【走向高考】2013年高考数学总复习 3-3定积分与微积分基本定理(理)课后作业 北师大版一、选择题1．(2010·山东理)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410 ＝112. 2．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-666f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 [答案] D[解析] ∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图像对称． ∴对应的面积相等． 原式＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.3．(2012·沈阳)由三条直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43 C.185 D ．6[答案] A [解析] S ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎪⎪⎪x 442＝4.4．(2011·湖南理，6)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1C.32D. 3[答案] D[解析] 本小题考查定积分的计算与几何意义．S ＝⎠⎜⎜⎛－π3π3cos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ 3.5．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ∵⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1xd x ＝(x 2＋ln x )|a1＝a 2＋ln a －(12＋ln1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2 ∴a ＝2.6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4) 令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.二、填空题7. ⎠⎛－43|x ＋2|d x ＝________.[答案]292[解析] 原式＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－23 (x ＋2)d x ＝292.8．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5m/s 的速度自由落下，则下落后第二个4s 内经过的路程是________．[答案] 261.2m[解析] ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 三、解答题 9．求下列定积分：(1)⎠⎛01(x 2－x )d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2cos 2x 2d x ；(3)⎠⎛12|3－2x |d x ；(4) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (3x 3＋4sin x )d x . [解析]一、选择题1．已知力F 和物体移动方向相同，而且与物体位置x 有如下关系：F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ≤0，x 2＋1， x >0.那么力F 使物体从x ＝－1点运动到x ＝1点做功大小为( )A ．0 B.116 C.56 D ．1[答案] B[解析] ⎠⎛-11F (x )d x ＝⎠⎛-10|x |d x ＋⎠⎛01(x 2＋1)d x＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋1)d x＝12(－1)2＋13×13＋1＝116. 2．(2012·梅州模拟)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π[答案] C[解析] 由定积分的几何意义知⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝94π.故选C.二、填空题3．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.[答案] －2[解析] ∵⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x ，∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛01f (x )d x ＝－1－1＝－2.4．(2011·陕西理，11)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.[答案] 1[解析] 本小题考查分段函数求函数值、定积分的计算．f (f (1))＝f (lg1)＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3|a＝a 3＝1.∴a ＝1.三、解答题5．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0，∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝[13ax 3＋(2－a )x ]|10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6， 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.6．如下图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310 ＝16.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x2y ＝kx可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k0 ＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－342.7．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0<t <1)，把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，所求面积＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0-1 ＝13. (3)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t0 (x 2＋2x ＋1)d x .∴⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0-t ，∴－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0 ∴2(t －1)3＝－1，于是t ＝1－132.。
