2017年温州市摇篮杯数学竞赛高一数学试卷

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值。

A. -2B. -1C. 0D. 12. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。

A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，求\( A \cup B \)。

A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 4\} \)4. 已知等差数列的第1项为2，公差为3，求第5项的值。

A. 14B. 17C. 20D. 235. 已知正弦函数\( y = \sin x \)的周期为2π，求\( y = \sin 2x\)的周期。

A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, 2)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求ab的值。

A. 12B. 10C. 8D. 69. 已知\( \cos x = \frac{3}{5} \)，\( \sin x \)的值在区间[-1,1]内，求\( \sin x \)的值。

A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)10. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 8 \)的值。

A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{3}{2} \)D. \( \frac{4}{3} \)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数\( h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( h(2) \)的值。

浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2017.4本试题卷分填空题和解答题两部分。

全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟第1卷填空题（共80分）一、填空题（本小题共10小题，每小题8分，共80分）1.设集合，满足，则实数的取值范围是___________.2.设点是的外心，则为______________。

3.函数的值域为_________________。

4.已知函数为偶函数，且满足不等式，则的值是________5.已知函数满足,且方程有5个不同的实根,则______________。

6.已知当时，函数取最大值，则函数图像的对称轴为_____________。

7. 的值等于___________。

8.设表示不超过的最大整数，为实数，且.则_______。

9.已知平面向量，满足，且，则的最小值为_____________。

10.设函数的两个零点分别为，且在区间上恰好有两个整数，则实数的取值范围_____。

第2卷（解答题，共120分）二、解答题（本大题共5个小题，前三个小题每题20分，后两个小题每题30分，共120分）11.已知实数满足关系式（1）令，求得表达式；（2）在（1）的条件下，若时，，求和的值。

12.已知，函数的最大值是。

（1）求得值及函数的单调减区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围。

13.定义在实数集上的函数满足：，且。

（1）求；（2）若方程在区间上有个根，求得最小值。

14.已知非零向量，。

（1）若，且为单位向量，求的最大值；（2）若对任意单位向量，均有，求的取值范围。

15.已知函数，记。

（1）求的最小值，并求实数的值；（2）在（1）的条件下，请问函数在上是否都有定义，并求出它在有定义部分的值域。

2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（2008年4月13日）命题人：胡云华（版权所有，请不要转传其他商业网站）本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。

1．已知集合{,,()},,,M a b a b a R b R =-+∈∈，集合{1,0,1}P =-，映射:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则以,a b 为坐标的点组成的集合S 有元素（ ）个A ．2B ．4C ．6D ．82．设D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足,25AP AD BC =+，则APD ABC S S =△△ （）A.35 B. 25 C. 15 D. 3103．在点O 处测得远处质点P 作匀速直线运动，开始位置在A 点，一分钟后到达B 点，再过一分钟到达C 点，测得090,30AOB BOC ∠=∠=，则tan OAB ∠= （ ）A ．32 B C D ．234．已知当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =-图象的一条对称轴为 （ ） A ．3x π=-B ．3x π=C ．6x π=-D ．6x π=5．已知α是函数 ()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数()2008x g x xa =-的一个零点，则αβ的值为 （ ）A ．1B ．2008C ．22008 D ．40166．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[,],m n D ⊆使()f x 在[,]m n 上的值域为11[,]22m n ，那么就称()y f x =为“好函数”。

现有()log (),xa f x a k =+ (0,1)a a >≠是“好函数”，则k 的取值范围是 （ ） A ．(0,)+∞ B ．1(,)4-∞ C ．1(0,)4 D ．1(0,]47．如图，一个棱长为a 的立方体内有1个大球和8个小球，大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（ ） A ．(633)2a - B ．(633)a - C ．5382a - D ．(538)a - 8．使232n+为完全平方数的正整数n 有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分。

