2016年上海上师附中高一期末数学试卷)

2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、填空题1．（3分）arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝．2．（3分）＝．3．（3分）若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11＝44，则a3+a5+a10＝．4．（3分）设数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝（n≥1），则a2016＝．5．（3分）已知数列{a n}满足：a n＝n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n＝．6．（3分）已知数列{a n}满足：a1＝3，a n+1＝9•（n≥1），则a n＝．7．（3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝，则＝．8．（3分）等比数列{a n}，a1＝3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3＝．9．（3分）定义在R上的函数f（x）＝，S n＝f（）+f（）+…+f（），n＝2，3，…，则S n＝．10．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两个根，则arctan x1+arctan x2的值为．11．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝，则S2016＝．12．（3分）设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n＝1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第项．二、选择题.13．（3分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．14．（3分）一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞15．（3分）等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于016．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n＝，n＝1，2，…，则（a 1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．17．（3分）已知＝1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9B．8C．12D．不确定18．（3分）已知f（n）＝（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30B．26C．36D．6三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+32+22+12＝n（2n2+1）20．已知数列{a n}满足a1＝1，其前n项和是S n对任意正整数n，S n＝n2a n，求此数列的通项公式．21．已知方程cos2x+sin2x＝k+1．（1）k为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．22．设数列{a n}满足a1＝2，a2＝6，a n+2＝2a n+1﹣a n+2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等差数列；（2）求：++…+．23．数列{a n}，{b n}满足，且a1＝2，b1＝4．（1）证明：{a n+1﹣2a n}为等比数列；（2）求{a n}，{b n}的通项．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2＝4，a5＝32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1＝6，d n•d n+1＝6a•（﹣）（a＞0），设T n＝d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n＝8时，T n取得最大值，求a的取值范围．2015-2016学年上海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝．【解答】解：arcsin（﹣）+arccos（﹣）+arctan（﹣）＝﹣arcsin（）+π﹣arccos ﹣arctan＝﹣+（π﹣）﹣＝，故答案为：．2．（3分）＝5．【解答】解：＝＝＝＝5．故答案为：5．3．（3分）若数列{a n}为等差数列．且满足a2+a4+a7+a11＝44，则a3+a5+a10＝33．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4+a7+a11＝44＝4a1+20d，∴a1+5d＝11．则a3+a5+a10＝3a1+15d＝3（a1+5d）＝33．故答案为：33．4．（3分）设数列{a n}满足：a1＝，a n+1＝（n≥1），则a2016＝﹣．【解答】解：依题意，a1＝，a2＝＝＝3，a3＝＝＝﹣2，a4＝＝＝，a5＝＝＝，∴数列{a n}是以4为周期的周期数列，又∵2016＝504×4，∴a2016＝a4＝﹣，故答案为：﹣．5．（3分）已知数列{a n}满足：a n＝n•3n（n∈N*），则此数列前n项和为S n＝•3n+1+．【解答】解：∵a n＝n•3n，则此数列的前n项和S n＝3+2×32+3×33+…+n•3n，∴3S n＝32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2S n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1＝（﹣n）3n+1﹣，∴S n＝•3n+1+．故答案为：•3n+1+．6．（3分）已知数列{a n}满足：a1＝3，a n+1＝9•（n≥1），则a n＝27．【解答】解：由a n+1＝9•（n≥1），得，即，令b n＝lga n，则，∴，则数列{b n﹣3lg3}是以b1﹣3lg3＝lga1﹣3lg3＝﹣2lg3为首项，以为公比的等比数列，∴，即，∴，则a n＝＝103lg3＝10lg27＝27．故答案为：27．7．（3分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若＝，则＝．【解答】解：∵{a n}，{b n}为等差数列，且其前n项和满足若＝，∴设S n＝kn×2n，T n＝kn（3n+1）（k≠0），则当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝4kn﹣2k；当n≥2时，b n＝T n﹣T n﹣1＝6kn﹣2k．∴＝＝，故答案为：．8．（3分）等比数列{a n}，a1＝3﹣5，前8项的几何平均为9，则a3＝．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由题意，，即，∴，得，∵a1＝3﹣5，∴，则q＝9，∴．故答案为：．9．（3分）定义在R上的函数f（x）＝，S n＝f（）+f（）+…+f（），n＝2，3，…，则S n＝2n﹣2．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（1﹣x）＝＝＝，∴f（x）+f（1﹣x）＝4，∴S n＝f（）+f（）+…+f（）＝4×＝2n﹣2．故答案为：2n﹣2．10．（3分）设x1，x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两个根，则arctan x1+arctan x2的值为．【解答】解：由x1、x2是方程x2﹣x sin+cos＝0的两根，可得x1+x2 ＝sin，x1•x2＝cos，故x1、x2均大于零，故arctan x1+arctan x2∈（0，π），且tan（arctan x1+arctan x2）＝＝＝cotπ＝tan（﹣π），∴arctan x1+arctan x2＝．