北京市海淀区教师进修学校附中2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

2020-2021学年北京市海淀区八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分。

1．（3分）下列曲线中，表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6B．2，3，4C．5，12，13D．1，，3 3．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，∠AOB＝60°，则AC的长度为（）A．2B．3C．4D．65．（3分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM 的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km6．（3分）把函数y＝x的图象向上平移2个单位，下列各点在平移后的函数图象上的是（）A．（2，2）B．（2，3）C．（2，4）D．（2，5）7．（3分）一次函数y＝kx+2中，若k＞0，则其图象可能是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE ＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14B．16C．18D．1210．（3分）直线y＝x+1与y＝﹣2x+a的交点在第一象限，则a的取值可以是（）A．﹣1B．0C．1D．2二、填空题：本大题共7小题，11-16题，每题3分，17题4分，共22分。

11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是．12．（3分）若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，请写出一个满足上述要求的k的值．13．（3分）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地可上，此处离树底部m处．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，AB＝6cm，BE平分∠ABC交AD边于点E，则线段DE的长度为．15．（3分）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝°．16．（3分）春耕期间，某农资门市部连续8天调进一批化肥进行销售，在开始调进化肥的第7天开始销售．若进货期间每天调入化肥的吨数与销售期间每天销售化肥的吨数都保持不变，这个门市部的化肥存量S（单位：t）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图所示，则该门市部这次化肥销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是．17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，过点A（5，3）作y轴的平行线，与x轴交于点B，直线y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）经过点A且与x轴交于点C（9，0）．我们称横、纵坐标都是整数的点为整点．（1）记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．请你结合函数图象，则区域W内的整点个数为；（2）将直线y＝kx+b向下平移n个单位（n≥0），若平移后的直线与线段AB，BC围成的区域（不含边界）存在整点，请结合图象写出n的取值范围．三、解答题：本大题共8小题，第18题6分，第19、20、21题，每题5分，第22题6分，第23、24、25题，每题7分，共48分。

北京市海淀区首都师范大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题一、单选题1．下列函数中是一次函数关系的是（ ）．A ．2y x =-B ．21y x =-C ．y =D ．21y x =- 2．下列计算正确的是（ ）A 3=B 1=C D ．2=3．在ABC V 中，三边长分别为3，4，5，那么ABC V 的面积为（ ）A ．12B ．6C ．152D ．1254．如图，在ABCD Y 中，42B ∠=︒，DE 平分ADC ∠，则DEC ∠的度数为（ ）A ．14︒B ．18︒C ．21︒D ．22︒5．已知一次函数y x b =-+的图象经过点()2,A m ，()4,B n ，则m 与n 的大小关系为（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法判断 6．已知矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，3AB =，30ACB ∠=︒，延长DC 至点E ，使得CE DC =，连接OE 交BC 于点F ，则CF 的长度为（ ）．A ．1 BC ．2D ．327．如图，在平面直角坐标系中，点12P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在直线22y x =+与直线24y x =+之间，则a 的取值范围是（ ）A ．24a <<B ．13a <<C ．12a <<D ．02a <<8．如图，E ，F ，G ，H 分别是边长为4的正方形ABCD 四条边上的点（不与顶点重合），且满足AE DH CG BF ===，记AF x =，则下列四个变量中，不存在最小值的是（ ）A ．BFB ．FEC ．FHD ．EFGH S 四边形二、填空题9．函数y x 的取值范围是.10．把直线3y x =-向上平移2个单位后所得直线的表达式为.11．已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件可使菱形ABCD 成为正方形． 12．如图，在矩形ABCD ，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，F 是BE 的中点，G 是BC 的中点，连按EC ，若8AB =，14BC =，则FG 的长为．13．对于一次函数y kx b =+，下表中给出3组自变量和相应的函数值．则a k +的值为．14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别为()03，，13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，()40，，BD x ∥轴，则点D 的坐标为．15．直线y kx b =+与y mx =在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式组1kx b mx -<+<的解集为 ．16．2024年3月14日森林学校举行了以π为主题的数学节，小兔和小龟进行了新型的“龟兔赛跑”比赛，它们在校园的π型跑道（图1）进行赛跑，小兔以A 为起点，沿着A E D --的线路到达终点D ，小龟以B 为起点，沿着B E C --的线路到达终点C ．小龟提前出发，小兔和小龟在经过线路中的大树E 时都休息了2分钟，再以原速度继续比赛，最终小兔和小龟同时到达各自的终点．设小兔所跑的时间为x 分钟（014x ≤≤），小龟所跑的路程1S 与小兔所跑的路程2S 差为y 米，12y S S =-，图2是y 与x 的函数关系图象，则下列说法正确的是（填写正确的序号）．①小龟跑了500米后小兔出发；②当8x =时，小龟到达大树E 开始休息；③小兔的速度为100米/分钟，大树E 距离小兔的起点A 800米．三、解答题17．计算：(1)(11． 18．如图，在ABCD Y 中，点E F ，分别在AB ，CD 上，且BE DF =．求证：AF CE =．19．已知1x ，求代数式223x x +-的值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数22y x =-+．(1)完成下列表格：(2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)根据图象回答：当0y >时，x 的取值范围是 ．21．已知：在AOD △中，90AOD ∠=︒．求作：菱形ABCD ．作法：①延长AO ，以点O 为圆心，OA 长为半径作弧，与AO 的延长线交于点C ； ②延长DO ，以点O 为圆心，OD 长为半径作弧，与DO 的延长线交于点B ； ③连接,,AB BC CD ．所以四边形ABCD 即为所求作的菱形．(1)使用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵AO = ，DO = ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵90AOD ∠=︒，∴AC BD ⊥．∴平行四边形ABCD 是菱形．（ ）（填推理的依据）．22．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()4,3M ，()3,2N -，()2,2P --．(1)若一次函数2y x b =+的图象经过已知三个点中的某一点，求b 的最大值；(2)当14k >时，在图中用阴影表示直线1y kx =+运动的区域，并判断在点M ，N ，P 中直线1y kx =+不可能经过的点是 ．23．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，连接CD ，过点B 作BE CD ∥，过点C 作CE AB ∥，BE CE 、相交于点E ．(1)求证：四边形CEBD 是菱形；(2)过点D 作DF CE ⊥于点F ，交CB 于点G ，若103AB CF ==，，求DG 的长．24．如图是一个“函数求值机”的示意图，其中y 是x 的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x 与y 的对应值．根据以上信息，解答下列问题：(1)当输入的x 的值为6时，此时输出的y 的值为 ；(2)当输出的y 的值满足21y -≤<-时，求输入的x 的值的取值范围；(3)若输入x 的值分别为m ，3m +，对应输出y 的值分别为1y ，2y ，是否存在实数m ，使得12y y >恒成立？若存在，请直接写出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 25．已知正方形ABCD 中，点E 是射线BC 上一点，连接AE ，作AE 的垂直平分线交直线CD 于点M ，交直线AB 于点N ，交AE 于点F ．(1)如图1，当点E 在正方形的边BC 上时．①依题意补全图形；②求证：MN AE =；(2)如图2，当点E 在BC 的延长线上时．连接BD 并延长交NM 的延长线于点P ，连接PE ． ①直接写出PEA ∠的度数为 ；②用等式表示线段PF ，PM ，FN 之间的数量关系26．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段MN ，若在坐标系中存在一点P 使得四边形OMPN为菱形，则称线段MN 为点O 的“关联线段”．(1)已知点(13)M ，，则下列点N 中，可以使得MN 成为点O 的“关联线段”的是 ；①(3,1)- ②(22)， ③( (2)已知点O 的“关联线段”MN 过点(11)，，且2OM =，求出线段OP 的最大值； (3)已知点(3,0)M -，若存在点O 的“关联线段”MN 与直线6y kx k =-有交点，直接写出k 的取值范围为 ．。

北京八年级（下）期中数学试卷一.选择题（每题3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰直角三角形B．平行四边形C．圆D．等边三角形2．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长为（）A．3 B． 6 C．12 D．244．下列三角形中不是直角三角形的是（）A．三个内角之比为5：6：1B．其中一边上的中线等于这一边的一半C．三边之长为9、40、41D．三边之比为1.5：2：35．若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是（）A．12和2 B．3和4 C．14和16 D．4和86．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．7．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是AB边的中点，图中与△ADE 面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A．3 B．4 C． 5 D． 68．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A．1﹣B．1﹣C．D．9．在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，则BC的长为（）A．25 B．7 C．25或7 D．不能确定10．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（）A．B．C．D．二.填空题（每题2分，共20分）11．将代数式x2﹣4x+2配方的结果是．12．方程y2+4y﹣45=0的根为．13．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为（填序号）①AB=CD，AD=BC；②AD=BC，AD∥BC；③AB=CD，∠B=∠D；④AB∥CD，∠A=∠C．14．如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为60°，则两纸条重叠部分的面积是．15．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是．16．如图，在▱ABCD中，∠DAB的角平分线交CD于E，若DE：EC=3：1，AB的长为8，则BC的长为．17．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和10，则b的面积为．18．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0有实数根，则k满足．19．如图平行四边形ABCD中，∠C=90度，沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=16，AB=8，则DE的长．20．如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以它的对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，再以正方形OB2B3C2的对角线OB3为一边作正方形OB3B4C3，…，依次进行下去，则点B6的坐标是．三.解答题（共22分）21．（10分）（202X春•北京校级期中）解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2=2（2）2x2﹣4x﹣7=0．22．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．四．作图题（4分）24．根据题意作出图形，并回答相关问题：请在网格中设计一个图案（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），要求所设计的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且图案的顶点在格点上，面积等于3．请将你所设计的图案用铅笔涂黑．五．解答题（共24分）25．义卖活动中某班以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件．此班计划盈利400元，因为将商品卖给本校师生，所以限定每件商品利润不得超过20%，问每件商品售价多少元？26．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF=45°．若AB=5，求△ECF 的周长．27．当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4=0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0的解都是整数？28．在▱ABCD中，∠A=∠DBC，过点D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，连接EF、EC，M、N、P分别为EF、EC、BC的中点，连接NP．请你发现∠ABD与∠MNP满足的等量关系，并证明．北京八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每题3分，共30分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等腰直角三角形B．平行四边形C．圆D．等边三角形考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、圆是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选C．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根考点：根的判别式．专题：计算题．分析：先计算判别式得到△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解答：解：根据题意△=（﹣2）2﹣4×（﹣1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长为（）A．3 B． 6 C．12 D．24考点：三角形中位线定理．分析：根据题意△DEF的周长为：DF+EF+DE=6，△ABC的周长为：AB+BC+AC=2EF+2DE+2DF=12．解答：解：∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，∴AB=2EF，BC=2DE，AC=2DF，∵DF+EF+DE=6，∴AB+BC+AC=2EF+2DE+2DF=12．故选C．点评：本题主要考查了三角形中位线的性质，解题关键在于找到两个三角形边与边的数量关系．4．下列三角形中不是直角三角形的是（）A．三个内角之比为5：6：1B．其中一边上的中线等于这一边的一半C．三边之长为9、40、41D．三边之比为1.5：2：3考点：勾股定理的逆定理．分析：分别讨论四个选项是否满足勾股定理的逆定理或者有一个角是直角即可，若满足则是直角三角形，否则不是．解答：解：A、设三个内角为5x，6x，x则，5x+6x+x=180°，x=15°．此时三个内角分别为75°、90°、15°，即有一个角是直角，所以该三角形是直角三角形，不符合题意；B、一边上的中线等于这一边的一半的三角形是直角三角形，不符合题意；C、92+402=412，满足勾股定理的逆定理，所以该三角形是直角三角形，不符合题意；D、设该三角形的三边为1.5x、2x、3x则（1.5x）2+（2x）2≠（3x）2，不满足勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形，符合题意．