外接球的体积与表面积知识点一：特殊类型的外接球问题1．三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，AB=2，BC=5，AC=7，则该三棱锥外接球的表面积（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．π3282．在四面体ABCD 中，AB=CD=10，AC=BD=5，AD=BC=13，则四面体的外接球的表面积为（ ）A ．36πB ．38πC ．14πD ．16π3．三棱锥D ﹣ABC 中，AB=CD=6，其余四条棱长均为2，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ）A ．14πB ．7πC ．21πD ．28π4．已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的球面上，PC PB PA ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，︒=∠90CEF ，则球O 的体积为A ．B ．C ． D5．在三棱锥S ﹣ABC 中，BC SB ⊥，AC SA ⊥，BC SB =，AC SA =，SC AB 22=，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为38，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．16πC ．36πD ．72π 6.已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，AC SA =，BC SB =，三棱锥ABC S -的体积为9，则球O 的表面积为________．知识点二：非特殊类型外接球问题1．三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA=PB=PC=3，PA ⊥PB ，三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ）A ．π227B ．π2327C ．π327D ．27π2．已知三棱锥P ﹣ABC 所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，AB=22，PA=PB=PC=3，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．49πC ．4πD ．π3．已知三棱锥S ﹣ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．38πB ．π334C ．π34D ．π316 4．四面体ABCD 中，AB=AC=BC=2，2==CD BD ，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 的射影恰好为DE 的中点，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．π1160B ．π944C ．π1136D ．π1120 5．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，AC=BC=22=PA ，则此三棱锥外接球的表面积为（）A ．5πB ．10πC ．20πD ．40π6．已知三棱锥S ﹣ABC 所有顶点都在球O 的表面上，且SC ⊥平面ABC ，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O 的表面积为（ ）A ．25πB ．5πC ．4πD ．35π7．已知三棱锥P ﹣ABC ，在底面△ABC 中，∠A=60°，BC=3，PA ⊥面ABC ，PA=32，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．316πB ．34πC ．332πD ．16π8．已知三棱锥D ﹣ABC 中，AB=BC=1，AD=2，5=BD ，2=AC ，BC ⊥AD ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．24πC ．π6D ．π689．已知三棱锥P ﹣ABC 的底面是边长为3的正三角形，PA ⊥底面ABC ，且PA=6，则该三棱锥的外接球的体积是（）A ．48πB ．332πC ．318πD ．38π10．在四面体S ﹣ABCD 中，BC AB ⊥，2==BC AB ，SA=SC=SB=2，则该四面体外接球的表面积是（ ） A ．π34 B ．π38C ．π310D ．π316 11．三棱椎S ﹣ABC 中，SA ⊥面ABC ，△ABC 为等边三角形，SA=2，AB=3，则三棱锥S ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．64π12．在四面体ABCD 中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD 的外接球的半径为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．3。
球体练习题和答案题一：计算球体的体积和表面积已知球体的半径为$r$，求球体的体积$V$和表面积$A$。
解答：球体的体积$V$可以通过以下公式计算：\[V = \frac{4}{3}\pi r^3\]球体的表面积$A$可以通过以下公式计算：\[A = 4\pi r^2\]题二：计算球体内切立方体的体积和表面积已知球体的半径为$r$，求球体内切立方体的体积$V_c$和表面积$A_c$。
解答：球体内切立方体的体积$V_c$可以通过以下公式计算：\[V_c = \frac{4}{3}\pi r^3\]球体内切立方体的表面积$A_c$可以通过以下公式计算：\[A_c = 6r^2\]题三：计算球体外切立方体的体积和表面积已知球体的半径为$r$，求球体外切立方体的体积$V_o$和表面积$A_o$。
解答：球体外切立方体的体积$V_o$可以通过以下公式计算：\[V_o = 8\pi r^3\]球体外切立方体的表面积$A_o$可以通过以下公式计算：\[A_o = 24\pi r^2\]题四：整数半径球体问题已知球体的体积为整数，求球体的半径$r$。
解答：对于整数半径球体问题，可以通过以下步骤求解：1. 设球体的体积为$V$，则可以得出方程：$\frac{4}{3}\pi r^3 = V$；2. 由于要求半径$r$为整数，解方程可以得到$r =\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$；3. 将体积$V$代入上述公式，即可求得整数半径球体的半径$r$。
题五：球体的体积比和表面积比已知两个球体的半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的体积比$V_{\text{比}}$和表面积比$A_{\text{比}}$。
解答：两个球体的体积比$V_{\text{比}}$可以通过以下公式计算：\[V_{\text{比}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\]两个球体的表面积比$A_{\text{比}}$可以通过以下公式计算：\[A_{\text{比}} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} =\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\]总结：本文介绍了球体的体积和表面积的计算方法，包括球体内切立方体和外切立方体的体积和表面积，整数半径球体的求解方法，以及球体的体积比和表面积比的计算公式。
根据球的体积公式和表面积公式基础拔高
练习(含答案)
1. 问题描述
根据球的体积公式和表面积公式，完成以下问题。
1. 已知一个球的半径为$r$，求该球的体积。
2. 已知一个球的半径为$r$，求该球的表面积。
2. 解答
1. 球的体积公式为：
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$