故答案为：．11．（3分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n＝，则S2016＝．【解答】解：a n＝＝＝（﹣）．∴S2016＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝[1﹣（）]＝＝．故答案为：．12．（3分）设正数数列{a n}的前n项和为b n，数列{b n}的前n项之积为c n，且b n+c n＝1，则数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．【解答】解：由题意可得：a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝1，n＝1时，a1+a1＝1，解得a1＝．n＝2时，a1+a2+a1•（a1+a2）＝1，解得a2＝．…，猜想：a n＝．验证：a1+a2+…+a n＝++…+＝＝．∴a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝××…×＝．∴a1+a2+…+a n+a1•（a1+a2）•…•（a1+a2+…+a n）＝+＝1．∴n＜＝＜n+1，∴＜S n＜，∴2016＜S63＜2080，∴数列{}的前n项和S n中大于2016的最小项为第63项．故答案为：63．二、选择题.13．（3分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（）A．2k+1B．2（2k+1）C．D．【解答】解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），故选：B．14．（3分）一个三角形的三边成等比数列，则公比q的范围是（）A．q＞B．q＜C．＜q＜D．q＜或q＞【解答】解：设三边分别为：，a，aq，（a，q＞0）．则q≥1时，+a＞aq，解得：．0＜q＜1时，＜a+aq，解得：＜q＜1．综上可得：公比q的范围是．故选：C．15．（3分）等差数列{a n}中，a5＜0，且a6＞0，且a6＞|a5|，S n是其前n项和，则下列判断正确的是（）A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6，…均大于0B．S1，S2，…，S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11，…均大于0D．S1，S2，…，S11均小于0，S12，S13，…均大于0【解答】解：∵a5＜0，a6＞0且a6＞|a5|∴d＝a6﹣a5＞0∴数列的前5项都为负数∵a5+a6＞0，2a5＜0，2a6＞0由等差数列的性质及求和公式可得，S9＝＝9a5＜0S10＝5（a1+a10）＝5（a5+a6）＞0由公差d＞0可知，S1，S2，S3…S9均小于0，S10，S11…都大于0．故选：C．16．（3分）若数列{a n}的通项公式是a n＝，n＝1，2，…，则（a 1+a2+…+a n）等于（）A．B．C．D．【解答】解：a n＝即a n＝∴a1+a2+…+a n＝（2﹣1+2﹣3+2﹣5+）+（3﹣2+3﹣4+3﹣6+）．∴（a 1+a2+…+a n）＝+＝．，故选：C．17．（3分）已知＝1，那么（sinθ+2）2（cosθ+1）的值为（）A．9B．8C．12D．不确定【解答】解：将＝1，变形得：sinθ+1＝cot2016θ+2，整理得sinθ＝1+cot2016θ≤1，即cot2016θ≤0，又∵cot2016θ≥0所以cot2016θ＝0，所以cosθ＝0，sinθ＝1，所以（sinθ+2）2（cosθ+1）＝（1+2）2＝9；故选：A．18．（3分）已知f（n）＝（2n+7）•3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（）A．30B．26C．36D．6【解答】解：由f（n）＝（2n+7）•3n+9，得f（1）＝36，f（2）＝3×36，f（3）＝10×36，f（4）＝34×36，由此猜想m＝36．下面用数学归纳法证明：（1）当n＝1时，显然成立．（2）假设n＝k时，f（k）能被36整除，即f（k）＝（2k+7）•3k+9能被36整除；当n ＝k +1时，[2（k +1）+7]•3k +1+9 ＝3[（2k +7）•3k+9]﹣18+2×3k +1 ＝3[（2k +7）•3k +9]+18（3k ﹣1﹣1）， ∵3k ﹣1﹣1是2的倍数，∴18（3k ﹣1﹣1）能被36整除，∴当n ＝k +1时，f （n ）也能被36整除．由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）＝（2n +7）•3n +9能被36整除，m 的最大值为36．三、解答题.19．用数学归纳法证明：12+22+32+…+（n ﹣1）2+n 2+（n ﹣1）2+…+32+22+12＝n （2n 2+1）【解答】证明：利用数学归纳法证明：（1）当n ＝1时，左边＝1＝右边，此时等式成立；（2）假设当n ＝k ∈N *时，12+22+32+…+（k ﹣1）2+k 2+（k ﹣1）2+…+32+22+12 ＝k （2k 2+1）（k ∈N *）成立．则当n ＝k +1时，左边＝12+22+32+…+k 2+（k +1）2+k 2+…+22+12 ＝k （2k 2+1）+（k +1）2+k 2＝（k +1）[2（k +1）2+1]＝右边，∴当n ＝k +1时，等式成立．根据（1）和（2），可知对n ∈N *等式成立．20．已知数列{a n }满足a 1＝1，其前n 项和是S n 对任意正整数n ，S n ＝n 2a n ，求此数列的通项公式．【解答】解：∵S n ＝n 2a n ，∴n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2a n ﹣（n ﹣1）2a n ﹣1，化为：＝．∴a n ＝••…••a 1＝••…•××1 ＝，n ＝1时也成立．∴a n＝．21．已知方程cos2x+sin2x＝k+1．（1）k为何值时，方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β；（2）当方程在区间[0，]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．【解答】解：（1）令f（x）＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），作出f（x）在[0，]上的函数图象如图所示：由图象可知当1≤k+1＜2即0≤k＜1时，f（x）＝k+1有两个相异的解．（2）令2x+＝+kπ，解得x＝+，∴f（x）在[0，上的对称轴为x＝，∴α+β＝．22．设数列{a n}满足a1＝2，a2＝6，a n+2＝2a n+1﹣a n+2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n+1﹣a n}是等差数列；（2）求：++…+．【解答】（1）证明：∵a n+2＝2a n+1﹣a n+2，∴（a n+2﹣a n+1）﹣（a n+1﹣a n）＝2，a2﹣a1＝4，∴数列{a n+1﹣a n}是等差数列，首项为4，公差为2．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2．∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+…+2×2+2＝＝n2+n．∴＝＝．∴++…+＝++…+＝1﹣＝．23．数列{a n}，{b n}满足，且a1＝2，b1＝4．（1）证明：{a n+1﹣2a n}为等比数列；（2）求{a n}，{b n}的通项．【解答】（1）证明：由a n+1＝﹣a n﹣2b n，可得：b n＝，∴b n+1＝﹣，代入b n+1＝6a n+6b n，可得：﹣＝6a n+6×（），化为：a n+2﹣2a n+1＝3（a n+1﹣2a n）．a2＝﹣2﹣2×4＝﹣10，a2﹣2a1＝﹣14，∴{a n+1﹣2a n}为等比数列，首项为﹣14，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+1﹣2a n＝﹣14×3n﹣1．化为：a n+1+14×3n＝2，∴数列是等比数列，首项为16，公比为2．