故选D．点评：本题主要考查利用直角三角形的性质证明该三角形是直角三角形的能力，只要满足勾股定理的逆定理或者有一个角为直角都可证明是直角三角形．5．若平行四边形的一边长为7，则它的两条对角线长可以是（）A．12和2 B．3和4 C．14和16 D．4和8考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：平行四边形的长为7的一边，与对角线的交点，构成的三角形的另两边应满足三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．设两条对角线的长度分别是x、y，即三角形的另两边分别是x、y，那么得到不等式组，解得，所以符合条件的对角线只有8，14．解答：解：如图，▱ABCD中，AB=7，设两条对角线AC、BD的长分别是x，y．∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD∴OA=x，OB=y，∴在△AOB中，，即：，解得：，将四个选项分别代入方程组中，只有C选项满足．故选C．点评：本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理，根据三角形的三边关系，确定出对角线的长度范围是解题的关键，有一定的难度．6．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．考点：勾股定理；实数与数轴．分析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．解答：解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为：=，∴﹣1到A的距离是，那么点A所表示的数为：﹣1．故选C．点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．7．如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是AB边的中点，图中与△ADE 面积相等的三角形（不包括△ADE）共有（）个．A．3 B．4 C． 5 D． 6考点：平行四边形的性质．分析：首先利用平行四边形的性质证明△ADB≌△CBD，从而得到△CDB，与△ADB面积相等，再根据DO=BO，AO=CO，利用三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可得△DOC、△COB、△AOB、△ADO面积相等，都是△ABD的一半，根据E是AB边的中点可得△ADE、△DEB面积相等，也都是△ABD的一半，从而得到答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，DC=AB，在△ADB和△CBD中：，∴△ADB≌△CBD（SSS），∴S△ADB=S△CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DO=BO，CO=AO，即：O是DB、AC中点，∴S△DOC=S△COB=S△DOA=S△AOB=S△ADB，∵E是AB边的中点，∴S△ADE=S△DEB=S△ABD，∴S△DOC=S△COB=S△DOA=S△AOB=S△ADE=S△DEB=S△ADB，∴不包括△ADE共有5个三角形与△ADE面积相等，故选：C．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形的中线平分三角形面积，解决问题的关键是熟练把握三角形的中线平分三角形面积这一性质．8．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A．1﹣B．1﹣C．D．考点：旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；正方形的性质．专题：压轴题．分析：此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积．解答：解：设CD与B′C′相交于点O，连接OA．根据旋转的性质，得∠BAB′=30°，则∠DAB′=60°．在Rt△ADO和Rt△AB′O中，AD=AB′，AO=AO，∴Rt△ADO≌Rt△AB′O．∴∠OAD=∠OAB′=30°．又∵AD=1，∴OD=AD•tan∠OAD=．∴公共部分的面积=2×××1=1×=．故选D．点评：本题主要考查了利用正方形和旋转的性质来求三角形的面积．9．在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，则BC的长为（）A．25 B．7 C．25或7 D．不能确定考点：勾股定理．分析：已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠BAC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解．解答：解：如图1，锐角△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD===9，在Rt△ADC中AC=20，AD=12，由勾股定理得DC===16，BC的长为BD+DC=9+16=25．如图2，钝角△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD===9，在Rt△ACD中AC=20，AD=12，由勾股定理得DC===16，BC=CD﹣BD=7．故选C．点评：本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．10．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB=6，BC=8，则线段CH的长为（）A．B．C．D．考点：旋转的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质．分析：首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB=6，BC=8，可得BE=BC=8，∠CBE=90°，BG=AB=6，又由H是EG的中点，易得HM 是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长．解答：解：过点H作HM⊥BC于点M，∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB=6，BC=8，∴BE=BC=8，∠CBE=90°，BG=AB=6，∴HM∥BE，∵H是EG的中点，∴MH=BE=4，BM=GM=BG=3，∴CM=BC﹣BM=8﹣3=5，在Rt△CHM中，CH==．故选D．点评：此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．二.填空题（每题2分，共20分）11．将代数式x2﹣4x+2配方的结果是（x﹣2）2﹣2．考点：配方法的应用．分析：原式前两项加上4再减去4变形后，利用完全平方公式化简即可得到结果．解答：解：x2﹣4x+2=x2﹣4x+4﹣2=（x﹣2）2﹣2．故答案为：（x﹣2）2﹣2．点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．方程y2+4y﹣45=0的根为5，﹣9．考点：解一元二次方程-因式分解法．分析：将原方程分解为（y﹣5）（y+9）=0，从而得到答案．解答：解：∵y2+4y﹣45=0，∴（y﹣5）（y+9）=0，y1=5，y2=﹣9．故答案为：5，﹣9．点评：本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．13．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为③（填序号）①AB=CD，AD=BC；②AD=BC，AD∥BC；③AB=CD，∠B=∠D；④AB∥CD，∠A=∠C．考点：平行四边形的判定．分析：分别根据所给条件结合平行四边形的判定定理进行分析即可．解答：解：①AB=CD，AD=BC可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定；②AD=BC，AD∥BC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；③AB=CD，∠B=∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形；④AB∥CD，∠A=∠C可证出∠B=∠D，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定；故答案为：③．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．14．如图，宽度为1的两个长方形纸条所交锐角为60°，则两纸条重叠部分的面积是．考点：菱形的判定与性质．分析：根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=60°，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．解答：解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=60°，过A作AE⊥BC于E，则AE=1，设BE=x，∵∠ABE=60°，∴∠BAE=30°，∴AB=2x，在△ABE中，∠AEB=90°，由勾股定理解得：x=，∴AB=BC=，∴重叠部分的面积是：×1=．故答案为：．点评：本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．15．如图，△DEF是由△ABC绕某点旋转得到的，则这点的坐标是（0，1）．考点：坐标与图形变化-旋转．专题：压轴题．分析：根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．解答：解：如图，连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）．故答案为（0，1）．点评：本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，关键是对旋转性质的把握．16．如图，在▱ABCD中，∠DAB的角平分线交CD于E，若DE：EC=3：1，AB的长为8，则BC的长为6．考点：平行四边形的性质．分析：利用平行四边形的性质进而结合角平分线的性质得出∠DEA=∠DAE，进而得出AD=DE，即可得出答案．解答：解：∵在▱ABCD中，∠DAB的角平分线交CD于E，∴∠DEA=∠BAE，∠DAE=∠BAE，AD=BC，∴∠DEA=∠DAE，∴AD=DE=BC，∵DE：EC=3：1，AB的长为8，∴DE=AD=BC=6．故答案为：6．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出∠DEA=∠DAE是解题关键．17．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和10，则b的面积为14．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．分析：如图，根据正方形的性质得BC=BF，∠CBF=90°，AC2=4，DF2=10，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，则可根据”AAS“证明△ABC≌△DFB，得到AB=DF，然后根据勾股定理得到BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=14，则有b的面积为14．解答：解：如图，∵a、b、c都为正方形，∴BC=BF，∠CBF=90°，AC2=4，DF2=10，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABC和△DFB中，，∴△ABC≌△DFB，∴AB=DF，在△ABC中，BC2=AC2+AB2=AC2+DF2=4+10=14，∴b的面积为14．故答案为14．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质．18．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0有实数根，则k满足k≥﹣．考点：根的判别式；一元一次方程的解；一元二次方程的定义．分析：需分类讨论：①当关于x的方程k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0是一元一次方程时，根据一元一次方程的定义，列出关于k的方程，求得k值；②当关于x的方程k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0是一元二次方程时：由关于x的方程k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0有实数根，得到△=b2﹣4ac≥0；据此列出关于k的不等式组，通过解不等式组求得k的取值范围即可．解答：解：①当关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0是一元一次方程时，k﹣1=0，解得k=1；②当关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0是一元二次方程时．∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k+3）x+（k+3）=0有实数根，∴，解得：．故答案为：k≥﹣．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．如图平行四边形ABCD中，∠C=90度，沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=16，AB=8，则DE的长10．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形ABCD是矩形，得出∠A=90°，再由翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD，根据平行线的性质得出∠ADB=∠CBD，进而得出BE=DE，然后设DE=x，则BE=x，AE=16﹣x，在Rt△ABE中利用勾股定理求出x的值即可．解答：解：∵平行四边形ABCD中，∠C=90度，∴平行四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC．∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴∠CBD=∠C′BD．∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠C′BD，∴BE=DE．设DE=x，则BE=x，AE=16﹣x，在Rt△ABE中，∠A=90°，∴AB2+AE2=BE2，即82+（16﹣x）2=x2，解得x=10，即DE=10．故答案为10．点评：本题考查了矩形的判定与性质，翻折变换的性质及勾股定理，难度适中．解此类题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．20．如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以它的对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，再以正方形OB2B3C2的对角线OB3为一边作正方形OB3B4C3，…，依次进行下去，则点B6的坐标是（﹣8，0）．考点：正方形的性质；坐标与图形性质．专题：规律型．分析：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，所以可求出从B到B6的后变化的坐标．解答：解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，∵从B到B6经过了6次变化，∵45°×6=270°，∴位置在x轴的负半轴上．∵（）6=8．∴点B6的坐标是（﹣8，0）．故答案为：（﹣8，0）．点评：本题考查正方形的性质正方形的四边相等，四个角都是直角，对角线平分每一组对角．以及考查坐标与图形的性质．三.解答题（共22分）21．（10分）（202X春•北京校级期中）解下列一元二次方程：（1）（x﹣1）2=2（2）2x2﹣4x﹣7=0．考点：解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．专题：计算题．分析：（1）方程利用直接开平方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．解答：解：（1）开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣；（2）这里a=2，b=﹣4，c=﹣7，∵△=16+56=72，∴x=．点评：此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．22．已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知OB=OD，OA=OC，而AE=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之．解答：证明：连接BD，交AC于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BFDE是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况．23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．解答：解：过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．点评：此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．四．作图题（4分）24．根据题意作出图形，并回答相关问题：请在网格中设计一个图案（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），要求所设计的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且图案的顶点在格点上，面积等于3．请将你所设计的图案用铅笔涂黑．考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．分析：利用中心对称图形和轴对称图形的性质结合图形的面积得出符合题意的答案．解答：解：如图所示：答案不唯一．点评：此题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确把握相关图形的定义是解题关键．五．解答题（共24分）25．义卖活动中某班以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件．此班计划盈利400元，因为将商品卖给本校师生，所以限定每件商品利润不得超过20%，问每件商品售价多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：本题的等量关系是商品的单件利润=售价﹣进价．