信号与系统课后答案

Charpt 11.21—(a),(b),(c)一连续时间信号x(t)如图original 所示，请画出下列信号并给予标注： a ） x(t-1) b ） x(2-t) c ） x(2t+1) d ） x(4-t/2)e ） [x(t)=x(-t)]u(t)f ） x(t)[δ(t+3/2)-δ(t-3/2)] (d),(e),(f)1.22一离散时间信号x[n]如图original 所示，请画出下列信号并给予标注。

a) x[n-4] b) x[3-n] c) x[3n] e) x[n]u[3-n] f) x[n-2]δ[n-2]1.23确定并画出图original 信号的奇部和偶部，并给予标注。

1.25判定下列连续时间信号的周期性，若是周期的，确定它的基波周期。

a) x(t)=3cos(4t+π/3) T=2π/4=π/2; b) x(t)=e)1(-t j πT=2π/π=2;c) x(t)=[cos(2t-π/3)]2x(t)=1/2+cos[(cos(4t-2π/3))]/2, so T=2π/4=π/2; d) x(t)=E v {cos(4πt)u(t)} 定义x(0)=1/2,则T=1/2; e) E v {sin(4πt)u(t)}非周期 f ）x(t)=∑∞-∞=--n n t e )2(假设其周期为T 则∑∞-∞=--n n t e)2(=∑∞-∞=+--n T n t e)22(=∑∞-∞=---n T n t e))2(2(=∑∞-∞=--n n t e )2( 所以T=1/2(最小正周期)；1.26判定下列离散时间信号的周期性；若是周期的，确定他们的基波周期。

(a) x[n]=sin(6π/7+1) N=7(b) x[n]=cos(n/8-π) 不是周期信号（c ）x[n]=cos(πn 2/8)假设其周期为N ，则8/8/)(22n N n ππ=+＋πk 2所以易得N=8（d ）N=8(e) x[n]=)62cos(2)8sin()4cos(2ππππ+-+n n n N=161.31在本题中将要说明线性时不变性质的最重要的结果之一，即一旦知道了一个线性系统或线性时不变系统对某单一输入的响应或者对若干个输入的响应，就能直接计算出对许多其他输入信号的响应。

（a ） 考虑一个LTI 系统它对（a ）的信号x1（t ）的响应y1（t ）示于（b ）,确定并画出该系统对于图（c ）的信号x2（t ）的响应。

（b ） 确定并画出（a ）中的系统对于（d ）的信号x3（t ）的响应。

Charpt 11.21—(a),(b),(c)一连续时间信号x(t)如图original 所示，请画出下列信号并给予标注： g ） x(t-1) h ） x(2-t) i ） x(2t+1) j ） x(4-t/2)k ） [x(t)=x(-t)]u(t)l ） x(t)[δ(t+3/2)-δ(t-3/2)] (d),(e),(f)1.22一离散时间信号x[n]如图original 所示，请画出下列信号并给予标注。

d) x[n-4] e) x[3-n] f) x[3n] g) x[n]u[3-n] h) x[n-2]δ[n-2]1.23确定并画出图original 信号的奇部和偶部，并给予标注。

1.25判定下列连续时间信号的周期性，若是周期的，确定它的基波周期。

f) x(t)=3cos(4t+π/3) T=2π/4=π/2; g) x(t)=e)1(-t j πT=2π/π=2;h) x(t)=[cos(2t-π/3)]2x(t)=1/2+cos[(cos(4t-2π/3))]/2, so T=2π/4=π/2; i) x(t)=E v {cos(4πt)u(t)} 定义x(0)=1/2,则T=1/2; j) E v {sin(4πt)u(t)} 非周期 f ）x(t)=∑∞-∞=--n n t e )2(假设其周期为T 则∑∞-∞=--n n t e)2(=∑∞-∞=+--n T n t e)22(=∑∞-∞=---n T n t e))2(2(=∑∞-∞=--n n t e )2(所以T=1/2(最小正周期)；1.26判定下列离散时间信号的周期性；若是周期的，确定他们的基波周期。

(a) x[n]=sin(6π/7+1) N=7(b) x[n]=cos(n/8-π) 不是周期信号（c ）x[n]=cos(πn 2/8)假设其周期为N ，则8/8/)(22n N n ππ=+＋πk 2所以易得N=8（d ）x[n]=)4cos()2cos(n n ππN=8(e) x[n]=)62cos(2)8sin()4cos(2ππππ+-+n n n N=161.31在本题中将要说明线性时不变性质的最重要的结果之一，即一旦知道了一个线性系统或线性时不变系统对某单一输入的响应或者对若干个输入的响应，就能直接计算出对许多其他输入信号的响应。