∴a n+14×3n﹣1＝16×2n﹣1，可得a n＝2n+3﹣14×3n﹣1．∴b n＝﹣＝28×3n﹣1﹣3×2n+2．24．已知数列{a n}是等比数列，且a2＝4，a5＝32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{d n}满足：d1＝6，d n•d n+1＝6a•（﹣）（a＞0），设T n＝d1d2d3…d n（n∈N*），当且仅当n＝8时，T n取得最大值，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵a2＝4，a5＝32，由等比数列性质可知：a5＝a2•q3＝32，∴q3＝8，q＝2，∴a1＝2，∴由等比数列通项公式可知：a n＝2×2n﹣1＝2n，数列{a n}的通项公式a n＝2n；（2）∵a1b1+a2b2+…+a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1＝（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n＝（n﹣1）•2n+1+2﹣[（n﹣2）•2n+2]＝n•2n，即b n＝＝n（n≥2），又∵a1b1＝2，即b1＝1满足上式，∴b n＝n；令∁n＝d n•d n+1＝6a•（﹣）n（a＞0），T n＝d1d2d3…d n＝，由当且仅当n＝8时，T n取得最大值，∴|T2|＜|T4|＜|T6|＜|T8|＞|T10|＞…，|T1|＜|T3|＜|T5|＜|T7|＞…＞|T11|＞…．当n≤7时，|∁n|＞1，当n≥8时，|∁n|＜1，∴6a＞27，即a＞，6a＜28，即a＜，∴a的取值范围（，）．。

上海市浦东新区2016年高一下学期数学期末统考试卷一、填空题（本大题共有12道小题，满分36分。

请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，每题3分）1、函数1cos2y x =-的最小正周期是 .2、函数()12f x x =-的反函数()1f x -为 . 3、若1sin ,,032x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示） 4、方程22sin 13x =的解集是 . 5、函数2sin cos y x x =-的最大值为 .6、设()()1232,2log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为 . 7、在ABC ∆中，若其面积222S ，则C ∠= .8、在ABC ∆中，若3,75,60AB ABC ACB =∠=︒∠=︒，则BC 等于 .9、函数sin cos 22x x y =+的递增区间是 . 10、若()sin 3f x x π=，则()()()()1232016f f f f ++++= .11、已知12cos 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且4πα-是第一象限角，则sin 22sin 4παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 .12、若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分13、在ABC ∆中，sin sin cos cos A B A B ⋅<⋅则这个三角形的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形14、已知函数()log 2a y ax =-在()1,1-上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）A.()0,2B.()1,2C.(]12，D. [)2+∞， 15、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ） A.sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C. 1sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. 1sin 220y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 16、下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数的是（ ） A.2cos y x = B.2sin y x = C.cos 13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D.cot y x =-三、解答题（本大题共5道题目，满分52分，请在答题纸规定的地方写出必要的解答过程）17、（本题满分8分）一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？18、（本题满分10分，每小题5分）解下列方程（1）94330x x -⋅+=；（2）()233log 101log x x -=+；19、（本题满分10分，每小题5分）已知40,sin 25παα<<=， （1）求22sin sin 2cos cos2αααα++的值；（2）求5tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.20、（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知函数()2=2cosx+sin 4cos f x x x -（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值和最小值.21、（本题满分14分，第（1）小题7分，第（2）小题7分）设函数()()()()()()(),,f x f x g x F x g x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，其中()()()()222log 1,log 7f x x g x x =+=+. （1）在实数集R 上用分段函数形式写出函数()F x 的解析式；（2）求函数()F x 的最小值.参考答案一、填空题（本大题共有12道小题，满分36分。

2016-2017学年上海市外国语大学附属外国语学校高一（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）已知集合A={1，t，2t}，B={1，t2}，若B⊆A，则实数t=．2．（3分）不等式的解集是．3．（3分）函数的定义域为．4．（3分）函数的单调递增区间为．5．（3分）下列四个函数中偶函数的序号为①②③④f（x）=x2+x﹣2．6．（3分）函数的值域．7．（3分）抛物线形拱桥，桥顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降了1.125米时，水面宽为．8．（3分）若，则x2+y2的取值范围是．9．（3分）若2x+2y=5，则2﹣x+2﹣y的最小值为．10．（3分）已知函数的定义域为R+，且对任意的正实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（8）=3，则=．11．（3分）函数y=f（x）是定义在R上的增函数，y=f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B时，能确定不等式|f（x+1）|＜1的解集恰好为{x|﹣1＜x＜2}，则点B的坐标为．12．（3分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），设函数y=[f（x）]2+p•f（x）+q 的零点所组成的集合为A，则以下集合不可能是A集合的序号为．①②③{﹣2，3，8}④{﹣4，﹣1，0，2}⑤{1，3，5，7}．二、选择题（每题满分16分，满分16分）13．（4分）关于幂函数y=x k及其图象，有下列四个命题：①其图象一定不通过第四象限；②当k＜0时，其图象关于直线y=x对称；③当k＞0时，函数y=x k是增函数；④y=x k的图象与y=x﹣k的图象至少有两个交点其中正确的命题个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个14．