8.1 向量的概念

→ |＝|OB → |＝|OC → |知，O 为△ABC 的外心； 解析：由|OA → ＋NB → ＋NC → ＝0 知，O 为△ABC 的重心； 由NA →· → ＝PB →· → ，∴(PA → －PC → )· → ＝0.∴CA →· → ＝0.∴CA →⊥ ∵PA PB PC PB PB → ，同理，PA⊥BC，∴P 为△ABC 的垂心． PB
考点 1 平面向量的基本概念
例 1：已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线 → ＝OA → ＋λ(AB → ＋AC → )，λ∈[0，＋∞)，则 的三点，动点 P 满足OP
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
) C．内心 D．重心
A．外心
B．垂心
→ ＋AC → ＝AD → ，则可知四边形 BACD 是平行四边 解析：设AB → ＝λAD → 表明 A，P，D 三点共线．又 D 在边 BC 的中线 形，而AP 所在直线上，于是点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心．
∵{an}为等差数列，
2013×a1＋a2013 2013×a2＋a2012 2013 ＝ ＝ ∴S2013＝ . 2 2 2
答案：B
【方法与技巧】(1)用坐标给出的两个向量平行或共线问题 的处理方法：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－x2y1 ＝0. (2)一般的两个向量平行或共线问题的处理方法：向量b 与 非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa， 即 b∥a⇔b＝λa(a≠0)．
3 答案： 1＋ 2 3 2
易错、易混、易漏 ⊙利用方程的思想求解平面向量问题
1→ → 1→ → 例题：如图 814，在△ABO 中，OC＝4OA，OD＝2OB， → ＝a，OB → ＝b，试用 a 和 b 表示向 AD 与 BC 相交于点 M，设OA →. 量OM

1 高中数学必修二8.1~8.2向量的线性运算与数量积-知识点 1、①单位向量： 模为1 的向量；②零向量： 模为0 的向量，规定零向量的方向可以是 任意 的；③相等向量：模 相等 且方向 相同 的向量；④相反向量：模 相等 且方向 相反 的向量； 2、平行向量：所在直线 平行或重合 的两个向量平行，方向 相同或相反 。

规定零向量 平行于 任意向量。

“A 、B 、C 三点共线”的充要条件：AC AB ∥。

3、向量加法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，将b 与a 首尾相接 ，那么以 a 的起点 为起点，b 的终点 为终点的向量，就是和向量a +b 。

4、向量加法的多边形法则，就是连续多次 使用三角形 法则。

比如：21A A +32A A +43A A +54A A +...+n 1-n A A =n 1A A 。

5、向量加法的平行四边形法则：已知a 与b 不平行 ，让a 与b 共起点 ，以这两个向量的邻边 作平行四边 形，则对角线向量 就是和向量a +b 。

6、向量减法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，让b 与a共起点 ，则差向量a -b 以 减向量b 的终点 为起点，指向被减向量a 的终点 。

7、向量的加法满足①交换律：a +b =b +a ；②结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ）。

8、减去一个向量，等于加上 这个向量的相反向量 。

a -b =a +（-b ）。

9、实数与向量的乘法满足下列运算律：①λ(μa ) = (λμ)a ；②(λ+μ)a = λa +μa ；③λ(a +b ) = λa +λb 。

10、0a 表示与a 同方向 的 单位 向量，a = a 0a ，0a = 0a a。

2 11、向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算。

12、三角形ABC 中，若AD 为中线，则AD =21AB +21AC 。

若动点P 在AD 所在直线上，则AP = λ（AB +AC ）。

a
位置向量.
j
O i1
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
Ab
x
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
பைடு நூலகம்
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i
6
-1
OP OM ON 3i 2 j
例2：设ABC三个顶点坐标分别为A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ),G是ABC的重心，求G的坐标。
重心坐标公式
x
y
x1 y1
x2 3 y2 3
x3 y3
例3 : 线段AB的端点为A( x, 5), B(2, y), 直线AB上的点C(1,1),使 AC 2 BC , 求x, y的值.
存在唯一实数 ，使 b a ，则
(x2 , y2 ) (x1, y1) ( x1, y1)
因此 x1 y2 x2 y1 x1( y1) ( x1) y1 0
平面向量平行条件的坐标表示
定理：已知任意向量 a (x1, y1),b (x2, y2),
a//b 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
②求点A关于点B的对称点H的坐标
③若点C分有向线段 AB 的比 ＝2，求点C的坐标 ④求点D(0.5，y)分有向线段 AB 的比 及y值。
⑤若 AE 5 AB ,求点E的坐标 22
3, 若P是分 P1 P2定比为2的分点, 则P是分P2P1定比为 ___的分点， 则P1是分PP2定比为 ___的分点， 则P2是分PP1定比为 ___的分点。

1.1向量的概念 一、向量的定义、几何表示、记法 1．既有大小又有方向的量。

简称为式。

例如力、速度等。

注：在中学也学过向量，不过是平面上的向量，我们这里所讲的向量一般是空间中的向量。

2．用有向线段表示向量。

也就是说，在几何中，我们把向量看成有向线段。

有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

有向线段的始点与终点分别叫向量的始点与终点。

3．始点为A ，终点为B 的向量记作AB 。

有时用a ,b ,x 或黑体字母a ，b ，x 表示向量。

4. 向量的模：向量的大小称为向量的模。

向量AB 与a 的模分别记为|AB |与|a |。

二、几种特殊向量1．单位向量：模为1的向量称为单位向量。

与a 有同一方向的单位向量称为a 的单位向量，记为0a 。

2．零向量：模等于零的向量，记为0或0 ，即起点与终点重合，方向不确定（方向任意），否则为非零向量。

3．向量的平行与相等：向量a 与b 相互平行：表示它们的有向线段所在的直线平行，记为a ∥b ，类似有一个向量与一条直线或一个平面平行的概念等等。

注：（i ）平行的两向量不一定同向。

（ii ）位于同一直线上的两个向量不叫平行（因重合的直线不叫平行）。

a 与b 相等：若a 与b 的模相等且方向相同，记为a =b ，规定：所有零向量都相等。

注：(i)模相等的两向量不一定相等，因为她们的方向可能不同。

(ii)设AB 与B A ''为不在同一直线上的非零向量，则AB =B A ''当且仅当四边形ABB /A /为平行四边形。

证 根据两向量相等的定义，对于不在同一直线上的两个相等的非零向量aAB 与B A ''，若用两线段分别连接它们的一对起点A 与A /，一对终点B 与B /，那么显然得到一个平行四边形ABB /A /。

反之，对两个向量，若用这种作图法得到一个平行四边形，那么由向量相等的定义知这两向量相等。