2014年高考文科数学试题(安徽卷)及参考详细答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014安徽,文1)设i是虚数单位,复数i3+2i1+i=().A.-iB.iC.-1D.1答案:D解析:原式=-i+2i(1-i)2=1.2.(2014安徽,文2)命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定．．是().A.∀x∈R,|x|+x2<0B.∀x∈R,|x|+x2≤0C.∃x0∈R,|x0|+x02<0D.∃x0∈R,|x0|+x02≥0答案:C解析:全称命题的否定是特称命题,否定结论,所以选C.3.(2014安徽,文3)抛物线y=14x2的准线方程是().A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案:A解析:抛物线x2=4y的准线方程为y=-1.4.(2014安徽,文4)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是().A.34B.55C.78D.89答案:B解析:由程序框图,知依次为:x=1,y=1,z=2;x=1,y=2,z=3;x=2,y=3,z=5;x=3,y=5,z=8;x=5,y=8,z=13;x=8,y=13,z=21;x=13,y=21,z=34;x=21,y=34,z=55 >50,故输出55.5.(2014安徽,文5)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则().A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b答案:B解析:∵log33<log37<log39,∴1<a<2;∵21.1>21,∴b>2;∵0<0.83.1<0.80,∴0<c<1,故c<a<b.6.(2014安徽,文6)过点P(-√3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是().A.(0,π6] B.(0,π3]C.[0,π6] D.[0,π3]答案:D解析:如图所示,直线l1,l2过点P分别与圆O相切于点A、点B.连接OP,OA,在Rt△OAP中,|OP|=2,|OA|=1,所以∠OPA=π6,同理∠OPB=π6.所以∠APB=π3.所以直线l 1的倾斜角为π3,显然直线l 2的倾斜角为0,所以直线l 的倾斜角的取值范围是[0,π3].故直线l 的倾斜角范围为[0,π3].7.(2014安徽,文7)若将函数f (x )=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是( ). A.π8B.π4C.3π8D.5π4答案:C解析:由题意得f (x )=√2sin (2x +π4),其图象向右平移φ个单位得f (x )=√2sin [2(x -φ)+π4]=√2sin (2x -2φ+π4)的图象,由其图象关于y 轴对称得-2φ+π4=k π+π2,k ∈Z ,∴φ=-kπ2−π8,k ∈Z ,令k=-1,得φ=3π8.8.(2014安徽,文8)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( ).A.233B.476C.6D.7答案:A解析:由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角所成的图形,如图所示,则V=V 正方体-2V 锥体=8-2×13×12×1×1×1=233.9.(2014安徽,文9)若函数f (x )=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( ) A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8 答案:D解析:令x+1=0,得x 1=-1;令2x+a=0,得x 2=-a2.①当-1>-a2,即a>2时,f (x )={-3x -a -1,x <-a 2,x +a -1,-a 2≤x ≤-1,3x +a +1,x >-1,其大致图象如图所示,则f min (x )=f (-a 2)=-a2+a-1=3,解得a=8.②当-1<-a2,即a<2时,f (x )={-3x -a -1,x <-1,-x +1-a ,-1≤x ≤-a2,3x +a +1,x >-a2,其大致图象如图所示,则f min (x )=f (-a 2)=-(-a2)+1-a=3,解得a=-4.③当-1=-a2,即a=2时,f (x )=3|x+1|≥0,不符合题意. 综上所述,a=-4或8.10.(2014安徽,文10)设a ,b 为非零向量,|b |=2|a |,两组向量x 1,x 2,x 3,x 4和y 1,y 2,y 3,y 4均由2个a 和2个b 排列而成,若x 1·y 1+x 2·y 2+x 3·y 3+x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2,则a 与b 的夹角为( ). A.2π3B.π3C.π6D.0答案:B解析:设a 与b 的夹角为θ.x 1·y 1+x 2·y 2+x 3·y 3+x 4·y 4有以下三种可能:①2a ·a+2b ·b=2|a|2+2|b|2=10|a|2;②4a ·b=4|a|·2|a|cos θ=8|a |2cos θ;③a ·a+2a ·b+b ·b=|a|2+2|a||b|cos θ+|b |2=5|a |2+4|a |2cos θ. 由此易知②最小,则8|a|2cos θ=4|a |2, 解得cos θ=12,∴θ=π3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.(2014安徽,文11)(1681)-34+log 354+log 345=.答案:278解析:原式=278+log 31=278.12.(2014安徽,文12)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2,过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;…,依此类推,设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,…,A 5A 6=a 7,则a 7= .答案:14解析:由题意知数列{a n }是以首项a 1=2,公比q=√22的等比数列,∴a 7=a 1·q 6=2×(√22)6=14.13.(2014安徽,文13)不等式组{x +y -2≥0,x +2y -4≤0,x +3y -2≥0表示的平面区域的面积为 .