第六章-20170309-10 (1)

第6节双曲线最新考纲理解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．知识梳理1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的间隔差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，那么点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的间隔叫焦距．其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)假设a<c时，那么集合P为双曲线；(2)假设a＝c时，那么集合P为两条射线；(3)假设a>c时，那么集合P为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)[常用结论与微点提醒]1．双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的间隔为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2 a.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，那么AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.2．双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1〞为“0〞就得到两渐近线方程，即方程x2a2－y2b2＝0就是双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的两条渐近线方程．诊断自测1．考虑辨析(在括号内打“√〞或“×〞)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)间隔之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)间隔之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(4)双曲线x2m2－y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线．(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部．(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时那么表示焦点在y 轴上的双曲线．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．(2021·全国Ⅰ卷)方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的间隔 为4，那么n 的取值范围是( ) A ．(－1，3) B ．(－1，3) C ．(0，3)D ．(0，3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，应选A. 答案 A3．(2021·全国Ⅲ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，那么C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1解析 由题设知b a ＝52，①又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点， 易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，那么双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1. 答案 B4．(2021·全国Ⅲ卷)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，那么a ＝________．解析 由双曲线的标准方程可得渐近线方程为y ＝±3a x ，结合题意可得：a ＝5.答案 55．(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．解析设双曲线的方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x28－y28＝1.答案x28－y28＝16．(2021·台州调考)以椭圆x24＋y2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________．解析由题意可知所求双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，那么a＝4－1＝3，c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－3＝1，故双曲线方程为x23－y2＝1，其渐近线方程为y＝±33x，离心率为e＝23 3.答案y＝±33x233考点一双曲线的定义及其应用【例1】(1)(2021·杭州模拟)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，假设△F1AB 是以B为直角顶点的等腰直角三角形，那么e2＝()A．1＋2 2 B．4－2 2C．5－2 2 D．3＋2 2(2)F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，66)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析(1)如下图，因为|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AF2|＝2a，|AF1|＝4a.所以|BF1|＝22a，所以|BF2|＝22a－2a.因为|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2，所以(2c)2＝(22a)2＋(22a－2a)2，所以e2＝5－2 2.(2)设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF 周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为x－3＋y 66＝1.与x2－y28＝1联立，解得P点坐标为(－2，26)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12 6.答案(1)C(2)12 6规律方法“焦点三角形〞中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形〞中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联络．提醒利用双曲线的定义解决问题，要注意三点①间隔之差的绝对值．②2a＜|F1F2|.③焦点所在坐标轴的位置．【训练1】(1)假如双曲线x24－y212＝1上一点P到它的右焦点的间隔是8，那么点P到它的左焦点的间隔是()A．4 B．12 C．4或12 D．不确定(2)点P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，假设S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，那么△MF 1F 2的面积为( ) A ．27B ．10C ．8D ．6解析 (1)由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，∴|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4， ∴|PF 1|＝12或|PF 1|＝4.(2)设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5， 因为S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，所以12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8， 即aR ＝8，所以R ＝2，所以S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10. 答案 (1)C (2)B考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度1 与双曲线有关的范围问题【例2－1】 M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，假设MF 1→·MF 2→<0，那么y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33. 答案 A命题角度2 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题 【例2－2】 (1)(2021·天津卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.假设经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，那么双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1D.x 28－y 24＝1 (2)(2021·全国Ⅰ卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．假设∠MAN ＝60°，那么C 的离心率为________． 解析 (1)由题意可得ca ＝2，即c ＝2a . 又左焦点F (－c ，0)，P (0，4)，那么直线PF 的方程为y －04－0＝x ＋c0＋c ，化简即得y ＝4c x ＋4.结合条件和图象易知直线PF 与y ＝ba x 平行， 那么4c ＝ba ，即4a ＝bc .故⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，4a ＝bc ，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝8，故双曲线方程为x 28－y 28＝1.(2)如图，点M ，N 所在的渐近线为ay －bx ＝0，圆A 的圆心A (a ，0)到渐近线的间隔 d ＝|0－ab |a 2＋〔－b 〕2，又M ，N 均为圆A 上的点，∴|AM |＝|AN |＝b ，又∠MAN ＝60°，∴△MAN 为等边三角形，在△MAN 内，A 到边MN 的间隔 为d ＝|AM |·sin 60°＝ 32b ，∴有|0－ab |a 2＋〔－b 〕2＝32b ，解得a 2＝3b 2，∴c 2＝4b 2，∴e ＝c a ＝43＝233.答案 (1)B (2)233规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)假设条件中存在不等关系，那么借助此关系直接变换转化求解．(2)假设条件中没有不等关系，要擅长发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．【训练2】 (1)(2021·慈溪调研)设双曲线C 的中心为点O ，假设有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，那么该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞(2)双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，那么P A 1→·PF 2→的最小值为________． 解析 (1)因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否那么不满足题意．可得b a ＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2a 2≤3时，c 2－a 2a 2≤3，即4a 2≥c 2，∴e 2≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2. 所以双曲线的离心率的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2.(2)由题可知A 1(－1，0)，F 2(2，0)．设P (x ，y )(x ≥1)，那么P A 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，P A 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，P A 1→·PF 2→获得最小值－2. 答案 (1)A (2)－2考点三 双曲线的综合问题【例3】 (1)椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a ＞0)与双曲线x 24－y 23＝1有一样的焦点，那么a 的值为( ) A. 2B.10C ．4D.34(2)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．假设点P 到直线x －y ＋1＝0的间隔 大于c 恒成立，那么实数c 的最大值为________． 解析 (1)因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a ＞0)与双曲线x 24－y 23＝1有一样的焦点(±7，0)，那么有a 2－9＝7，所以a ＝4.