《微积分》上册部分课后习题答案习题五（A）1．求函数 f x ，使 f ′ x x 23 x ，且 f 1 0 .解：f ′ x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x C 3 2 1 5 23 f 1 0 6 C 0 C 3 2 6 15 23 f x x3 x 26 x 3 2 6 12．一曲线y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为x 3e x ，求 f x . 2 1解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x C 4 f 0 2 3 C 2 C 1 1 2 f x x 3e x 1 4 ∫ 23．已知f x 的一个原函数为 e x ，求 f ′ xdx . 2 2解：f x e x ′ 2 xe x∫ f ′ xdx 2 f x C 2 xe x C dx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t ，初始位移为s0 2 ，求s 和t 的函dt数关系.解：S t 3t 2 sin t S t t 3 cos t CS 0 2 1 C 2 C 1 S t t 3 cos t 15．设ln f x′ 1 ，求f x . 1 x2解：ln f x′ 1 ln f x arctan x C11 x2 f x earctan x C1 Cearctan x C gt 0 1 16．求函数f x ，使f ′ x e 2 x 5 且f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x e x 5 f x ln x 1 arcsin x e 2 x 5 x C 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0C 0 C 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27．求下列函数的不定积分x x2 ∫ ∫ dt（1）dx （2）x a t 1 x2 1 ∫ ∫x m n（3）x dx （4）dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5）∫x 2 1 dx （6）∫ sin x cos x dx 1 cos 2 x ∫ ∫ cos 2 x （7）dx （8）dx sin x cos x 1 cos 2 x ∫ sin （10）cos 2 sin 2 x dx ∫ cos 2 x x（9）2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 ∫ sin ∫e e （11）dx （12）dx 2 x cos x 2 x 1 2 × 8x 3 × 5x 2 x 1 5 x 1（13）∫ 8x dx （14）∫ 10 x dx e x x e-x （15）∫ x dx ∫ （16）e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x（17）∫ dx 1 x 1 x （18）∫ x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x（19）∫ 1 x4 dx （20）∫ 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2（21）∫ x 1 x 2 2 dx （22）∫ 1 x 2 dx 1 3 35 ∫ 2 2解：（1）x 2 x 2 dx x 2 x 2 C 3 5 1 d t 1 ∫ 1 2（2）. 1 t 1 2 C a a t 1 2 n nm ∫ x m dx m x m C m ≠ n m ≠ 0 nm n ∫（3）x m dx In x C m n dx x C ∫ m0 2（4）1 ∫ x2 1 dx x 2 arctan x C x 2 x 2 1 x 2 1 x3（5）∫ x 1 2 dx 3 x 2 arctan x C sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x sin x cos x 2（6）∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos x dx ∫ sin x cos xdx sin x cos x C cos 2 x sin 2 x（7）∫ sin x cos x dx cos x sin xdx ∫ sin x cos x C 1 cos 2 x ∫ 2 cos ∫ cos 1 1 1 x（8）2 dx 2 1 dx tan x C x 2 x 2 2 cos 2 x sin 2 x 1 1（9）∫ sin 2 x cos 2 x dx 2 ∫ sin x cos 2 x dx cot x tan x C cos x 1 1 cos 2 x cos x cos 2 x（10）∫ 2 2 dx 2 2 1dx ∫ 1 1 x sin x sin 2 x C 2 4 cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x ∫ ∫ cos 1（11）2 2 dx 2 2 dx 2 tan x C sin x cos x x ∫（12）e x 1 dx e x x C x 5 x 5（13）2 dx 3 dx 2 x 3 8 C ∫ ∫ 8 5 ln 8 x x（14）2 dx dx ∫ 5 ∫ 1 1 1 2 x 1 5 2 x C 5 2 ln 5 5 ln 2（15）e x dx e x ln x C ∫ 1 x ∫ 2x 3e x 6x（16）e x6 x 2 x 3e x dx e x C ln 2 l ln 3 ln 6 1 x 1 x ∫ ∫ 1（17）dx 2 dx 2 arcsin x C 1 x 2 1 x2 x2 1（18）∫ dx 1 x 2 ln x 5 arcsin x C 5 x 2 1 x 2 ∫ 1（19）dx arcsin x C 1 x2 1 cos 2 x 1 1 ∫ 2 cos ∫ 1 x（20）dx 1dx tan x C 2 x 2 cos 2 x 2 2 x x 2 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 1（21）dx 2 x dx ln x arctan x C x 2 1 x 2 x 1 x2 x x 4 1 x 2 1 2 2 x3（22）∫ 1 x 2 d x x 2 2 ∫ 2 1 x dx 3 2 x 2 arctan x C8．用换元积分法计算下列各题. x4（1）∫ x2 dx ∫ （2）3x 28 dx .。
