第七部分 能带-总结与习题指导

(a)非简并情况
固定一个波矢 k，考虑一个特定的倒易点阵矢量 G1，使得相应的自由电子 能量满足
0 0 | εk U ，对固定的 k 和所有 G ≠ G1 -G1 − ε k -G |
2
这里 ε =
0 K
2
2m
K 2 ，表示波矢为 K 的自由电子能量。U 表示势的典型傅里叶分量。
由此(7.9)可以得到修正到 U2 的电子能量为
0 ε = εk -G + ∑
2
| U G -G1 |2
-G
ε
0 k -G1
− ε k -G
0
+ O(U 3 )
(7.13)
0 弱周期势对非简并自由电子能级 ε k -G1 的影响是 U 的二级小量。
(b)近简并情况
如 果 所 选 取 的 k 值 使 得 有 几 个 倒 易 点 阵 矢 量 G1 ， …… ， Gm 满 足
为对第一布里渊区内的 N 个 k 值独立求解方程(7.9)的问题。 对每一个 k 值， 解的 形式都是波矢和 k 只相差一个倒易点阵矢量的一组平面波的迭加，即
ψ k = ∑ Ck -G ei ( k -G ) i r
G
(7.10)
如果我们把上式写作
ψ k (r ) = eik i r (∑ Ck -G e− iG ir )
ψ (r + R) = e ik ⋅ Rψ (r )
此即布洛赫定理。布洛赫定理要求本征函数ψ h (r ) 具有如下的特殊形式
(7.1)
ψ k (r ) = e ik ⋅r uk (r )
(7.2)
这里，uk (r ) 是具有布喇菲点阵周期性的函数，对布喇菲点阵的所有点阵矢量 R 有
uk ( r ) = uk ( r + R )
7．金属和绝缘体 如果价电子刚好填满一个或几个能带，其余的能带仍然全空，由于能隙的隔 开，外加电场不会引起电流(如果电场不致引起能带结构的破坏)，这样的晶体将
5
是绝缘体。由于一个能带有 2N 个状态(N 是初基晶胞数)，仅当初基晶胞中的价 电子数是偶数时， 方可形成绝缘体。 绝缘体的能带隙远大于 kBT， 本征半导体(绝 对零度时是绝缘体)的能带隙则可以和 kBT 相比较。 如果初基晶胞中的价电子数为偶数， 但 有能带重迭发生，则将得到部分填充的能 带，于是形成导电性能不好的金属(例如碱 土金属)。 碱金属和贵金属的初基晶胞各含有一 个价电子，能带的填充是半满的，在外加电 场下有良好导电性。 金属、绝缘体能带填充情况如图 7.4 所 示。 8、费密面 能带中的费密面是自由电子费密 面对布洛赫电子的推广。 当能带是部分 填充时，被占据的最高能级的能量(即 费密能量 ε F ) 可以处于一个或几个能 带中， 对每个部分填充的能带， 波矢空 间有一个面把已占据的状态和未被占 据的状态隔开， 所有这些面都称为费密 面， 并属于费密面的各支。 具有费密面 的固体表现金属性质。 在许多重要情况 下，费密面就在一个或少数几个能带中。第 n 个能带的费密面就是波矢空间中
5．能带的简约区、扩展区和周期(重复)区图
由布格赫定理得到，对于同一能带(指数 n)，相差一个倒易点阵矢量 G 的波 矢 k 和 k+G，有相同的波函数和能量本征值
ψ n,k +G (r ) = ψ n,k (r ) ε n,k +G = ε n,k
于是描写固体的能带结构 ε n,k 有三种图示法：
第七部分 能带-总结与习题指导
内容提要
1．布洛赫(Bloch)定理 周期势场中，单电子哈密顿量 H = − 2∇ 2 / 2m + U (r ) ( 对布喇菲点阵的所有 R，有 U (r ) = U (r + R) )的本征因数可以这样选取，使得和每个ψ 相联系的有一个 波矢 k ，对于布喇菲点阵的所有 R 有
(7.17′)
用式(7.17′)可以求解一级近似下单个布喇格平面附近的电子能级。 由于近简并情况下一级能量修正和 U 有线性关系，和非简并情况相比较， 我们看到，只有近简并能级才受到弱周期势最强烈的影响。也就是说，弱周期势 的主要影响只表现在对那些波矢靠近布喇格平面的自由电子能级上。 4．能隙 在某些能量范围内，波动方程不存在布洛赫解，这些能量值构成所谓能量禁 区，即能隙。在此区内，波函数在空间被阻尼，波矢 k 为复值。绝缘体的出现正 是由于能隙所引起。 在近自由电子模型下，单个布喇格平面上的能隙近似为 2|UG|。只有在同一 能带内，能量随波矢的变化才是准连续的。当电子的波矢穿过布喇格平面时，从 一个能带到另一个能带，能量要发生突变。
⎫ ⎪ ⎬ * = U -G CK = U G CK ⎪ ⎭
(7.17)
这里有
0 0 0 εK U ，对 G ′ ≠ G , 0 ，由式(1.17)可得能量的两个根为 -G ≈ ε K ,| ε K − ε K -G ′ |