(2)设P (x ，y )(x ≥1)，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间的间隔 ，由两平行线间的间隔 公式知，该间隔 为12＝22. 答案 (1)C (2)22规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．(2)解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．【训练3】 (1)(2021·天津卷)双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，那么双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1 (2)(2021·浙江名校三联)从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，那么|MO |－|MT |等于( ) A. 3 B. 5 C.5－ 3D.5＋ 3解析 (1)由双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)知其渐近线方程为y ＝±b2x ， 又圆的方程为x 2＋y 2＝4，①不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B ，将y ＝b2x 代入方程①式，可得点B ⎝⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.(2)设双曲线的右焦点为F ′，连接PF ′，OT ，∵O 为FF ′的中点，M 为PF 的中点， ∴MO 为△PFF ′的中位线，且|MO |＝12|PF ′|，|FM |＝12|PF |，又|MT |＝|FM |－|FT |＝12|PF |－|FT |， ∴|MO |－|MT |＝12(|PF ′|－|PF |)＋|FT |＝|FT |－a . 又a ＝3，|FT |＝|OF |2－3＝5，∴|MO |－|MT |＝5－ 3. 答案 (1)D (2)C根底稳固题组一、选择题1．(2021·温岭月考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，应选B. 答案 B2．(2021·全国Ⅰ卷)F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，那么△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32解析 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)，将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32.答案 D3．(2021·杭州调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，那么|AB |＝( ) A.433B ．23C ．6D ．4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. 答案 D4．(2021·浙江卷)椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，那么( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 答案 A5．F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，那么cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.35C.34D.45解析 由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 C6．(2021·衢州质检)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)(c ＞0)，过点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的一条切线交圆于点E ，交双曲线右支于点P ，假设OP →＝2OE →－OF →，那么双曲线的离心率为( ) A.102B.52C.72D ．2解析 由OP→＝2OE →－OF →得OP →－OE →＝OE →－OF →，即EP →＝FE →，所以点E 为线段FP的中点．设双曲线的右焦点为F 1，连接OE ，PF 1，那么易得OE 为△PFF 1的中位线，所以|PF 1|＝2|OE |＝a ，F 1P ⊥FP ，又因为点P 在双曲线的右支上，所以|FP |－|F 1P |＝2a ，所以|FP |＝3a ，那么在Rt △PFF 1中，由勾股定理易得|FP |2＋|F 1P |2＝|F 1F |2，即(3a )2＋a 2＝(2c )2，解得双曲线的离心率e ＝c a ＝102. 答案 A二、填空题7．(2021·浙江卷)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________． 解析 由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .答案 23 y ＝±22x8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，假设正方形OABC 的边长为2，那么a ＝________． 解析 取B 为双曲线右焦点，如下图．∵四边形OABC 为正方形且边长为2，∴c ＝|OB |＝22， 又∠AOB ＝π4， ∴b a ＝tan π4＝1，即a ＝b . 又a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2. 答案 29．双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，那么E 的离心率是________． 解析 由得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c .又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)． 答案 210．(2021·江苏卷改编)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的两条渐近线分别交直线x ＝32于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，那么四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析 由双曲线方程x 23－y 2＝1知a ＝3，b ＝1，c ＝2，所以渐近线方程为y ＝±13x ＝±33x ，那么与直线x ＝32交点P ，Q 纵坐标的绝对值为|y 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪±33×32＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝4.所以S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3，那么S 四边形F 1PF 2Q ＝2S △F 1PF 2＝2 3. 答案 2 3 三、解答题11．双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)(一题多解)假设点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. (1)解 ∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.∴MF 1→·MF 2→＝0.法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.12．椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →＞2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 那么a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝〔－62k 〕2＋36〔1－3k 2〕＝36〔1－k 2〕＞0， ∴k 2≠13且k 2＜1.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →＞2，得x 1x 2＋y 1y 2＞2， ∴3k 2＋73k 2－1＞2，即－3k 2＋93k 2－1＞0，解得13＜k 2＜3.②由①②得13＜k 2＜1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.才能提升题组13．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .假设以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，那么双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1D.x 212－y 24＝1解析 由双曲线方程知右顶点为(a ，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝ba x ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c ，0)，由可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，那么c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，应选A.答案 A14．假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，那么双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 解析 由条件，得|OP |2＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2，∴2b ≥a ，又∵c 2＝a 2＋b 2≥a 2＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥52.答案 C15．(2021·浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，假设点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，那么|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析 如图，由可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF 2|＝m ，那么|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧〔m ＋2〕2＜m 2＋42，42＜〔m ＋2〕2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8. 答案 (27，8)16．双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的间隔 为255. (1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设AP→＝PB →，求△AOB 的面积．解(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m ＞0，n ＞0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n. 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1， 整理得mn ＝1.设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，那么tan θ＝12，从而sin 2θ＝45. 又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，∴S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.17．(2021·嘉兴测试)中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)假设直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36〔1－k 2〕>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k2>0，解得33<k <1.∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点． (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2. ∴AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为：y ＝－1k x ＋m ，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝42 1－3k2.∵33<k<1，∴－2<1－3k2<0.∴m<－2 2.∴m的取值范围为(－∞，－22)．。

