题．4．若向量a r ，b r的夹角为120°，||1a =r ，若||a b +=r r ，则||b =r（ ）A ．1B ．2C D ．32【答案】B【解析】根据向量数量积的运算律及法则，求出b r的模长即可得到结论． 【详解】解：设向量a r ，b r的夹角为θ，||b x =r ，∴120θ︒=，∵||a b +===r r= 从而解得：2x =或1x =-(舍)， ∴||2b =r，故选：B ． 【点睛】本题主要考查向量模长的求解，根据向量数量积的应用分别求出向量长度是解决本题的关键．5．已知命题:p x R ∀∈，21x x >-，0:q x R ∃∈，0sin 1x >，下列合题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∨ C ．p ⌝ D ．p q ∧⌝【答案】D【解析】根据不等式的性质以及三角函数的有界性分别判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】解：∵22131()024x x x -+=-+>恒成立， ∴x R ∀∈，21x x >-恒成立，即命题p 是真命题， ∵x R ∀∈，sin 1x …，∴0:q x R ∃∈，0sin 1x >为假命题， 则p q ∧⌝为真命题，其余为假命题， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题的真假关系是解决本题的关键．比较基础．6．若幂函数()f x x α=过点1(2,)4，则下列说法正确的是（ ）A ．(7)(5)f f >-B ．(5)()f f π->C ．(3)()f f π->D ．(13)(11)f f ->【答案】C【解析】根据条件利用代入法求出α的值，结合幂函数的性质判断函数的奇偶性和单调性，然后进行判断即可． 【详解】解：∵()f x 过点1(2,)4， ∴21(2)224f α-===， 则2α=-， 即221()f x xx -==， 则函数在(,0)(0,)-∞+∞U 上为偶函数，且当0x >时，为减函数，则(7)(5)f f <-，(5)()f f π-<，(3)()f f π->，(13)(11)f f -<， 故只有C 正确，其余错误， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数值，以及单调性比较，结合条件求出幂函数的解析式，利用幂函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础． 7．函数1()lg(1)f x x =+- ）A ．(1,3]B ．(2,3]C ．(1,2)(2,3]⋃D ．(2,3)【答案】C【解析】根据函数成立的条件进行求解即可． 【详解】解：要使函数有意义，则29010lg(1)0x x x ⎧-⎪->⎨⎪-≠⎩…，得33111x x x -⎧⎪>⎨⎪-≠⎩剟得3312x x x -⎧⎪>⎨⎪≠⎩剟得12x <<或23x <≤， 即函数的定义域为(1,2)(2,3]⋃， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件转化为不等式关系进行求解是解决本题的关键．8．若函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩„(其中e 为自然对数的底数)，则21(())f f e =（ ）A ．0B ．1C ．1e -D ．2e -【答案】D【解析】根据题意，由函数的解析式可得f （21e）的值，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，函数,0()ln ,0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩…，22211()ln ln(2)f e e e -===-， 221(())f f e e-=， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．9．把函数3xy =的图象向右平移t 个单位长度，得到函数35xy =，则t 的值为（ ）A ．13B ．3log 5C ．5log 3D ．15【答案】B【解析】根据函数图象变换关系，求出函数的解析式，结合指数关系进行求解即可． 【详解】解：把函数3xy =的图象向右平移t 个单位长度，得333x x tt y -==，此时由3335x t x=得35t =，得3log 5t =，故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数图象变换关系以及指数幂和对数的转化，求出函数的解析式是解决本题的关键．比较基础． 10．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【详解】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.【考点】函数的图象与性质．11．关于函数()|cos |cos |2|f x x x =+有下列四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为2π；③()f x 在35[,]44ππ上单调递增；④()f x 的值域为[1,2]-．上述结论中，正确的为（ ） A ．③④ B ．②④ C ．①③ D ．①④【答案】D【解析】由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简f （x ），由f （﹣x ）＝f （x ），可判断①；可令t ＝|cos x |，可得g （t ）＝2t 2+t ﹣1，由函数的周期性可判断②；由y ＝|cos x |的单调性，结合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调性可判断④． 