辽宁省大连市第二十高级中学2015届高三上期中考试数学(理)试题及答案

辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.下列所给点中，在方程0122=++-y xy x 表示的曲线上的是（A ）)0,0( (B) )1,1(- (C) )2,1(- (D))1,1(2. 椭圆22936x y +=的短轴长为（A ）2(B) 4 (C)6 (D) 12 3. 双曲线122=-y x 的离心率为（A ）2 (B) 2 (C)22 (D) 44. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（A ）13 (C) 12 5. “点P 到两条坐标轴距离相等”是“点P 的轨迹方程为||x y =”的（A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件（C ）充要条件 (D) 不充分不必要条件6．平面内，到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（A ）椭圆 (B) 线段 (C) 双曲线 (D) 两条射线7. 若椭圆1322=+m y x 的离心率为12,则m = （A ） 49 (B)4 (C) 49或4 (D) 23 8．焦点为()3,0±，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（A ）16322=-y x （B ）16322=-x y（C ）13622=-x y （D ）13622=-y x 9.已知椭圆171622=+y x 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（A ） 47 (B)37 (C) 47或37 (D) 67 10.已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以点1F 为直角顶点作等腰直角三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（A ）215+ （B ）15- （C ）15+ (D)25 11. 已知命题:p 椭圆离心率越大，椭圆越扁；命题:q 双曲线221916x y -=上一点P 到左焦点距离为7，则P 到右焦点距离为1或13. 则下列命题中为真命题的是(A) ()p q ⌝∨ （B ）p q ∧ (C) ()()p q ⌝∧⌝ (D) ()()p q ⌝∨⌝12.已知圆25)1(:,1)1(:222221=+-=++y x C y x C ，动圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切，则圆C 的圆心的轨迹方程为 (A ）12322=+y x (B) 14922=+y x (C)15922=+y x (D)18922=+y x 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 椭圆13222=+y x 的焦点坐标为 ．14. 命题“如果一个双曲线的离心率为2，则它的渐近线互相垂直”的否命题为________ .15. 对于任意实数λ，曲线22(1)(1)(64)1660x y x λλλλ++++---=恒过定点 .16. 曲线C 是平面内与两个定点)0,1(1-F 和)0,1(2F 的距离的积等于常数)1(>a a 的点的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C 关于坐标轴对称；②曲线C 上的点都在椭圆1122=-+a y a x 外； ③曲线C 上点的横坐标的最大值为1+a ；④若点P 在曲线C 上（不在x 轴上），则21F PF ∆的面积不大于a 21.其中，所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)已知命题:p “方程221222+=-+-m m y m x 表示的曲线是椭圆”，命题:q “方程123122+=-+-m m y m x 表示的曲线是双曲线”.且q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数m 的取值范围.18.(本小题满分12分)(Ⅰ)已知某椭圆的左右焦点分别为)0,1(),0,1(21F F -，且经过点)414,21(P ，求该椭圆的标准方程以及离心率； (Ⅱ)某圆锥曲线以坐标轴为对称轴，中心为坐标原点，且过点)46,23(),3,2(-，求该曲线的标准方程、焦点以及离心率；19．(本小题满分12分) 已知椭圆:C )0(13422≠=+y y x ，其左右焦点分别为21,F F .对于命题:p “∀点C P ∈，221π<∠PF F ”.写出p ⌝，判断p ⌝的真假，并说明理由.20. (本小题满分12分)试推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：)0(12222>>=+b a bx a y . 21. (本小题满分12分)已知动点P 在双曲线122=-y x 上，定点)0)(0,(>m m A ，求||PA 的最小值以及取最小值时P 点的横坐标.22. (本小题满分12分) 已知圆16)3(:221=++y x F ，圆心为1F ，定点)0,3(2F ，P 为圆1F 上一点，线段2PF 的垂直平分线与直线1PF 交于点Q ．(Ⅰ)求点Q 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点)2,0(的直线l 与曲线C 交于不同的两点A 和B ，且满足 90<∠AOB （O 为坐标原点），求弦AB 长的取值范围．高考一轮复习：。

辽宁省大连市第二十高级中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题考试时间：120分钟 试题分数：150分参考公式：球表面积公式24S R π=，其中R 为球的半径． 圆柱的体积公式V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．第Ⅰ卷一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合}021|{≤-+=x x x M ，()2{|log 12}N x x =+<，则M N =（ ）A ．(]1,2-B ．)2,1[-C ．)2,1(-D ．]2,1[-2.复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A.15B.15iC.15i -D.15-3.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.，则22a x dx -⎰的值为（ ）A.3B.73 C. 3或73 D. 35.已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（ ）A.51- B.57C.57-D. 436.已知,0,0>>b a 函数ab x b a ab x x f +--+=)4()(2是偶函数，则)(x f 的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为（ ）A.16B.8C.4D.7．