答案:4解析:画出x ,y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域△ABC ,易得B (2,0),C (0,2),D (4,0),由{x +3y -2=0,x +2y -4=0,解得A (8,-2),∴S △ABC =S △CBD +S △ABD =12×2×2+12×2×2=4.14.(2014安徽,文14)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )={x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则f (294)+f (416)= . 答案:516解析:由题意知原式=f (8-34)+f (8-76)=f (-34)+f (-76)=-f (34)-f (76)=-34×(1-34)-sin 76π=-316+12=516. 15.(2014安徽,文15)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件: (1)直线l 在点P (x 0,y 0)处与曲线C 相切;(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C. 下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①直线l :y=0在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=x 3②直线l :x=-1在点P (-1,0)处“切过”曲线C :y=(x+1)2 ③直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=sin x ④直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=tan x ⑤直线l :y=x-1在点P (1,0)处“切过”曲线C :y=ln x 答案:①③④解析:由题意结合函数的图象知,①③④满足条件,而②⑤中曲线在点P 附近都在切线的同一边,故不满足条件. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内. 16.(本小题满分12分)(2014安徽,文16)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b=3,c=1,△ABC 的面积为√2,求cos A 与a 的值.分析:分析给出的条件,因已知b 和c ,故先利用三角形面积公式S △ABC =12bc sin A 求出sin A 的值,再由平方关系式求出cos A 的值,由于A ∈(0,π),故cos A 的值有两种情况,通过分类讨论结合余弦定理求出相应的边a 的值. 解:由三角形面积公式,得12×3×1·sin A=√2,故sin A=2√23. 因为sin 2A+cos 2A=1,所以cos A=±√1-sin 2A =±√1-89=±13. ①当cos A=13时,由余弦定理得 a 2=b 2+c 2-2bc cos A=32+12-2×1×3×13=8, 所以a=2√2.②当cos A=-13时,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=32+12-2×1×3×(-13)=12,所以a=2√3.17.(本小题满分12分)(2014安徽,文17)某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4 500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).(1)应收集多少位女生的样本数据?(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附K2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )分析:在第(1)问中,由分层抽样的知识容易求出应收集女生的样本数据个数;在第(2)问中,观察给出的频率分布直方图,结合有关数据,求出相对应的小长方形的面积之和,即频率,再用频率估计概率;在第(3)问中,先通过已知条件分别求出每周平均体育运动时间不超过4小时与超过4小时的男生和女生人数,然后列出2×2列联表,其次求出K2的值,用这个值和所给表格中的k0进行比较,从而得出结论.解:(1)300×450015000=90,所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1-2×(0.100+0.025)=0.75,所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:结合列联表可算得K2=75×225×210×90=21≈4.762>3.841.所以,有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.18.(本小题满分12分)(2014安徽,文18)数列{a n}满足a1=1,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.(1)证明:数列{a nn}是等差数列;(2)设b n=3n·√a n,求数列{b n}的前n项和S n.分析:在第(1)问中,观察给出的递推关系式,结合待证的数列,找第n项与第n+1项的关系,利用等差数列的定义进行证明,直至得出a n+1n+1−a nn的差为定值;在第(2)问中,首先由(1)的结论得出数列{a n}的通项公式,进而得出数列{b n}的通项公式,因为数列{b n}是由一个等差数列与一个等比数列每一项对应相乘得到的数列,所以可用错位相减法求数列{b n}的前n项和S n,选对方法是解本题的关键,最后还要注意化简到最简形式.(1)证明:由已知可得a n+1n+1=a nn+1,即a n+1n+1−a nn=1.所以{a nn }是以a11=1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)得a nn=1+(n-1)·1=n,所以a n=n2.从而b n=n·3n.S n=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,①3S n=1·32+2·33+…+(n-1)·3n+n·3n+1.②①-②得,-2S n=31+32+…+3n-n·3n+1=3·(1-3n)1-3-n·3n+1=(1-2n)·3n+1-32,所以S n=(2n-1)·3n+1+34.19.(本小题满分13)(2014安徽,文19)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2√17.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.(1)证明:GH∥EF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.