其中，$V$为球的体积，$\pi$为圆周率(取3.)。
2. 球的表面积公式为：
$A = 4 \pi r^2$
其中，$A$为球的表面积，$\pi$为圆周率(取3.)。
3. 示例
示例1
输入：
$r = 5$
输出：
球的体积 $V = \frac{4}{3} \pi \times 5^3$
球的表面积 $A = 4 \pi \times 5^2$
解释：
根据公式，代入半径$r=5$进行计算。
示例2
输入：
$r = 2$
输出：
球的体积 $V = \frac{4}{3} \pi \times 2^3$ 球的表面积 $A = 4 \pi \times 2^2$
解释：
根据公式，代入半径$r=2$进行计算。
4. 总结
本文档介绍了根据球的体积公式和表面积公式进行相关计算的方法。
通过使用给定的半径，可以计算出球的体积和表面积。
根据球体积的公式$V = \frac{4}{3} \pi r^3$，可以计算球的体积；根据球表面积的公式$A = 4 \pi r^2$，可以计算球的表面积。
希望本文档能帮助您理解和应用球的体积和表面积公式，在相关问题中提供指导。
821．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A.163π B.323π C ．16π D ．24π【解析】 设球的半径为R ，因为表面积是16π，所以4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以体积为43πR 3＝32π3. 【答案】 B2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 由三视图可知，该几何体为半径为r ＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S ＝πr 2＋12×4πr 2＝π×12＋12×4π×12＝3π.故选C. 【答案】 C3．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π【解析】 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C. 【答案】 C4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2 【解析】 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 【答案】 B5．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.（24＋2）π4＋1C.（23＋2）π4＋12D.（23＋2）π4＋1 【解析】 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝（23＋2）π4＋1，故选D. 【答案】 D6．甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶π【解析】 由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V 1＝43π，V 2＝13π×22×3＝4π，所以V 1∶V 2＝1∶3.故选B. 【答案】 B7．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB.3π4C.π2D.π4【解析】 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝ 12－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4. 故选B.【答案】 B8．(2017·襄阳调研)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖掉一个半球所得的几何体，其中半球的底面就是正四棱柱上底面的内切圆，正四棱柱的底面边长为4，高为2，半球所在球的半径为2.所以该几何体的表面由正四棱柱的表面与半球的表面积之和减去半球的底面构成，故其表面积为(4×4×2＋2×4×4)＋12×(4π×22)－π×22＝64＋4π. 【答案】 64＋4π9．(2018·乌鲁木齐二诊)已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________．【解析】 (图略)在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE .∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥C D.在Rt △AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102.同理BE ＝102.取AB 的中点为F ，连接EF .由AE ＝BE ，得EF ⊥A B.在Rt △EF A 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1.取EF 的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12.在Rt △OF A 中，OA ＝72.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π. 【答案】 7π10．(2018·贵州适应性考试)已知球O 的表面积是36π，A ，B 是球面上的两点，∠AOB ＝60°，C 是球面上的动点，则四面体OABC 体积V 的最大值为________．【解析】 设球的半径为R ，由4πR 2＝36π，得R ＝3.显然在四面体OABC 中，△OAB 的面积为定值，S △OAB ＝12×R ×32R ＝34R 2＝934.要使三棱锥的体积最大，只需球上的点到平面OAB 的距离最大，显然，到平面OAB 距离的最大值为球的半径，所以四面体OABC 的体积的最大值V ＝13×934×R ＝934. 【答案】 93411．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．【解析】 (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A. 取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 12.如图所示，在空间几何体ADE -BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，EF ＝4，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF 将几何体ADE -BCF 分成两部分，求空间几何体M -DEF 与空间几何体ADM -BCF 的体积之比．【解析】(1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF .理由如下：连接CE 交DF 于点N ，连接MN .因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点，所以MN ∥AC .又因为MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE -BCF 补成三棱柱ADE -B ′CF ，如图所示，三棱柱ADE -B ′CF 的体积为V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE -BCF 的体积V ADE BCF ＝V ADE B ′CF －V F BB ′C＝8－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2＝203. 因为三棱锥M -DEF 的体积V M DEF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×1＝43， 所以V ADM BCF ＝203－43＝163， 所以两几何体的体积之比为43∶163＝1∶4.。