然后根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，设商品的售价为x，列出方程求出未知数的值后，根据“物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%”将不合题意的舍去，进而求出卖的商品的件数．解答：解：设每件商品售价x元，才能赚400元，根据题意得（x﹣21）（350﹣10x）=400，解得x1=25，x2=31．∵21×（1+20%）=25.2，而x1＜25.2，x2＞25.2，∴x2=31（不合题意，舍去），则取x=25．当x=25时，350﹣10x=350﹣10×25=100．故要卖出100件商品，每件售25元．点评：本题考查了一元二次方程的应用，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．26．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF=45°．若AB=5，求△ECF 的周长．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．分析：将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG．首先证明△AFE≌△AFG，进而得到EF=BE+FD，从而将三角形的周长转化为BC+CD的长．解答：解：如图所示，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG．∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．∴△EFC的周长=EC+CF+EF=EC+CF+BE+FD=BC+CD=5×2=10．点评：考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，将三角形的周长转为BC+CD的长．27．当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4=0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0的解都是整数？考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：这两个一元二次方程都有解，因而根与判别式△≥0，即可得到关于m不等式，从而求得m的范围，再根据m是整数，即可得到m的可能取到的几个值，然后对每个值进行检验，是否符合使两个一元二次方程的解都是整数即可确定m的值．解答：，解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4=0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0有解，则m≠0，∴△≥0mx2﹣4x+4=0，∴△=16﹣16m≥0，即m≤1；x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0，△=16m2﹣16m2+16m+20≥0，∴4m+5≥0，m≥﹣；∴﹣≤m≤1，而m是整数，所以m=1，m=0（舍去），m=﹣1（一个为x2+4x﹣4=0，另一个为x2+4x+3=0，冲突，故舍去），当m=1时，mx2﹣4x+4=0即x2﹣4x+4=0，方程的解是x1=x2=2；x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0即x2﹣4x﹣5=0，方程的解是x1=5，x2=﹣1；当m=0时，mx2﹣4x+4=0时，方程是﹣4x+4=0不是一元二次方程，故舍去．故m=1．点评：解答此题要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系，首先根据根的判别式确定m的范围是解决本题的关键．28．在▱ABCD中，∠A=∠DBC，过点D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，连接EF、EC，M、N、P分别为EF、EC、BC的中点，连接NP．请你发现∠ABD与∠MNP满足的等量关系，并证明．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：首先连接BE、CF，延长CE交BD于点G，根据三角形的中位线定理，判断出∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCEM，∠ENP=∠BEG；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BDE≌△∠CDF，即可判断出∠DBE=∠DCF；最后根据三角形的外角的性质，以及三角形的内角和定理，判断出∠ABD+∠MNP=180°即可．解答：解：∠ABD+∠MNP=180°，理由：如图，连接BE、CF，延长CE交BD于点G，∵点N、M分别为EC、EF的中点，∴MN是△CEF的中位线，∴MN∥CF，∴∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCE，∵点N、P分别为EC、BC的中点，∴PN是△CBE的中位线，∴PN∥BE，∴∠ENP=∠BEG，∵AB∥CD，∴∠BDC=∠ABD，又∵∠EDF=∠ABD，∴∠BDC=∠EDF，∴∠BDC﹣∠EDC=∠EDF﹣∠EDC，即∠BDE=∠CDF，∵∠A=∠DBC，∠ADB=∠DBC，∴∠A=∠ADB，∴AB=BD，又∵AB=CD，∴BD=CD，在△BDE和△∠CDF中，，∴△BDE≌△∠CDF，∴∠DBE=∠DCF，根据三角形的外角的性质，可得∠BGE=∠BDC+∠DCE，在△BGE中，∠BEG+∠BGE+∠GBE=180°，∴∠ENP+（∠BDC+∠DCE）+∠DCF=180°，∴（∠ENP+∠DCF+∠DCE）+∠BDC=180°，又∵∠ENP+∠DCF+∠DCE=∠MNP，∠BDC=∠ABD，∴∠ABD+∠MNP=180°．点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．。

2020北京师大附中初二（下）期中数学一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．（3分）4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．162．（3分）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＝|b|，则下列结论中错误的是（）A．a+b＞0 B．a+c＞0 C．b+c＞0 D．ac＜03．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，34．（3分）如图，已知点A的坐标为（1，2），则线段OA的长为（）A．B．C．D．35．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝06．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣67．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570B．32x+2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．32x+2×20x﹣2x2＝5708．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数，如图描述了A、B两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（）①消耗1升汽油，A车最多可行驶5千米；②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油；③对于A车而言，行驶速度越快越省油；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车更省油．A．①④B．②③C．②④D．①③④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．10．（3分）某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是．甲乙丙丁7887s21 1.20.9 1.811．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝°．12．（3分）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k＝．13．（3分）写出一个满足的整数a的值为．14．（3分）若关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为．15．（3分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为．三、解答题（本题共52分）17．（6分）计算：（1）﹣+＝；（2）（3﹣2）÷＝．18．（8分）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代数式的值：（1）a2﹣2ab+b2；（2）a2﹣b2．19．（16分）解方程：（1）x2﹣9＝0；（2）x2＝x+12；（3）x2﹣4x＝6；（4）2（x+3）2＝x（x+3）．20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+＝0 有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最小整数时，求此时方程的解．21．（7分）为了调查学生对垃圾分类及投放知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取40名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100成绩x学校甲41113102乙6315142（说明：成绩80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60分以下为不合格）b．甲校成绩在70≤x＜80这一组的是：70 70 70 71 72 73 73 73 74 75 76 77 78c．甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如下：学校平均分中位数众数甲74.2n85乙73.57684根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中n的值；（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是校的学生（填“甲”或“乙”），理由是；（3）假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数．22．（8分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（CA＞2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE＝α，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（3）若点G在线段CF上，CG＝BD，连接DG．①判断DG与BC的位置关系并证明；②用等式表示DG、CG、AB之间的数量关系为．2020北京师大附中初二（下）期中数学参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）1．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故选：C．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．【分析】根据|a|＝|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．【解答】解：∵|a|＝|b|，∴原点在a，b的中间，如图，由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，b+c＜0，ac＜0，a+b＝0，故选项A错误，故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．3．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：OA＝＝，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【解答】解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．6．【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，所以a+2b＝﹣1，所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．7．【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．8．【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．【解答】解：①由图象可知，当A车速度超过40km时，燃油效率大于5km/L，所以当速度超过40km时，消耗1升汽油，A车行驶距离大于5千米，故此项错误；②B车以40千米/小时的速度行驶1小时，路程为40km，40km÷10km/L＝4L，最多消耗4升汽油，此项正确；③对于A车而言，行驶速度在0﹣80km/h时，越快越省油，故此项错误；④某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市驾驶B车比驾驶A车燃油效率更高，所以更省油，故此项正确．故②④合理，故选：C．【点评】本题考查了折线统计图，熟练读懂折线统计图是解题思的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．【点评】本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于或等于0即可．10．【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．【解答】解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，所以丙组的成绩比较稳定，所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．故答案为：丙．【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．11．【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE＝∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【解答】解：在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案为：90．【点评】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．12．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝0代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程求得k 的值；注意二次项系数不为零．【解答】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个解为0，∴（k﹣1）×02+3×0+k2﹣1＝0且k﹣1≠0，解得k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时考查了一元二次方程的定义．13．【分析】先估算和的范围，再得出整数即可．【解答】解：∵1＜＜2，3＜＜4，∴满足的整数a的值是2或3，故答案为：2或3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出和的范围是解此题的关键．14．【分析】分两种情况：①k﹣2≠0时，由△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0，解不等式即可；②当k﹣2＝0时为一元一次方程，方程有一根．【解答】解：分两种情况：①k﹣2≠0时，∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，∴△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0，且k≠2，解得k≥且k≠2，∴k的取值范围为k≥且k≠2；②当k﹣2＝0时为一元一次方程，方程有一根．综上所知k的取值范围为k≥，故答案为：k≥．【点评】本题主要考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．进行分类讨论是解题的关键．15．【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．【点评】运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．16．【分析】根据折叠的性质得到AF＝AD，所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF＝6，然后设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x，CF＝10﹣6＝4，根据勾股定理列方程求出EC可得点E的坐标．【解答】解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝8，∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，即EC的长为3．∴点E的坐标为（10，3），解法二：证明△AOF∽△FCE，求出EC即可．故答案为：（10，3）．【点评】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质以及勾股定理．三、解答题（本题共52分）17．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的除法法则运算．【解答】解：（1）原式＝3﹣2+＝；（2）原式＝3﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．【分析】（1）直接利用已知得出a+b，a﹣b的值，进而结合完全平方公式计算得出答案；（2）结合平方差公式计算得出答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝+2+﹣2＝2，a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，（1）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．