温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（4）一、选择题1．岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边．有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍．已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍．那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有（）A．1 072辆次、294辆次B．1 174辆次、193辆次C．973辆次、394辆次D．1 173辆次、254辆次2．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（）A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．16分钟3．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（）A．8 000，13 200 B．9 000，10 000C．10 000，13 200 D．13 200，15 400二、填空题4．小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，由于匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有级．5．“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助；九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助．则该学校一共有名学生．6．如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为cm．7．你看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图4，AOB∠= ，45cm90OB=，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方OA=，15cm向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC=cm．三、解答题8．（本题15分）2008年北京奥运会的主会场——鸟巢年底就要竣工了，也许你也知道它全都是利用优质钢筋焊接而成的．也许你会为它骄傲，为它自豪．可是你是否知道为了节约钢筋，还有许多科学道理呢？如图5就是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角剪下一块长为20cm、宽为10cm的矩形后剩下的一块脚料，工人师傅为了节约，要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件再重新使用．（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图5（2）和图5（3）中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹）；（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好些？说说你的看法和理由．也为建设节约型社会做出一点贡献！9．（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风（圣帕）于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图6所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？卷参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．B2．C （提示：从8∶30到12∶00共三个半小时，在这三个半小时内闹钟共慢了14分钟，平均每小时慢4分钟，所以慢钟与正常钟走时之比为604146015-=，慢的闹钟从11点46分走到12点整，按慢钟来计要走14分钟，因此若按准时的钟来计就要15分钟了．）3．C （提示：由题设可知A 、B 、C 三市派往D 市的运输车的辆数分别是x 、x 、（182x -）辆，派往E 市的运输车的辆数为10x -，10x -，210x -，则总运费200300400(182)800(10)700(10)500(210)W x x x x x x =++-+-+-+-80017 200x =-+．依题意有01001828x x ⎧⎨-⎩≤≤，≤≤，解之，得59x ≤≤，当5x =时，13 200W =最大元，当9x =时，10 000W =最小元．故选C ．）二、填空题（每小题6分，共30分）4．60（提示：设往下走时，人走一步电梯往下走x 级，则有903030903x x +=-，解得1x =，所以电梯的级数为303060+=（级）．）5．224（提示：资助九年级学生每人100元，但有40%的学生没有接受资助，这样九年级所有学生的平均钱数也是每人60元，而七、八年级每人60元，即整个学校每个学生平均能得到60元，所以该校学生总人数为13 44060224÷=（人）．）6．52（提示：设Rt ABC △的较长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，依题意有3a b -=，1113124ab -=．又由勾股定理得22222()23112121c a b a b ab =+=-+=+=，所以11cm c =，故徽标的外围周长4(112)52(cm)=⨯+=．）7．25（提示：因为BC AC =，所以可设BC x =，则45OC OA AC x =-=-，在Rt BOC △中，根据勾股定理可得：222(45)15x x -+=，解得25x =．即机器人行走的路程为25cm ）．三、解答题（每小题15分，共60分）8．（1）图1和图2即为所作图．（2）图1中第一种分割方案较好，因为分割的块数较少．但焊接处和图2中第二种方案一样长．9．解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图3，过点A 作AD BC ⊥于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt ABD △中，因为30240B AB ∠== ，． 11由题可知，距台风中心在(124)25200-⨯=（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到“圣帕”影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作200AE AF ==；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图4） 由勾股定理得，2222200120160DE AE AD =-=-=（千米）．所以2160320EF =⨯=（千米）．又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市3202016÷=（小时）．（3）该城市受台风影响最大风力7.2级．。