（4分）若a，b∈R且ab≠0，则成立的一个充分非必要条件是（）A．a＞b＞0 B．b＞a C．a＜b＜0 D．ab（a﹣b）＜015．（4分）若存在实数a，使得函数在（0，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜0 B．a≤﹣1 C．﹣2≤a≤﹣1 D．﹣2≤a＜016．（4分）用计算器演算函数y=f（x）=x x，x∈（0，1）的若干值，可以猜想下列命题中真命题只能是（）A．y=f（x）在区间（0，0.4）上递减B．y=f（x）在区间（0.35，1）上递减C．y=f（x）的最小值为f（0.4）D．y=f（x）在（0.3，0.4）上有最小值三、解答题（满分为48分）17．（8分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣x；（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＜0的解集．18．（8分）关于x的不等式组的解集为A，若集合A中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围．19．（8分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；（2）求博物馆支付总费用的最小值．20．（10分）已知函数．（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求实数a的取值范围．21．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（x y）=y•f（x）．（1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明；（3）若a＞b＞c＞1，且2b=a+c，求证：f（a）•f（c）＜[f（b）]2．2016-2017学年上海市外国语大学附属外国语学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知集合A={1，t，2t}，B={1，t2}，若B⊆A，则实数t=2．【解答】解：集合A={1，t，2t}，B={1，t2}，若B⊆A，可知t2=t或t2=2t．∴t=2（t=0或1舍去）故答案为：2．2．（3分）不等式的解集是．【解答】解：由得，，则（3x﹣2）（5﹣3x）＞0，即（3x﹣2）（3x﹣5）＜0，解得，所以不等式的解集是，故答案为：．3．（3分）函数的定义域为（﹣∞，﹣] ．【解答】解：函数，∴﹣8≥0，可化为21﹣3x≥23，即1﹣3x≥3，解得x≤﹣，∴f（x）的定义域为（﹣∞，﹣]．故答案为：（﹣∞，﹣]．4．（3分）函数的单调递增区间为[﹣2，2] ．【解答】解：令g（x）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16，令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6，而g（x）的对称轴是：x=2，故g（x）在[﹣2，2）递增，在（2，6]递减，故函数f（x）在[﹣2，2]递增，故答案为：[﹣2，2]．5．（3分）下列四个函数中偶函数的序号为①④①②③④f（x）=x2+x﹣2．【解答】解：①函数f（x）的定义域是R，因为=f（x），所以函数f（x）是偶函数，②函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，因为=﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数，③由得﹣1≤x≤1，则f（x）的定义域是[﹣1，1]，因为=﹣f（x），所以函数f（x）是奇函数，④函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，因为f（﹣x）=（﹣x）2+（﹣x）﹣2=x2+x﹣2=f（x），所以函数f（x）是偶函数，综上得，是偶函数的序号①④，故答案为：①④．6．（3分）函数的值域（﹣∞，1] ．【解答】解：由1﹣2x≥0解得，x≤，此函数的定义域是（﹣∞，]，令t=，则x=，且t≥0，代入原函数得，y=+t=﹣t2+t+=﹣（t﹣1）2+1，∵t≥0，∴﹣（t﹣1）2≤0，则y≤1，∴原函数的值域为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．7．（3分）抛物线形拱桥，桥顶离水面2米时，水面宽4米，当水面下降了1.125米时，水面宽为5m．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（﹣2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入D（x0，﹣3.125）得x0=2.5，故水面宽为5m故答案为：5m．8．（3分）若，则x2+y2的取值范围是[1，] ．【解答】解：由题意：，，设x=cosθ﹣2，y=2sinθ，那么：x2+y2=（cosθ﹣2）2+4sin2θ=cos2θ﹣4cosθ+4+4sin2θ=cos2θ﹣4cosθ+8﹣4cos2θ=，当时，x2+y2取值最大值为．当cosθ=1时，x2+y2取值最小值为1．则x2+y2的取值范围是[1，]故答案为：[1，]9．（3分）若2x+2y=5，则2﹣x+2﹣y的最小值为．【解答】解：若2x+2y=5，则2≤5，故2x+y≤，则2﹣x+2﹣y=≥5×=，当且仅当x=y时“=”成立，故答案为：．10．（3分）已知函数的定义域为R+，且对任意的正实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（8）=3，则=．【解答】解：∵函数的定义域为R+，且对任意的正实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），∴，f（2）=2f（1），f（8）=2f（4）=4f（2）=8f（1）=3，∴f（1）=，f（2）=2f（1）=，f（）=，∴f（）=f（2）+f（）==．故答案为：．11．（3分）函数y=f（x）是定义在R上的增函数，y=f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B时，能确定不等式|f（x+1）|＜1的解集恰好为{x|﹣1＜x＜2}，则点B的坐标为（3，1）．【解答】解：由题意不等式|f（x+1）|＜1的解集为{x|﹣1＜x＜2}．即﹣1＜f（x+1）＜1的解集为{x|﹣1＜x＜2}．又已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数．故设t=x+1，根据单调性可以分析得到值域为（﹣1，1）所对应的定义域为（0，3）故可以分析到y=f（x）的图象过点（0，﹣1）和点（3，1），故B（3，1），故答案为：（3，1）．12．（3分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），设函数y=[f（x）]2+p•f（x）+q 的零点所组成的集合为A，则以下集合不可能是A集合的序号为②④．①②③{﹣2，3，8}④{﹣4，﹣1，0，2}⑤{1，3，5，7}．【解答】解：f（x）=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣，设函数y=[f（x）]2+p•f（x）+q的零点为y1，y2，则必有y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c，方程y1=ax2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=﹣对称，也就是说2（x1+x2）=﹣，同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=﹣对称那就得到2（x3+x4）=﹣，①可以找到对称轴直线x=②不能找到对称轴直线，③{﹣2，3，8}可以找到对称轴直线x=3，④{﹣4，﹣1，0，2}不能找到对称轴直线，⑤{1，3，5，7}可以找到对称轴直线x=4，故答案为：②④．二、选择题（每题满分16分，满分16分）13．