2019-2020年高中数学 第4章 2微积分基本定理课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x 等于( ) A ．π B ．2 C ．π－2 D ．π＋2[答案] D[分析] 利用微积分基本定理求定积分．[解析]⎠⎜⎜⎛－π2π2 (1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2 －π2＝(π2＋sin π2)－[－π2＋sin(－π2)]＝π＋2，故选D.2．(xx·昆明一中模拟)曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴所围成图形的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．π2D ．π[答案] B[解析] ⎠⎛0πsin x d x ＝(－cos x )|π0＝－cos π＋cos0＝2.3．若⎠⎛1a (2x ＋1x)d x ＝3＋ln2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ⎠⎛1a (2x ＋1x )d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2. ∴a ＝2.4．(xx·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x y ＝x 3∴第一象限的交点坐标为(2,8) 由定积分的几何意义：S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.求曲边图形的面积通常是应用定积分计算．5．(xx·大连模拟)已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16[答案] D[解析] 因为f (x )为偶函数，图像关于y 轴对称，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.二、填空题6．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．[答案] 3[解析] 由⎠⎛0T x 2dx ＝x 33|T0＝T 33＝9，解得T ＝3.7．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－11(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4， 即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13.8．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是________．[答案] c <a <b[解析] a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20＝－cos2＋1<2，∴c <a <b .三、解答题 9．求定积分： (1)⎠⎛014x 3d x ；(2)⎠⎛25d xx；(3) sin x d x .[分析] 利用微积分基本定理解决．其中计算定积分⎠⎛ab f (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．[解析] (1)⎠⎛014x 3d x ＝x 4|10＝1－0＝1；(2)⎠⎛25d x x＝ln x |52＝ln5－ln2＝ln 52；(3) sin x d x ＝－cos x |π20＝－(cos π2－cos0)＝1.10．计算下列定积分： (1)⎠⎛0e33x ＋2d x ； (2)⎠⎛012xd x ；(3) (2x ＋cos x )d x ； (4) sin 2x d x . [解析] (1)因为[ln(3x ＋2)]′＝33x ＋2， 所以⎠⎛0e33x ＋2d x ＝ln(3x ＋2)|e0＝ln(3e ＋2)－ln(3×0＋2)＝ln 3e ＋22.(2)因为(2xln2)′＝2x ，所以⎠⎛012x d x ＝(2xln2)|10＝2ln2－1ln2＝1ln2.(3)因为(sin x ＋x 2)′＝cos x ＋2x ，所以 (2x ＋cos x )d x ＝(sin x ＋x 2) ⎪⎪⎪⎪π2 π2＝sin π2＋(π2)2－sin(－π2)－(－π2)2＝2.(4)对原式化简sin 2x d x ＝1－cos2x 2d x ，因为(12x －14sin2x )′＝1－cos2x 2，所以sin 2x d x＝1－cos2x 2d x ＝(12x －14sin2x )⎪⎪⎪⎪π2 π2＝π2.一、选择题1. ⎠⎛-ππ (sin x ＋cos x )d x 等于( )A ．0B ．－1C ．1D ．2[答案] A[解析] ⎠⎛-ππ (sin x ＋cos x )d x＝⎠⎛-ππsin x d x ＋⎠⎛-ππcosxd x＝(－cos x )|π－π＋sin x |π－πv ＝0＋0＝0. 2.⎠⎛01(e x＋e －x)d x 等于( )A ．e ＋1eB ．2eC ．2eD ．e －1e[答案] D[解析] ⎠⎛01(e x ＋e －x )d x ＝⎠⎛01e x d x ＋⎠⎛01e －xd x＝e x |10＋(－e －x )|10＝e －e 0－e －1＋e 0＝e －1e.3．设a >0，a ≠1，若⎠⎛02a xd x ＝＝－2a x |20，则a 的值为( )A ．e －2B ．e 2C ．e －12 D ．e 12[答案] C[解析] ⎠⎛02a x d x ＝1ln a a |20＝a 2ln a －1ln a ＝－2a x |2＝－2a 2＋2∴(a 2－1)(1ln a＋2)＝0 ∵a >0且a ≠1，∴ln a ＝－12，∴a ＝e －124．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋2D ．－3x ＋4[答案] A[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝(12ax 2＋bx )|1＝12a ＋b ＝5，①⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x ＝(13ax 3＋12bx 2)|10＝13a ＋12b ＝176.②联立①②，解得a ＝4，b ＝3， ∴f (x )＝4x ＋3. 二、填空题5.已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，1)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．[答案] 14[解析] 本题主要考查了定积分求面积，由条件得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤12－2x ＋2，12<x ≤1xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤12－2x 2＋2x ，12<x ≤1 S ＝⎠⎛01xf(x)dx ＝⎠⎜⎛012 2x 2dx ＋⎠⎜⎛－121 (－2x 2＋2x)dx＝(23x 3)⎪⎪⎪⎪120＋(－23x 3＋x 2)⎪⎪⎪⎪112＝23×(12)3＋(－23＋1)－[－23×(12)3＋(12)2]＝14. 