已知等差数列{}n a 的公差0,d <若462824,10,a a a a ⋅=+=则该数列的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．50B ．40C ．45D ．358.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）A ．274π B ．16π C ．9π D ．814π9.在等比数列{}n a 中，7a 是89,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：ABO ∆（O 为原点）中，()()1,1,2,OA OB q ==，A ∠为锐角，则公比q 等于（ ）A.1B. 1-C. 2-D. 1或2-10.设x y 、满足约束条件360200x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩、，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则46a b +的最小值为（ ）A ．256B ．253 C ．504 D ．503 11．已知函数())0(212<-+=x e x x f x与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A. )1,(e -∞ B. ),(e -∞ C. ),1(e e - D. )1,(ee - 12.已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中正确的个数是（ ） ①()f x 既是奇函数,又是周期函数 ②()y f x =的图像关于直线2x π=对称③()f x④()y f x =在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 A.1B.2C.3D. 4第Ⅱ卷二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.在ABC ∆中，若cos cos a A b B =,则ABC ∆是 三角形.14．ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则的值是_________.15.某几何体三视图如图所示（正方形边长为2），则该几何体的体积为 .16．已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间()0,2内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等式()()111f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为 .三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 已知向量33cos,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11cos ,sin 22b x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a b +的取值范围；（2）求函数()f x a b a b =∙-+的最小值，并求此时x 的值.18. （本小题满分12分）设函数22()cos(2)2cos .3f x x x π=++ （1）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合； （2）已知ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为.,,c b a 若3(),42f B C b c +=+=，求a 的最小值.19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目 的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右面是根 据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率 分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟 的观众称为“体育迷”.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()2112212212-=n n n n n n n n n χ，20．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且12n n na S += (n ∈*N )，数列{}n b 满足112b =，214b =，对任意n ∈*N ，都有212n n n b b b ++=∙．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）令1122n n n T a b a b a b =++，若对任意的*n ∈N ，不等式()223n n n n nT b S n b λλ+>+恒成立，试求实数λ的取值范围．21.（本题满分12分）已知函数21()ln (1)2f x a x x a x =+-+(0)x >，其中a 为实数 （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n +++>++++,对于任意的正整数,m n 成立.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. (几何证明选讲) （本小题满分10分）如图，⊙O 内切于△ABC 的边于D ，E ，F ，AB =AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线HF 交BC 的延长线于点G .（1）求证：圆心O 在直线AD 上； （2）求证：点C 是线段GD 的中点.23.（极坐标与参数方程选讲）（本小题满分10分）在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为)4π,直线的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上.(1)求a 的值及直线的直角坐标方程;(2)圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.24.（不等式选讲）（本小题满分10分） 设函数1()1|3|2f x x x =-+- （1）求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式()f x ≤1()2a x +的解集非空，求实数a 的取值范围.2014-2015学年度上学期期中考试高三数学试卷答案（理）一、选择题1-5 CABBA 6-10ACDCD 11-12 BD 二、填空题13. 等腰或直角 14. 3 15. 8π- 16. 28a ≥ 三、解答题 17.解：（1）∵3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ 12cos 1≤≤-x ； x b a 2cos 22||+=+∴02a b ≤+≤（2）∵3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴ 0cos 1≤≤-x ； x x b a b a x f 2cos 222cos ||)(+-=+-⋅=1cos 2cos 2cos 41cos 2222-+=--=x x x x∴ 当1cos 2x =-，即23x π=或43x π=时，()f x a b a b =∙-+取最小值32- 18. 