（4分）关于幂函数y=x k及其图象，有下列四个命题：①其图象一定不通过第四象限；②当k＜0时，其图象关于直线y=x对称；③当k＞0时，函数y=x k是增函数；④y=x k的图象与y=x﹣k的图象至少有两个交点其中正确的命题个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：关于幂函数y=x k及其图象：①其图象一定不通过第四象限；因为x＞0时，y=xα＞0，故幂函数图象不可能出现在第四象限，故正确；②当k＜0时，如幂函数y=x﹣1其图象不关于直线y=x对称；故错误；③当k＞0时，函数y=x k是增函数；如k=2，不成立，故错误；④如y=x2和y=1个交点，故错误；故选：B．14．（4分）若a，b∈R且ab≠0，则成立的一个充分非必要条件是（）A．a＞b＞0 B．b＞a C．a＜b＜0 D．ab（a﹣b）＜0【解答】解：a，b∈R且ab≠0，则⇔|a|＜|b|，因此成立的一个充分非必要条件是a＜b＜0．故选：C．15．（4分）若存在实数a，使得函数在（0，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜0 B．a≤﹣1 C．﹣2≤a≤﹣1 D．﹣2≤a＜0【解答】解：根据题意，若函数在（0，+∞）上为减函数，当0＜x≤1时，f（x）=﹣x2+2（a+1）x+4递减，有a+1≤0，当x＞1时，f（x）=xa为减函数，必有a＜0，综合可得：，解可得﹣2≤a≤﹣1；故选：C．16．（4分）用计算器演算函数y=f（x）=x x，x∈（0，1）的若干值，可以猜想下列命题中真命题只能是（）A．y=f（x）在区间（0，0.4）上递减B．y=f（x）在区间（0.35，1）上递减C．y=f（x）的最小值为f（0.4）D．y=f（x）在（0.3，0.4）上有最小值【解答】解：0.10.1≈0.79，0.20.2≈0.72，0.30.3≈0.70，0.350.35≈0.6925，0.40.4≈0.6931，0.50.5≈0.71；∴判断出f（x）在区间（0，0.4）上递减错误，在（0.35，1）上递减错误，f（x）的最小值为f（0.4）错误；∴排除选项A，B，C，得出D正确．故选D．三、解答题（满分为48分）17．（8分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣x；（1）求函数f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＜0的解集．【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=x2﹣x，∴f（﹣x）=x2+x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣x，∴当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x，综上所述，f（x）=；（2）当x≥0时，f（x）=x2﹣x＜0，∴0＜x＜1；当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣x＜0，∴x＜﹣1或x＞0，∴x＜﹣1，综上所述，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或0＜x＜1}．18．（8分）关于x的不等式组的解集为A，若集合A中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0得x＜﹣1或x＞2．解方程2x2+（2k+5）x+5k=0得x1=﹣，x2=﹣k．（1）若﹣k即k时，不等式2x2+（2k+5）x+5k＜0的解为﹣k＜x＜﹣，此时不等式组的解集为A=（﹣k，﹣），∵集合A中有且仅有一个整数，∴﹣4≤﹣k＜﹣3，解得3＜k≤4．（2）若﹣k＞﹣即k＜时，不等式2x2+（2k+5）x+5k＜0的解为﹣＜x＜﹣k，此时不等式组的解集为A=（﹣，﹣k）或A=（﹣，﹣1）或A=（﹣，﹣1）∪（2，﹣k），∵集合A中有且仅有一个整数，∴﹣2＜﹣k≤3，解得﹣3≤k＜2．综上，k的取值范围是（3，4]∪[﹣3，2）．19．（8分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体．假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元．（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；（2）求博物馆支付总费用的最小值．【解答】解：（1）设，把x=2，y=8000代入，得k=16000…（3分）（V＞0.5）…（8分）（2）…（11分）当且仅当，即V=4立方米时不等式取得等号所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元．…（14分）20．（10分）已知函数．（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得a﹣＜2x即a＜+2x，记g（x）=+2x，在（1，+∞）上是增函数，得g（x）＞g（1）=3，所以：a≤3（2）函数y=f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）ⅰ）当n＞m＞0时，f（x）在[m，n]上是增函数，故，解得：a＞2；ⅱ）当0＞n＞m时，f（x）在[m，n]上是减函数，故，解得：a=0；所以：a∈{0}∪（2，+∞）．21．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（x y）=y•f（x）．（1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明；（3）若a＞b＞c＞1，且2b=a+c，求证：f（a）•f（c）＜[f（b）]2．【解答】（1）证明：令y=0，∵对任意的正实数x和任意的实数y都有f（x y）=y•f （x）．则f（1）=0，因此x=1是方程f（x）=0一个实数根．先证明以下结论：设0＜a，a≠1时，假设x，y＞0，则存在m，n，使x=a m，y=a n，∵对任意的正实数x和任意的实数y都有f（x y）=y•f（x）．∴f（xy）=f（a m a n）=f（a m+n）=（m+n）f（a），f（x）+f（y）=f（a m）+f（a n）=mf（a）+nf（a）=（m+n）f（a）．则f（xy）=f（x）+f（y）．令y=0，则f（x）=0，若方程f（x）=0还有一个实数根，可得f（x）≡0．与已知f（x）不恒为0矛盾．因此：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；（2）设x y=ac，则y=log x ac，∴设x0∈（0，1），则f（）=（log a x0）f（a）＜0，设x1，x2为区间（0，+∞）内的任意两个值，且x1＜x2，则0＜＜1，由（1）可得：f（x1）﹣f（x2）=f（•x2）﹣f（x2）=f（）+f（x2）﹣f（x2）=f（）＜0所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）设x y=ac，则y=log x ac，∴f（ac）=f（x y）=yf（x）=（log x ac）f（x）=（log x a+log x c）f（x）=（log x a）f（x）+（log x c）f（x）=f（）+f（）=f（a）+f（c）∵b2=ac，∴f（b2）=f（ac），即2f（b）=f（a）+f（c），f（b）=[f（a）+f（c）]，∴[f（b）]2﹣f（a）•f（c）=[]2﹣f（a）•f（c）=[]2，下面证明当x≠1时，f（x）≠0．假设存在x≠1，f（x0）=0，则对于任意x≠1，f（x）=f（）=（log x）f（x0）=0不合题意．所以，当x≠1时，f（x）≠0．因为a＞b＞c＞1，所以存在m≠1，f（a）﹣f（c）=f（）﹣f（）=（log m a﹣log m c）f（m）≠0，所以f（a）≠f（c），所以f（a）f（c）＜f2（b）．。