温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（3）一、判断决策（本题20分）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，那么用x单位量的a≥）单水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是多少？现有a（2位量的水供清洗，可以一次，也可以平分水量两次清洗，你认为选择哪种方法更好呢？请说明理由．如果水能平均三次清洗，效果会如何？二、实践应用（本题20分）某市的公共汽车实行的是一票制（一次上车不管乘几站，票价都是一样的）．张先生所在的公司每月发80元的公交费，起初他是每次乘车用现金买票，则所发公交费的余额与乘车次数的函数图象如图中的一条线段；后来，他将每月的80元公交费买成公交公司的“IC”卡．按规定，打卡乘车比用现金买票乘车可优惠20%．这样，卡上的余额与乘车次数的函数图象就如下图中的另一条线段．（1）填空（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）：每次乘车用现金买票时，余额与乘车次数的函数图象是________；买成IC卡后，余额与乘车次数的函数图象是________．（2）求出线段Ⅰ和线段Ⅱ所表示的函数关系式；（3）如果张先生每月平均乘坐公交车70次，则他用IC卡消费比用现金消费可以省下多少钱？三、动手操作（本题20分）手工课上有位小朋友想剪一个正三角形，可手上只有一张正方形的手工纸，若你是小朋友的手工课老师，你能帮助这位小朋友得到正三角形吗？请画出图形，写出操作过程，并说明理由．四、方案设计（本题20分）某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的45，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？参考答案 一、解：（1）11x+． ·············································································· 2分 （2）①若选择一次清洗，则清洗后残留农药为：11a+． ································· 3分 ②若分两次清洗，则第一次清洗后残留农药为：12212a a =++． ······················· 6分 第二次清洗后残留农药为：224222422a a a a a +=++++． ···································· 9分 222221424442124(24)(1)(24)(1)a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++++++++． ··················· 12分 ∵2a ≥，∴2140124a a a -+++≥． ····································································· 14分 ∴选择分两次的方法进行清洗，这样水果或蔬菜上的残留农药更少一些． ··········· 16分如果水能平分三次清洗，水果或蔬菜上的残留农药会更少． ··························· 20分二、（1）Ⅰ，Ⅱ；（2）设Ⅱ的函数关系式为y kx b =+，因（0，80）和（100，0）满足关系式，即800100.b k b =⎧⎨=+⎩，解得804.5b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴4805y x =-+（x 取整数）． ················ 10分 由图象Ⅱ知，用IC 卡，每次乘车实用金额为800.8100=（元）． 设每次用现金购买为z 元，则依题意知(120%)0.8z -=，1z =（元）．∴Ⅰ所代表的函数关系式为80y x =-+（x 取整数）． ································· 16分（3）(10.8)7014-⨯=（元）． ································································· 20分三、如下图，先对折正方形ABCD ，得到折线MN ；将重叠的两边AD 、BC 过C （D ）点向MN 方向折叠，使顶点B （和A ）落在MN 上的点E 处；然后再沿EC （ED ）折叠一次，展开后得到正三角形CDE ． ································································································ 8分。

2017年温州市摇篮杯数学竞赛答案2017年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题本试题卷分为填空题和解答题两部分，共2页，满分200分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷填空题（共80分）一、填空题（本小题共10小题，每小题8分，共80分）1.设集合A={x|2≤x≤a+5}，B={x|1≤x≤8}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是（-∞，1）。

解析：1.子集问题。

2.变式：设集合A={x|2-a≤x<a+5}，B={x|1<x≤8}，满足A⊆B，则实数a的取值范围是（-∞，1）。

2.设点O是△ABC的外心，AB=13，AC=12，则BC×AO为2211/25.解析：1.向量替换。

2.向量投影。

解：BC×AO=AC-AB×AOAC×AO-AB×AO2211/253.函数f(x)=log1/(x^2-2x+3)的值域为(-∞,0]。

解析：1.复合函数。

2.换元法。

3.变式：函数f(x)=log1/(-x^2-2x+3)的单调增区间为[-1,1)。

4.已知函数f(x)=sinx+cos(x+t)为偶函数，且t满足不等式t-3<t+4，则t的值是-7<t<-1.解析：1.赋值法。

2.f(-π/2+π)=f(π/2)，3.t=-7<t<-1.5.已知函数f(x)满足f(1-x)=f(5+x)，且方程f(x)=0有5个不同的实根x1,x2,x3,x4,x5，则x1+x2+x3+x4+x5=6.解析：1.对称条件。

2.对称性。

6.已知当x=π/6时，函数y=sinx+acosx取最大值，则函数y=asinx-cosx图像的对称轴为x=kπ，k∈Z。

解析：y=1+a^2sin(x+φ)，其中tanφ=a，π/6+φ=π/2+kπ，φ=π/3+kπ，a=√3/2π，y=asinx-cosx=2sin(x-π/6)，对称轴x=kπ，k∈Z。