解：（1）)2cos 1()34sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-=πππ1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x 要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ （2）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA ()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π由4b c +=知242b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，即24a ≥，当2b c ==时，a 取最小值1925人，从而22⨯列联表如下：将()()221122122121+2++1+2-1003010-4515100=== 3.0307525455533n n n n n n n n n χ⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意13,3X B ⎛⎫⎪，从而X 的分布列为 ()13==3=44E X np ⨯，()()139=1-=3=4416D X np p ⨯⨯.20. 解答（1）∵12n n na S +=，∴1(1)2n n n a S --= (2n ≥)，两式相减得，1(1)2n n n na n a a +--=，∴1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=(2n ≥)，又因为11a =，22a =，从而21221a a ==∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⨯⨯=-(2n ≥)， 故数列{}n a 的通项公式n a n =(n ∈*N )．在数列{}n b 中，由212n n n b b b ++=⋅，知数列{}n b 是等比数列，首项、公比均为12， ∴数列{}n b 的通项公式12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）∴2111112()(1)()()2222n n n T n n -=+⋅++-⋅+⋅ ①∴23111111()2()(1)()()22222n n n T n n +=+⋅++-+ ② 由①-②，得231111111()()()]()222222n n n T n +=++++-⋅1212n n ++=-，∴222n n n T +=-，不等式22(3)n n n n nT b S n b λλ+<+即为2(1)3(2)2()222n nn n n n n n λλ++-+>+， 即2(1)(12)60n n λλ-+-->（*n ∈N ）恒成立．方法一、设2()(1)(12)6f n n n λλ=-+--（*n ∈N ），当1λ=时，()60f n n =--<恒成立，则1λ=不满足条件； 当1λ>时，由二次函数性质知不恒成立；当1λ<时，(1)340f λ=-->恒成立，则43λ<-满足条件．综上所述，实数λ的取值范围是4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．方法二、也即2262n n n nλ+-<+（*n ∈N ）恒成立，令226()2n n f n n n +-=+．则22611()1112422(6)1066n f n n n n n n n n +=-=-=-++++-++， 由67n +≥，24(6)106n n ++-+单调递增且大于0，∴()f n 单调递增∴()4()13f n f ≥=-∴实数λ的取值范围是4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．21. 解：解析(1)因为2'(1)()(1)()(1)(0)a x a x a x a x f x x a x x x x-++--=+-+==> ①当0a ≤时，令'()0f x >得1x >；'()0f x <得01x <<此时，函数()f x 的增区间是()1.+∞，减区间是()0,1 ②当01a <<时，令'()0f x >得1x >或0x a <<；'()0f x <得1a x <<此时，函数()f x 的增区间是()1,+∞和()0,a ，减区间是(),1a ③当1a =时，'()0f x ≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，此时，函数()f x 的增区间是()0,+∞，无减区间 ④当1a >时，令'()0f x >得x a >或01x <<；'()0f x <得1x a <<此时，函数()f x 的增区间是(),a +∞和()0,1，减区间是()1,a （4分）（3）当12a =-时，2111()ln 0222f x x x x =-+-≥（当且仅当1x =时等号成立）则2ln x x x ≤-，当1x >时，此不等式可以变形为21111ln 1x x x x x>=---， 分别令1,2,3,,x m m m m n =++++，则1111ln(1)ln(2)ln(3)ln()m m m m n ++++++++111111()()()1121m m m m m n m n >-+-++-++++-+11()nm m n m m n =-=++所以111ln(1)ln(2)ln()()nm m m n m m n +++>++++ . 22．证明： （1）,AB AC AF AE ==CF BE ∴=,CF CD BD BE ==又CD BD ∴=,ABC ∆又是等腰三角形AD CAB ∴∠是的角分线∴圆心O 在直线AD 上。

辽宁省大连市第二十高级中学14—15学年上学期高一期中考试数学试题一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{1,3,5}S =，{3,6}T =，则()U ST ð等于（A ）Φ (B){2,4,7,8} (C){1,3,5,6} (D){2,4,6,8}2.下列四个集合中，是空集的为（A ）}33|{=+x x (B)},,|),{(22R y x x y y x ∈-= (C)}0|{2≤x x(D) }01|{2=+-x x x3. 函数2()lg(1)f x x =+的定义域为（A ） (1,1)- (B)(1,)-+∞ (C)(1,)+∞ (D) (,1)-∞4. 已知集合{|12},{|},A x x B x x a =-≤≤=≤若≠B A Φ，则实数a 的取值范围为 （A ） {|2}a a < (B){|1}a a ≥- (C){|1}a a >-(D) {|12}a a -≤<5. 已知 5.10.90.90.9, 5.1,log 5.1m n p ===,则三个数,,m n p 的大小关系是 （A ） m n p << (B)m p n << (C)p m n << (D) p n m <<6. 