2015-2016学年上海师范大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．（4.00分）若函数f（x）=（a﹣2）x a是幂函数,则a=．2．（4.00分）已知集合A={x|x≤3,x∈R},B={x|x﹣1≥0,x∈N},则A∩B=．3．（4.00分）已知函数,若f（x）=2,则x=．4．（4.00分）已知函数f（x）=log2x．若a=4b,则f（a）﹣f（b）=．5．（4.00分）函数的反函数的值域是．6．（4.00分）已知函数y=f（x）是偶函数,若g（x）=f（x）+2且g（1）=1,则g （﹣1）的值．7．（4.00分）方程log3x+x﹣3=0的解所在区间是（k,k+1）（k∈Z）,则k=．8．（4.00分）方程=3的解是．9．（4.00分）下列命题中的真命题的序号为．①函数y=的单调递减区间是（﹣∞,0）∪（0,+∞）．②当n＞0时,幂函数y=x n是定义域上的增函数．③函数y=ax2+1（a＞1）的值域是（0,+∞）．④log2x2=2log2x．⑤若函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x）,则函数f（x）的图象关于直线x=1对称．10．（4.00分）稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额,每次收入不超过4000元,定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的,定率减除20%的费用．适用20%的比例税率,并按规定对应纳税额减征30%,计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿,共纳税280元,这个人应得稿费（扣税前）为元．11．（4.00分）定义区间（c,d）,[c,d）,（c,d],[c,d]的长度均为d﹣c,其中d＞c．已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a,b],值域为,则区间[a,b]长度的最大值与最小值的差．12．（4.00分）函数f（x）=2x和g（x）=x3的图象的示意图如图所示,设两函数的图象交于点A（x1,y1）,B（x2,y2）,且x1＜x2．若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},则a+b=．13．（4.00分）已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x）,若函数的图象经过点（1,2）,则函数的图象经过点．14．（4.00分）已知,其中a是方程x+lgx=4的解,b是方程x+10x=4的解,如果关于x的方程f（x）=x的所有解分别为x1,x2,…,x n,记,则=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得5分,不选、选错或者选出的人号超过一个,一律得零分．15．（5.00分）4个孩子在黄老师的后院玩球,突然传来一阵打碎玻璃的响声,黄老师跑去察看,发现一扇窗户玻璃被打破了,老师问：“谁打破的？”宝宝说：“是可可打破的．”可可说：“是毛毛打破的．”毛毛说：“可可说谎．”多多说：“我没有打破窗子．”如果只有一个小孩说的是实话,那么打碎玻璃的是（）A．宝宝B．可可C．多多D．毛毛16．（5.00分）幂函数y=x﹣1,及直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ（如图所示）,那么,幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是…（）A．Ⅳ,ⅦB．Ⅳ,ⅧC．Ⅲ,ⅧD．Ⅲ,Ⅶ17．（5.00分）下列四类函数中,有性质“对任意的x＞0,y＞0,函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的是（）A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数18．（5.00分）如图,点O为坐标原点,点A（1,1）,若函数y=a x（a＞0,且a≠1）及log b x（b＞0,且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA 的两个三等分点,则a,b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12.00分）已知关于x的不等式ax2﹣bx+3＞0的解集为（﹣3,1）（Ⅰ）求实数a,b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：．20．（14.00分）已知函数f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设b＞0,若函数f（x）在区间[﹣b,b]上最大值与最小值的差为b,求b的值．21．（14.00分）今有一长2米宽1米的矩形铁皮,如图,在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后,沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱（接口连接问题不考虑）．（Ⅰ）求水箱容积的表达式f（x）,并指出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若要使水箱容积不大于4x3立方米的同时,又使得底面积最大,求x的值．22．（16.00分）设函数f（x）=log2x．（1）解不等式f（x﹣1）+f（x）＞1；（2）设函数g（x）=f（2x+1）+kx,若函数g（x）为偶函数,求实数k的值；（3）当x∈[t+2,t+3]时,是否存在实数t（其中0＜t＜1）,使得不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立？若存在,求出t的取值范围；若不存在,说明理由．23．（18.00分）如果存在非零常数C,对于函数y=f（x）定义域上的任意x,都有f （x+C）＞f（x）成立,那么称函数为“Z函数”．（Ⅰ）若g（x）=2x,h（x）=x2,试判断函数g（x）和h（x）是否是“Z函数”？若是,请证明：若不是,主说明理由：（Ⅱ）求证：若y=f（x）（x∈R）是单调函数,则它是“Z函数”；（Ⅲ）若函数f（x）=ax3+2x2+3是“Z函数”,求实数a满足的条件．2015-2016学年上海师范大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分．1．（4.00分）若函数f（x）=（a﹣2）x a是幂函数,则a=3．【分析】根据幂函数y=x a的定义,列出方程即可求出a的值．【解答】解：函数f（x）=（a﹣2）x a是幂函数,则a﹣2=1,解得a=3．故答案为：3．2．（4.00分）已知集合A={x|x≤3,x∈R},B={x|x﹣1≥0,x∈N},则A∩B= {1,2,3} ．【分析】求出B中不等式解集的自然数解确定出B,找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：x≥1,x∈N,即B={x|x≥1,x∈N},∵A={x|x≤3,x∈R},∴A∩B={1,2,3},故答案为：{1,2,3}3．（4.00分）已知函数,若f（x）=2,则x=1．【分析】分别由2x=2,﹣x=2,求出对应的x的值即可．【解答】解：由2x=2,解得：x=1,符合题意,由﹣x=2,解得：x=﹣2,不合题意,故答案为：1．4．（4.00分）已知函数f（x）=log2x．若a=4b,则f（a）﹣f（b）=2．【分析】直接利用函数的解析式,化简求解即可．【解答】解：函数f（x）=log2x．若a=4b,则f（a）﹣f（b）=log2a﹣log2b=log24=2．故答案为：2．5．（4.00分）函数的反函数的值域是．【分析】反函数的值域是原函数的定义域,即可得出．【解答】解：由函数,可得1﹣2x≥0,解得x,可得原函数的定义域：．则反函数的值域是的定义域．故答案为：．6．（4.00分）已知函数y=f（x）是偶函数,若g（x）=f（x）+2且g（1）=1,则g （﹣1）的值1．【分析】先求出f（1）,f（﹣1）,再代入计算,即可得出结论．【解答】解：由题意,g（1）=f（1）+2,∴f（1）=﹣1．∵函数y=f（x）是偶函数,∴f（﹣1）=f（1）=﹣1,∴g（﹣1）=f（﹣1）+2=1．故答案为：1．7．（4.00分）方程log3x+x﹣3=0的解所在区间是（k,k+1）（k∈Z）,则k=2．