第六章个人所得税复习思考题参考答案一、单选题1-5 AABDA 6-10 CBADD 11-15 CADDA 16-18 DBC二、多选题1.ACD2.AD3.ABCD4.ABC5.ABCD6.AB7.BCD8.CD9.AB 10.AC 11.BC 12.BD 13.BC 14.AD 15.BD三、判断题1-5 ××√××6-10 ××√√×11-15 ××××√四、名词解释1.个人所得税：主要是以自然人取得的各类应税所得为征税对象而征收的一种所得税，是政府利用税收对个人收入调节的一种手段。

2.居民纳税人：在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满183天的个人。

3.非居民纳税人：是指在中国境内无住所又不居住或者无住所而一个纳税年度在内境内居住累计不满183天的个人。

4.源泉扣缴：指以所得支付者为扣缴义务人，在每次向纳税人支付有关所得款项时，代为扣缴税款的做法。

五、简答题1.个人所得税的特点：（1）综合所得税制和分类所得税制相结合；（2）累计税率和比例税率并用；（3）费用扣除较宽；（4）采取代扣代缴和自行申报两种征纳方法。

2.居民纳税人于非居民纳税人的区别：居民纳税人：在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满183天的个人。

居民纳税人承担无限纳税义务，其取得的应纳税所得额，无论来源于中国境内还是中国境外都要在中国境内缴纳个人所得税。

非居民纳税人：是指在中国境内无住所又不居住或者无住所而一个纳税年度在内境内居住累计不满183天的个人。

非居民纳税人承担有限纳税义务，只就其来源于中国境内的所得缴纳个人所得税。

3.个人所得税的应税项目：（1）工资、薪金所得；（2）劳务报酬所得；（3）稿酬所得；（4）特许权使用费所得；（5）经营所得；（6）利息、股息、红利所得；（7）财产租赁所得；（8）财产转让所得；（9）偶然所得。

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3).同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-40)2(10)2(7z)2(30)2(50)2(-2z)2解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。

审计学实务与案例第五版答案第六章课后题答案1、29.[单选]关于商业银行经营管理的说法，错误的是（）[单选题] *A.资产盈利性与安全性是负相关关系B.资产流动性与盈利性是负相关关系C.安全性原则是指贷款和投资等业务要能够按期数收回本息D.流动性原则是指商业网银行以更低的利率吸收更多的活期存款(正确答案)2、20、相关比率是某个项目和与其有关但又不同的项目加以比较所得的相关数值的比率，以下属于相关比率的是（）[单选题] *A、主营业务利润率B、资产负债率(正确答案)C、净资产利润率D、成本利润率3、7、我国物权法的基本原则包括（）。