19．【分析】（1）（2）（4）运用因式分解法求解比较简单；（3）运用配方法求解比较简单．【解答】解：（1）∵x2﹣9＝0，∴（x+3）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝3；（2）x2＝x+12；∴x2﹣x﹣12＝0，∴（x+3）（x﹣4）＝0，∴x1＝﹣3，x2＝4；（3）∵x2﹣4x＝6，∴x2﹣4x+4＝6+4，∴（x﹣2）2＝10，∴x﹣2＝±，∴x1＝2﹣，x2＝2+；（4）∵2（x+3）2＝x（x+3），∴2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，∴（x+3）[2（x+3）﹣x]＝0，∴（x+3）（x+6）＝0，∴x+3＝0或x+6＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣6．【点评】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法和配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．20．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到△＝（k+1）2﹣4×k2＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）根据k取最小整数，得到k＝0，列方程即可得到结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+＝0 有两个不相等的实数根，∴△＝（k+1）2﹣4×k2＞0，∴k＞﹣；（2）∵k取最小整数，∴k＝0，∴原方程可化为x2+x＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21．【分析】（1）根据中位数的定义求解可得；（2）根据甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，所以中位数n＝＝72.5；（2）甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分，所以该学生在甲校排在前20名，在乙校排在后20名，而这名学生在所属学校排在前20名，说明这名学生是甲校的学生．故答案为：甲，甲这名学生的成绩为74分，大于甲校样本数据的中位数72.5分，小于乙校样本数据的中位数76分．（3）在样本中，乙校成绩优秀的学生人数为14+2＝16．假设乙校800名学生都参加此次测试，估计成绩优秀的学生人数为．【点评】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．22．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；（3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可；②根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠ACE＝α，∴∠ECB＝45°+α，∵CF⊥BD交BD的延长线于点E，∴∠BEF＝90°，∴∠F+∠ABD＝90°，∵∠F+∠ECB＝90°，∴∠ABD＝∠ECB＝45°+α；（3）①DG与BC的位置关系：DG⊥BC，证明如下：连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，∵AB＝BC，∠ABD＝∠ECB，BD＝CG，∴△ABD≌△BCG（SAS），∴∠CBG＝∠BAD＝45°，∴∠ABG＝∠CBG＝∠BAC＝45°，∴AM＝BM，∠AMB＝90°，∵AD＝BG，∴DM＝GM，∴∠MGD＝∠GDM＝45°，∴∠BHG＝90°，∴DG⊥BC；②∵AB＝BC，BD＝CG，由勾股定理可得：CE2+BE2＝CB2，GE2+DE2＝GD2，∴DG2＝2DM2，AB2＝2BM2，DG2+AB2＝2（DM2+BM2）＝2BD2＝2CG2∴DG、CG、AB之间的数量关系为：2CG2＝DG2+AB2，故答案为：2CG2＝DG2+AB2，【点评】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．。

2020-2021学年北京市海淀区首都师大附中初二数学第二学期期中试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1．（3分）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发现之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家( ) A ．赵爽B ．祖冲之C ．刘徽D ．杨辉2．（3分）一次函数21y x =+的图象沿y 轴向上平移3个单位，所得图象的函数解析式为( ) A ．24y x =-B ．24y x =+C ．25y x =-D ．27y x =+3．（3分）解一元二次方程2410x x +-=，配方正确的是( ) A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)5x -=4．（3分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以下说法错误的是( )A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD =C ．OA OB =D ．ABO ADO ∆≅∆5．（3分）如图，一次函数1y x b =+与一次函数23y kx =+的图象交于点(1,2)P ，则关于不等式3x b kx +>+的解集是( )A ．0x >B ．1x >C ．1x <D ．0x <6．（3分）如图，在55⨯的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为( )A．1B．2C．3D．47．（3分）五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数．得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如表信息：平均数中位数众数m67则下列选项正确的是()A．可能会有学生投中了8次B．五个数据之和的最大值可能为30C．五个数据之和的最小值可能为20mD．平均数m一定满足4.2 5.88．（3分）中考体育篮球运球考试中，测试场地长20米，宽7米，起点线后5米处开始设置10根标志杆，每排设置两根，各排标志杆底座中心点之间相距1米，距两侧边线3米，假设某学生按照图1路线进行单向运球，运球行进过程中，学生与测试老师的距离y与运球时间x之间的图象如图2所示，那么测试老师可能站在图1中的位置为()A．点A B．点B C．点C D．点D二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9．（3分）函数2=-中自变量x的取值范围是．y x10．（3分）已知m是方程2320200+-的值为．13m m--=的根，则代数式2x x11．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数21y x =-+的图象经过11(,)P y π、22(2,)P y 两点，则1y 2y ．（填“>”“ <”或“=” ) 12．（3分）已知(0,2)A ，(3,1)B ，在x 轴找一点P ，使PA PB +的值最小，则点P 的坐标为 ． 13．（3分）如图，等边DEC ∆在正方形ABCD 内，连接EA 、EB ，则AEB ∠的度数是 ．14．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为ABC ∆外一点，使DAC BAC ∠=∠，E 为BD 的中点．若60ABC ∠=︒，则ACE ∠= ．15．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(4,8)，将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，那么点D 的坐标为 ．16．（3分）一个俱乐部里只有两种成员：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”据此可判断李四是 （填“老实人”或“骗子” )． 三、计算题（本大题共3小题，共16.0分） 17．计算：20122(21)(2021)16π---18．解方程：3(1)22x x x -=-． 19．已知：一次函数图象如图： （1）求一次函数的解析式；（2）若点P 为该一次函数图象上一动点，且点A 为该函数图象与x 轴的交点，若2OAP S ∆=，求点P 的坐标．四、解答题（本大题共6小题，共36.0分） 20．关于x 的一元二次方程220ax ax c ++=．（1）若方程有两个相等的实数根，请比较a 、c 的大小，并说明理由； （2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．21．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//AF BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）若12AC =，16AB =，求菱形ADCF 的面积．22．人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式统计得出的相关数据汇总．人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及各项方针政策的制定都具有重要的意义．下面是关于人口数据的部分信息．.2018a 年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）的频数分布直方图（数据分成6组：02x <，24x <，46x <，68x <，810x <，1012):x b ．人口数量在24x <这一组的是：2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.73.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9.2018c 年中国大陆（不含港澳台）31个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰)、死亡率（单位：‰)的散点图：d ．如表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况：0~14岁人口比例 15~59岁人口比例 60岁以上人口比例 第二次人口普查 40.4%54.1%5.5%第五次人口普查22.89% 66.78%10.33%e ．世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高50>‰，最低20<‰，2018年我国人口出生率降低至10.94‰，比2017年下降1.43个千分点． 根据以上信息，回答下列问题：（1）2018年北京人口为2.2千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第 位．（2）人口增长率=人口出生率-人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在2018年出现负增长的地区有 个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为 千万人（保留小数点后一位）． （3）下列说法中合理的是 ．①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的；②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是缓解老龄化的压力．23．如果方程20x px q ++=满足两个实数解都为正整数解，我们就称所有遮掩的一元二次方程为20x px q ++=同族方程，并规定：满足2P G q=．例如27120x x -+=有正整数解3和4，所以27120x x -+=属于同族方程，所以2(7)491212G -==．（1）如果同族方程20x px q ++=中有两个相同的解，我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有4G =；（2）如果同族方程20x px q ++=中的实数q 满足如下条件：①q 为一个两位正整数，10(19q x y x y =+，x ，y 为自然数）；②q 交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得差为54，那么我们称这样为同族方程中和谐方程，求所有和谐方程中的G 的最小值． 24．已知，将Rt DAE ∆水平向右平移AD 的长度得到Rt CBF ∆（其中点C 与点D 对应，点B 与点A 对应，点F 与点E 对应），过点E 作BD 的垂线，垂足为M ，连接AM ． （1）根据题意补全图形，并证明MB ME =；（2）①用等式表示线段AM 与CF 的数量关系，并证明；②用等式表示线段AM ，BM ，DM 之间的数量关系（直接写出即可）．25．对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线y kx b =+使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l ，记所有的点到l 的距离的最小值为1d ，约定：1d 越大，分类直线l 的分类效果越好，某学校“青春绿”的7位同学在2020年期间网购文具的费用x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将1P ，2P ，3P 和4P 归为第Ⅰ组点，将1Q ，2Q 和3Q 归为第Ⅱ组点，在上述约定下，定义两组点的分类效果最好的分类直线叫做“成达线”． （1）直线1: 2.5l x =与直线2:35l y x =-的分类效果更好的是 ；（2）小明同学的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第 组点位于“成达线”的同侧；（3）如果从第Ⅰ组点中去掉点1P ，第Ⅱ组点保持不变，则此时“成达线”的解析式为 ； （4）这两组点的“成达线”的解析式为 ．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1．【解答】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲． 故选：A ．2．【解答】解：原直线的2k =，1b =；向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的2k =，134b =+=．∴新直线的解析式为24y x =+．故选：B ． 3．【解答】解：2410x x +-=，2445x x ∴++=，2(2)5x ∴+=， 故选：C ．4．【解答】解：四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，AC BD =，OA OC =，OB OD =， OA OB ∴=，故A 、B 、C 正确， 故选：D ．5．【解答】解：当1x >时，3x b kx +>+， 即不等式3x b kx +>+的解集为1x >． 故选：B ．6．【解答】解：理由是：连接AC 、AB 、AD 、BC 、CD 、BD ， 设小正方形的边长为1，由勾股定理得：222125AB =+=，2222420AC =+=，2221310AD =+=，22525BC ==，2221310CD =+=，222125BD =+=，222AB AC BC ∴+=，222AD CD AC +=，222BD AB AD +=， ABC ∴∆、ADC ∆、ABD ∆是直角三角形，共3个直角三角形，故选：C ．7．【解答】解：中位数是6，唯一众数是7，∴最大的三个数的和是：67720++=，这五个数据的平均数是m ，∴另外2个数的和是520m -，∴不可能会有学生投中了8次；五个数据之和的最大值可能为205429++=，不可能为30；五个数据之和的最小值可能为200121++=，不可能为20； 295 5.8÷=，215 4.2÷=，∴平均数m 一定满足4.2 5.8m ．故选：D ．8．【解答】解：根据图2得：学生与测试老师的距离先快速减小，然后短时间缓慢减小，然后再快速减小，又短时间缓慢增大，然后再快速减到最小，又开始快速增大，再减小，而且开始的时候与测试老师的距离大于快结束的时候，由此可得测试老师可能站在图1中的位置为点B ． 故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9．【解答】解：依题意，得20x -， 解得：2x ， 故答案为：2x ．10．【解答】解：m 是方程2320200x x --=的根， 2320200m m ∴--=， 232020m m ∴-=，22131(3)120202019m m m m ∴+-=--=-=-． 故答案为：2019-．11．【解答】解：一次函数21y x =-+中20k =-<，y ∴随x 的增大而减小，又2π>， 12y y ∴<．故答案为：<．12．【解答】解：作点A 关于x 轴的对称点A '，连接A B '交x 轴于P ，则P 即为所求点，如图：(0,2)A ，A 关于x 轴的对称点A '， (0,2)A '∴-，设直线A B '的解析式为y kx b =+，把(0,2)A '-，(3,1)B 代入得， 则213b k b -=⎧⎨=+⎩，解得12k b =⎧⎨=-⎩，∴直线A B '的解析式为：2y x =-，当0y =时，2x =，∴点P 的坐标为(2,0)．故答案为：(2,0)．13．【解答】解：由题意可知：AD CD DE CE CB ====， 60EDC ∴∠=︒，30ADE ∠=︒， 75AED BEC ∴∠=∠=︒，3602150AEB AED DEC ∴∠=︒-∠-∠=︒，故答案为：150︒14．【解答】解：延长BC 、AD 交于F ， 在ABC ∆和AFC ∆中BAC FAC AC ACACB ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ABC AFC ASA ∴∆≅∆，BC FC ∴=，C ∴为BF 的中点， E 为BD 的中点，CE ∴为BDF ∆的中位线，//CE AF ∴，ACE CAF ∴∠=∠，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，30BAC ∴∠=︒，30ACE CAF BAC ∴∠=∠=∠=︒，故答案为：30︒．15．【解答】解：如图，过D 作DF x ⊥轴于F ，点B 的坐标为(4,8)，4AO ∴=，8AB =，根据折叠可知：CD OA =，而90D AOE ∠=∠=︒，DEC AEO ∠=∠，CDE AOE ∴∆≅∆，OE DE ∴=，4OA CD ==，设OE x =，那么8CE x =-，DE x =，∴在Rt DCE ∆中，222CE DE CD =+，222(8)4x x ∴-=+，3x ∴=，又DF AF ⊥，//DF EO ∴，AEO ADF ∴∆∆∽，而8AD AB ==，835AE CE ∴==-=， ∴AE EO AO AD DF AF ==， 即5348DF AF==， 245DF ∴=，325AF =， 3212455OF ∴=-=， D ∴的坐标为12(5-，24)5． 