下列函数中，在区间)20(，上为增函数的是 （A ）xy -=2 (B)x x y 42-= (C)32y x =(D) x y 2log -=7．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（A ） 54 (B)45 (C)43 (D)348．下面四个结论中，正确的个数是①奇函数的图象关于原点对称； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④偶函数的图象一定与y 轴相交 （A ） 1(B)2 (C) 3 (D)49. 下列函数中，值域是)0(∞+，的函数是（A ） 1()51x y x R -=∈+(B) 0)y x =≤(C)0)y x =≤ (D) 11()()3xy x R -=∈10. 设()f x 是定义在R 上的任意函数，下列叙述正确的是 （A ） ()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数(C)()()f x f x +-是偶函数 (D)()()f x f x --是偶函数11. 已知y x y x lg lg )2lg(2+=-，则yx的值为（A ） 4 (B)1 (C) 1或4 (D)41或412.设0,1a a >≠，函数()2log a f x ax x =-在[]3,4上是增函数，则实数a 的取值范围是（A ）1a >(B)1184a ≤≤或1a > (C) 1164a ≤<或1a > (D)1154a ≤≤或1a >卷Ⅱ二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知全集}5,3,2{=U ，{|5|2}{5}U A a C A =-=，，，则实数a = .14. 函数)(222R x y xx ∈=-的值域为 .15. 已知)(x f 为奇函数，且0>x 时，)1()(3x x x f +=，则=-)8(f .16. 已知b a ,为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= .三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)分别在四个坐标系中画出幂函数123233,,,y x y x y x y x -====的草图.18.(本小题满分12分)设}019|{22=-+-=a ax x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}082|{2=-+=x x x C（Ⅰ）若ΦB A ，且C A =Φ，求实数a 的值；（Ⅱ）B A =C A ≠Φ，求a 的值.19．(本小题满分12分)某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？20. (本小题满分12分) 已知函数)0(1)(≠-=x xx x f （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数)(x f 在），（∞+0为单调增函数；（Ⅲ）求满足()0f x >的x 的取值范围.21. (本小题满分12分)不等式23422-+≤x xx 的解集为M ，求函数)(16log )2(log )(22M x xx x f ∈=的值域.22. (本小题满分12分)已知函数()mf x x x=+有如下性质：如果常数0>m ，那么该函数在],0(m 上是减函数，在),[+∞m 上是增函数。

2015-2016学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}2．若复数z满足i（z﹣3）=﹣1+3i（其中i是虚数单位），则z的实部为（）A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣63．命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0 C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜04．已知，则sin2x的值为（）A．B．C．D．5．在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7﹣a8的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10 6．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的表面积为（）A．144 B．124 C．104 D．847．函数y=sinxcosx+cos2x﹣的图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．8．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）9．若对于任意的x∈[﹣1，0]，关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立，则a2+b2﹣1的最小值为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，若3cos2+5cos2=4，则tanC的最大值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣211．已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题：①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∩b=P，则a∩c=P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c．其中正确命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（m•n）的最小值为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足，则数列{a n}的公差是．15．已知函数f（x）=|x2﹣2|，若f（a）=f（b），且0＜a＜b，则ab的取值范围是．16．已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是．三．解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如下所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．18．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角D﹣BM﹣P的余弦值．20．在数列{b n}中，b1=2，b n+1=（n∈N*），求b2，b3，试判定b n与的大小，并加以证明．21．已知：函数f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数．（1）求实数m的取值的集合A；（2）当m取集合A中的最小值时，定义数列{a n}：满足a1=3，且a n＞0，，求数列{a n}的通项公式（3）若b n=na n数列{b n}的前n项和为S n，求证：．22．