分析:在第(1)问中,通过BC∥平面GEFH这一条件,以此为切入点,即线面平行得线线平行,从而先证得BC∥GH,同理可证BC∥EF,最后得GH∥EF;在第(2)问中,要求四边形GEFH的面积,必须首先弄明白它是什么样的四边形.由(1)知GH∥EF,而EF=BC,GH≠BC,所以GH≠EF.所以四边形GEFH是梯形.要求梯形的面积,就既要知道GH与EF的长,又要知道梯形的高.设BD交EF于点K,连接GK,根据两条直线平行,若其中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面来说明GK是平面ABCD的垂线,从而GK⊥EF.(1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可证:EF ∥BC ,因此GH ∥EF.(2)解:连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK.因为PA=PC ,O 是AC 的中点, 所以PO ⊥AC ,同理可得PO ⊥BD. 又BD ∩AC=O ,且AC ,BD 都在底面内, 所以PO ⊥底面ABCD.又因为平面GEFH ⊥平面ABCD , 且PO ⊄平面GEFH , 所以PO ∥平面GEFH.因为平面PBD ∩平面GEFH=GK , 所以PO ∥GK ,且GK ⊥底面ABCD , 从而GK ⊥EF.所以GK 是梯形GEFH 的高. 由AB=8,EB=2,得EB ∶AB=KB ∶DB=1∶4, 从而KB=14DB=12OB ,即K 为OB 的中点. 再由PO ∥GK ,得GK=12PO ,即G 是PB 的中点, 且GH=12BC=4.由已知可得OB=4√2,PO=√PB 2-OB 2=√68-32=6, 所以GK=3.故四边形GEFH 的面积S=GH+EF 2·GK=4+82×3=18. 20.(本小题满分13分)(2014安徽,文20)设函数f (x )=1+(1+a )x-x 2-x 3,其中a>0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值.分析:在第(1)问中,通过利用导数判断函数单调性的方法,先求导,再令其等于0,求出导函数的零点,即为相应的极值点,结合导函数的开口方向从而得出导函数在相应区间的正负,从而得到原函数的单调区间.在第(2)问中,讨论极值点x 2在不在区间[0,1]内是问题的关键,要通过分类讨论,得出函数f (x )在[0,1]上的变化趋势,从而得出f (x )在[0,1]上的最值情况.若函数f (x )在[0,1]上有单调性,那么f (x )的最值就在区间的端点处取得.若f (x )在[0,1]上单调递增,那么f (x )在x=0处取得最小值,在x=1处取得最大值.若f (x )在[0,1]上单调递减,那么f (x )在x=0处取得最大值,在x=1处取得最小值.若函数f (x )在[0,1]上不单调,就要看能不能把区间[0,1]再细分成几部分,通过讨论函数f (x )在每一部分的单调性确定其在整个区间上的最值情况.特别要注意的是函数在区间端点处的函数值要比较大小,以确定哪一个才是最值. 解:(1)f (x )的定义域为(-∞,+∞),f'(x )=1+a-2x-3x 2.令f'(x )=0,得x 1=-1-√4+3a 3,x 2=-1+√4+3a3,显然x 1<x 2.所以f'(x )=-3(x-x 1)(x-x 2). 当x<x 1或x>x 2时,f'(x )<0;当x 1<x<x 2时,f'(x )>0.故f (x )在(-∞,x 1)和(x 2,+∞)内单调递减,在(x 1,x 2)内单调递增. (2)因为a>0,所以x 1<0,x 2>0.①当a ≥4时,x 2≥1,由(1)知,f (x )在[0,1]上单调递增, 所以f (x )在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值. ②当0<a<4时,x 2<1.由(1)知,f (x )在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减, 因此f (x )在x=x 2=-1+√4+3a3处取得最大值. 又f (0)=1,f (1)=a ,所以当0<a<1时,f (x )在x=1处取得最小值; 当a=1时,f (x )在x=0和x=1处同时取得最小值; 当1<a<4时,f (x )在x=0处取得最小值.21.(本小题满分13分)(2014安徽,文21)设F1,F2分别是椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.(1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|;(2)若cos∠AF2B=35,求椭圆E的离心率.分析:在第(1)问中,先由条件|AF1|=3|F1B|,|AB|=4分别求出|AF1|与|F1B|的值,再由椭圆定义,即|AF1|+|AF2|=2a得出|AF2|的值;在第(2)问中,先设|F1B|=k,由椭圆定义知|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k,然后在△ABF2中,由余弦定理得出a与k的关系式,化简得出a=3k,进而得出|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,则得出|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,即F1A⊥F2A,从而得出△AF1F2为等腰直角三角形,从而求出离心率.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1.因为△ABF2的周长为16,所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8.故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.(2)设|F1B|=k,则k>0,且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.在△ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B,即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)·(2a-k),化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k.于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A,故△AF1F2为等腰直角三角形.从而c=√22a,所以椭圆E的离心率e=ca=√22.。