*A、物权公示原则(正确答案)B、一物一权原则(正确答案)C、物权法定原则(正确答案)D、全面履行原则4、97.[多选]按照市场失灵的理论，导致市场失灵的原因包括（）。

*A.信息不对称(正确答案)B.市场监管不力C.市场竞争过度D.收入分配差距过大5、12.[单选]规定了会计核算内容空间范围的会计基本假设是（）[单选题] *A.会计主体(正确答案)B.持续经营C.会计分期D.货币计量6、2、下列所有权的取得方式中，因物权首次产生而获得所有权的是（）。

*A、生产(正确答案)B、先占C、国有化D、孳息(正确答案)7、14、在经济法调对象中，市场管理关系的内容包括（）。

*A、合同法律关系B、维护公平竞争关系(正确答案)C、消费者权益保护关系(正确答案)D、产品质量管理关系(正确答案)8、77.[多选]财政“汲水政策"的特点有（）。

*A.该政策是一种诱导经济复苏的政策(正确答案)B.该政策以扩大公共投资规模为手段(正确答案)C.实行该政策时，财政投资规模具有有限性(正确答案)D.该政策是一种短期的财政政策(正确答案)9、6、下列权利中，属于用益物权的有（）*A、建设用地使用权(正确答案)B、宅基地使用权(正确答案)C、土地承包经营权(正确答案)D、留置权10、11、民法借助（）制度为市场主体善意行使权力和履行义务提供保障*A、反垄断B、违约责任(正确答案)C、物权法D、侵权责任(正确答案)11、26、企业短期偿债能力指标包括（）*A、流动比率(正确答案)B、资产负债表C、产权比率D、现金比率(正确答案)12、10.按照服务差距模型分类，服务提供者制定的服务标准与管理者所认知的顾客期望不一致导致的差距属于（）差距。

第六章投资管理考情分析本章是重点章,内容较多，并且是全教材难度最大的一章，是学习中的第三只拦路虎.本章主要介绍了投资管理的主要内容、投资项目财务评价指标、项目投资管理、证券投资管理。

从历年考试的情况来看，各种题型均可能涉及，并且几乎每年都有主观题，分值很重。

预计2017年本章的分值在15分左右.知识框架价值：资产的价值是未来现金净流量的现值和。

第一节投资管理的主要内容知识点一:投资管理的主要内容★【16多选;15判断】一、企业投资的意义（一）投资是企业生存与发展的基本前提;（二）投资是获取利润的基本前提；（三)投资是企业风险控制的重要手段。

【提示】通过投资，可以将资金投向企业生产经营的薄弱环节，使企业的生产经营能力配套、平衡、协调.通过投资,还可以实现多元化经营.二、企业投资管理的特点（一）属于企业的战略性决策；（二）属于企业的非程序化管理；（三)投资价值的波动性大.【思考】如下表述是否正确:项目投资都是直接投资。

（正确)证券投资都是间接投资.（正确)对内投资都是直接投资。

（正确）对外投资都是间接投资。

（错误）【例题·单选题】下列有关企业投资的说法中，不正确的是（）.A.项目投资属于直接投资B。

投资是获取利润的基本前提C。

投资是企业风险控制的重要手段D.按投资对象的存在形态和性质，企业投资可以划分为直接投资和间接投资『正确答案』D『答案解析』按投资活动与企业本身的生产经营活动的关系，企业投资可以划分为直接投资和间接投资；按投资对象的存在形态和性质，企业投资可以划分为项目投资和证券投资。

所以,选项D的说法不正确。

【2016考题·多选题】按照企业投资的分类，下列各项中，属于发展性投资的有（ ).A。

开发新产品的投资 B。

更新替换旧设备的投资C。

企业间兼并收购的投资 D.大幅度扩大生产规模的投资『正确答案』ACD『答案解析』发展性投资也可以称为战略性投资，如企业间兼并合并的投资、转换新行业和开发新产品投资、大幅度扩大生产规模的投资等.更新替换旧设备的投资属于维持性投资。