3
0 0 εK − εk 1 0 0 -G 2 ε = (ε K + ε k -G ) ± [( ) + | U G |2 ]1/2 2 2
ψ (r ) = ∑ CK eiK ir
K
(7.5)
K 取周期性边界条件所容许的值
K =∑
i =1 3
mi bi Ni
(7.6)
其中 mi 为整数， Ni 是数量级为 N1/3 的整数， N=N1N2N3 是晶体中初基晶胞的数目。 将周期势 U(r)用倒易点阵矢量 G 展开，
1
U ( r ) = ∑ U G e iG i r
G
(7.7)
适当选择势的零点，使 U0=0，对中心反演对称的晶体，由于 U(r)是实函数，应 有 U G = U −G = U G * 将上式代入式(7.4)得到单电子薛定谔方程在动量空间的形式：
2
(
2m
K 2 − ε )CK + ∑ U G ′CK -G ′ = 0
G′
(7.8)
用第一布里渊区内的波矢 k = K + G ，式(7.8)又可写为
G
(7.11)
令周期函数 u(r)为
u (r ) = ∑ Ck -G e − iG i r
G
(7.12)
则式(7.10)就具有布洛赫形式(7.2)。 3．弱周期势场中的电子[1] 对弱周期势场中的电子( 近自由电子) ，我们可以从索末菲的自由电子论出 发，加上弱周期势的修正来处理。分以下两种情况来讨论。
0 (ε - εk -Gi )Ck -Gi = ∑ U G j -Gi Ck -G j + ∑ ( i =1
m
j =1 G ≠G1 ...Gm
∑
U G -Gi U G j -G
0 ε − εk -G
)Ck -G j + O(U 3 )
(7.14)
于是求解 U 的二级近似下 m 个简并能级的能量修正问题化为求解 m 个 Ck -Gi 的联 立方程(7.14)的问题。如果仅仅修正到 U 的首项，则方程(7.14)简化为
ψ k (r ) 称为布洛赫函数，它具有调幅波的特性。
(7.3)
布洛赫定理是由晶体的平移对称性导出的， 凡属周期结构中的波都应具有布 洛赫函数的形式。 2．周期场中电子的波动方程 周期场中单电子薛定谔方程为
Hψ = [−
2
2m
∇ 2 + U (r )]ψ = εψ
(7.4)
在周期性边界条件下，将波函数ψ 展成平面波的线性组合
ε n (k ) = ε F
所决定的等能面。
(7.22)
由于能带 ε n (k ) 在倒易点阵中的周期性，我们可以在波矢空间中作出费密面 的周期区图或简约区图。 前者是在倒易点阵的整个周期结构中重复表现费密面的 各支；后者是在倒易点阵的一个初基晶胞(通常是第一布里渊区)中表现费密面的 各支。
6
近自由电子费密面的周期区图可以由自由电子费密面修正得到：
(7.20)
积分沿第 n 能带能量为 ε 的等能断进行。总的状态密度为各能带状态密度之和，
g (ε ) = ∑ g n (ε )
n
(7.21)
当 | ∇ε n (k ) | =0 时，一维状态密度 g n (ε ) 中的积分发散，但在三维空间中这样的奇 点仍是可积的， 可以得到有限的 g n (ε ) ， 但导数发散。 这些奇点称为范·霍夫奇点， 如图 7.3 所示。
0 0 0 εk -G ，…… ε k -G 彼此都相差在 U 的数量级内，而和其它 ε k -( G ≠ G ,......,G
1 m 1 m
)
之差则远大于 U，即
0 0 | εk U i = 1,..., m, G ≠ G1 , ..., Gm ，由式(7.9)可以得到 -G − ε k -Gi |
ε (k ) = E s − β − ∑ γ ( R) cos k i R
最近
(7.23)
其中 E s 是自由原子 s 能级的能量， β 和 γ ( R) 是两个积分
7
β = − ∫ dr ΔU (r ) | φ (r ) |2
(7.24)
γ ( R) = − ∫ drφ *(r )ΔU (r )φ (r - R)
[
h2 ( k - G )2 - ε ]Ck -G + ∑ U G ′-G Ck -G ′ = 0 2m G′
(7.9)
对于第一布里渊区内指定的波矢 k， 式(7.9)对所有倒易点阵矢量 G 代表一组 方程式，这组方程式把那些波矢和 k 相差一个倒易点阵矢量的系数 Ck ， Ck -G ′ ，
Ck -G ′′ ， Ck -G ′′′ …联系起来，于是求解周期势场中单电子薛定谔方程(7.4)的问题化
(7.18)
也就是说， 对于给定的 n， 本征态和本征值在倒易点阵中那是波矢 k 的周期函数。