故答案是：12(5-，24)5．16．【解答】解：因为圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人，所以可知： 老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数，而张三说有45人是奇数，这说明张三说了假话，张三是骗子，而李四却说张三是老实人，也说了假话，所以李四也是骗子．故答案为骗子．三、计算题（本大题共3小题，共16.0分）17．【解答】解：原式1122144=+- 12=-18．【解答】解：3(1)2(1)0x x x ---=(1)(32)0x x --=11x ∴=，223x =． 19．【解答】解：（1）设一次函数解析式为y kx b =+，把(2,3)-、(2,1)-分别代入得2321k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩， 所以一次函数解析式为1y x =-+；（2）当0y =时，10x -+=，解得1x =，则(1,0)A ，设(,1)P t t -+，因为2OAP S ∆=， 所以11|1|22t ⨯⨯-+=，解得3t =-或5t =， 所以P 点坐标为(3,4)-或(5,4)-．四、解答题（本大题共6小题，共36.0分）20．【解答】解：（1）根据题意得，0a ≠且△2440a ac =-=，4()0a a c ∴-=，a c ∴=；（2）把0x =代入原方程得出0c =，∴方程为220ax ax +=，(2)0ax x ∴+=，∴该方程的另一个根为2-．21．【解答】（1）证明：E 是AD 的中点，AE DE ∴=，//AF BC ，AFE DBE ∴∠=∠，在AEF ∆和DEB ∆中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEF DEB AAS ∴∆≅∆，AF DB ∴=，∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，12AD CD BC ∴==， ∴四边形ADCF 是菱形；（2）解：设AF 到CD 的距离为h ，//AF BC ，AF BD CD ==，90BAC ∠=︒，111121696222ABC ADCF S CD h BC h S AB AC ∆∴=⋅=⋅==⋅=⨯⨯=菱形． 22．【解答】解：（1）人口为02x <千万人的有5的地区， 又人口数量在24x <这一组的是：2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9，北京在第一位， ∴我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北京排在第6位．故答案为6．（2）由散点图可知：在2018年出现负增长的地区有2个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为3.8千万人，故答案为2，3.8．（3）①我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的，正确．②随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是缓解老龄化的压力，正确． 故答案为①②．23．【解答】（1）证明：同族方程20x px q ++=中有两个相同的解，240b ac ∴-=，240p q ∴-=，24p q ∴=，2P Gq=， ∴44q G q==； （2）根据题得10(10)54y x x y +-+=，9954y x ∴-=，6y x ∴-=，19x y ，∴39x y =⎧⎨=⎩，28x y =⎧⎨=⎩，17x y =⎧⎨=⎩， 39q ∴=或28或17，∴可得三个方程2390x px ++=，2280x px ++=，2170x px ++=， 由和谐方程定义可得2390x px ++=的解为1x =或39；3x =或13，此时40p =-或16-； 方程2280x px ++=的解为1x =或28x =；2x =或14x =；4x =或7x =，此时29p =-或16-或11-； 方程2170x px ++=的解为1x =或17，此时18p =-； 则和谐方程2390x px ++=中G 的最小值为2(16)2563939-=；方程2280x px ++=中G 的最小值为2(11)1212828-=；方程2170x px ++=中G 的值为2(18)3241717-=；324256121173928>>，G ∴的最小值为12128．24．【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，45ABD ∴∠=︒，EM BD ⊥，BEM ∴∆是等腰直角三角形，MB ME ∴=．（2）①结论：FC =．理由：如图所示，连接CM 、FM ，BEM ∆是等腰直角三角形，MB ME ∴=，45ABM BEM ∠=∠=︒，135AEM FBM ∴∠=∠=︒，又AE FB =，()AEM FBM SAS ∴∆≅∆，AM FM ∴=，AE BF =，EF BC AB ∴==，()MEF MBC SAS ∴∆≅∆，EMF BMC ∴∠=∠，FM MC =，90FMC ∴∠=︒，FCM ∴∆是等腰直角三角形， ∴22FC MF AM ==，即2AM FC =．②结论：2222DM BM AM +=，理由：如图，连接DE ，AE BF =，AE BE BF BE EF ∴+=+=，又//DC AB 且DC AB =，DC EF ∴=，//DC EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形，DE CF ∴=，2CF MF =，MF AM =，∴2DE AM =，又BM EM =，90DME ∠=︒，222DM EM DE ∴+=，则2222DM BM AM +=．25．【解答】解：（1）由图可知：1(1.5,2)P ，2(1,3)P ，3(2,3)P ，4(2,4)P ，1(3,1)Q ，2(3,2)Q ，3(4,3)Q ， 当1: 2.5l x =为分类直线时，10.5d =，当2:35l y x =-为分类直线时，2100.5d =>， 2:35l y x ∴=-分类效果更好；（2）由题意可知，300x y==，则小明两项网购花费所对应的点(3,3)，“成达线”的位置由1P，3P，2Q确定，由图知“成达线”过32P Q的中点5(2，5)2，过12PQ的中点9(4，2)，∴5522924k bk b⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得252kb=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即“成达线”的解析式为522y x=-，∴与第Ⅱ组点位置于“成达线”的同侧；（3）去掉1P后2332k b k b-+=-+，1k∴=，2P，3P，4P分别与1Q，2Q，3Q到直线y x=的距离想等，∴此时“成达线”为y x=；（4）由（2）知“成达线”的解析式为522y x=-，∴两组点的“成达线”为522y x=-，故答案为：（1）2:35l y x=-；（2）Ⅱ；（3）y x=；（4）522y x=-．。

初二下学期期中数学练习,1 通过整理的初二下学期期中数学练习,1相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！2021-2021北京海淀首师附初二下期中试卷一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列函数中，图象确定经过原点的是（）．A．B．C．D．【答案】C 【解析】为二次函数，不经过原点；为一次函数，不经过原点；为正比例函数，经过原点；为反比例函数，不经过原点．故选．4．方程的根的状况是（）．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根【答案】D 【解析】，∴方程无实根．故选．5．已知一次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（）．A．B．C．D．无法推断【答案】A 【解析】∵，随的增大而减小，∵，是一次函数上的点，．∴．故选．7．对于一次函数（为常数），下表中给出组自变量和相应的函数值，其中只有一个函数值计算有误，则这个函数值是（）．A．B．C．D．【答案】C 【解析】，，，符合解析式，，只有不符合，故选．8．中，，点在线段上，且，于点，若为的中点，，，则的长为（）．A．B．C．D．【答案】B 【解析】∵，，∴为中点，∵为中点，∴．∵，∴．设，．在中，，，．故选．10．如图，已知点是矩形各边的中点，，．动点从点动身，沿匀速运动，设点运动的路程为，点与矩形的某一个顶点的距离为，假如关于函数的图象如图所示，则矩形的这个顶点是（）．【答案】A 【解析】由图得出始点到顶点的距离为．∵，∴只有顶点满足，又∵沿匀速运动起先时造成小，∴只有顶点满足．故选．二、填空题（每小题3分，共24分）11．已知一组数据的众数是，则这组数据的__________．【答案】【解析】∵的众数为，∴．．．12．若非零实数是关于的方程的一个根，则的值为__________．【答案】【解析】将代入中，得．，∴．13．甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从动身起先计时，剩余的路程（单位：千米）与时间（单位：分钟）的函数关系图象如图所示，则图中等于__________．【答案】【解析】由纵坐标看出等红灯后骑行的路是千米，由横坐标看出等红灯后所用的时间分钟，骑自行车的速度是千米/分钟，由横坐标看出骑自行车所用的时间分钟．千米．14．矩形纸片，，，将其沿着线段剪开，平移到的位置，恰好得到一个菱形，则__________．【答案】【解析】∵为菱形，，∵，∴，∵，为矩形，∴，∵，∴．15．函数与的图象如图所示，这两个函数的交点在轴上，使得，的值都大于的的取值范围是__________．【答案】【解析】依据图象可推断．16．如图，在线段上找一点，把分为和两段，其中是较小的一段，假如，那么称线段被点黄金分割．图1图2 为了增加美感，黄余分割经常被应用在绘画画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，己知太和殿到内金水桥的距离约为丈，若设一衣和门到太和殿之间的距离为丈，则可列方程为__________．【答案】【解析】依据可得．17．己知一次函数过点，若该函数的图象与的图象交于第一象限，则的取值范围为__________．【答案】【解析】∵过，∴，∴ ∵与交于第一象限，∴ ∴，∴，∴．18．要得到一个直角，小芳是这么做的：作线段，以点为圆心，长为半径画弧，在弧上任取一点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，交于点，则．她的依据是__________．【答案】见解析【解析】四条边相等的四边形是菱形，菱形的对角线相互垂直，垂直定义．三、解答题（本大题共56分，第19题4分，第20至27题，每题5分，第28，29题，每题6分）19．解方程．【答案】，【解析】，，，，．，20．已知：如图，四边形是平行四边形，为中点，延长线交的延长线于点．求证：是的中点．【答案】见解析【解析】∵平行四边形∴，．∴，∴．∵为中点，∴．在和中，∴．∴，∵，∴．∴是中点．21．某工厂废气年排放量为万立方米，为改善空气质量，确定分两期治理，使废气的排放量削减到万立方米．假如每期治理中废气削减的百分率相同，求每期削减的百分率．【答案】每期削减【解析】解：设每次削减，，，，，（舍）．答：每期削减．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点．（）求一次函数的解析式；（）若点在第四象限，是等腰直角三角形，干脆写出点的坐标．【答案】（）（），，【解析】（）一次函数与正比例函数交于点，∴，．∴，∵一次函数交，∴设直线解析式，解得．∴．（）当时，，当时，，当时，．23．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（）求的取值范围；（）若此方程的根都是整数，求正整数的值．【答案】（）（）【解析】（）∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴．∴，∴．（）∵为正整数，，∴．当时，，，．当时，，，．∴．24．已知正方形的边长是，为边的中点，为正方形边上的一个动点，动点从点动身，动点从点动身，沿（不与，重合）运动．若点经过的路程为，的面积为．（）求关于的函数关系式：（）当的面积为时，推断点的位置．【答案】（）（）在中点或中点【解析】（）当在上时，．当在上时，．当在上时，．∴．（）当时，若在上，则．若在上，则，则．∴在中点或中点．27．已知：关于的一元二次方程（）．（）求证：方程有两个不相等的实数根；（）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式，并写出自变量取值范围；（）在（）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．【答案】（）见解析（）（）【解析】（）证明：．∵ ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根．（）令，，∵，，∴，，∵．（）依据图象，28．在边长为的正方形中，点是边上一点（点不与点，点重合），点关于直线的对称点为．（）如图，假如落在线段的延长线上，①求的度数；②求线段的长度；（）如图，设直线与的交点为，求证：．【答案】（）①② （）见解析【解析】（）①∵四边形是正方形，∴，，，由对称的性质得：．②由勾股定理得：，由①得：是的平分线，∴ 即，∴．（）证明：∵，∴四点共圆．∴．∵，∴四点共圆．∴ ∴．∴．29．若将一次函数的图象在直线上方的部分沿直线向下翻折，图象的其余部分保持不变，则会得到一个新图象．我们称这个新图象为一次函数关于直线的“折向函数”的图象．例如，函数关于轴的折向函数的图象如图．（）下列点中在函数关于直线的折向函数的图象上的有__________；（）已知点的坐标为，点的坐标为，函数，①若点在函数关于直线的折向函数的图象上，求的值；②若函数关于直线的折向函数的图象与线段有公共点，则的取值范围是__________．【答案】（）A、C （）① ② 【解析】（）A、C 关于的折向函数的解析式为．∴将代入两个解析式中只有成立．（）①在的折向函数上，∴与对称．则对称轴为．∴设在上，∴．∵也在上，∴．②，则，．设代入，，．∴与线段有公共点，∴代入时，，∴．代入时，，．∴．。

2020-2021学年北京师大附属实验中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列二次根式中，能与√2合并的是()A. √20B. √12C. √8D. √42.在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠C的度数是()A. 60°B. 90°C. 120°D. 135°3.已知x=2是一元二次方程x2+mx−8=0的一个解，则m的值是()A. 2B. −2C. −4D. 2或−44.下列说法不正确的是()A. 矩形的对角线相等B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D. 菱形的对角线互相垂直5.如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是()A. √5−2B. −√5+1C. √5+1 D. √5−16.菱形ABCD的边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为()A. 30B. 20C. 24D. 487.如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是AD的中点，若BC=8，OB=5，则OM的长为()A. 1B. 2C. 3D. 48.已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程(x−3)2=4的根，则此三角形的周长为()A. 17B. 11C. 15D. 11或159.已知，如图长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为()A. 6B. 7.5C. 12D. 1510.如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有()A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处二、填空题（本大题共8小题，共18.0分）11.若√2x−1有意义，则x的取值范围是______．12.化简：(1)√18=______ ；(2)−√413=______ ．13.如图，▱ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为______ ．14.若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．15.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长______．16.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1,2)，则CE的长是______．17.对任意的两实数a，b，用min(a,b)表示其中较小的数，如min(2,−4)=−4，则方程x⋅min(2,4x−3)=x−1的解是______ ．18.在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：(1)在直线l上任取一点B；(2)以B为圆心，BA长为半径作弧，交直线l于点C；(3)分别以A、C为圆心，BA长为半径作弧，两弧相交于点D；(4)作直线AD．直线AD即为所求．小云作图的依据是______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）19.计算：(1)3√5+√20−√8+4√2；(2)√45÷√15×23√32．20.解下列方程(1)(x−5)2=9(2)x2−4x−1=0．21.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，求证：BE//DF．22.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．23.在▱ABCD中，AE平分∠BAD，O为AE的中点，连接BO并延长，交AD于点F，连接EF，OC．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若点E为BC的中点，且BC=8，∠ABC=60°，求OC的长．24.请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小.小军的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求．请你参考小军同学的思路，探究并解决下列问题：(1)如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D.