【详解】解：2()|cos |cos |2||cos |2cos ||1f x x x x x =+=+-，由cos ||cos x x =，可得22()|cos |2cos 12|cos ||cos |1f x x x x x =+-=+-，由2()2|cos()||cos()|1()f x x x f x -=-+--=，则()f x 为偶函数，故①正确；可令|cos |t x =，则[0,1]t ∈，可得2219()212()48g t t t t =+-=+-，()g t 在[0,1]上单调递增， 由|cos |y x =的最小正周期π，可得()f x 的最小正周期为π，故②错误； 由|cos |y x =在[,]2ππ递增，在3[,]2ππ递减，由复合函数的单调性可得，()f x 在3[,]4ππ递增，在5[,]4ππ递减，故③错误； 由[0,1]t ∈，219()2()48g t t =+-，∵()g t 在[0,1]递增，则()g t 的值域为[1,2]-，故④正确．上述结论中，正确的为①④； 故选：D ． 【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．12．已知函数111()(0)x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】把函数()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点，转化为()()f x g x -=在(0,)+∞有零点，得到11ln(1)e ex a x =+-+有零点，即y a =和11()ln(1)e ex h x x =+-+有交点，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数111()(0)x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，可得()()f x g x -=在(0,)+∞有零点，即111e e ln(1)e 1e ex xxxx e x a -+-+-+-==-，即11ln(1)e e x a x =+-+有零点，即y a =和11()ln(1)e ex h x x =+-+有交点， 因为111()1(1)x x x e x h x x e e x '--=-=++，所以令()1x m x e x =--，则()1x m x e '=-， 又因为0x >，所以()0m x '>即()m x 单增，因为()00m >，所以()0m x >，即()0h x '>，所以h （x ）在(0,)+∞单调递增，所以1()1e h x >-，可得11a e>-. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数()f x 与()g x 的图象上存在关于y 轴对称的点，转化为()()f x g x -=在(0,)+∞有零点，分类参数转化为两个函数图象有交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．设集合{1,2,}A a a =-，若3A ∈，则实数a =_________． 【答案】5【解析】推导出a ﹣2＝3或a ＝3，再由集合中元素的互异性，能求出结果． 【详解】解：∵集合{1,2,}A a a =-，3A ∈， ∴23a -=或3a =，当23a -=时，5a =，成立；当3a =时，21a -=，不满足集合中元素的互异性，不成立． ∴实数5a = 故答案为：5． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．若函数21()ln 2f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为_________． 【答案】322y x =-【解析】求出函数的导数，求出切线的斜率切点坐标，然后求解切线方程． 【详解】解：由函数21()ln 2f x x x =+，得：1()f x x x'=+，1(1)2f =，(1)2f '=，求得切线方程为12(1)2y x -=-， 即322y x =-． 故答案为：322y x =-． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，是基本知识的考查．15．已知ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2c =2sin c A =，则sin sin sin a b cA B C++=++__________．【解析】由已知可求3a sinA =，利用比例的性质即可求解． 【详解】解：∵2c =2sin c A =，4sin A =，∴sin 3a A =，∴sin sin sin sin 3a b c a A B C A ++==++．． 【点睛】本题主要考查了比例的性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 16．关于以下结论： ①*n N ∀∈，22n n ≤；②函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期为π；③若向量0a b ⋅=r r ，则向量a b ⊥r r；④20182019log 2019log 2020>． 以上结论正确的个数为______．