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当b＜时，求函数f（x）的极值点（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．2015-2016学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．2．若复数z满足i（z﹣3）=﹣1+3i（其中i是虚数单位），则z的实部为（）A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣6 【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】把给出的等式的左边展开，然后利用复数的除法运算求解复数z，则其实部可求．【解答】解：由i（z﹣3）=﹣1+3i，得：i•z=﹣1+6i．所以．所以z的实部为6．故选A．【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数的除法运算，复数的除法运算，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是（）A．若x≤1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0 C．若x＞1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0【考点】四种命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据否命题的定义：“若p则q”的否命题是：“若￢p，则￢q”，所以应该选A．【解答】解：根据否命题的定义，x＞1的否定是：x≤1；x＞0的否定是：x≤0，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是：“若x≤1，则x≤0”．故选A．【点评】考查否命题的定义．4．已知，则sin2x的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【专题】计算题．【分析】解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sinα的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．【解答】解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以．故选D【点评】此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．5．在等差数列{a n}中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7﹣a8的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10 【考点】等差数列的性质．【专题】整体思想．【分析】利用等差数列的性质先求出a6的值，再用a1与d表示出a7﹣•a8，找出两者之间的关系，求解即可．【解答】解：由已知得：（a2+a10）+（a4+a8）+a6=5a6=80，∴a6=16，设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a7﹣a8=a1+6d﹣（a1+7d）=（a1+5d）=a6=8．故选C．【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，应用了基本量思想和整体代换思想．等差数列的性质：{a n}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，a m+a n=a p+a q．特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则a m+a n=2a p．6．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的表面积为（）A．144 B．124 C．104 D．84 【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】判断三视图复原的几何体是四棱锥，通过三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：如图，此几何体是正四棱锥，其底面边长为8，侧面的斜高为5，从而表面积为底面面积加四个侧面面积，S=8×8+4××8×5=144．故选A【点评】本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查计算能力．7．函数y=sinxcosx+cos2x﹣的图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】先根据二倍角公式将函数进行化简为y=sin（2x+）﹣，然后代入检验即可．【解答】解：∵ ==sin（2x+）﹣故原函数的对称中心的纵坐标一定是故排除CD将x=代入sin（2x+）不等于0，排除A．故选B．【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称中心．这种题型是每年高考中必考题目，做题第一步先将原函数化简再进行求解．8．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．【解答】解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴由f（x+a）＞f（2a﹣x）得到x+a＜2a﹣x；即2x＜a；∴2x＜a在[a，a+1]上恒成立；∴2（a+1）＜a；∴a＜﹣2；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A．【点评】考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．9．若对于任意的x∈[﹣1，0]，关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立，则a2+b2﹣1的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据题意，结合二次函数f（x）=3x2+2ax+b的图象得出不等式组，画出该不等式所表示的平面区域，设z=a2+b2﹣1，结合图形求圆a2+b2=1+z的半径的范围即可．【解答】解：设f（a）=3x2+2ax+b，根据已知条件知：；该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z=a2+b2﹣1，a2+b2=1+z；∴该方程表示以原点为圆心，半径为r=的圆；原点到直线﹣2a+b+3=0的距离为d=；∴该圆的半径r=；解得z≥；∴a2+b2﹣1的最小值是．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了线性规划的应用问题和直线方程、圆的方程以及数形结的应用问题，是综合性题目．10．在△ABC中，若3cos2+5cos2=4，则tanC的最大值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣2【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【专题】解三角形．