浙江省温州市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．（3分）sin480°=（）A．B．C．D．2．（3分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．13．（3分）已知sin（3π﹣α）=，则sinα=（）A．B．C．﹣D．4．（3分）已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，则a+b的模等于（）A．1 B．2 C．D．5．（3分）下列函数中，最小正周期为的是（）A．y=|sin x| B．y=sin x cos x C．y=|tan x| D．y=cos4x6．（3分）数列{a n}满足a n+1=，a1=1，则=（）A．B．C．D．7．（3分）不等式＜﹣1的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜0} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x＞﹣1} D．{x|x＜0}8．（3分）已知cosθ=﹣（＜θ＜π），则cos（）=（）A．B．C．﹣D．9．（3分）已知x＞y＞z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是（）A．y＞0 B．xz＞yz C．xy＞yz D．xy＞xz10．（3分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且（2b﹣c）cos A=a cos C，则角A的大小为（）A．B．C． D．11．（3分）函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则φ=（）A．B．C．D．12．（3分）已知tanα=2，tan（α﹣β）=﹣3，则tanβ=（）A．﹣1 B．1 C．D．513．（3分）将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称14．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=45，则3a4+a8=（）A．10 B．20 C．35 D．4515．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+5y的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．1216．（3分）已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜217．（3分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=，=，=，=（）A．B．C．D．18．（3分）若存在x∈R，使不等式|x﹣1|+|x﹣a|≤a2﹣a成立，则实数a的取值范围（）A．a≥1B．a≤﹣1 C．a≤﹣1或a≥1D．﹣1≤a≤1二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）19．（4分）设向量=（2，1），=（3，2），则||=．20．（4分）角A为△ABC的一个内角，且sin A+cos A=，则cos2A值为．21．（4分）如图，定圆C半径为2，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则=．22．（4分）已知a，b∈R，若a2+b2﹣ab=1，则ab的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．（9分）设函数f（x）=﹣sin x cos x+1（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，]，且f（x）=，求cos x的值．24．（10分）在△ABC中，已知AB=2，cos B=（Ⅰ）若AC=2，求sin C的值；（Ⅱ）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=，求BC的长．25．（11分）已知数列{a n]的前n项和记为S n，且满足S n=2a n﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：+…（n∈N*）【参考答案】一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分）1．B【解析】sin480°=sin120°=．故选B．2．A【解析】∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=﹣4．故选A．3．B【解析】sin（3π﹣α）=，可得sin（3π﹣α）=sin（π﹣α）=sinα=，故选B．4．C【解析】∵正方形ABCD的边长为1，=，=，∴=，∴||=||===．故选C．5．D【解析】由于y=|sin x|的最小正周期为π，故排除A；由于y=sin x cos x=sin2x的最小正周期为=π，故排除B；由于y=|tan x|的最小正周期为π，故排除C；由于y=cos4x的最小正周期为=，故D满足条件，故选D．6．B【解析】∵数列{a n}满足a n+1=，a1=1，∴，=，=，=，∴===．故选B．7．A【解析】原不等式等价于＜0，即x（x+1）＜0，所以不等式的解集是（﹣1，0）；故选A．8．B【解析】∵cosθ=﹣（＜θ＜π），∴sinθ==，∴cos（）=cosθcos+sinθsin=（﹣）×=．故选B．9．D【解析】x＞y＞z，且x+y+z=0，∴x＞0，z＜0，y∈R，故A错误∴xz＜yz，故B错误，当y≤0时，C不成立，∵x＞y＞z∴3x＞x+y+z=0，3z＜x+y+z=0，∴x＞0，z＜0．由得：xy＞xz，故D正确故选D.10．