由图形得函数解析式，注意f(x)的图像是折线段，故f(x)的解析式要写成分段函数的形式，进一步xf (x )的解析式也要写成分段函数的形式．6．(xx·汕头模拟)由三条曲线y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________． [答案] 43[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝1得交点坐标(－1，1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．则S ＝2[⎠⎛01(x 2－x 24)d x ＋⎠⎛12(1－x24)d x]＝2(14x 3|10＋x|21－112x 3|21)＝43.三、解答题7．求下列函数的定积分：(1)⎠⎛02(3x 2＋4x 3)d x ；(2) ⎠⎜⎛0π2 sin 2x 2d x ；(3)⎠⎛12(x －1)d x . [解析] (1)原式＝⎠⎛023x 2d x ＋⎠⎛024x 3d x ＝3⎠⎛02x 2d x ＋4⎠⎛02x 3d x ＝⎪⎪⎪3×13 x 320＋ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×14x 420＝x 320＋x 420＝8＋16＝24. (2)原式＝⎠⎜⎛0π2 1－cos x 2d x ＝⎠⎜⎛0π2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝12⎠⎜⎛0π2 (1－cosx)dx ＝12⎠⎜⎛0π2 1dx －12⎠⎜⎛0π2 cosxdx ⎪⎪⎪⎪π2＝12x ⎪⎪⎪⎪ π20－12×sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12. (3)原式⎠⎛12xdx －⎠⎛121dx ＝⎠⎛12x 12dx －1＝23 x 32 ⎪⎪⎪21－1＝23×(8－1)－1＝23×(22－1)－1＝423－23－1＝423－53＝42－53.8.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01 f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．[解析] 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，又f′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＝0，而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋12b ＋c ，所以13a ＋12b ＋c ＝－2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，13a ＋12b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝0，c ＝－4.2019-2020年高中数学 第4章 3定积分的简单应用课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( ) A ．13gt 20 B ．gt 20 C.12gt 20 D ．14gt 20 [答案] C[解析] ⎠⎛0togt d t ＝12gt 2|⎪⎪⎪to＝12gt 20. 2．如果1 N 的力能把弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( )A ．0.18 JB ．0.26 JC ．0.12 JD ．0.28 J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx .当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100， 所以F (x )＝100x ，所以W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 J.3．(xx·湖北理，6)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由题意，要满足f (x )，g (x )是区间[－1,1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0.① ⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝(－12cos x )|1－1＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；②⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝(x 33－x )|1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；③⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 44|1－1＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是2.4．直线y ＝2x ，x ＝1，x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为( )A ．28π3B ．32πC ．4π3D ．3π[答案] A[解析] 由V ＝⎠⎛12π·(2x )2d x ＝π⎠⎛124x 2d x ＝4π⎠⎛12x 2d x ＝4π·13x 3|21＝4π3(8－1)＝28π3. 5．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．14 B ．15 C ．16 D ．17[答案] C[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立⎩⎨⎧y ＝x y ＝x∴O (0,0)，B (1,1)，∴S 阴影＝⎠⎛01(x －x )dx ＝(23x 32 －x 22)|10＝23－12＝16，∴P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值． 二、填空题6．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01 f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案]33[解析] 因为(a3x 3＋cx )′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01 f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(a3x 3＋cx )|10＝a3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．