例谈欧拉公式

●沈　骏
例谈欧拉公式
高中数学新教材注重学生的研究性学习,其中§9.9“多面体欧拉公式的发现”就是以研究性课题的形式设计,通过这一节的学习使学生体会到了主动参与的发现式学习活动,培养了他们通过观察发现规律并证明所得猜想的能力.但在教学过程中也发现学生对“欧拉公式”的记忆、证明、应用还存在较大的困难.
一、中西结合记公式
欧拉公式:V +F -E =2记忆时可采用“中西结合”:(1)各字母的含义:V —顶点数,
vertex (顶点)的第一个字母;F —面数,
face (面)的第一个字母;
E —棱数,
edge (棱)的第一个字母;
(2)公式的结构
等式左边字母按英语中字母倒序排列:V →F →E,等式右边是阿拉伯数字2,而不是0;
(3)公式适用范围:简单多面体.二、理解实质用公式
欧拉公式的证明及其应用中难点在于找到顶点数、面数、棱数之间的关系.特别是在列等式时要注意多面体的棱数与各面多边形边数总和之间的关系,避免重复计算.
在利用欧拉公式“V +F -E =2”解有关简单多面体的题目中笔者总结出以下两条:
(1)2点对1棱:多面体的每两个顶点对应同一条棱;
(2)2边对1棱:多面体的每一条棱对应两个相邻多边形的公共边.下面举例说明利用以上两条结合“欧拉公式”在多面体问题中的应用:
例1　每个面都是五边形,以每个顶点为一端都有三条棱的简单多面体,有多少个面,多少条棱,多少个顶点?
解:因为每个顶点为一端都有三条棱,所以3V =2E (2点对1棱),即V =23
E 。

所以每个面都是五边形,
所以5F =2E (2边对1棱),即F =2E
5。

又因为V +F -E =2,所以
23E +2
5
E -E =2,所以E =30,
F =12,V =20.
例2　C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构,它有70个顶点,以每个顶点为一端都有3条棱,各面是五边形或六边形.求C 70分子中五边形和六边形的个数.(新教材高二下A 习题9.9,第3题)
解:分别设五边形、六边形的个数为x,y .因为有70个顶点,每个顶点为一端都有3条棱,各面是五边形或六边形,
所以3×70=3V =2E (2点对1棱),5x +6y =2E (2边对1棱),
V +F -E =2(欧拉公式),
即5x +6y =3×70
①x +y =F =37
②
由①②得:x =12,y =25.
例3　求证:不存在这样的一个多面体,它的面数为奇数,且各个面有奇数条边.
证明　(用反证法)假设有一个多面体,它
・
2・数理化学习(高中版)
的面数F是奇数,各个界面多边形的边数分别为:m
1
,m2,…,m F,则:m1+m2+m F=2E(2边对1棱),
此式的左边是奇数个奇数之和,仍是奇数,而右边是偶数,故矛盾,所以假设不成立,所以不存在这样的一个多面体,它的面数为奇数,且各个面有奇数条边.
例4　求证:任一多面体的棱数不少于6.
证明　任一多面体,由它的任一顶点出发的棱数不小于3,棱数最少的多面体,即是各面为三角形且每个顶点出发恰有三条棱的多面体,于是:
3V=2E(2点对1棱),即V=2
3 E;
3F=2E(2边对1棱),即F=2 3 E.
由欧拉公式,得到:
2 3E+
2
3
E—E=2,解得E=6.
故任一多面体的棱数不少于6.
例5　一个凸多面体的棱数为30,面数为
12,则它的各面多边形的内角总和为多少?
分析:设凸多面体各面边数分别为k
1
,k2,
…,k
F
,则各面多边形内角和分别为:(k1-2)×
180°,(k2-2)×180°,…,(k F-2)×180°,所以
内角总和=(k
1
-2)×180°+(k2-2)×180°
+…+(k F-2)×180°=(k1+k2+…+k F)
×180°-2F×180°.
因为k
1
+k2+…+k F=2E(2边对1棱)
所以内角总和=2E×180°-2F×180°
=(E-F)×360°
结论:多面体各面多边形内角总和=
(E-F)×360°=(V-2)×360°
解:内角和=(E-F)×360°=(30-12)
×360°=6480°.
浙江省绍兴市稽山中学(312000)
●杨　继　孟兆福
排列、组合、二项式定理与概率疑难问题解析
由于排列、组合、二项式定理与概率内容思维抽象,方法独特,错解现象严重.现举例分析如下.
一、排列、组合
求解排列组合问题时,常由于分类方法不妥,或抓不住限定条件、分不清特殊元素与种类等使得漏解或重复现象出现.
1.由于分类方法不妥,在各类分法中,不互相独立或者未能表达出所有的情况,出现漏解或重复现象.
例1　从8名男医生和7名女医生中选派出一个由8人组成的医疗队,其中男女医生都有的选派法有多少种?
错解:从8名男医生中任选1人,7名女医生中任选1人,然后从余下的13名男女医生中任选6人,满足男女医生都有的要求,选法种数为:C1
8
C17C613=96096(种).
分析:上述解法其实有重复.出现重复的原因在于男女医生不完全互相独立,
事实上,若8名男医生分别记为甲、乙、丙、丁……;7名女医生分别记为A、B、C、D……,从下表可以看出,这样的处理,其重复是不可避免的.
表1
C18C17C613
乙B甲、A、丙、丁、C、D…
甲A乙、B、丙、丁、C、D……
………
・
3
・
数理化学习(高中版)。