【答案】2【解析】对命题逐一分析正误，得出结论即可． 【详解】解：对于①*n N ∀∈，22n n ≤，当3n =时，29n =，28n =，∴22n n >；故①错误； ②函数44()sin cos cos2f x x x x =-=-，所以()f x 的最小正周期为T π=；故②正确；③若向量0a b ⋅=r r ，则向量a b ⊥r r；当0a =r r 时或当0b =r r 时，0a b ⋅=r r ，但a r 不垂直于b r ；故③错误；④20182019log 2019log 2020>；④正确，证明如下：∵220182019lg 2019lg 2020(lg 2019)lg 2018lg 2020log 2019log 2020lg 2018lg 2019lg 2018lg 2019-⋅-=-=⋅；而22lg 2018lg 2020lg 2018lg 2020()2+⋅<=2220182020(lg)(lg 2019)2+<=．∴2(lg 2019)lg 2018lg 20200-⋅>； ∴20182019log 2019log 2020>． 故②④正确；正确的个数为2个； 故答案为：2． 【点睛】本题考查命题判断真假的方法，需要逐个判断，属于基础题．三、解答题17．已知向量(1,2)a =r ，(2,0)b =r ，若()//a b c +r r r ，()a b c ⊥+r r r ，求向量c r．【答案】64(,)77c =--r【解析】设c r 的坐标，结合向量垂直与平行的坐标运算，求得c r． 【详解】解：设(,)c x y =r，∵(3,2)a b +=r r ，(2,)b c x y +=+r r，由题意得：230220x y x y -=⎧⎨++=⎩，从而解得：6747x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴64(,)77c =--r ． 【点睛】本题考查向量垂直与平行的坐标运算，是基础题，解题时要注意向量垂直与平行的性质的合理运用．18．设:11p a x a -<<+，2:60q x x --<．(1)当2a =-时，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）32x -<≤-或13x -<„（2）12a -剟【解析】（1）把a ＝﹣2代入化简p ，求解一元二次不等式化简q ，由p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，得p 与q 一真一假，然后分类求解得答案；（2）把p 是q 的充分不必要条件转化为两集合端点值间的关系，列关于a 的不等式组求解．【详解】解：(1)当2a =-时，:31p x -<<-，:23q x -<<，由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，得p 与q 一真一假，若p 真q 假，则3123x x x -<<-⎧⎨-⎩或剠，得32x -<-„； 若p 假q 真，则3123x x x --⎧⎨-<<⎩或剠，得13x -<„．综上，32x -<≤-或13x -<„；(2)由p 是q 的充分不必要条件，得1213a a --⎧⎨+⎩…„，解得12a -剟． 【点睛】本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查复合命题的真假判断，考查数学转化思想方法，是基础题．19．已知函数221()cos (sin cos )()2f x x x x x x R =+-∈．(1)求()f x 的最小正周期与单调递增区间；(2)求满足1(2)f x >-的x 的集合． 【答案】（1）周期T π=，单调增区间为[,]63k k ππππ-++，k Z ∈（2）2{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈ 【解析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式求周期，再由复合函数的单调性求函数的单调增区间；（2）直接求解三角不等式得答案．【详解】解：(1)∵221()cos (sin cos )2f x x x x x =+-12cos 2sin(2)26x x x π=-=-． ∴22T ππ==． 由222262k x k πππππ-+-+剟，解得63k x k ππππ-++剟，k Z ∈．∴()f x 的单调增区间为[,]63k k ππππ-++，k Z ∈； (2)由1sin(2)62x π->-，得7222666k x k πππππ-+<-<+， ∴23k x k πππ<<+，k Z ∈． ∴满足1(2)f x >-的x 的集合为2{|,}3x k x k k Z πππ<<+∈． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的图象与性质，是中档题．20．已知函数()()331f x x ax a R =--∈. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 在[]0,1上的最小值.【答案】（1）()f x 的极大值为()()11,f f x -=的极小值为()13f =-；（2）()min 1,03,121,01a f x a a a ⎧-≤⎪=-≥⎨⎪-<<⎩.【解析】（1）对()f x 求导，判断()f x '的正负，得到()f x 的单调性，然后得到()f x 的极值；（2）对a 进行分类，研究其导函数的正负，从而得到()f x 的单调性，求出其最值.