专题11 立体几何中的点面距离问题【方法总结】应用等体积转化法求解点到平面的距离等体积转化法就是通过变换几何体的底面，利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式构造方程来求解相关问题的方法，主要用于立体几何中求解点到面的距离．关键是准确把握三棱锥底面的特征，选择的底面应具备两个特征：一是底面的形状规则，即面积可求；二是底面上的高比较明显，即线面垂直关系比较直接．【例题选讲】[例1](2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ；(2)求点C 到平面C 1DE 的距离．解析 (1)连接B 1C ，ME ．因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME＝12B 1C ． 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D ．由题设知A 1B 1綊DC ，可得B 1C A 1D ，故ME ND ， 因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED ．又MN ⊄平面C 1DE ，ED ⊂平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE ．(2)过点C 作C 1E 的垂线，垂足为H ．由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥C 1C ，又BC ∩C 1C ＝C ，BC ，C 1C ⊂平面C 1CE ，所以DE ⊥平面C 1CE ，故DE ⊥CH ．又C 1E ∩DE ＝E ，所以CH ⊥平面C 1DE ，故CH 的长即为点C 到平面C 1DE 的距离．由已知可得CE ＝1，C 1C ＝4，所以C 1E ＝17，故CH ＝41717．从而点C 到平面C 1DE ∥＝∥＝的距离为41717． [例2]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的正方形，P A ＝PD ＝17，E 为P A 的中点，点F 在PD 上且EF ⊥平面PCD ，M 在DC 延长线上，FH ∥DM ，交PM 于点H ，且FH ＝1．(1)证明：EF ∥平面PBM ；(2)求点M 到平面ABP 的距离．解析 (1)证明：取PB 的中点G ，连接EG ，HG ，则EG ∥AB ，且EG ＝1，∵FH ∥DM ，且FH ＝1，又AB ∥DM ，∴EG ∥FH ，EG ＝FH ，即四边形EFHG 为平行四边形，∴EF ∥GH ．又EF ⊄平面PBM ，GH ⊂平面PBM ，∴EF ∥平面PBM ．(2)∵EF ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴EF ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，EF 和AD 显然相交，EF ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥平面P AD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AD ．取AD 的中点O ，连接PO ，∵P A ＝PD ，∴PO ⊥AD ．又平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AB ∥CD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵P A ⊂平面P AD ，∴P A ⊥AB ，在等腰三角形P AD 中，PO ＝P A 2－AO 2＝17－1＝4． 设点M 到平面ABP 的距离为h ，连接AM ，利用等体积可得V M －ABP ＝V P －ABM ， 即13×12×2×17×h ＝13×12×2×2×4，∴h ＝817＝81717，∴点M 到平面P AB 的距离为81717． [例3]如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，P A ＝PB ＝2．(1)求证：平面P AB ⊥平面ABCD ；(2)求点D 到平面APC 的距离．解析 (1)证明：取AB 的中点O ，连接PO ，CO ，(图略)，由P A ＝PB ＝2，AB ＝2知△P AB 为等腰直角三角形，∴PO ⊥AB ，PO ＝1， 由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝60°知△ABC 为等边三角形，∴CO ＝3．又由PC ＝2得PO 2＋CO 2＝PC 2，∴PO ⊥CO ，又AB ∩CO ＝O ，∴PO ⊥平面ABC ， 又PO ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面ABCD ．(2)由题知△ADC 是边长为2的等边三角形，△P AC 为等腰三角形，设点D 到平面APC 的距离为h ，由V D P AC ＝V P ADC 得13S △P AC ·h ＝13S △ADC ·PO ．∵S △ADC ＝34×22＝3，S △P AC ＝12P A ·PC 2－⎝⎛⎭⎫12P A 2＝72， ∴h ＝S △ADC ·PO S △P AC ＝3×172＝2217，即点D 到平面APC 的距离为2217． [例4]如图，在单位正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，BC 1的中点．。
用等体积法解点到平面的距离和体积立体几何题体积立体几何问题是许多数学和工程领域经常遇到的问题之一。
解决这类问题的一种方法是使用等体积法，它可以帮助我们计算点到平面的距离和体积等相关参数。
1. 问题描述假设有一个点和一个平面，我们想要计算点到该平面的距离和体积。
下面是一个简单的解题步骤：- 第一步，我们首先需要确定平面的方程。
平面的方程通常可以通过已知的点或者法向量来确定。
- 第二步，通过点到平面的距离公式，我们可以计算出点到平面的距离。
距离公式为：$$d = \left| \frac{{ax + by + cz + d}}{{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}}\right|$$其中，$(x, y, z)$ 是点的坐标，$ax + by + cz + d$ 是平面的方程，$(a, b, c)$ 是平面的法向量，$d$ 是平面的常数项。
- 第三步，如果我们需要计算点在平面上的投影点的坐标，我们可以使用点到平面的距离公式的推导过程。