2014·安徽卷(文科数学)1． [2014·安徽卷] 设i 是虚数单位，复数i 3＋2i1＋i ＝( )A ．－iB ．iC ．－1D ．11．D [解析]i 3＋2i1＋i＝－i ＋2i （1－i ）2＝1.2． [2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析]易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 3． [2014·安徽卷] 抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．A [解析]因为抛物线y ＝14x 2的标准方程为x 2＝4y ，所以其准线方程为y ＝－1.4． [2014·安徽卷] 如图1-1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1-1A ．34B ．55C ．78D ．894．B [解析]由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下： 第一次循环，x ＝1，y ＝1，z ＝2； 第二次循环，x ＝1，y ＝2，z ＝3； 第三次循环，x ＝2，y ＝3，z ＝5； 第四次循环，x ＝3，y ＝5，z ＝8； 第五次循环，x ＝5，y ＝8，z ＝13； 第六次循环，x ＝8，y ＝13，z ＝21； 第七次循环，x ＝13，y ＝21，z ＝34；第八次循环，x ＝21，y ＝34，z ＝55，不满足条件，跳出循环． 5． [2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b5．B [解析]因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b .6． [2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎝⎛⎦⎤0，π3C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π36．D [解析]易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，即k 2－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.7． [2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析]方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.8． [2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )图1-2A.233B.476C ．6D ．7 8．A [解析]如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V ＝8－2×13×12×1×1×1＝233.9． [2014·安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或8 9．D [解析]当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.10． [2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6D ．0 10．B [解析]令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4a·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.11． [2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.11.278 [解析]原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 12． [2014·安徽卷] 如图1-3，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；….依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．图1-312.14 [解析]在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，由题易知A 1A 2＝a 3＝12AB ＝1，…，A 6A 7＝a 7＝⎝⎛⎭⎫123·AB ＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.13． [2014·安徽卷] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．13．4 [解析]不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S △ABD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×2×(2＋2)＝4.14． [2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______．14.516 [解析]由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 15． [2014·安徽卷] 若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(i)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧．则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①直线l ：y ＝0在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3；②直线l ：x ＝－1在点P (－1，0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2； ③直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x ； ④直线l ：y ＝x 在点P (0，0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ； ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1，0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x .15．