苏菲冲到阳台边上，心里说不出来是什么滋味，并没有报复的快感，反而还有一丝懊恼。

昨天她虽然喝多了，可意识还是清醒的。

如果没记错，是自己主动勾引的对方，就像是心里装着一团火，下意识想要融化身边的一切。

苏菲觉着，应该是那杯酒被人动了手脚。

不过木已成舟，再说什么都晚了。

她是苏家用尽全部资源培养出来的女人，这些年来小心心翼翼，半步不敢行将就错，为的就是家族荣光。

可眼下这算怎么回事，把这一切怪在别人的身上？苏菲抹了抹眼角，抱着肩膀看向天空，告诫自己不能低头，王冠会掉。

赵东有些意外的问，“你哭了？”他原本以为会听见一道报复式的冷笑，没成想，却看到了那张冰冷面具下的柔弱。

难道她之前的不在乎，之前的倔强和强势全都是装出来的？想到此处，他忽然有些心疼，不管苏菲如何强势，如何霸道，也终究是一个女人。

自己的第一个女人！听见赵东的声音，她一脸惊诧的转过头，“你……你没跳？”赵东解释，“我跳了，又上来了。

”“骗子，虚伪的王八蛋，你就是一个懦夫！”苏菲很想骂人，可是良好的家教让她一阵词穷，翻来覆去就这几句话。

赵东耸耸肩，“事实证明，我即使这样做了，你也不会好受，而且就算我真的跳下去，也不会怎么样。

”苏菲根本没认真听赵东的话，“你这个无赖……我杀了你！”她扑了过去，两只手在赵东身上一阵疯狂的拍打。

赵东站在原地没动，只是有些无奈的看向她，“你这是杀人，还是在挠痒痒？”“我……”苏菲气的不轻，最后张嘴咬在赵东的肩头。

力气不小，唇齿间很快就品尝到一丝淡淡的血腥气。

见赵东没反应，她往后退了一步，“你不疼？”赵东盯着她的眼睛，“如果能让你好受一点的话，我可以忍着。

”他不得不承认，苏菲的确是祸水级别的女神，即使生气的时候，也依然漂亮的不像话。

苏菲心一软，结果瞥见赵东的目光，忽然感觉一阵恶心。

男人果然都是用下半身思考的动物，他也不例外！“王八蛋！”苏菲骂着，一记撩阴腿踢了过去。

赵东挡开的同时，嘴里也忍不住骂道：“卧槽！你特么疯了？”他实在搞不懂这个女人，翻脸怎么比翻书还快？苏菲冷笑，“你怎么不忍着了？”赵东黑着脸，你麻痹，这玩意能忍么？苏菲不依不饶，一脚接一脚的踢了过去，“王八蛋！王八蛋！王八蛋！”“苏菲，你再跟我蹬鼻子上脸，老子可就不客气了！”赵东有些不耐烦，泥菩萨还有三分火气呢，他又不是泥捏的。