【分析】方程的解所在的区间,则对应的函数的零点在这个范围,把原函数写出两个初等函数,即两个初等函数的交点在这个区间,结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（2,3）,再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1,3）,因m（x）=log3x+x﹣3在（2,3）上不满足m（3）m（2）＜0,方程log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2,3）,∴k=2,故答案为2．8．（4.00分）方程=3的解是x=﹣1．【分析】将方程两边乘以1+3x,令t=3x,然后移项、合并同类项,从而解出x．【解答】解：∵,∴1+3﹣x=3（1+3x）,令t=3x,则1+=3+3t,解得t=,∴x=﹣1,故答案为：x=﹣1．9．（4.00分）下列命题中的真命题的序号为⑤．①函数y=的单调递减区间是（﹣∞,0）∪（0,+∞）．②当n＞0时,幂函数y=x n是定义域上的增函数．③函数y=ax2+1（a＞1）的值域是（0,+∞）．④log2x2=2log2x．⑤若函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x）,则函数f（x）的图象关于直线x=1对称．【分析】①,函数y=的单调递减区间是（﹣∞,0）,（0,+∞）．②,当n＞0时,幂函数y=x n是（0,+∞）上的增函数．③,函数y=ax2+1（a＞1）的值域是[1,+∞）．④,当x＞0,时,log2x2=2log2x才成立⑤,根据轴对称的特征判定．【解答】解：对于①,函数y=的单调递减区间是（﹣∞,0）,（0,+∞）,故错．对于②,当n＞0时,幂函数y=x n是（0,+∞）上的增函数,故错．对于③,函数y=ax2+1（a＞1）的值域是[1,+∞）,故错．对于④,当x＞0,时,log2x2=2log2x才成立．故错对于⑤,若函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x）,则函数f（x）的图象关于直线x=1对称．正确．故答案为：⑤10．（4.00分）稿酬所得以个人每次取得的收入,定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额,每次收入不超过4000元,定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的,定率减除20%的费用．适用20%的比例税率,并按规定对应纳税额减征30%,计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿,共纳税280元,这个人应得稿费（扣税前）为2800元．【分析】由题意,设这个人应得稿费（扣税前）为x元,则280=（x﹣800）×20%×（1﹣30%）,即可得出结论．【解答】解：由题意,设这个人应得稿费（扣税前）为x元,则280=（x﹣800）×20%×（1﹣30%）所以x=2800,故答案为：2800．11．（4.00分）定义区间（c,d）,[c,d）,（c,d],[c,d]的长度均为d﹣c,其中d＞c．已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a,b],值域为,则区间[a,b]长度的最大值与最小值的差．【分析】函数的图象,如图所示,y=|2x﹣1|=,x=﹣1或,求出区间[a,b]长度的最大值与最小值,即可得出结论．【解答】解：函数的图象,如图所示,y=|2x﹣1|=,x=﹣1或,故[a,b]的长度的最大值为﹣（﹣1）=+1,最小值为0﹣（﹣1）=1,则区间[a,b]的长度的最大值与最小值的差为故答案为．12．（4.00分）函数f（x）=2x和g（x）=x3的图象的示意图如图所示,设两函数的图象交于点A（x1,y1）,B（x2,y2）,且x1＜x2．若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},则a+b=10．【分析】根据函数f（x）=2x的图象过点（0,1）,g（x）=x3的图象过点（0,0）判断即可,结合函数的零点的判定定理判断即可．【解答】解：∵函数f（x）=2x的图象过点（0,1）,∴C2是其图象；∵g（x）=x3的图象过点（0,0）,∴C1是其图象；∵f（1）＞g（1）,f（2）＜g（2）,∴x1∈[1,2],故a=1；∵f（9）＜g（9）,f（10）＞g（10）∴x2∈[9,10],故b=9,∴a+b=10．故答案为10．13．（4.00分）已知函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x）,若函数的图象经过点（1,2）,则函数的图象经过点（1,0）．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数的图象经过点（1,2）,∴2=f（1）+1,解得f（1）=1．∴f﹣1（1）=1．则函数的图象经过点（1,0）．故答案为：（1,0）．14．（4.00分）已知,其中a是方程x+lgx=4的解,b是方程x+10x=4的解,如果关于x的方程f（x）=x的所有解分别为x1,x2,…,x n,记,则=﹣1．【分析】先根据a满足x+lgx=4,b满足x+10x=4,可得a+b=4,进而可分类求出关于x 的方程f（x）=x的解,再求其和即可．【解答】解：∵a满足x+lgx=4,b满足x+10x=4,∴a,b分别为函数y=4﹣x与函数y=lgx,y=10x图象交点的横坐标,由于y=x与y=4﹣x图象交点的横坐标为2,函数y=lgx,y=10x的图象关于y=x对称,∴a+b=4,∴函数f（x）=,当x≤0时,关于x的方程f（x）=x,即x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,∴x=﹣2或x=﹣1,满足题意；当x＞0时,关于x的方程f（x）=x,即x=2,满足题意．∴=﹣2﹣1+2=﹣1,故答为：﹣1二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑,选对得5分,不选、选错或者选出的人号超过一个,一律得零分．15．（5.00分）4个孩子在黄老师的后院玩球,突然传来一阵打碎玻璃的响声,黄老师跑去察看,发现一扇窗户玻璃被打破了,老师问：“谁打破的？”宝宝说：“是可可打破的．”可可说：“是毛毛打破的．”毛毛说：“可可说谎．”多多说：“我没有打破窗子．”如果只有一个小孩说的是实话,那么打碎玻璃的是（）A．宝宝B．可可C．多多D．毛毛【分析】根据题意,假设宝宝、可可、毛毛、多多,分别是肇事者,再根据他们的对话,进行排除,即可得出答案．【解答】解：（1）若宝宝是肇事者,由条件可知,毛毛、多多,这与其中只有一个孩子说了真话矛盾；（2）若可可是肇事者,由条件可知,宝宝、毛毛、多多,这与其中只有一个孩子说了真话矛盾；（3）若毛毛是肇事者,由条件可知,多多和可可说了真话,矛盾不成立；（4）若多多是肇事者,由条件可知毛毛说了真话,成立；所以,毛毛说了真话,多多是肇事者；因此,说实话的是毛毛,是多多打破了玻璃；故选：C．16．（5.00分）幂函数y=x﹣1,及直线y=x,y=1,x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ（如图所示）,那么,幂函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是…（）A．Ⅳ,ⅦB．Ⅳ,ⅧC．Ⅲ,ⅧD．Ⅲ,Ⅶ【分析】由幂函数的图象和性质,我们可得在直线X=1两侧,按逆时针方向,指数函数图象对应的真数部分均由小变大,分析幂函数的指数的大小,即可得到结论．【解答】解：由于在直线X=1两侧,按逆时针方向,指数函数图象对应的真数部分均由小变大而＜﹣1故在直线X=1左侧,幂函数的图象经过第III卦限；在直线X=1右侧,幂函数的图象经过第VII卦限；故选：D．17．（5.00分）下列四类函数中,有性质“对任意的x＞0,y＞0,函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的是（）A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数【分析】根据题意,要求找到符合“对任意的x＞0,y＞0,函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；分析选项可得答案．