对于平面的方程 $ax+ by + cz + d = 0$，我们可以将点到平面的距离公式推导为：$$P = \left( x-\frac{{a(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}}, y-\frac{{b(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}}, z-\frac{{c(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}} \right)$$- 第四步，如果我们需要计算体积，我们可以将问题转化为计算封闭图形的体积。
具体的方法会根据所涉及的几何形状而有所不同。
2. 示例问题以下是一个例子，展示了如何使用等体积法解决点到平面的距离和体积问题：问题：已知平面的方程为 $2x - 3y + 4z - 5 = 0$，点的坐标为$(1, 2, 3)$，求点到该平面的距离。
解答：- 根据距离公式，代入点的坐标和平面的方程，可以计算出点到平面的距离：$$d = \left| \frac{{2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 -5}}{{\sqrt{{2^2 + (-3)^2 + 4^2}}}} \right| = \left| \frac{1}{\sqrt{29}} \right|$$因此，点到平面的距离为 $d = \frac{1}{\sqrt{29}}$。
高考数学立体几何专题：等体积法一、引言在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。
本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。
二等体积法的基本原理等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。
在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。
三等体积法的应用等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。
下面我们将通过几个例子来展示其用法：1、求几何体的表面积和体积例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的表面积和体积。
解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。
2、判断两个几何体是否体积相等例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。
解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。
3、求几何体的重心位置例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。
解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。
因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。
四、结论等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。
它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体积相等，以及求几何体的重心位置等。
在实际应用中，我们需要灵活运用等体积法来解决各种不同的问题。
在数学的世界里，立体几何是一门研究空间几何形状、大小、位置关系的科学。
它不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时也是高考数学中的重要考点之一。
本文将针对高考数学立体几何专题进行深入探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
专题10：立体几何中的体积问题（解析版）⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面h S V ⋅=柱体h S V ⋅=31锥体()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上 球的表面积和体积 32344R V R S ππ==球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，点D 是AB 的中点.（1）求证：1AC BC ⊥；（2）若1CC BC =，求三棱锥1B BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）利用勾股定理，可得AC BC ⊥，结合1AC CC ⊥，根据线面垂直的判定定理以及性质定理，可得结果.（2）计算∆BCD S ，1BB ，然后根据三棱锥的体积公式，可得结果.【详解】（1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ，∵AC ⊂平面ABC ，∴1CC AC ⊥，∵在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，∴222AC BC AB +=，∴90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵1CC ⊂平面11CC B B ，CB ⊂平面11CC B B ，1CC CB C =，∴AC ⊥平面11CC B B ，∵1BC ⊂平面11CC B B ，∴1AC BC ⊥.（2）∵D 是AB 中点， ∴111343222BCD ABC S S ∆∆==⨯⨯⨯=， ∵1BB ⊥平面ABC ，114BB AA ==，∴111134433B BCD BCD V S BB -∆=⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及性质定理，还考查了锥体的体积公式，难点在于根据线段长度关系利用勾股定理得出垂直，重点在于对定理的应用，属基础题.2．如图所示：在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，,O M 分别为,AB VA 的中点.（1）求证：平面MOC ⊥平面VAB ；（2）求三棱锥V ABC -的体积.【答案】（1）详见解答；（23. 【分析】（1）由已知可得OC AB ⊥，再由面面垂直定理可得OC ⊥平面VAB ，即可证明结论； （2）OC ⊥平面VAB ，用等体积法求三棱锥V ABC -的体积.