B【解析】∵（2b﹣c）cos A=a cos C，∴（2sin B﹣sin C）cos A=sin A cos C，∴2sin B cos A=（sin C cos A+sin A cos C）=sin（A+C）=sin B，∵sin B≠0，∴cos A=，A∈（0，π），∴A=．故选B．11．C【解析】函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，可得y=cos2（x﹣φ）=cos（2x﹣2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则﹣2φ+=2kπ﹣，k∈Z，求得φ=，故选C．12．A【解析】∵tanα=2，tan（α﹣β）===﹣3，∴tanβ=﹣1．故选A．13．B【解析】将函数y=2cos（x﹣）的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=g（x）=2cos（2x﹣）的图象，令x=﹣，可得g（x）=﹣，故函数y=g（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，也不关于于直线x=﹣对称，故排除A、C；令x=时，求得g（x）=0，可得函数y=g（x）的图象关于点（，0）对称，不关于直线x=对称，故B正确、D不正确，故选B．14．B【解析】∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S9=45，∴=45，解得a5=5，∴3a4+a8=3（a1+3d）+a1+7d=4（a1+4d）=4a5=20．故选B．15．C【解析】作出不等式组约束条件表示的可行域，如右图中三角形的区域，作出直线l0：2x+5y=0，图中的虚线，平移直线l0，可得经过点C（0，2）时，z=4x+5y取得最小值10．故选C．16．D【解析】∵x＞0，y＞0，x+2y=1，∴=（x+2y）（）=++4=8．（当∵不等式＞m2+2m成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故选D.17．A【解析】=+=﹣=（﹣）﹣（+）=﹣+ =+=﹣﹣=﹣（﹣）﹣（+）=﹣，∴=（﹣+）（﹣）=﹣﹣+=﹣（4+9）+×2×3×=﹣，故选A.18．C【解析】|x﹣a|+|x﹣1|在数轴上表示到a和1的距离之和，显然最小距离和就是a到1的距离，∴|1﹣a|≤a2﹣a，①a≥1时，a﹣1≤a2﹣a，即a2﹣2a+1≥0，成立；②a＜1时，1﹣a≤a2﹣a，解得：a≥1（舍）或a≤﹣1，综上，a≤﹣1或a≥1，故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）19．【解析】∵向量=（2，1），=（3，2），∴=（5，3），∴||==．故答案为．20．﹣【解析】角A为△ABC的一个内角，且sin A+cos A=①，∴1+2sin A cos A=，∴sin A cos A=﹣，∴A为钝角，∴sin A﹣cos A===②，由①②求得sin A=，cos A=，则cos2A=2cos2A﹣1=﹣，故答案为．21．4【解析】||≥||=|﹣|，两边平方可得，﹣2t•+t2≥﹣2•+，设•=m，则22t2﹣2tm﹣（22﹣2m）≥0，又|||对任意t∈（0，+∞）恒成立，则判别式△=4m2+4×4（4﹣2m）≤0，化简可得（m﹣4）2≤0，由于（m﹣4）2≥0，则m=4，即•=4．故答案为4．22．[，1]【解析】当ab＞0时，∵a，b∈R，且a2+b2﹣ab=1，∴a2+b2=ab+1，又a2+b2≥2ab当且仅当a=b时“=”成立；∴ab+1≥2ab，∴ab≤1，当且仅当a=b=±1时“=”成立；即0＜ab≤1；当ab=0时，不妨设a=0，则b=±1，满足题意；当ab＜0时，又∵a2+b2≥﹣2ab，∴ab+1≥﹣2ab，∴﹣3ab≤1，∴ab≥﹣，当且仅当a=，b=﹣，或a=﹣、b=时“=”成立；即0＞ab≥﹣；综上，ab的取值范围是[﹣，1]．故答案为[，1]．三、解答题（共3小题，满分30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．解：（1）函数f（x）=﹣sin x cos x+1=﹣sin（x+）+1，故该函数的最小正周期为2π，令2kπ+≤x+≤2kπ+，求得2kπ+≤x≤2kπ+，可得函数的增区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）若x∈[0，]，则x+∈[，]，又f（x）=，即﹣sin（x+）+1=，即sin（x+）=，∴cos（x+）=±=±．若cos（x+）=﹣，则cos x=cos[（x+）﹣]=cos（x+）cos+sin（x+）sin=﹣•+=＜0，不合题意，舍去．若cos（x+）=，则cos x=cos[（x+）﹣]=cos（x+）cos+sin（x+）sin=•+=．综上可得，cos x=．24．解：（Ⅰ）∵cos B=，∴sin B==，∵，且AC=2，AB=2，∴sin C==（Ⅱ）在△ABC中，设BC=a，AC=b，∵AB=2，cos B=，∴由余弦定理可得：b2=a2+4﹣，①在△ABD和△BCD中，由余弦定理可得：cos∠ADB=，cos∠BDC=，∵cos∠ADB=﹣cos∠BDC，∴=﹣，解得：﹣a2=﹣6，②∴由①②可得：a=3，b=3，即BC的值为3.25．（Ⅰ）解：∵S n=2a n﹣n（n∈N+），∴S n﹣1=2a n﹣1﹣n+1=0（n≥2），两式相减得：a n=2a n﹣1+1，变形可得：a n+1=2（a n﹣1+1），又∵a1=2a1﹣1，即a1=1，∴数列{a n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，∴a n+1=2•2n﹣1=2n，a n=2n﹣1．（Ⅱ）证明：由，（k=1，2，…n），∴=，由=﹣，（k=1，2，…n），得﹣=，综上，+…（n∈N*）．。