若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值为______ ；(2)如图3，若AC=1，BD=2，CD=6，写出此时AP+BP的最小值______ ；(3)写出√(5m−3)2+1+√(5m−8)2+9的最小值为______ ．25.如图，已知正方形ABCD，点E是CB延长线上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．(1)求证：∠FAB=∠BCF；(2)作点B关于直线AE的对称点M，连接BM，FM．①依据题意补全图形；②用等式表示线段CF，AF，BM之间的数量关系，并证明．26.(1)用“=”、“>”、“<”填空：4+3______ 2√4×3，1+16______ 2√1×16，5+5______ 2√5×5．(2)由(1)中各式猜想m+n与2√mn(m≥0,n≥0)的大小，并说明理由．(3)请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃.如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要______ m.27.阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式(如4：6的最简形式为2：3)为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，Rt△ABC中，BC，AC，AB的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段BA的长为半径画弧，交CB的延长线于点D，再过D，A两点分别作AC，CD的平行线，交于点E.得到矩形ACDE，则矩形ACDE的邻边比为______ ．请仿照小亮的方法解决下列问题：(1)如图2，已知Rt△FGH中，GH：GF：FH=5：12：13，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；(需保留做图痕迹)(2)若已知直角三角形的三边比为(2n+1)：(2n2+2n)：(2n2+2n+1)(n为正整数)，则所画矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)的邻边比为______ ；(3)若小亮所画的矩形的邻边比为3：4，那么他所借助的直角三角形的三边比为______ ．28.在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N(M,N可以重合)使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______ ，最大值是______ ；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的②在P1(32是______ ；(2)如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于x轴，对角线的交点为点O，点D的坐标为(2,0).若点E(x,2)在第一象限，且点D与点E是正方形的一对平衡点，求x的取值范围；(3)已知点F(−2,0)，G(0,2)，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为a(a≤2).若线段FG上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【知识点】同类二次根式、最简二次根式【解析】【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．先化成最简二次根式，再判断即可．【解答】解：A、√20=2√5，不能和√2合并，故本选项错误；B、√12=2√3，不能和√2合并，故本选项错误；C、√8=2√2，能和√2合并，故本选项正确；D、√4=2不能和√2合并，故本选项错误；故选：C．2.【答案】C【知识点】平行四边形的性质、平行线的性质【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC//AD，∴∠A+∠B=180°，把∠A=2∠B代入得：3∠B=180°，∴∠B=60°，∴∠C=120°故选C．根据平行四边形的性质得出BC//AD，根据平行线的性质推出∠A+∠B=180°，代入求出即可．本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A+∠B=180°是解此题的关键．3.【答案】A【知识点】一元二次方程的解【解析】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx−8=0的一个解，∴22+2m−8=0，∴m=2．故选A．根据一元二次方程的解的定义把x=2代入方程得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4.【答案】C【知识点】菱形的性质、矩形的性质、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线【解析】解；矩形的对角线相等，故选项A不符合题意；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项B不符合题意；对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项C符合题意；菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；故选：C．利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性质依次判断可求解．本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．5.【答案】D【知识点】实数与数轴【解析】解：直角三角形斜边长为√12+22=√5，∴点M表示的数m为−1+√5．故选：D．本题可以通过勾股定理及数轴上的运算求解．本题考查数轴上点的运算及勾股定理，解题在直角三角形中利用勾股定理求解．6.【答案】C【知识点】菱形的性质【解析】解：如图，当BD=6时，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，∵AB=5，∴AO=√AB2−BO2=4，∴AC=8，∴菱形的面积是：6×8÷2=24，故选：C．根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．本题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．7.【答案】C【知识点】矩形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线、直角三角形的概念及其性质【解析】【分析】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，勾股定理的有关知识，注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，继而求得答案．【解答】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，∴AC=2OB=10，∵M是AD的中点，CD=3．∴OM=12故选C．8.【答案】C【知识点】三角形三边关系、解一元二次方程-直接开平方法【解析】解：(x−3)2=4，x−3=±2，解得x1=5，x2=1．若x=5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6=15；若x=1时，6−4=2，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：C．求出方程的解得到原方程的解，即可能为三角形的第三边，然后利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．此题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的解．运用三角形的三边关系解决问题时常常把最长的边作为第三边，用剩下的两边相加与最长边比较大小来判断能否三角形．9.【答案】B【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质、三角形的面积【解析】解：设AE=x，则ED=BE=9−x，根据勾股定理可得，32+x2=(9−x)2，解得：x=4，由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，∵AD//BC，∴∠FED=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF=5，∴S△BFE=1×5×3=7.5．2故选：B．根据勾股定理可得32+x2=(9−x)2，即可得到BE的长度，由翻折性质可得，∠BEF=∠FED，由矩形的性质可得∠FED=∠BFE，即可得出△BEF是等腰三角形，BE=BF，即可得出答案．本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．10.【答案】D【知识点】勾股定理的逆定理【解析】解：由题意可得，CD=2，AB=√22+32=√13．∵以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，∴AB2+CD2=EF2或CD2+EF2=AB2，即13+4=EF2或4+EF2=13，解得EF=√17或3，F点的位置如图所示．故选：D．先利用勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足AB2+CD2=EF2或CD2+EF2=AB2，即为直角三角形，解出EF的长，进而得出点F的位置．本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．11.【答案】x≥12【知识点】二次根式有意义的条件【解析】解：由题意，得2x−1≥0，解得x≥12，故答案为：x≥12．根据被开方数是非负数，可得答案．本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．12.【答案】√24−√393【解析】解：(1)√18=√8=2√2=√24；故答案为：√24；(2)−√413=−√133=−√393．故答案为：−√393．(1)直接利用二次根式的性质化简得出答案；(2)直接利用二次根式的性质化简得出答案．此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．13.【答案】14【知识点】平行四边形的性质【解析】解：由题意得，OB+OC=12(AC+BD)=9，又∵AD=BC=5，∴△OBC的周长=9+5=14．故答案为：14．根据两对角线之和为18，可得出OB+OC的值，再由AD=BC，可得出△OBC的周长．此题考查了平行四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质，难度一般．14.【答案】2【知识点】一元二次方程的概念【解析】解：∵(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，∴m+2≠0，|m|=2，解得：m=2，故答案为：2．根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，|m|=2，求出即可．本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a、b、c是常数，且a≠0)．15.【答案】14和4【知识点】勾股定理【解析】解：(1)如图，锐角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，∵在Rt△ACD中AC=13，AD=12，∴CD2=AC2−AD2=132−122=25，∴CD=5，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2−AD2=152−122=81，∴CD=9，∴BC的长为BD+DC=9+5=14；(2)钝角△ABC中，AC=13，AB=15，BC边上高AD=12，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2−AD2=132−122=25，∴CD=5，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2−AD2=152−122=81，∴BD=9，∴BC的长为DB−BC=9−5=4．故答案为14或4．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD−CD．本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．16.【答案】√5【知识点】坐标与图形性质、矩形的性质、勾股定理【解析】【分析】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．根据矩形的对角线相等，求出OD即可．解：如图，连结EC、OD．∵D(1,2)，∴OD=√12+22=√5，∵四边形OCDE是矩形，∴CE=OD=√5，故答案为√5．17.【答案】x=12【知识点】一元一次方程的解法、一元一次不等式的解法，则2x=x−1，解得x=−1不符合题意，舍去；【解析】解：①若2<4x−3，即x>54②若2≥4x−3，即x≤5，则x(4x−3)=x−1，4；解得x=12．故答案为：x=12分2<4x−3和2≥4x−3两种情况，列出关于x的方程，解之可得答案．本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程、一元二次方程，解题的关键是根据新定义列出关于x的方程．18.【答案】四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．【知识点】已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形【解析】解：由作法得BA=BC=AD=CD，所以四边形ABCD为菱形，所以AD//BC．故答案为四条边相等的四边形为菱形，菱形的对边平行．利用作法可判定四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质得到AD与l平行．本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19.【答案】解：(1)原式=3√5+2√5−2√2+4√2=5√5+2√2；(2)原式=23√45×5×32=5√6．【知识点】二次根式的混合运算【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；(2)根据二次根式的乘除法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：(1)x−5=±3，∴x=8，x=2(2)x2−4x+4=4+1(x−2)2=5∴x=2±√5【知识点】解一元二次方程-配方法、解一元二次方程-直接开平方法【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．21.【答案】证明：∵AF=CE，∴AF−EF=CE−EF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE与△CDF中，{AE=CF∠BAE=∠DCF AB=CD，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠BEA=∠DFC，∴∠BEF=∠DFE，∴BE//DF．【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】由AF=CE可得AE=CF，再结合平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF，从而得出∠BEA=∠DFC，于是得到BE//DF．此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，∴AE=OE=12AD，∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，∴OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．【知识点】菱形的性质、直角三角形斜边上的中线、矩形的判定与性质【解析】(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12AD，推出OE//FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12AD=5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴AF//BE，∴∠FAO=∠BEO，∵O为AE的中点，∴OA=OE，在△AOF和△EOB中，{∠FAO=∠BEO OA=OE∠AOF=∠EOB，∴△AOF≌△EOB(ASA)，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形；∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，∵∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴BA=BE，∴四边形ABEF是菱形；∵E为BC的中点，且BC=8，∴BE=CE=4，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，∴∠OBH=30°，∠BOE=90°，∴OE=12BE=2，∠EOH=∠OBH=90°−∠OEH=30°，∴EH=12OE=1，∴OH=√OE2−EH2=√22−12=√3，CH=EH+CE=5，∴OC=√OH2+CH2=√(√3)2+52=2√7．【知识点】平行四边形的性质、菱形的判定与性质【解析】(1)证△AOF≌△EOB，得AF=BE，由AF//BE，则四边形ABEF是平行四边形，再证AB=BE，即可解决问题；(2)过O作OH⊥BC于H，根据菱形的性质得到∠OBH=30°，∠BOE=90°，求得OE=12BE=2，根据勾股定理即可得到结论．本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．24.【答案】3√23√5√41【知识点】作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题【解析】解：(1)∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，∴PA=√2，∴PA′=PA=√2，∵AA′//BD，∴△A′PC∽△BPD，∴PBPA′=PDPC，∴√2=21，∴PB=2√2，∴AP+PB=√2+2√2=3√2；(2)作A′E//l，交BD的延长线于E，如图3，则四边形A′EDC是矩形，∴A′E=DC=6，DE=A′C=AC=1，∵BD=2，∴BD+AC=BD+DE=3，即BE=3，在Rt△A′BE中，A′B=√32+62=3√5，∴AP+BP=A′P+BP=A′B=3√5，故答案为：3√5；(3)如图3，设AC=5m−3，PC=1，则PA=√(5m−3)2+1；设BD=8−5m，PD=3，则PB=√(8−5m)2+9，∵DE=AC=5m−3，∴BE=BD+DE=5，A′E=CD=PC+PD=4，∴PA+PB=A′B=√A′E2+BE2=√42+52=√41，∴(√(5m−3)2+1)2+(√(8−5m)2+9)2=(√(5m−3)2+1)2+(√(5m−8)2+9)2=√41．