①③④ [解析]对于①，因为y ′＝3x 2，y ′x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0，0)处的切线，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为y ′＝2(x ＋1)，y ′x ＝－1＝0，所以l ：x ＝－1不是曲线C ：y ＝(x ＋1)2在点P (－1，0)处的切线，②错误；对于③，y ′＝cos x ，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，③正确；对于④，y ′＝1cos 2x，y ′x ＝0＝1，所以曲线C 在点P (0，0)处的切线为l ：y ＝x ，画图可知曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，y ′＝1x ，y ′x ＝1＝1，所以曲线C 在点P (1，0)处切线为l ：y ＝x －1，又由h (x )＝x－1－ln x (x >0)可得h ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以h min (x )＝h (1)＝0，故x －1≥ln x ，所以曲线C在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误．16． [2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解：由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝223. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.17． [2014·安徽卷] 某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．(1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1-4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．图1-4(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）17．解： (1)300×450015000＝90，所以应收集90位女生的样本数据．(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：结合列联表可算得K 2＝300×（165×30－45×60）75×225×210×90＝10021≈4.762>3.841.所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．18． [2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n .S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n ）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.19． [2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．19．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在平面ABCD 内，所以PO ⊥平面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面ABCD ，所以GK ⊥EF ， 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 是OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，所以G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3，故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18.20． [2014·安徽卷] 设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0，1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．20．解： (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，且x 1<x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－4＋3a 3和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋4＋3a 3，＋∞内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1－4＋3a 3，－1＋4＋3a 3内单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0，①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．21． [2014·安徽卷] 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．21．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8. 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得 |AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )· (2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k ， 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A . 故△AF 1F 2为等腰直角三角形， 从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D 【解析】32ii i i(1i)11i+=-+-=+ 【提示】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得结果. 【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】C【解析】命题的否定是否定结论，同时把量词做对应改变，所以选C. 【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【考点】命题的否定 3.【答案】A 【解析】214y x =的标准方程为24x y =，所以选择A . 