【详解】（1）,AC BC O =为AB 中点，OC AB ∴⊥，平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB 平面ABC AB =，OC ⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面,VAB OC ∴⊂平面MOC ，平面MOC ⊥平面VAB ；（2）AC BC ⊥且2AC BC ==，O 分别为AB 的中点，11,2,2332VAB OC AB S ∆∴===⨯⨯=， OC ⊥平面VAB ，133V ABC C VAB VAB V V OC S --∆==⨯⨯=， 3V ABC V -∴=. 【点睛】本题考查面面垂直证明，注意空间垂直间的相互转化，考查椎体体积，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.3．如图所示，四棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是四棱锥的高.若4VM cm =，4cm AB =，5VC cm =，求四棱锥的体积.【答案】35(cm )3. 【分析】在Rt VMC ∆中求出3(cm),MC =在Rt ABC ∆中求出25(cm)BC =，再根据棱锥的体积公式可得结果.【详解】 VM 是棱锥的高，VM MC ∴⊥.在Rt VMC ∆中，2222543(cm),MC VC VM =-=-=.26cm AC MC ∴==，在Rt ABC ∆中，22226425(cm)BC AC AB =-=-=.242585(cm )S AB BC ∴=⨯=⨯=底，3 11325854(cm )333V S VM ∴=⋅=⨯⨯=四棱锥底. 【点睛】本题考查了求三棱锥的体积，属于基础题.4．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若2PD =，直线PB 与平面ABCD 所成的角为45，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（243 【分析】 （1）通过AC ⊥BD 与PD ⊥AC 可得AC ⊥平面PBD ；（2）由题先得出∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBD =45°，则可先求出菱形ABCD 的面积，进而可得四棱锥P - ABCD 的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ，又PD BD D ⋂=，故AC ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 是直线PB 与平面ABCD 所成的角，于是∠PBD =45°，因此BD =PD =2.又AB = AD =2，所以菱形ABCD 的面积为sin 6023S AB AD ︒=⋅⋅=，故四棱锥P - ABCD 的体积1433V S PD =⋅=. 【点睛】本题主要考查空间线、面关系等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力，是基础题.5．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置．（1）求证：PB AC ⊥；（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值．【答案】（1）见解析；（2）1【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，由线面垂直的判定定理即可证出.（2）由体积相等转化为P ABC ΔPOB 1V AC S 3-=⋅即可求出. 【详解】（1）如图所示，取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，易得AC PO AC OB ⊥⊥，，PO OB O = AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆ 面POB AC PB ∴⊥（2）由（1）知AC POB 260? AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===平面，且在边长为的菱形中，，所以，3 ，P ABC A POB C POB V V V ---=+体积转化为 ΔPOB 1AC S 3=⋅ =11233sin sin 32POB POB ⨯⨯⨯⨯∠=∠ ,当POB 90∠=︒时，P ABC V -的最大值为1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，1PA PD ==，E 为AD 的中点.（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23【分析】（1）根据等腰三角形证明PE AD ⊥，得到答案. （2）计算得到2AD =，22PE =，再利用体积公式计算得到答案. 【详解】（1）1PA PD ==，E 为AD 的中点，故PE AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD 平面ABCD AD =，故PE ⊥平面ABCD .（2）PA PD ⊥，1PA PD ==，故2AD =，22PE =. 故122223P ABCD V -=⨯⨯⨯=. 【点睛】 本题考查了线面垂直，四棱锥的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 7．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，求棱锥D A CD ''-的体积与长方体的体积之比.【答案】1:6【解析】【分析】棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，然后结合棱锥与棱柱的体积公式求解即可.【详解】解：已知的长方体可以看成直四棱柱ADD A BCC B '''-，设它的底面ADD A ''面积为S ，高为h ，则长方体的体积为ADD A BCC B V Sh '''-=.因为棱锥D A CD ''-可以看成棱锥C A DD ''-，且A DD ''的面积为12S ，棱锥C A DD ''-的高是h ，所以111326D A CD C A DD V V Sh Sh ''''--==⨯=. 因此所求体积之比为1:6.【点睛】本题考查了棱锥及棱柱的体积公式，重点考查了转换顶点求棱锥的体积，属基础题 8．如图，过圆柱的两条母线1AA 和1BB 的截面11A ABB 的面积为S ，母线1AA 的长为l ，11190AO B ︒∠=，求此圆柱的体积.【答案】22S l π. 【分析】 根据已知易得AOB 是等腰直角三角形，根据截面11A ABB 的面积为S 求出AB 长，进而求得底面圆面积再求体积即可。