故答案为：√41．(1)利用勾股定理求得PA，根据三角形相似对应边成比例求得PB，从而求得PA+PB；(2)作AE//l，交BD的延长线于E，根据已知条件求得BE、A′E，然后根据勾股定理即可求得A′B，从而求得AP+BP的值；(3)设AC=5m−3，PC=1，则PA=√(5m−3)2+12；设BD=8−5m，PD=3，则PB=√(8−5m)2+9，结合(2)即可求解．本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．25.【答案】(1)证明：∵CF⊥AE，∴∠EFC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=90°，∴∠EFC=∠ABE，又∵∠AEB=∠CEF，∠AEB+∠FAB=90°，∠CEF+∠BCF=90°，∴∠FAB=∠BCF．(2)①如图：图形即为所求作．②解：结论：AF+BM=CF．理由：在CF上截取点N，使得CN=AF，连接BN．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB．在△AFB和△CNB中，{AF=CN∠FAB=∠NCB AB=CB，∴△AFB≌△CNB(SAS)，∴∠ABF=∠CBN，FB=NB，∴∠FBN=∠ABC=90°，∴△FBN是等腰直角三角形，∵点B关于直线AE的对称点是点M，∴FM=FB，∵CF⊥AE，∠BFN=45°，∴∠BFE=45°，∴∠BFM=90°，∴∠BFM=∠FBN，∴FM//NB．∵FM=FB，FB=NB，∴FM=NB，∴四边形FMBN为平行四边形，∴BM=NF，∴AF+BM=CF．【知识点】四边形综合【解析】(1)根据等角的余角相等证明即可．(2)①根据要求画出图形即可．②结论：AF+BM=CF.在CF上截取点N，使得CN=AF，连接BN.证明△AFB≌△CNB(SAS)，推出∠ABF=∠CBN，FB=NB，再证明四边形FMBN为平行四边形，可得结论．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26.【答案】>>=40【知识点】二次根式的乘除【解析】解：(1)∵4+3=7，2√4×3=4√3，∴72=49，(4√3)2=48，∵49>48，∴4+3>2√4×3；∵1+16=76>1，2√1×16=√63<1，∴1+16>2√1×16；∴5+5=2√5×5．故答案为：>，>，=．(2)m+n≥2√mn(m≥0,n≥0).理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(√m−√n)2≥0，∴(√m)2−2√m⋅√n+(√n)2≥0，∴m−2√mn+n≥0，∴m+n≥2√mn．(3)设花圃的长为a米，宽为b米，则a>0，b>0，S=ab=200，根据(2)的结论可得：a+2b≥2√a⋅2b=2√2ab=2√2×200=2×20=40，∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．(1)分别进行计算，比较大小即可；(2)根据第(1)问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2√mn；比较大小，可以作差，m+n−2√mn，联想到完全平方公式，问题得证；(3)设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为(a+2b)米，利用第(2)问的公式即可求得最小值．本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．27.【答案】1：2 n：(n+1)24：7：25【知识点】几何变换综合【解析】解：阅读、操作与探究：根据题意得：AC=4，CD=CB+BD=3+5=8，则矩形ACDE的邻边比为1：2；故答案为：1：2．(1)根据题意画出矩形，如图2所示，矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比为FG ：GN =12：(5+13)=12：18=2：3；(2)根据题意得：(2n 2+2n)：(2n +1+2n 2+2n +1)=2n(n +1)：2(n +1)2=n ：(n +1)．故答案为：n ：(n +1)．(3)由题意：直角三角形的一条直角边为3，设斜边为x ，则另一条直角边为4−x ． ∵32+(4−x)2=x 2，∴x =258，∴直角三角形的三边的比=3：(4−258)：258=24：7：25．故答案为：24：7：25． 阅读、操作与探究：根据题意求出AC 与CD 的值，即可求出矩形ABDE 邻边之比；(1)根据题中的方法画出矩形FGNM ，求出矩形邻边之比即可；(2)归纳总结得到一般性规律，求出所画矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)的邻边比即可．(3)由题意：直角三角形的一条直角边为3，设斜边为x ，则另一条直角边为4−x.利用勾股定理求出x ，即可解决问题．此题属于四边形综合题，认真阅读题中画矩形的方法，弄清题中矩形(邻边比的最简形式为两个连续自然数的比)邻边之比的规律是解本题的关键．28.【答案】3 √13 P 1【知识点】四边形综合【解析】解：(1)①由题意知：OA =3，OB =√22+32=√13，则d 的最小值是3，最大值是√13；∵P1N=OA=3，∴根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点；故答案为：3，√13，P1；(2)如图2中，E1B=DB，E2B=D1D，且M，N均在正方形上，符合平衡点的定义，∴0<x≤4；(3)如图2，正方形ABCD1边长为2，F，G上任意两点关于AC是一对平衡点，且AC，BD的交点是O，则2−a2≤d(F)≤2+a2，2−√22a≤d(G)≤√2+√22a，∴2−a2≤a≤√2+√22a，∴a≥6√2−8，∴6√2−8≤a≤2．(1)①观察图象d的最小值是OA长，最大值是OB长，由勾股定理即可得出结果；②过P1作P1N⊥AB于N，可得出P1N=OA=3，根据平衡点的定义，即可得出点P1与点O是线段AB的一对平衡点；(2)如图2，可得E1B=DB，E2B=D1D，由平衡点的定义可求出x的范围；(3)如图2，正方形ABCD边长为2，F，G上任意两点关于AC是一对平衡点，且AC，BD的交点是O，根据平衡点的定义，可得2−a2≤d(F)≤2+a2，2−√22a≤d(G)≤√2+√22a，即可求出a的范围．本题属于四边形综合题，考查了点P与点Q是图形W的一对平衡点、正方形性质、点与点的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

2020-2021学年度第二学期期中练习题年级：初二 科目：数学 班级： 姓名：一、选择题 (每题3分，共30分)在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．．．是正确的． 1．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()ABCD2．下列各式中，从左向右变形正确的是( )2=±3==D =3．如图，在□ABCD 中，∠A ＋∠C=110°，则∠B 的度数为( )A.70°B.110°C.120°D.125°4．若关于x的一元二次方程22(2)240a x x a -++-=有一个根为0，则a 的值为( ) A.2B.2-C. 2±D.5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列条件中，不能．．判定△ABC 是直角三角形的是( ) A. ∠A ＋∠B = 90° B. ∠A ＋∠B =∠CC. a = 1，b = 3，D. a: b : c ＝ 1: 2 : 2A6．把一元二次方程0142=+-x x 配方后，下列变形正确的是( )A.2(2)5x -=B.2(2)3x -=C.2(4)5x -=D.2(4)3x -=第7题图第8题图第9题图7．如图，在正方形ABCD 中， E 为DC 边上的点， 连接BE ，将△BCE 绕点C •顺时针方向旋转90°得到△DCF ，连接EF ．若∠BEC =60°，则∠EFD 的度数为( )A .10°B .25°C .20°D .15°8．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB=2，∠ABO=60º，线段EF 绕点O 转动，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，当∠AOE =60º时，EF 的长为( )A. 1B.3C. 2D. 49．如图，正方形ABCD 的面积为8，菱形AECF 的面积为4，则EF 的长是( )A. 4B.C. 2D. 110．已知：如图，正方形ABCD 中，AB =2，AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别为边BC ，CD 上的动点（点E ，F 不与线段BC ，CD 的端点重合）且BE=CF ，连接OE ，OF ，EF . 在点E ，F 运动的过程中，有下列四个结论： ①△OEF 是等腰直角三角形； ②△OEF 面积的最小值是12； ③至少存在一个△ECF ，使得△ECF的周长是 ④四边形OECF 的面积是1. 所有正确结论的序号是( ) A.①②③④ B.③④ C.①②④ D.①②③BDHGEDACBF二、填空题(每题2分，共16分) 11．函数5y x =-，自变量x 的取值范围是 ．12．下列定理：①对顶角相等；②直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；③平行四边形的两组对角分别相等；④对角线互相平分的四边形是平行四边形， 其中逆命题也是定理的有 (只写序号) ． 13．在6、8、2x、2x 、12+x 、5.1中，最简二次根式 ． 14．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O的直线分别交AD 和BC 于点F 、E ，若设该平行四边形的 面积为2，则图中阴影部分的面积为 ．15．若实数a ，b 满足222230+++-=a a b ，则2ab= ． 16．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =12，E 为AD 中点，F 为CD 边上任意一点，G ，H 分别为EF ，BF 中点，则GH 的长 ． 17．已知x ＋y ＝23+，xy ＝6，则x 2＋y 2的值为 ．18．如图，平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A 与原点重合，点B 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，正方形 ABCD 边长为2，点E 是AD 的中点，点P 是BD 上一个动点，当P A +PE 取得最小值时，此时最小值是_______；P 点的坐标是___________．三、解答题（19题每个5分，20题每个4分，21题5分，22题4分，23，24每题6分，共39分） 19．计算：(1) 235812+-+ (2) 322)35)(35(÷-+-20．解下列方程： (1) 5)3(2=+x (2) 2230--=x x21．如图，已知在□ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且DF ∥BE ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．22．下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程.已知：矩形ABCD .求作：□AGHD ，使∠GAD=30°. 作法：如右图，①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径，在AB 两侧作弧，分别交于点E ，F ； ②作直线EF ；③以点A 为圆心，以AB 长为半径作弧，交直线EF 于点G ，连接AG ； ④以点G 为圆心，以AD 长为半径作弧，交直线EF 于点H ，连接DH . ⑤则四边形AGHD 即为所求作的平行四边形. 根据小明设计的尺规作图过程，填空： （1）∠BAG 的大小为 ；（2）判定四边形AGHD 是平行四边形的依据是 ； （3）用等式表示平行四边形AGHD 的面积1S 和矩形ABCD 的面积2S 的数量关系为 ． 23．求代数式 a +√1−2a +a 2 的值， 其中a ＝1007.如图是小亮和小芳的解答过程．(1) 的解法是错误的；(2) 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质: ；(3) 通过对上面错因的分析，求解代数式 9622+--a a a 的值，其中a =2021-.EODCBA24．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，网格的中心标记为点O ．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点O 为其对角线交点： （1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等； （3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等.图1图2图3四、解答题（25题7分，26题8分，共15分）25．如图，将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线翻折，点B 恰好与其对角线AC 的中点O 重合，折痕与边BC 交于点E . 延长EO 交AD 于点F ，连接CF . （1）按要求补全图形；（2）求证：四边形AECF 是菱形； （3）若BE 的长.26．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一动点(不与点A、点B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC边于点G，连接DF，DG．（1）依题意补全图形，并证明∠FDG=∠CDG；（2）过点E作EM⊥DE于点E，交DG的延长线于点M，连接BM．用等式表示线段AE，BM的数量关系，并证明．DC五、附加题（第1题4分，第2题8分，第3题8分共20分）1．同学们，在二次根式一章中有一个有趣的现象：322322383222=⨯==，根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”. 具有这一性质的数还有许多，如833833=、15441544=等等. （1）猜想：3566= ； （2）请再写出1个具有“穿墙”性质的数 ；（3）请用只含有一个正整数n (2≥n )的等式表示上述规律： ． 2．如图1，将边长为1的正方形ABCD 压扁为边长为1的菱形ABCD ．在菱形ABCD 中， ∠A 的大小为α，面积记为S ．（1）请补全下表：（2）填空：由（1）可以发现边长为1正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A 大小的变化而变化，不妨把边长为1的菱形面积S 记为S (α)．例如：当α＝30°时，1(30)2S S =︒=；当α＝135°时，(135)S S =︒．由上表可以得到(60)S S ︒=( _______°)；(150)S S ︒=( ______°)，…，由此可以归纳出(180)()S S α︒-=．（3）两块相同的等腰直角三角板按下图方式放置，2=AD ，α=∠AOB ，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论).3．在平面直角坐标系xOy 中，对于两点A ，B ，给出如下定义：以线段AB 为边的正方形称为点A ，B 的“确定正方形”．如图1为点A ，B 的“确定正方形”的示意图．图1 备用图（1）如果点M 的坐标为（0，1），点N 的坐标为（3，1），那么点M ，N 的“确定正方形”的面积为_____________；（2）已知点O 的坐标为（0，0），点C 为直线b x y +=上一动点，当点O ，C 的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求b 的值．（3）已知点E 在以边长为2的正方形的边上，且该正方形的边与两坐标轴平行，对角线交点为P （m ，0），点F 在直线2--=x y 上，若要使所有点E ，F 的“确定正方形”的面积都不小于2，直接写出m 的取值范围．xy–3–2–11234567–4–3–2–1123456ABO CD xy–7–6–5–4–3–2–1123456–4–3–2–1123456O2020-2021学年度第二学期初二数学期中练习答案一．选择题（每题3分，共30分）二．填空题（每题2分，共16分） 11. 5≥x ; 12. ② ③ ④ 13.6, 12+x ； 14. 1； 15.32； 16. 5; 17. 5;. 18.5，)34,32(.三、解答题（共39分）19.（1） 3323- （2) 32- 20．(1) 53,5321--=+-=x x , (2) 1,321-==x x ; 21.证明：∵DF ∥BE ， ∴ ∠DFE=∠BEF ；∵∠AFD+∠DFE =180°，∠AEB+∠BEC =180°, ∴ ∠AFD=∠BEC ；∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD =BC ； ∴∠DAF=∠BCF ；∴ △AFD ≌△CEB （AAS ） ∴BE =DF ；∴四边形BEDF 是平行四边形．22. （1） 60=∠BAG ;（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）2121S S =. 23. (1) 小亮的解法是错误的;(2) 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：a a =2＝﹣a （a ＜0）; (3) ∵a ＝﹣2021， ∴a ﹣3＝﹣2024＜0，则原式＝2)3(2--a a＝32--a a ＝)3(2a a -- ＝a+2a -6＝-6069．24.答案不唯一 解：（1）（3）图3FE ODCB A四、解答题（共15分）25.解：（1）补全图形如图，（2）证明：∵矩形ABCD ， ∴∠B ＝90°，AD ∥BC. ∴∠F AO ＝∠ECO .∵矩形ABCD 翻折后，点B 与其对角线AC 的中点O 重合， ∴∠AOE ＝∠B ＝90°. ∴EF ⊥AC .在△AOF 和△COE 中, FAO ECO AO CO AOF COE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，，∠∠，∴△AOF ≌ △COE （ASA ）. ∴AF ＝CE .∴四边形AECF 是平行四边形. ∴四边形AECF 是菱形. （3）由已知可得︒=∠30BAE .设BE = x ，则AE ＝2x .在Rt △AB E 中，∠B=90°，由勾股定理得=AB ,=解得=x ∴BE 的长为2. 26． （1）CE(2)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A =∠C =90°，DA =DC ．∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，易得△DAE ≌△DFE ． ∴∠A =∠DFE =90°，DA =DF ． ∴∠DFG =∠C =90°，DF =DC ． ∴△DFG ≌△DCG ． ∴∠FDG =∠CDG ．（2）BMAE（3）证明：过程略，图中辅助线参考:附加题答案 1.（1）35663566=； (2）答案不唯一 ； （3）1122-=-+n n n n n n ； 2. （1）（2）(60)S S ︒=( __120____°)；(150)S S ︒=( _30_____°)，…，由此可以归纳出．MBEDDEBMMBEDN)()180(ααS S =-︒（3）相等，证明略3.（1）9；(2) 2±=b ; (3)2≥m 或6-≤m。