【提示】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及24p =，再直接代入即可求出其准线方程. 【考点】抛物线的简单性质 4.【答案】B【解析】执行程序框图易得1x =，1y =，2z =；1x =，2y =，3z =；2x =，3y =，5z =；L L ，当21x =，34y =，55z =跳出循环.【提示】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z 的值. 【考点】程序框图，程序框图的三种基本逻辑结构的应用 5.【答案】B【解析】因为32log 71a >=>， 1.122b =>， 3.10.81c =<，所以c a b <<. 【提示】分别讨论a b c ，，的取值范围，即可比较大小. 【考点】对数值大小的比较 6.【答案】D【解析】设直线l 的倾斜角为θ，数形结合可知min max ππ0263θθ==⨯=，. 【提示】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得1≤，由此求得斜率k 的范围，可得倾斜角的范围.【考点】直线与圆的位置关系 7.【答案】C【解析】π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移ϕ个单位后，所得图像为π224y x ϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又因为偶函数，所以π3π28k ϕ=+，所以选C .【提示】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y 轴对称，根据对称轴方程求出ϕ的最小值.【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 8.【答案】A【解析】该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别截取一个小三棱锥所得到的，所以其体积为112382323V =-⨯⨯=.【提示】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积. 【考点】由三视图求面积、体积 9.【答案】D【解析】依几何性质得，当2ax =-时，()f x 取得最小值，13222a a a x f ⎛⎫=--=-+= ⎪⎝⎭，解得4a =-或8.故选D.【提示】分类讨论，利用()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，建立方程，即可求出实数a 的值. 【考点】带绝对值的函数，函数最值的应用 10.【答案】B【解析】设11223344+++g g g g x y x y x y x y ，若S 的表达式中有0个ga b ，则2222S =+a b ，记为1S ；若S 的表达式中有2个ga b ，则2S =22a +b +ab ，记为2S ；若S 的表达式中有4个g a b ，则4S =g a b ，记为3S ，所以22132240S S -=+->a b ab .同理，12230,0S S S S ->->，所以22min 48||cos 4||S ===θab a a ，即1cos 2θ=，所以选B.【提示】两组向量1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y ，均由2个a 和2个b 排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论.【考点】数量积表示两个向量的夹角第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】278 【解析】原式=344325427log 3458-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】直接利用分数指数幂的运算法则，对数的运算法则求解即可. 【考点】对数的运算性质 12.【答案】14【解析】直接递推归纳，等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以，12AB BC a ===，12AA a ==，1231A A a ==，⋅⋅⋅，65671124A A a a ⎛==⨯=⎝⎭【提示】根据条件确定数列{}n a 是等比数列，即可得到结论. 【考点】归纳推理 13.【答案】4【解析】作出不等式组所表示的平面区域，易得()122242ABC S =⨯⨯+=△ 【提示】由不等式组作出平面区域为三角形ABC 及其内部，联立方程组求出B 的坐标，由两点间的距离公式求出BC 的长度，由点到直线的距离公式求出A 到BC 边所在直线的距离，代入三角形面积公式得到答案. 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 14.【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以2941373π52424sin 464616616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可. 【考点】函数的值 15.【答案】①③④.【解析】对于①，203|=0x y x y =''=，，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，所以正确.对于②，因为1|=0x y =-'，所以不是曲线2:(1)C y x =+在点(1,0)P -处的切线，所以②错误.对于③④与①同理，易得正确.对于⑤，1y x'=，11x y ='=，所以曲线C 在点(1,0)P 处切线为:l y x =，又由()1ln (0)h x x x x =-->可得11()1x h x x x-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，故1ln x x -≥，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误.【提示】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足曲线方程，则正确的选项可求. 【考点】命题的真假判断与应用，曲线与方程 三、解答题16.【答案】由三角形面积公式，得131sin 2A ⨯⨯g，故sin A =. ∵22sin cos 1A A +=，∴1cos 3A ===±. 当1cos 3A =时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，∴a =.当1cos 3A =-时，根据解三角形中的余弦定理容易写出以下式子，2222212cos 31213123a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴a =【提示】利用三角形的面积公式，求出sin A =cos A ，利用余弦定理求出a 的值. 