故填33. 7．(xx·福建理，13)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．[答案]512[解析] 由已知得阴影部分面积为4－⎠⎛12x 2d x ＝4－73＝53.所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512.8．(xx·宁波五校联考)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．[答案]163[解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得直线与抛物线的交点横坐标为x ＝－1， 由题意得，由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2， 直线x ＝1围成的封闭图形的面积为：⎠⎛－11 (2x 2＋4x ＋2)d x＝(23x 3＋2x 2＋2x ) ⎪⎪⎪1-1＝23＋2＋2＋23－2＋2＝163. 三、解答题9．求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ，得x 1＝0，x 2＝2.如图所示，所求图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x＝(x 2－13x 3)|20－(23x 3－2x 2)|20＝4.10．求由曲线y ＝sin x 与x 轴在区间[0,2π]上所围成的图形的面积S .[分析] y ＝sin x 在[0，π]上的积分为正值，在[π，2π]上的积分为负值，其面积应取绝对值．[解析] 如图所示，所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋|∫2ππsin x d x |＝(－cos x )|π0－(－cos x )|2ππ＝4.一、选择题1．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 作出图形，容易判断应选B.2．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4 C.163D ．6[答案] C[解析] 由题意知，所围成的面积⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝(23x 32 －12x 2＋2x )|40＝23×432 －12×42＋2×4＝163.[点评] 本小题重在考查由两条曲线与y 轴所围成的曲边形的面积，要注意用函数值较大的减去函数值较小函数的积分值，并注意积分上、下限范围．3．(xx·广州模拟)物体A 以v ＝3t 3＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s )为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5⇒(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.二、填空题4．由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3(x ≥0)所围成的图形绕x 轴旋转，求所得旋转体的体积为________．[答案]4π21[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝x 3x，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以V ＝⎠⎛01πx 2d x －⎠⎛01πx 6d x＝π⎠⎛01x 2d x －π⎠⎛01x 6d x＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17 ＝π×421＝4π21.5．抛物线y ＝x 2与直线y ＝23x 所围成的图形的面积是________．[答案]481[解析] 如图，y ＝x 2与y ＝23x 的交点坐标为(0,0)和(23，49)，所以所求的面积为S ＝⎠⎜⎛023 (23x －x 2)d x ＝(13x 2－13x 3) ⎪⎪⎪⎪23＝13[(23)2－(23)3]－0＝481. 6．曲线y ＝e x，直线x ＝0，x ＝12与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________．[答案]e －π2[解析] V ＝⎠⎜⎛012 π(e x )2d x ＝π⎠⎜⎛012 e 2xd x ＝π×12e2x⎪⎪⎪⎪120＝π2(e －1)＝－π2.三、解答题7．计算(y －1)2＝x ＋1及y ＝x 所围的平面图形的面积．[分析] 首先画出草图(如图所示)，若选x 为积分变量，则需将图形分割，运算繁琐，可选用y 作为积分变量，为此求出两线交点的纵坐标，确定出被积函数和积分的上、下限．[解析] 将已知条件改写为x ＝y 以及x ＝(y －1)2－1，由图知所求面积为阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝y －2－1，得交点的纵坐标为y 1＝0及y 2＝3，因此，阴影部分面积S ＝⎠⎛03{y －[(y －1)2－1]}d y ＝⎠⎛03(3y －y 2)d y ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2－13y 330＝92.[点评] 解此类问题要注意观察草图及被积函数式子的特点，灵活选用积分变量． 8．求由曲线y ＝x 2，直线y ＝x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． [解析] 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的图形如图中阴影部分．设所得旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于直线y ＝x ，x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝x 2，直线x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．因为V 1＝⎠⎛01πx 2d x ＝⎪⎪⎪π·13x 310＝π3×(13－03)＝π3， V 2＝⎠⎛01π(x 2)2d x ＝π⎠⎛01x 4dx ＝⎪⎪⎪π·15x 510＝π5，所以V ＝V 1－V 2＝π3－π5＝2π15.[点评] 求旋转体的体积时，要先画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用定积分求解，本题中所求的旋转体的体积是由两个不同的旋转体的体积作差得到的．。