2020-2021学年北京市海淀区首都师大二附中初二数学第二学期期中试卷一、选择题（共10小题；共50分）1．（5分）下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) A ．12B ．3C ．8D ．122．（5分）下列各式中，计算正确的是( ) A ．235+=B ．2(2)2-=-C ．2(3)3-=D ．233363⨯=3．（5分）一次函数(0y kx b k =+≠，k ，b 为常数）的图象如图所示，则k ，b 的取值范围是( )A ．0k >，0b >B ．0k <，0b >C ．0k >，0b <D ．0k <，0b <4．（5分）若点1(3,)y 和2(1,)y -都在一次函数25y x =-+的图象上，则1y 与2y 大小关系是( ) A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．无法确定5．（5分）下列各曲线表示的y 与x 的关系中，y 不是x 的函数的是( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，13AB =，5AC =，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，则DE 的长是( )2222aaA．6.5B．6C．5.5D．119 27．（5分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是()A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否为直角8．（5分）有理数a和b在数轴上的位置如图所示，则2||b a b--等于()A．a B．a-C．2b a+D．2b a-9．（5分）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，3BC=，5AB=，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使DAC DCE∠=∠，连接BE，则BE的最小值为()A．253-B．52C．132-D．9510．（5分）为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B E D--的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是()A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D二、填空题（共8小题；共40分）11．（5分）若式子1x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（5分）将直线3=沿y轴向下平移4个单位长度后得到的直线解析式为．y x13．（5分）如图，在数轴上点A表示的实数是．14．（5分）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，9+=尺，3BC=尺，则AC=尺．AB AC15．（5分）某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了15棵，产量的平均数x（单位：千克）及方差2s如表所示：甲乙丙丁x262326232s 1.7 1.2 1.6 1.6若准备从四个品种中选出一种产量高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是．16．（5分）如图，已知菱形ABCD的一个内角80BAD∠=︒，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE BO∠=度．=，则EOA17．（5分）如图，直线3=+与x轴交于点A，与y轴交于点D，将线段AD沿x轴向右平移4个单位长y x度得到线段BC，若直线4=-与四边形ABCD有两个交点，则k的取值范围是．y kx18．（5分）边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为ah为这个菱形的“形变度”．（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为．（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为6)5中的格点，则ABC∆的面积为．三、解答题（共7小题；共60分）19．（6分）计算：(246)3-÷20．（9分）如图，一次函数1:22l y x=-的图象与x轴交于点D，一次函数2:l y kx b=+的图象与x轴交于点A，且经过点(3,1)B，两函数图象交于点(,2)C m．（1）求m的值和一次函数2:l y kx b=+的解析式；（2）根据图象，直接写出22kx b x+<-的解集．21．（9分）如图，已知，在ADE∆中，90ADE∠=︒，点B是AE的中点，过点D作//DC AE，DC AB=，连接BD，CE．（1）求证：四边形BDCE 是菱形；（2）若6AD =，5BD =，求菱形BDCE 的面积．22．（9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解，甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按22元收费：超过1千克，超过的部分按每千克15元收费；乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x 千克．（1）当0x >时，直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y （元)与x （千克）之间的函数关系式； （2）当小明快递的物品超过1千克时，选择哪家快递公司更省钱？23．（9分）某年级共有150名女生，为了解该校女生实心球成绩（单位：米）和仰卧起坐（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了她们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．（a ）实心球成绩的频数分布表如下： 分组 6.2 6.6x <6.67.0x <7.07.4x <7.47.8x <7.88.2x <8.28.6x <频数2m10621（b ）实心球成绩在7.07.4x <这组的数据是： 7.0 7.0 7.0 7.17.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3 （c ）一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m 的值为 ．（2）抽取的30名女生一分钟仰卧起坐成绩的众数为 个，中位数为 个．（3）若实心球成绩达到7.2米及以上，成绩记为优秀，请估计全年级女生成绩达到优秀的人数．24．（9分）如图，正方形ABCD 中，点M 在CD 边上，在正方形ABCD 外部做一个等腰直角三角形CMN ，且满足90CMN ∠=︒．连接AN ，CN ，取AN 的中点E ，连接BE ，AC ，交于F 点． （1）①依题意补全图形； ②求证：F 是AC 中点．（2）请探究线段CD ，CN ，BE 所满足的等量关系，并证明你的结论．（3）设2AB =，若点M 沿着线段CD 从点C 运动到点D ，则在该运动过程中，线段EN 所扫过的面积为 （直接写出答案）．25．（9分）对于正数x ，用符号[]x 表示x 的整数部分，例如：[0.1]0=，[2.5]2=，[3]3=．点(,)A a b 在第一象限内，以A 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直，其中垂直于y 轴的边长为a ，垂直于x 轴的边长为[]1b +，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A 的伴随域．例如，点3(3,)2的伴随域是一个以3(3,)2为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6．根据上面的定义，回答下列问题：（1）在图2所示的坐标系中画出点7(4,)2的伴随域，该伴随域的面积是 ；（2）点7(4,)2P ，(Q a ，7)(0)2a >的伴随域重叠部分面积为2，求a 的值；（3）已知点(B m ，)(0)n m >在直线1y x =+上，且点B 的伴随域的面积S 满足57S <<，那么m 的取值范围是 ．（直接写出结果）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题；共50分）1．【解答】解：ABCD =，不是最简二次根式，不符合题意；故选：B ．2．【解答】解：（A A 错误． （B ）原式2=，故B 错误． （D ）原式6318=⨯=，故D 错误． 故选：C ．3．【解答】解：观察图形可知：一次函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限， 0k ∴>，0b <．故选：C ．4．【解答】解：当3x =时，12351y =-⨯+=-； 当1x =-时，22(1)57y =-⨯-+=． 17-<， 12y y ∴<．故选：A ．5．【解答】解：根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C 不满足条件．故选：C ．6．【解答】解：在ABC ∆中，90C ∠=︒，13AB =，5AC =，则12BC ==，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，162DE BC ∴==， 故选：B ．7．【解答】解：A 、对角线是否相互平分，只能判定平行四边形；B 、两组对边是否分别相等，只能判定平行四边形；C 、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D 、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选：D ．8．【解答】解：观察数轴可知： 2||b b =，当0b <时，2b b =-，所以原式()b a b b a b a =---=--+=-． 故选：B ．9．【解答】解：Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，5AB =，4AC ∴=，如图，取AC 的中点O ，连接OE ，OB ， DAC DCE ∠=∠，90DCE ACE ∠+∠=︒， 90DAC ACE ∴∠+∠=︒， 90AEC ∴∠=︒， CE AD ∴⊥，可得E 点在以O 为圆心，半径为OA 的圆上运动，当O ，E ，B 三点在同一直线上时，BE 最短， 可得此时2OE OC OA ===， 在Rt OCB ∆中，223213OB =+ 故BE 的最短值为：132OB OE -=， 故选：C ．10．【解答】解：由题意和图象，可得由监测点A 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减小再增大；由监测点B 监测P 时，函数值y 随t 的增大而增大；由监测点C 监测P 时，函数值y 随t 的增大先减小再增大，然后再减小； 由监测点D 监测P 时，函数值y 随t 的增大而减小； 故选：C ．二、填空题（共8小题；共40分） 11．【解答】解：根据题意得：10x +， 解得1x -， 故答案为：1x -．12．【解答】解：将直线3y x =沿y 轴向下平移4个单位长度后得到的直线解析式为34y x =-， 故答案为：34y x =-．13．【解答】解：由勾股定理，得， 由圆的性质，得点A ，．14．【解答】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(9)x -尺， 根据勾股定理得：2223(9)x x +=-． 解得：4x =，答：折断处离地面的高度为4尺． 故答案为：4．15．【解答】解：在四个品种中甲、丙的平均数大于乙、丁，且丙的方差小于甲的方差，∴丙品种的苹果数的产量高又稳定，故答案为：丙．16．【解答】解：80BAD ∠=︒，菱形邻角和为180︒ 100ABC ∴∠=︒，菱形对角线即角平分线 50ABO ∴∠=︒， BE BO =18050652BEO BOE ︒-︒∴∠=∠==︒， 菱形对角线互相垂直 90AOB ∴∠=︒，906525AOE ∴∠=︒-︒=︒，故答案为 25．17．【解答】解：直线3y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ， 令0x =，则3y =，令0y =，则3x =-， (0,3)D ∴，(3,0)A -，将直线AD 向右平移4个单位长度，点A 平移后的对应点为点B 为(1,0)； 把(3,0)A -代入4y kx =-中得340k --=， 43k ∴=-，把(1,0)B 代入4y kx =-中得40k -=， 4k ∴=，把(4,3)C 代入4y kx =-中得443k -=， 74k ∴=， 74k ∴>或43k <-， 故答案为：74k >或43k <-． 18．【解答】解：（1）边长为a 的正方形面积2a =，边长为a 的菱形面积ah =，∴菱形面积：正方形面积2::ah a h a ==，菱形的变形度为2，即2ah=， ∴ “形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比1:2=，故答案为：1:2；（2）菱形的边长为1，“形变度”为65， ∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比为65， 111545(36633336)22264ABC S ∆∴=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=故答案为：454． 三、解答题（共7小题；共60分）19．【解答】解：原式==-=20．【解答】解：（1）两函数图象交于点(,2)C m ，∴把点C 的坐标代入22y x =-得：222m =-，解得：2m =，即(2,2)C ，函数y kx b =+经过点(3,1)B ，点(2,2)C ，∴1322k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1k =-，4b =，即4y x =-+，所以2m =，一次函数2:l y kx b =+的解析式是4y x =-+；（2）由图象可知不等式22kx b x +<-的解集是2x >．21．【解答】（1）证明：//DC BE ，DC AB =，∴四边形BECD 是平行四边形，90ADE ∠=︒，点B 是AE 的中点，12DB AE AB BE ∴===， ∴平行四边形BDCE 是菱形；（2）解：如图，连接BC 交DE 于O ，四边形BDCE 是菱形，BC DE ∴⊥，OD OE =，OB OC =，点B 是AE 的中点，OB ∴是ADE ∆的中位线，132OB AD ∴==，26BC OB ∴==，4OD ===，28DE OD ∴==，11682422BDCE S BC DE ∴=⋅=⨯⨯=菱形．22．【解答】解：（1）当01x <时，22y =甲；当1x >时，()22151157y x x =+-=+甲．22(01)157(1)x y x x <⎧∴=⎨+>⎩甲， 由题可得，163y x =+乙；（2）当1x >时，令y y =乙甲，即157163x x +=+，解得4x =；当4x =，选甲、乙两家快递公司快递费一样多，故当小明快递的物品超过1千克而小于4千克，则他应选择乙快递公司更省钱，当小明快递的物品超4千克，则他应选择甲快递公司更省钱．23．【解答】解：（1）302106219m =-----=，故答案为：9；（2）由（c ）中统计图可知，抽取的30名女生一分钟仰卧起坐成绩的众数为43，中位数是45，故答案为：43，45；（3）46211506530+++⨯=（人)， 即估计全年级女生成绩达到优秀的约有65人．24．【解答】解：（1）①依题意补全图形，如图1所示．②证明：连接CE ，如图2所示．四边形ABCD 是正方形，90BCD ∴∠=︒，AB BC =，1452ACB ACD BCD ∴∠=∠=∠=︒， 90CMN ∠=︒，CM MN =，45MCN ∴∠=︒，90ACN ACD MCN ∴∠=∠+∠=︒，在Rt ACN ∆中，点E 是AN 中点，12AE CE AN ∴==． AE CE =，AB CB =，∴点B 、E 在AC 的垂直平分线上，F ∴是AC 中点；（2）由②可得，BE 是线段AC 的垂直平分线，90ACN ∠=︒，EF AC ∴⊥，F 是AC 中点，190452FBC FBA ∠=∠=⨯︒=︒， //EF CN ∴，且F 是AC 中点，EF ∴是ANC ∆的中位线，12EF CN ∴=， 22sin 452BF CF BC BC ==︒=， 212BE BF EF CN ∴=++，即22BE CD CN =+； （3）在点M 沿着线段CD 从点C 运动到点D 的过程中，线段EN 所扫过的图形为四边形DFCN ．45BDC ∠=︒，45DCN ∠=︒，//BD CN ∴， ∴四边形DFCN 为梯形．2AB CD ==，sin451CF DF CD ∴==︒=，2cos45CD CN ==︒， ()()113121222DFCN S DF CN CF ∴=+⋅=+⨯=梯形， 故答案为：32． 25．【解答】解：（1）点7(4,)2的伴随域是一个以点7(4,)2为对角线交点，长为4，宽为4的矩形所覆盖的区域，如图2所示：该矩形区域的面积为16．（2）点7(4,)2P ，(Q a ，7)(0)2a >的伴随域重叠部分面积为2，且平行于y 轴的边长均为4， ∴点7(4,)2P ，(Q a ，7)(0)2a >的伴随域重叠部分也一个矩形，且平行于y 轴的边长均为4，平行于x 轴的边长均为12，①当04a<<时，12422aa +-=-，解得53a=；②4a>时，12422aa+-=-，解得11a=．综上分析a的值为53或11．（3）当1m=时，3S=；当2m=时，8S=；57S<<，12m∴<<，∴平行于y轴的矩形的边长为3，∴平行于x轴的矩形的边长m的范围为57 33m<<．12m<<，故答案为523m<<．。