【考点】余弦定理的应用 17.【答案】（Ⅰ）45003009015000⨯=， ∴应收集90位女生的样本数据.（Ⅱ）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，结合联表可算得2300(2250)100 4.762 3.841752252109021K ⨯==≈>⨯⨯⨯.∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【提示】（Ⅰ）根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据； （Ⅱ）由频率分布直方图可得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）写出44⨯列联表，求出2K ，与临界值比较，即可得出结论. 【考点】独立性检验，频率分布直方图 18.【答案】（Ⅰ）由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+. ∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首相，1为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）得1(1)1na n n n=+-=g ，∴2n a n =.从而3n n b n =g. 1231323333n n S n =++++g g g L g ，① 23131323(1)33n n n S n n +=+++-+g g L g g .②①－②得：112113(13)(12)33233333132n n nn n n n S n n +++----=+++-=-=-g g L g g . ∴1(21)334n n n S +-+=g . 【提示】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得111n na a n n+=++，由等差数列的定义得证. （Ⅱ）由（Ⅰ）求出3n n b n =g，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S . 【考点】数列的求和，等比关系的确定19.【答案】（Ⅰ）∵BC GEFH BC PBC ⊂∥平面，平面，且平面PBC GEFH GH =I 平面， ∴GH BC ∥.同理可证EF BC ∥. 因此GH EF ∥.（Ⅱ）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . ∵PA PC =，O 是AC 的中点， ∴PO AC ⊥，同理可得PO BD ⊥.又BD AC O =I ，且AC BD ，都在底面内，∴PO ⊥底面ABCD .又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ， ∴PO ∥平面GEFH .∵平面PBD I 平面GEFH GK =，∴PO GK ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK EF ⊥.∴GK 是梯形GEFH 的高.由82AB EB ==，得::1:4AB EB KB DB ==，∴1142KB DB OB ==，即K 为OB 的中点.再由PO GK ∥得12GK PO =， 即G 是PB 的中点，且142GH BC ==，由已知可得6OB PO ====， ∴3GK =.故四边形GEFH 的面积4831822GH EF S GK ++==⨯=g . 【提示】（Ⅰ）证明GH EF ∥，只需证明EF PBC ∥平面，只需证明EF BC ∥，利用BC GEFH ∥平面即可； （Ⅱ）求出四边形GEFH 的上底、下底及高，即可求出面积. 【考点】直线与平面垂直的性质，棱柱、棱锥、棱台的体积20.【答案】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()123f x a x x '=+--.令()0f x '=，得1212x x x x =<. ∴12()3()()f x x x x x '=---.当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.∴()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递减，在1x ⎛= ⎝⎭内单调递增.（Ⅱ）∵0a >，∴1200x x <>，.当4a ≥时，21x ≥.由（Ⅰ）知，()f x 在[0,1]上单调递增.∴()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.当04a <<时，21x <.由（Ⅰ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减.∴()f x 在2x x ==.又(0)1f =，(1)f a =，∴当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =处和1x =处同时取得最小值；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值. 【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0,1]时的单调性，得出取最值时的x 的取值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调 21.【答案】（Ⅰ）由11||3||AF F B =，||4AB =得：1||3AF =，1||1F B =，∵三角形的周长为16，∴由椭圆定义可得：21||2||835AF a AF =-=-=（Ⅱ）设1||F B k =，则0k >且1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k =-，2||2BF a k =-.2ABF △中，由余弦定理可得22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-∠g ，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+----g，()(3)0a k a k +-=，0a k +>，故3a k =..于是有21||3||AF k AF ==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB =+，12F A F A ⊥，故12AF F △为等腰直角三角形.从而2c =，∴椭圆E 的离心率2c e a ==.【提示】（Ⅰ）利用||4AB =，2ABF △周长为16，11||3||AF F B =，结合椭圆的定义，即可求2||AF ； （Ⅱ）设1||F B k =，0k >，则1||3AF k =，||4AB k =，由23cos 5AF B ∠=，利用余弦定理，可得3a k =，从而12AF F △是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率. 【考点】椭圆的简单性质，三角形的面积公式。