（c ） 考虑一个LTI 系统它对（a ）的信号x1（t ）的响应y1（t ）示于（b ）,确定并画出该系统对于图（c ）的信号x2（t ）的响应。

（d ） 确定并画出（a ）中的系统对于（d ）的信号x3（t ）的响应。

Charpt 22.21 计算下列各对信号的卷积y[n]=x[n]*h[n]:(a):][][][][n u n h n u n x nn βα==}βα≠∑∑∑--===-==++==-kn n nk nk k n kn kn u n u n u k n h k x n h n x n y ][][][)(][][][][*][][1100αβαββαββα(c):x[n]=],4[)21(--n u n h[n]=]2[4n u n -y[n]=x[n]*h[n]=∑∞-∞=-+---k k n k k n u k u ]2[4]4[)21( 所以1)n<6时 y[n]=∑∞+=-=-=-434)(8*948118144)21(k n n k n k2)n ∑∞-=---=-=≥22)81(98*44)21(,6n k n n k n k 时 2.22 对以下各波形求单位冲激相应为h(t)的LTI 系统对输入x(t)的响应y(t),并概略画出结果。

(a))()(t u et x tα-= )()(t u e t h tβ-= (分别在βα≠和βα=下完成)y(t)=x(t)*h(t)=⎰⎰>=------t t t t t d eed e e00)()()0(τττβαβτβατ当)(1)(,)(t u e e t y t t ββααββα-----=≠时当)()(,t u te t y t αβα-==时 (c)x(t)和h(t)如图P2.22(a)所示。

when t<1 y(t)=0;when ))cos(1(2)sin(2)(,3110t d t y t t ππττ+==<≤⎰-when ⎰-+-==<≤23)1))(cos(2()sin(2)(,53t t d t y t ππττ2.23 设h(t)是如图P2.23(a)所示的三角脉冲，x(t)为图P2.23(b)所示的单位冲击串，即 ∑+∞-∞=-=k kT t t x )()(δ对下列T 值，求出并画出y(t)=x(t)*h(t): (a)T=4 (b)T=2 (c) T=3/2 (4)T=1 解答：因为)()(*)(ττδ-=-t x t t x ，据此可得 (a) T=4时，y(t)=x(t)*h(t)=∑∞-∞=-k k t x )4(,如图(a)(b) T=2时，y(t)=∑∞-∞=-k k t x )2(,如图(b) (c) T=3/2时，y(t)=∑∞-∞=-k k t x )23(如图(c) (d) T=1时，y(t)=∑∞-∞==-k k t x 1)(,如图(d)2.27定义一个连续时间信号v(t)下面的面积为A v ＝⎰+∞∞-dt t v )(证明：若y(t)=x(t)*h(t),则Ay=AxAh 因为y(t)=x(t)*h(t)=⎰+∞∞--τττd t h x )()(Ay=⎰⎰⎰∞+∞-+∞∞-∞+∞--=dt d t h x dt t y τττ)()()(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=-h x A A dt t h d x *)()(τττ2.28 下面均为离散时间LTI 系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的，陈述理由(a) h[n]=][)51(n u n因果，稳定。

n 0≥,h[n]=n )51(收敛。

(b) h[n]=]2[)8.0(+n u n 非因果，稳定(c) h[n]=][)21(n u n -非因果，不稳定。

n n )21(,0≤不收敛2.29 下面均是连续时间LTI 系统的单位冲击响应，试判定每一个系统是否是因果和/或稳定的.陈述理由 (a)h(t)=)2(4--t u e t因果，稳定 ,2≥t t e 4-收敛。

(b) h(t)=)3(6t u e t --非因果，不稳定。

t e t 6,3-≤不收敛 (c) h(t)=)50(2+-t u e t非因果，稳定。

t e t 2,50--≥收敛2.36 考虑一离散时间系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由下列差分方程给出：y[n]=(1/2)y[n-1]+x[n](a)证明：若该系统满足初始松弛条件（即若n<n0,x[n]=0,则n<n0,y[n]=0），则它是线性和时不变的。

// 参考证明：1)证明该式是线性(i)当n ＝0n 时 ][]1[)21(][000n x n y n y +-= 在满足初始松弛条件时 ][][00n x n y =显然线性即满足：当][][][02010n bx n ax n x +=时][][][02010n by n ay n y +=(ii) 假设在n=k(>n0)时满足线性。

即当][][][21k bx k ax k x +=时(iii) 当n=k+1时假设：]1[]1[]1[21+++=+k bx k ax k x]1[]1[]}1[][)21{(]}1[][)21{(]1[]1[]}[][){21(]1[][)21(]1[]2122112121+++=+++++=+++++=++=+k by k ay k x k y b k x k y a k bx k ax k by k ay k x k y k y ∴对于∞+=,......0n k 都满足线性即][]1[)21(][000n x n y n y +-=线性2)下证该式移不变当n=n0时y[n0]=x[n0]显然满足线性令k=n-m>n0则y[k]=(1/2)y[k-1]+x[k] 即 y[n-m]=(1/2)y[n-m-1]+x[n-m]亦即满足移不变(b)证明：若系统不满足初始松弛条件，但利用附加条件y[n]=0,那么它不是因果的。