【分析】在△ABC中，化简条件可得3cos（A﹣B）+5cosC=0，tanAtanB=，再利用基本不等式求得tanA+tanB的最小值．求得﹣tanC=tan（A+B）的最小值，可得tanC的最大值．【解答】解：在△ABC中，∵3cos2+5cos2=4，即3×+5×=4，化简可得 3cos（A﹣B）+5cosC=0，∴（3cosAcosB+3sinAsinB）﹣（5cosAcosB﹣5sinAsinB）=0，∴﹣2cosAcosB+8sinAsinB=0，∴4sinAsinB=cosAcosB，∴tanAtanB=．很明显，tanA、tanB同号，又tanA、tanB最多有一者小于0，∴tanA、tanB均为正数，∴tanA+tanB≥2=1，又tanC=﹣tan（A+B），∴﹣tanC=tan（A+B）=≥=，∴tanC≤﹣，∴tanC的最大值为﹣，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换、同角三角函数的基本关系、两角和差的三角函数，基本不等式的应用，属于中档题．11．已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题：①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∩b=P，则a∩c=P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c．其中正确命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】平面的基本性质及推论．【分析】三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若a⊥b，a⊥c，则b，c夹角不确定，若a⊥b，a⊥c，则a⊥γ，又a⊂α，得到α⊥γ，得到结论．【解答】解：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若a⊥b，a⊥c，则b，c夹角不确定，故①不正确，若a⊥b，a⊥c，则a⊥γ，又a⊂α，得到α⊥γ，故③正确，综上可知三个命题正确，故选C．【点评】本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是正确理解线面之间的位置关系，不要漏掉某种位置关系．12．已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（m•n）的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据函数f（x）的解析式和f（m）+f（n）=1用lnn表示出lnm，然后代入到f （mn）的表达式，最后由基本不等式可得答案．【解答】解：∵f（x）=∴f（m）+f（n）=2﹣﹣=1∴∴lnm+1=∴f（mn）=1﹣=1﹣=1﹣=1﹣=1﹣≥1﹣=（当且仅当，即n=m=e3时等号取到）故选B．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属中档题，使用基本不等式时注意等号成立的条件．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为x﹣4y+4=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点（4，2），∴2=4α∴α=∴f（x）=f'（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f'（4）=，又过点A（4，2）所以在A点处的切线方程为x﹣4y+4=0故答案为：x﹣4y+4=0【点评】本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足，则数列{a n}的公差是2 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】在题设条件的两边同时乘以6，然后借助前n项和公式进行求解．【解答】解：∵，∴，∴6a1+6d﹣6a1﹣3d=6，∴d=2．故答案为：2．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意前n项和公式的灵活运用．15．已知函数f（x）=|x2﹣2|，若f（a）=f（b），且0＜a＜b，则ab的取值范围是（0，2）．【考点】分段函数的应用；函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）的表达式，结合条件f（a）=f（b），且0＜a＜b，确定a，b的取值范围，然后利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：f（x）=|x2﹣2|=，作出函数的图象如图：若f（a）=f（b），且0＜a＜b，则b＞，0＜a＜，则ab＞0，则由f（a）=f（b），得2﹣a2=b2﹣2，即a2+b2=4，∵0＜a＜b，∴4=a2+b2＞2ab，则ab＜2，综上0＜ab＜2，即ab的取值范围是（0，2），故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式作出函数的图象，利用数形结合以及基本不等式是解决本题的关键．综合性较强，质量较高．16．已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是．【考点】向量的模；三角形五心．【专题】计算题．【分析】根据点G是△ABC的重心，故=（+），又由∠A=120°，•=﹣2，我们可以求出||•||=4，进而根据基本不等式，求出|+|的取值范围，进而得到||的最小值．【解答】解：∵∠A=120°，•=﹣2，∴||•||=4，又∵点G是△ABC的重心，∴||=|+|==≥=故答案为：【点评】本题考查的知识点是向量的模，三角形的重心，基本不等式，其中利用基本不等式求出|+|的取值范围是解答本题的关键，另外根据点G是△ABC的重心，得到=（+），也是解答本题的关键．三．解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如下所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图象直接得到振幅A，和四分之三周期，所以周期可求，则ω可求，然后根据五点作图的第一点求得Φ，则函数解析式可求；（2）直接由三角函数符号后面的相位在正弦函数的减区间内求得函数的减区间，由终边在y轴正半轴上的角的正弦值最大求出使函数取得最大值时的角x的集合．【解答】解：（1）由图象可以得到函数f（x）的振幅A=3，设函数周期为T，则，所以T=5π，则ω=，由ωx0+Φ=0，得Φ=0，所以Φ=﹣，所以f（x）=3sin．（2）由，得，所以函数的减区间为（+5kπ，4π+5kπ）k∈Z．函数f（x）的最大值为3，当且仅当，即时函数取得最大值．所以函数的最大值为3，取得最大值时的x的集合为{x|x=}．【点评】本题考查了根据函数的部分图象求函数解析式问题，考查了复合函数的增减性，解答此题的关键是求初相，运用的是五点作图的第一点，具体办法是看图象在y轴右侧与x轴的第一个交点是上升趋势还是下降趋势，若是上升趋势有ωx0+Φ=0，若是下降趋势则有ωx0+Φ=π．18．