2014 年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共本大题 10 小题，每题5 分，共 50 分）1．（5 分）（2014?安徽）设 i 是虚数单位，复数 i 3+ （）=A ．﹣ iB ．iC ．﹣ 1D ．12．（5 分）（2014?安徽）命题 “? x ∈ R ，| x|+ x 2≥ 0”的否认是（）A ．? x ∈R ，| x|+ x 2＜0B ．? x ∈ R ， | x|+ x 2≤0C ．? x 0∈ R ， | x 0|+ x 02＜0D ．? x 0 ∈R ，| x 0|+ x 02≥03．（5 分）（2014?安徽）抛物线 y= x 2 的准线方程是（）A ．y=﹣ 1B ．y=﹣2C ．x=﹣1D ．x=﹣24．（ 5 分）（2014?安徽）如下图，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）A ．34B ．55C ．78D ．895 ．（ 5 分）（ 2014? 安徽）设 3.3， c=0.81.1，则（）a=log 37，b=2A ．b ＜a ＜cB ．c ＜ a ＜ bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜ c ＜b6．（ 5分）（ 安徽）过点 （﹣ ，﹣ ）的直线 2+y 2 =1有公共点，2014?P 1 l 与圆 x则直线 l 的倾斜角的取值范围是（ ）．（，]B ．（0， ]C ．[ 0， ]D ．[ 0， ]A 07．（ 5 分）（ 2014?安徽）若将函数 f（ x）=sin2x+cos2x 的象向右平移φ个位，所得象对于 y 称，φ的最小正是（）A．B．C．D．8．（5 分）（2014?安徽）一个多面体的三如所示，多面体的体（）A．B．C．6D．79．（5 分）（2014?安徽）若函数 f（x）=| x+1|+| 2x+a| 的最小 3，数 a 的（）A．5或 8B．1 或 5C． 1 或4D．4 或 810．（5分）（安徽），非零向量， | | =2|| ，两向量，，，2014?和，，，，均由 2个和 2个摆列而成，若?+ ? +?+ ?全部可能取中的最小 4|| 2，与的角（）A．B．C．D．0二、填空（本大共 5 小，每小 5 分，共 25 分）．（分）（安徽）（）+log3 +log3=．11 52014?12．（ 5 分）（ 2014?安徽）如，在等腰直角三角形ABC中，斜 BC=2，点A 作BC的垂，垂足1，点A1作 AC 的垂，垂足 A2，点 A2作 A1A C的垂，垂足A3⋯，依此推，BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，⋯，A5A6=a7，则 a7=．13 ．（ 5 分）（ 2014?安徽）不等式组表示的平面地区的面积为．14．（ 5 分）（2014?安徽）若函数f（x）（x∈ R）是周期为 4 的奇函数，且在 [ 0，2]上的分析式为（），，则 f（）+f（）=．f x =，＜15．（ 5 分）（2014?安徽）若直线 l 与曲线 C 知足以下两个条件：（ i）直线 l 在点 P（ x0，y0）处与曲线 C 相切；（ii ）曲线 C 在点 P 邻近位于直线 l 的双侧，则称直线l 在点 P 处“切过”曲线 C．以下命题正确的选项是（写出全部正确命题的编）．①直线 l：y=0 在点 P（0，0）处“切过”曲线 C：y=x3②直线 l：x=﹣ 1 在点 P（﹣ 1，0）处“切过”曲线 C：y=（x+1）2③直线 l：y=x 在点 P（0，0）处“切过”曲线 C：y=sinx④直线 l：y=x 在点 P（0，0）处“切过”曲线 C：y=tanx⑤直线 l：y=x﹣1 在点 P（1，0）处“切过”曲线 C：y=lnx．三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）16．（12 分）（2014?安徽）设△ ABC的内角 A，B，C 所对边的长分别为a，b，c，且 b=3，c=1，△ ABC的面积为，求cosA与a的值．17．（ 12 分）（2014?安徽）某高校共有学生15000 人，此中男生 10500 人，女生4500 人．为检查该校学生每周均匀体育运动时间的状况，采纳分层抽样的方法，采集 300 位学生每周均匀体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应采集多少位女生的样本数据？（2）依据这 300 个样本数据，获得学生每周均匀体育运动时间的频次散布直方图（如下图），此中样本数据的分组区间为：[ 0，2] ，（2，4] ，（ 4，6] ，（ 6，8] ，（8，10] ，（10，12] ．预计该校学生每周均匀体育运动时间超出 4 小时的概率．（ 3）在样本数据中，有 60 位女生的每周均匀体育运动时间超出 4 小时，请达成每周均匀体育运动时间与性别列联表，并判断能否有95%的掌握以为“该校学生的每周均匀体育运动时间与性别相关”．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879附： K2=．18．（ 12 分）（2014?安徽）数列 { a n} 知足 a1=1，na n+1=（ n+1）a n+n（ n+1）， n∈N*．（Ⅰ）证明：数列 {} 是等差数列；（Ⅱ）设 b n=3n?，求数列{ b n}的前n项和S n．19．（ 13 分）（ 2014?安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 ，点 G， E， F，H 分别是棱 PB，AB， CD， PC上共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH．（Ⅰ）证明： GH∥EF；（Ⅱ）若 EB=2，求四边形 GEFH的面积．20．（ 13 分）（ 2014?安徽）设函数 f（ x） =1+（1+a）x﹣x2﹣x3，此中 a＞ 0．（Ⅰ）议论 f （x）在其定义域上的单一性；（Ⅱ）当 x∈ [ 0，1] 时，求 f（ x）获得最大值和最小值时的x 的值．21．（ 13 分）（ 2014?安徽）设F1，F2分别是椭圆E：+ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点， | AF1 | =3| F1B| ．（Ⅰ）若 | AB| =4，△ ABF2的周长为 16，求 | AF2| ；（Ⅱ）若 cos∠AF2B= ，求椭圆 E 的离心率．。