2018年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷2018.4本试卷分选择题和非选择题两部分，全卷共2页，满分200分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共80分）一、选择题：本大题共10小题，每小题8分，共80分．1．已知集合 1,3,5,7,9A , 2,4,6,8B ,若 ,C a b a A b B ，则集合C 的所有元素之和为 ▲ ．2．在ABC 中，1sin ,23A AB ，则CA CB 的最小值为 ▲ ． 3．设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有(1)(4)1f x f x ，又当05x 时，2()log (7)f x x ，则(2018)f 的值为 ▲ ．4．若sin sin 2sin3cos cos2cos31x x x x x x ,则x ▲ ．5．已知函数())f x a R ，)()(1x f x f ，),2))((()(*1N n n x f f x f n n 若xx f )(2018没有零点，则a 的取值范围是 ▲ ．6．若对任意[1,1]x ,恒有22(,,)x ax b c a b c R 成立，则当c 取得最小值时,函数()23()f x x a x b x c x R 的最小值为 ▲ ．7．用 x 表示不大于x 的最大整数，方程[6][10][15]30x x x x 的最小正解为 ▲ ．8．函数()sin sin(1)f x x x 的值域为 ▲ ．9．已知平面向量2OA OB ,且2OA OB ，若[0,1]t ，则t AB AO (1)2BO t BA 的最小值为 ▲ ．10．已知函数2()(0)f x ax bx c a ,其中,,a b c 是整数，若()f x 在(0,1)上有两个不相等的零点，则b 的最大值为 ▲ ．第Ⅱ卷（非选择题，共120分）二、解答题：本大题共5小题，共120分．11．已知函数1()log 1a x f x bx是奇函数（01a a 且 ）． （1）求b 的值及函数()f x 的定义域；（2）是否存在实数a 使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为[1log ,1log ]a a n m ？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在说明理由．12．设函数2()cos cos (0)f x x x x ,且()y f x 的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4 ．（1）求 的值及函数()f x 的单调增区间；（2）若 56f ，求7sin(4)6 的值．13．已知定义域为R 的函数()y f x 满足: 对任意的,x y R ,均有()()2()cos f x y f x y f y x ,且当[,)2x p p 时，()0f x ． （1）求(0)f 的值；（2）解方程(3)(2)f x f x ．14．已知向量,a b 满足12,23a b ．（1）求a b a b的取值范围；（2）若34a b ，求a b 的最大值．15．已知函数()f x x a b ,,a b R ．（1）当2b a 时，若)(x f 在区间[1,2]上的最大值为2,求实数a 取值范围；（2）当1b 时，若存在实数m ,使得关于x 方程1()4xf x m在[2,2] 上有6个互不相同的解，求实数a 取值范围．。