【详解】（1）1a =，所以()331f x x x =-- ()233f x x ¢=-，令()0f x '=，得1x =± 所以x 在(),1-∞-和()1,+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，x 在()1,1-上，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()11f -=，极小值为()13f =-；（2）()233f x x a '=-，[]0,1x ∈ ①当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()min 01f x f ==-， ②当0a >时，令()0f x '=，得x =所以()f x在(上单调递减，在)+∞上单调递增， i)当1a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减，所以()()min 13f x f a ==-ii)当01a <<时，()f x在(上单调递减，在)上单调递增，所以()min 21f x f ==-综上所述：()min 1,03,10121,a f x a a a ⎧-≤⎪=-≥⎨⎪<<-⎩【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和最值，分类讨论研究函数的单调性和最值，属于中档题.21．如图，在ABC ∆中，sin sin ABC DBC ∠=∠，且D 为AC 的中点．(1)求BD AB的值； (2)若3BC =，8AC =，ACB ∠的角平分线CE 交BD 于E ，求cos BCD ∠及CED ∆的面积．【答案】（1）12BD AB =（2）9cos 16DCB ∠=，15714CDE S ∆= 【解析】（1）由D 为AC 的中点，可得S △ABC ＝2S △BCD ，进而利用三角形的面积公式即可求解BD AB的值． （2）设BD ＝x ，则AB ＝2x ，在△ABC ，△BCD 中，利用余弦定理可得226494169283243x x +-+-=⨯⨯⨯⨯，解得x 2232=，可求cos ∠DCB 的值，利用角平分线的性质可求34BCE DCE S BC S DC ==V V ，可得S △CED 47=S △BCD ，利用三角形的面积公式求得S △BCD 的值，即可求解S △CED 的值．【详解】解：（1）∵S △ABC 12=AB •BC •sin ∠ABC ，S △BCD 12=BD •BC •sin ∠DBC ， ∵D 为AC 的中点， ∴S △ABC ＝2S △BCD ，即12AB •BC •sin ∠ABC ＝212⨯BD •BC •sin ∠DBC ， ∵sin ∠ABC ＝sin ∠DBC ， ∴12BD AB =． （2）设BD ＝x ，则AB ＝2x ，在△ABC 中，cos ∠ACB 222264942283AC BC AB x AC BC +-+-==⋅⨯⨯， 在△BCD 中，cos ∠DCB 22221692243DC BC BD x DC BC +-+-==⋅⨯⨯， ∴226494169283243x x +-+-=⨯⨯⨯⨯，解得x 2232=，则cos ∠DCB 916=，∵∠ACB的角平分线为CE，∴E到DC，BC的距离相等，则34 BCEDCES BCS DC==VV，∴S△CED47=S△BCD，∴S△BCD12=BC•DC•sin∠DCB132=⨯⨯4291571()16-=，∴S△CED41571577=⨯=．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．已知函数21()ln(1)2f x x x a x=-++.（1）讨论()f x的单调性；（2）对任意[5,3]a∈--，(0,)x m∈，*m∈N，都有()0f x<恒成立，求m的最大值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）4【解析】求得函数的导数21()x af xx'-+=+，分类讨论，即可求得函数的单调区间，得到答案；（2）设2()ln(1)2xg a a x x=++-，对任意[5,3]a∈--，都有()0g a<恒成立，转化为函数2()(3)3ln(1)02maxxg a g x x=-=-++-<对(0,)x m∈，*m∈N恒成立，利用导数求得函数()h x的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数21()ln(1)2f x x x a x =-++的定义域为(1,)-+∞， 且21()111a x a f x x x x '-+=-+=++， ①当10a -+≥，即1a ≥时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(1,)-+∞上单调递增；②当10a -+<，即1a <时，令()0f x '=得x =若(,x ∈-∞或)x ∈+∞，则()0f x >′；若(x ∈，则()0f x <′；所以()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增；在(上单调递减；综上，当1a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当1a <时，函数()f x 在(,-∞和)+∞单调递增；在(上单调递减；（2）因为(0,)x m ∈，所以()ln 10x +>， 设2()ln(1)2x g a a x x =++-，对任意[5,3]a ∈--，都有()0g a <恒成立， 则2()(3)3ln(1)02max x g a g x x =-=-++-<对(0,)x m ∈，*m ∈N 恒成立， 设2()3ln(1)2x h x x x =-++-， 由（1）知()h x 在(0,2)上单调递减；在(2,)+∞上单调递增；又()00h =，则()20h <，又()443ln50h =-<，15(5)3ln 602h =->，∴5()4,m ∈， 又*m ∈N ，所以4m =，所以m 的最大值为4.