第1篇第一章：邂逅阳光明媚的下午，阳光洒在繁华的都市街道上，映照出一片金黄。

林峰，一个年轻的大学毕业生，刚刚踏入社会，怀揣着对未来的憧憬，在这座陌生的城市里寻找着自己的定位。

在一家咖啡馆里，林峰正在喝着咖啡，看着窗外的风景。

这时，一位身穿职业装，气质优雅的女士走了进来。

她长发披肩，眼神坚定，一举一动都散发着成熟女性的魅力。

这位女士就是林雨，一家知名企业的项目经理。

她刚刚结束了一项重要的项目，心情愉悦地走进咖啡馆，点了一杯咖啡，坐在了林峰的对面。

第二章：意外林峰注意到对面的女士，不禁被她的气质所吸引。

他心中暗自感叹，都市里的御姐真是让人难以抗拒。

正当他准备开口搭讪时，却发现对方似乎在等人。

林峰心中一动，决定观察一下这位女士。

不久，一位年轻男子走了进来，看上去有些紧张。

他走到林雨身边，轻声说了几句，林雨的表情变得严肃起来。

林峰猜测，这位男子可能是林雨的客户或者是合作伙伴。

他心中暗自庆幸，还好没有贸然开口。

第三章：交谈男子离开后，林雨的情绪似乎有所缓和。

她抬头看着林峰，微微一笑，打破了沉默。

“你好，我叫林雨，是这家公司的项目经理。

”林雨主动伸出手，与林峰握手。

“你好，我叫林峰，刚毕业的大学生。

”林峰礼貌地回应。

两人开始交谈，林雨了解到林峰的专业是计算机科学，对她所从事的项目管理也表现出浓厚的兴趣。

第四章：实践林雨看着林峰，心中暗自思忖，这位年轻人虽然年轻，但眼中透露出的聪明才智让她对他产生了好感。

她决定给林峰一个实践的机会。

“林峰，我对你的专业和才华很感兴趣。

如果你愿意，可以来我公司实习，我相信你能在这里学到很多东西。

”林雨真诚地说。

林峰激动不已，他没想到自己会得到这样的机会。

他毫不犹豫地答应了林雨的邀请。

第五章：成长林峰开始了在林雨公司的实习生涯。

他努力学习，勤奋工作，很快就融入了这个团队。

在林雨的指导下，他不仅学到了丰富的专业知识，还学会了如何与人沟通、协调和解决问题。

在实习期间，林峰参与了一个重要的项目。

第一章财政概述【课后实训答案】一、单选题1.B2.B3.C4.B5.C6.B7.D8.D9.B 10.B二、多选题1. ABCD2.ACD3.ABD4.AB5.AB三、判断题1.×2.×3. √4. √5.×6. √7. ×8. ×9. √ 10. ×四、案例分析参考1. 海东市加快各类政府引导基金组建步伐，采取股权投资、债权投资等方式，吸引和撬动更多的社会资本推动海东市经济结构调整和产业转型升级，海东市不断完善财政政策扶持体系，加大对PPP项目的支持力度，属于资源配置功能和经济稳定与发展职能。

2. 积极开展机构养老服务试点和第三方监督政府购买服务工作，属于收入分配职能。

3. 海东市全面实施营改增和资源税从价计征改革，有效降低企业税负成本，属于经济稳定与发展职能。

第二章财政支出【课后实训答案】一、单选题1.A2.C3.C4.B5.B6.A7.D8. A9.C 10.B二、多选题1.CD2.AC3.ABC4.ACD5.CD6.ACD7. ABC8.ABD9.BCD 10. BC三、判断题1.√2.×3.√4.×5.√6.×7.×8.×9.√ 10.×四、案例分析参考1. 决算报告显示，2016年，中央财政赤字14000亿元，与预算持平。

中央财政赤字规模扩大，中央预算开支的增加是为了支持供给侧结构性改革，凸显积极财政政策的加力增效。

2. 虽然部分支出科目决算数与预算数存在差异，是因为预算执行中根据经济社会发展需要，在没有扩大中央财政支出规模的情况下，调整支出结构，，民生保障持续加强。

如对贫困地区转移支付力度继续加大。

对困难群众基本生活救助补助、公共卫生服务补助等涉及基本民生方面的专项资金持续增长。

3. 中央本级“三公”经费财政拨款支出合计48.25亿元，比预算数减少14.85亿元，表明各部门公款出国、私用公车少了，尤其公款吃喝之风得以狠刹。

第八章财产行为税（一）单项选择题1．C 2．B 3．B 4．A 5．D 6．无第一个答案3000第二个6000第三个9000第四个12000然后选第一个就行了7．A 8．B 9．无10．C 11．A 12．D 13．A 14．D 15．B 16．C 17．D 18．D 19．B 20．D 21.D 22.C 23.B 24.A 25.B 26.B 27.A 28.A 29.D 30.A 31.A 32.D 33.B 34.D 35.A 36．B 37.A 38.B 39.C 40.D 41.C 42.C 43.无加销售额，把定额税率改成比例税率。

再计算重新给出答案（二）多项选择题1.ABCD2.AC3.ABD4.AC5.ABCD6.A 觉得剩下的都不对且题干多个儿字7.BC8.ABC9.ABCD 10.AB 11.BC 12.ABCD 13.BD 14.BCD 15.ABCD 16.ACD 17.BC 18.ABC 19.BCD 20.ABD 21?22.AB 23.AB 24.ABCD 25.ABCD 26.ABD 27.ABCD 28.AC 29.ABCD 30BD 31.ACD（三）判断题1.错2.错3.对4.错5.对6.错7.错8.错9.错10.错11.错12.错13.对14.错15.错16.错17.错18.对19.对20.错21.错22.对23.对24.对25.对26.对27.错28.对29.错30.错31.错32.对33.对34.对35.错36.错37.对38.错39.对40.错41.对42.对43.对44.对45.错46.错47.错48.错49.对50.错51.错52.错53.错54.对55.对56.对57.对58.错(四) 名词解释1、城镇土地使用税是以国有土地为征税对象，对拥有土地使用权的单位和个人征收的一种税。

2、耕地占用税是对在我国境内占用耕地建设建筑物、构筑物或者从事其他非农业建设的单位和个人，就其实际占用的耕地面积征收的一种税。