【解答】解：根据题意,要求找到符合“对任意的x＞0,y＞0,函数f（x）满足f（x+y）=f（x）f（y）”的函数；分析选项可得,A、B、D不符合f（x+y）=f（x）f（y）,只有C中,对于指数函数有：a x+y=a x•a y,成立；故选：C．18．（5.00分）如图,点O为坐标原点,点A（1,1）,若函数y=a x（a＞0,且a≠1）及log b x（b＞0,且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M,N,且M,N恰好是线段OA 的两个三等分点,则a,b满足（）A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1【分析】先由图象得到0＜a＜1,0＜b＜1,再根据反函数的定义可以得出y=a x经过点M,则它的反函数y=log a x也经过点M,根据对数函数的图象即可得到a＜b．【解答】解：由图象可知,函数均为减函数,所以0＜a＜1,0＜b＜1,因为点O为坐标原点,点A（1,1）,所以直线OA为y=x,因为y=a x经过点M,则它的反函数y=log a x也经过点M,又因为log b x（b＞0,且b≠1）的图象经过点N,根据对数函数的图象和性质,∴a＜b,∴a＜b＜1故选：A．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤,答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12.00分）已知关于x的不等式ax2﹣bx+3＞0的解集为（﹣3,1）（Ⅰ）求实数a,b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：．【分析】（Ⅰ）根据不等式的解集求出a,b的值即可；（Ⅱ）根据a,b的值问题转化为解不等式log2（2x﹣1）≤2即可．【解答】解：（Ⅰ）∵关于x的不等式ax2﹣bx+3＞0的解集为（﹣3,1）,∴=﹣2,=﹣3,解得：a=﹣1,b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a=﹣1,b=2,,即log2（2x﹣1）≤2,故2x﹣1≤4,解得：x≤,而2x﹣1＞0,解得：x＞,故不等式的解集是（,]．20．（14.00分）已知函数f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设b＞0,若函数f（x）在区间[﹣b,b]上最大值与最小值的差为b,求b的值．【分析】（I）根据函数f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数,得到f（0）=0,从而求得a值即可；（II）由（I）得函数f（x）=|x|•x（a∈R）在区间[﹣b,b]上增函数,结合题意：函数f（x）在区间[﹣b,b]上最大值与最小值分别为：b2,﹣b2,列出方程即可求得b值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=|x|•（x+a）（a∈R）是奇函数∴f（0）=0,∴a=0．（II）函数f（x）=|x|•x（a∈R）在区间[﹣b,b]上增函数,函数f（x）在区间[﹣b,b]上最大值与最小值分别为：b2,﹣b2,∴b2+b2=b．∴b=．21．（14.00分）今有一长2米宽1米的矩形铁皮,如图,在四个角上分别截去一个边长为x米的正方形后,沿虚线折起可做成一个无盖的长方体形水箱（接口连接问题不考虑）．（Ⅰ）求水箱容积的表达式f（x）,并指出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若要使水箱容积不大于4x3立方米的同时,又使得底面积最大,求x的值．【分析】（Ⅰ）确定长方体形水箱高为x米,底面矩形长为（2﹣2x）米,宽（1﹣2x）米,即可得到该水箱容积为f（x）=（2﹣2x）（1﹣2x）x=4x3﹣6x2+2x,根据长、宽、高为正数,可确定所求函数f（x）定义域；（Ⅱ）根据水箱容积不大于4x3立方米,构建不等式,确定函数的定义域,再利用底面积为S（x）=（2﹣2x）（1﹣2x）=4x2﹣6x+2,结合定义域,可得结论．【解答】解：（Ⅰ）由已知该长方体形水箱高为x米,底面矩形长为（2﹣2x）米,宽（1﹣2x）米．∴该水箱容积为f（x）=（2﹣2x）（1﹣2x）x=4x3﹣6x2+2x．…（4分）其中正数x满足∴0＜x＜．∴所求函数f（x）定义域为{x|0＜x＜}．…（6分）（Ⅱ）由f（x）≤4x3,得x≤0或x≥,∵定义域为{x|0＜x＜},∴≤x＜．…（8分）此时的底面积为S（x）=（2﹣2x）（1﹣2x）=4x2﹣6x+2（x∈[,））．由S（x）=4（x﹣）2﹣,…（10分）可知S（x）在[,）上是单调减函数,∴x=．即要使水箱容积不大于4x3立方米的同时,又使得底面积最大的x是．…（12分）22．（16.00分）设函数f（x）=log2x．（1）解不等式f（x﹣1）+f（x）＞1；（2）设函数g（x）=f（2x+1）+kx,若函数g（x）为偶函数,求实数k的值；（3）当x∈[t+2,t+3]时,是否存在实数t（其中0＜t＜1）,使得不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立？若存在,求出t的取值范围；若不存在,说明理由．【分析】（1）化简f（x﹣1）+f（x）＞1；利用对数不等式转化为不等式组,求解即可．（2）通过函数g（x）为偶函数,利用偶函数的定义推出方程,即可求实数k的值；（3）转化不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立,为函数的最值问题,通过绝对值函数的最值,求出t的取值范围即可．【解答】（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分（4分）,第2小题满分（5分）,第3小题满分（7分）．解（1）log2x+log2（x﹣1）＞2,可得：,解得x＞2（4分）（给出x＜﹣1或x＞2扣1分）（2）g（﹣x）=g（x）,即,（5分）整理,得（2k+1）x=0,；（9分）（如g（﹣1）=g（1）,,没有证明扣2分）（3）不等式|f（）﹣f（x﹣3t）|≤1恒成立,即,（11分）等价于恒成立,解,得,综上,不存在t符合题意．（16分）23．（18.00分）如果存在非零常数C,对于函数y=f（x）定义域上的任意x,都有f （x+C）＞f（x）成立,那么称函数为“Z函数”．（Ⅰ）若g（x）=2x,h（x）=x2,试判断函数g（x）和h（x）是否是“Z函数”？若是,请证明：若不是,主说明理由：（Ⅱ）求证：若y=f（x）（x∈R）是单调函数,则它是“Z函数”；（Ⅲ）若函数f（x）=ax3+2x2+3是“Z函数”,求实数a满足的条件．【分析】（Ⅰ）根据“Z函数”的定义解不等式即可判断．（Ⅱ）由y=f（x）（x∈R）是单调函数,若是增函数,则当c＞0时,函数为“Z函数”；若是减函数,则当c＜0时,函数为“Z函数”,从而得证；（Ⅲ）由函f（x）=ax3+2x2+3是“Z函数”,则函数f（x）满足定义,结合一元二次不等式恒成立进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）若g（x）=2x,由g（x+C）＞g（x）得2x+C＞2x,即x+C＞x,则C＞0,即存在C＞0,则g（x）是“Z函数”,若h（x）=x2,由h（x+C）＞h（x）得（x+C）2＞x2,即2Cx+C2＞0,即若C＞0,则2x+C＞0,不能恒成立,若C＜0,则2x+C＜0,不能恒成立即h（x）不是“Z 函数”．（Ⅱ）若y=f（x）（x∈R）是单调函数,若y=f（x）（x∈R）是增函数,则当c＞0时,都有f（x+c）＞f（x）成立,函数为“Z 函数”．若y=f（x）（x∈R）是减函数,则当c＜0时,都有f（x+c）＞f（x）成立,函数为“Z 函数”．（Ⅲ）若函数f（x）=ax3+2x2+3是“Z函数”,由f（x+C）＞f（x）得函数为单调函数,得a（x+C）3+2（x+C）2+3＞ax3+2x2+3,即3aCx2+（3aC2+4C）x+（aC3+2C2）＞0恒成立,则,即,则,或,即a≠0即可．。