静电场的能量 能量密度

1 Q2 1 1 2 = CV = Q V W= e 2C 2 2 三、静电场的能量 能量密度
电容器储存的电能等于两极板间的电场的能量， 电容器储存的电能等于两极板间的电场的能量，用 描述场的量来改写上式有（以平行板电容器为例） 描述场的量来改写上式有（以平行板电容器为例）
1 εS 2 2 1 2 1 2 We = E d = εE Sd = εE V 2 d 2 2 (V = Sd : 电容器体积 )
由高斯定理有： 解 (1)由高斯定理有： 由高斯定理有
q1+q2
R3
0 < r < R : E = 0; 1 1
R < r < R2 : E2 = 1
; 2 4πεoεrr R2 < r < R3 : E3 = 0;
q1
-q1
q1 o oR1
R2
q1 + q2 r > R3 : E4 = 4πεor2
q+Q u= ∫ E = dr 4 0r πε r
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2
1 2 1 ωe = εE = ED 2 2
★ 静电场的能量的计算
1 1 2 We = ∫ we dV = ∫ ( DE )dV = ∫ εE dV 2 2 V V V
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已知R 例2.已知 1 R2 R3 q Q 已知
求 ①电荷及场强分布；球心的电势 电荷及场强分布； ②如用导线连接A、B，再作计算 如用导线连接 、 ，
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②用导线连接A、B，再作计算 用导线连接 ， 连接A 连接 、B， ，
Q+ q
− q + (−q )
中和
B
−q q
AR 1 O
R2 R3
球壳外表面带电 Q+ q
r < R3
R3
Q+ q uo = ∫ Edr + ∫ Edr = 4πε0R3 0 R3
E=0
∞
r > R3
∞
Q+ q E= 4 0r 2 πε
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电场的能量密度(即单位体积内储存的电能 电场的能量密度 即单位体积内储存的电能): 即单位体积内储存的电能 1 2 1 ωe = εE = ED 2 2 表明：电场能量是储存在电场中的。 表明 ： 电场能量是储存在电场中的 。 就是说 场是 能量的携带者。
说明
（1）上式适用于任何电场 ） （2）对任一带电系统整个电场能量为 ）
εr
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(2)两球的电势差为： 两球的电势差为： 两球的电势差为
1 1 ( − ) V = ∫ E2dr = R 4πεoεr R R2 1 1 q1 4 oεr R R πε 1 2 电容为 C = = V R −R 2 1
R2
q1
q1+q2 dr -q1 r q1 o
R3 R2 R1
(3) 电介质中的电场能量： 电介质中的电场能量：
r r 1⋅ λ ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 2πr ⋅1 =
S
a
ε
∴
λ E= 2πεr
(a < r < b )
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因此长直导线和圆筒之间的电场能量密度为
λ2 1 2 we = εE = 2 2 2 8π εr
在该区域取长为h 半径为r、厚为dr的薄圆筒 的薄圆筒， 在该区域取长为 、半径为 、厚为 的薄圆筒，其体 积元为: 积元为 dV = 2π rhdr ,在此体积元内电场的能量为 在此体积元内电场的能量为
λ2 h dwe = we dV = dr 4πεr
沿轴线单位长度内的电场能量为
We V = h h
∫ dW
e
λ2 = 4πε
∫
b
a
1 b λ2 dr = In r 4πε a
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重点和难点： 重点和难点：
★ 电容器的储能公式
1Q 1 1 2 W= = CV = Q V e 2C 2 2
★ 静电场的能量密度
负极板搬运到正极板时所作的功
q dA =Vdq = dq C
在极板上的电荷由零增加到Q的过 在极板上的电荷由零增加到 的过 程中电源所作的总功
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dq
q q
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A =W = ∫ e
Q
0
q 1 Q2 dq = 2C C
利用Q=CV,可以得到电容器的储能公式为 可以得到电容器的储能公式为 利用 可以得到电容器的储能公式
1 1 2 We = ∫ we dV = ∫ ( DE )dV = ∫ εE dV 2 2 V V V
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例10-8 一球形电容器由两个同心导体球壳组成，其Leabharlann Baidu充满 10- 一球形电容器由两个同心导体球壳组成， 的各向同性均匀电介质， 相对介电常数为εr的各向同性均匀电介质，外球壳以外为真 外球壳内、 空。内球壳半径为R1，带电量为q1；外球壳内、外半径分别 为R2和R3，带电量为q2。 求：(1)空间的电场分布；(2)该电容器的电容；(3)电介质 (1)空间的电场分布；(2)该电容器的电容；(3)电介质 空间的电场分布 该电容器的电容 中的电场能量。 中的电场能量。
10-5 静电场的能量 能量密度
一、电容器的电能 电容器的充电过程实质上是电源逐步把正电荷从 电容器的充电过程 实质上是电源逐步把正电荷从 电容器的负极搬运到正极的过程。 电容器的负极搬运到正极的过程。电源所作的功就以 电能的形式储存在电容器中。 电能的形式储存在电容器中。 设某一瞬时,电容器两极板的带电量分别为+q和-q, 而极板间的电势差为V,那么电源将电荷dq由电容器
εr
R < r < R2 : 1 2 q1 q1 1 1 E2 = = ( − ) 4πεoεr r2 8πεoεr R R2 1 2 1 q1 电场能量也可用下式求得：W = 电场能量也可用下式求得： e 2C
R 1
W= e
∫
R2 1
2
εoεr E ⋅ 4πr2dr
2 2
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的长直导线，外面套有共轴导体圆筒， 例10-9 如图，半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒内 10- 如图， ε 导线与圆筒间充以介电常量为的均匀介质。 半径为b，导线与圆筒间充以介电常量为的均匀介质。沿轴线单位 圆筒带电为忽略边缘效应， 长度上导线带电为 λ ，圆筒带电为- λ 。忽略边缘效应，求沿 轴线单位长度内的电场能量。 轴线单位长度内的电场能量。 解：空间电场分布具有圆柱对称性，根据高 空间电场分布具有圆柱对称性， 斯定理可得在长直导线内部和圆筒内半径以 外区域场强为零， 外区域场强为零，而在长直导线和圆筒之间 场强为 b
Q+ q
B
−q
q
AR 1 O
R2 R3
解: 电荷分布
q
−q
Q+ q
r<R 1
2
由高斯定理得
场 强 分 布
E=
0 q
R2 < r < R3
4 0r πε Q+ q 4 0r 2 πε
R < r < R2 1
r>R 3
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场 强 分 布
0 r < R R2 < r < R3 1
Q+ q
E=
q 4 0r 2 πε
R < r < R2 1
B
−q q
AR 1 O
R2 R3
Q+ q 4 0r 2 πε
r>R 3
球心的电势
R3 R2 ∞ r r R1 uo = ∫ E • dr = ∫ Edr + ∫ Edr + ∫ Edr + ∫ Edr 0 0 R 1 R2 R3 ∞
1 1 1 q+Q ( )+ = − 4 0 R R2 πε 4 0 R3 πε 1 q