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角D﹣BM﹣P的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，先证明BD⊥底面PDC，然后利用线面垂直的性质证明：BD⊥PC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：由余弦定理得BD==，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，∵AB∥CD，∴BD⊥DC，∵PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PD，又PD∩DC=D，∴BD⊥底面PDC，又PC⊂面PDC，∴BD⊥PC；（Ⅱ）解：已知AB=1，AD=CD=2，PD=1，由（Ⅰ）知BD⊥底面PDC，以D为坐标原点，DB为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图：则D（0，0，0），B（，0，0），P（0，0，1），M（0，1，），则=（，0，0），=（0，1，），=（0，﹣2，1），=（，﹣2，0），设平面BDM的法向量为=（x，y，z），则令z=2，则y=﹣1，可取=（0，﹣1，2），同理设平面BMP的法向量为=（，1，2），∴cos＜，＞===，∴求二面角D﹣BM﹣P的余弦值为．【点评】本题主要考查线面垂直的性质，以及空间二面角的大小，利用向量法解决空间角的关键是求出平面的法向量．20．在数列{b n}中，b1=2，b n+1=（n∈N*），求b2，b3，试判定b n与的大小，并加以证明．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】b1=2，b n+1=（n∈N*），可得b2==，b3=．猜想b n．利用数学归纳法证明即可．【解答】解：∵b1=2，b n+1=（n∈N*），∴b2===，b3==．猜想b n．下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=2＞成立．（2）假设当n=k∈N*时，b k．则b k+1===﹣＞﹣=．∴当n=k+1时，不等式b n．综上可得：∀n∈N*，b n．【点评】本题考查了数列的递推式、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知：函数f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数．（1）求实数m的取值的集合A；（2）当m取集合A中的最小值时，定义数列{a n}：满足a1=3，且a n＞0，，求数列{a n}的通项公式（3）若b n=na n数列{b n}的前n项和为S n，求证：．【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【专题】综合题．【分析】（1）由函数f（x）是增函数，利用导数得m≥3x2对任意x∈（0，1）恒成立，从而求出m的范围，即求出集合A；（2）由（1）中的m的最小值为3，得到f′（x），从而将变形得到数列{a n﹣1}是首项为2，公比为3的等比数列，即可求数列{a n}的通项公式；（3）由（2）可求b n=na n=2n•3n﹣1+nS n=2（1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1）+（1+2+3+…+n），再利用错位相减法化简得到S n=，显然．【解答】解：（1）f′（x）=﹣3x2+m≥0对任意x∈（0，1）恒成立，所以：m≥3x2对任意x∈（0，1）恒成立，得m≥3即A=[3，+∞）（2）由m=3得：f（x）=﹣x3+3x⇒f′（x）=﹣3x2+3所以：得：a n+1﹣1=3（a n﹣1）所以数列{a n﹣1}是首项为2，公比为3的等比数列所以：a n﹣1=2•3n﹣1⇒a n=2•3n﹣1+1（3）b n=na n=2n•3n﹣1+nS n=2（1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1）+（1+2+3+…+n）令：T n=1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣13 T n=1•31+2•32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n﹣2 T n=30+31+32+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n=所以T n=S n=【点评】此题考查导数的应用及数列求和常用的方法﹣﹣错位相减法．22．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当b＜时，求函数f（x）的极值点（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式都成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）将b的值代入，求出函数的表达式、导数，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）通过讨论b的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点；（Ⅲ）将b=﹣1代入函数的表达式，求出函数f（x）的表达式，令h（x）=x3﹣f（x），求出h（x）的导数，得到ln（x+1）＞x2﹣x3，从而证出结论．【解答】解（Ⅰ）当，f（x）=x2+ln（x+1），（x＞﹣1），f′（x）=2x+=2（x+1）+﹣2≥2﹣2≥0，当且仅当x=﹣时，“=”成立，∴函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）当时，解f′（x）=0得两个不同解：当b＜0时，∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），此时f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点当时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f′（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f′（x）在（x1，x2）上小于0，此时f（x）有一个极大值点和一个极小值点综上可知，时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点，b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点；（Ⅲ）当b=﹣1时，f（x）=x2﹣ln（x+1），令上恒正，∴h（x）在[0，+∞）上单调递增，当x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，有x3﹣x2+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x2﹣x3，对任意正整数n，取．【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，考察分类讨论思想，运用转化思想是解答第三问的关键，本题是一道难题．。