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题（全卷满分:150分 考试用时:120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、满足条件{}{}3,2,11=Y M 的集合M 的个数是（ ）A 、 4B 、3C 、 2D 、1 2、已知点)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在 A 、 第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、 第四象限3、下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A 、 211-=-x y x 与1=+y x B 、1=y 与0=y xC 、 1=-y 与1=-y x D 、 =y x 与log (01)=>≠且xa y a a a4、若点),(y x P 是ο330角终边上异于原点的任意一点，则xy的值是（ ） A 、3 B 、3- C 、33-D 、33 5、函数xx y --=2)1lg(的定义域是（ ） A 、(]21，B 、（1，2）C 、（2，+∞）D 、(-∞,2) 6、下列函数中，周期为π，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减的是（ ）A 、)3sin(π+=x y B 、x y 21cos =C 、x y 2sin = D、x y 2cos =7、函数122--=x x y 在闭区间[]30，上的最大值与最小值的和是（ ） A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、2 8、若θ是ABC ∆的一个内角，且81cos sin -=⋅θθ，则θθcos sin -的值为（ ）A 、25 B 、25- C 、23 D 、23- 9、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x++=22)((b 为常数)，则=-)1(f （ ） A 、B 、 3C 、D 、110、若14log ,10log ,6log 753===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A 、c b a <<B 、a c b <<C 、c a b <<D 、a b c << 11、将函数πsin()6y x =+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A 、π4x =- B 、π2x =- C 、π8x = D 、π4x =12、已知关于x 不等式0>+b ax 的解集为()1，∞-，则不等式02>--x bax 的解集为（ ） A 、{}21<<-x x 、 B 、{}21>-<x x x 或 C 、{}21<<x x D 、{}12<>x x x 或 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13、幂函数)(x f 经过点)21,4(P ，则=)16(f ．14、定义新运算b a ab b a ++=⊗⊗2”：“，则关于x 的不等式02(<-⊗）x x 的解集是 ．15、设1)(2++=bx ax x f 是定义在[]2,1-a 上的偶函数，则)(x f 的值域是_______． 16、关于函数x x x f sin sin )(+=有如下四个结论： ①)(x f 是偶函数；②)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2上单调递增；③)(x f 最大值为2；④)(x f 在[]ππ-，上有四个零点，其中正确命题的序号是 ．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、(本题满分10分）已知α是第三象限的角，且1010cos -=α（1）求αtan 的值；（2）化简并求cos(π)π2sin()sin 2ααα--++（）的值．18、(本题满分12分）将已知集合{}{}32121+≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ，， （1）当1=m 时，求B A I ；（2）若A B A =U ，求实数m 的取值范围．19、(本题满分12分）知函数2π()2sin(2)3f x x =+，将)(x f 的图像向右平移π6个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 的图像． （1）求)(x g 的单调增区间；（2）当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求)(x g 的值域．20、(本题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系如下：当(]120，∈x 时，图象是开口向下的二次函数的一部分，顶点是)80,10(A ，且过点)78,12(B ；当(]4012，∈x 时，图象是线段BC ，其中)50,40(C 。