复数的乘幂

5 3 2 整理得： x y 2 2
2 2
23
2
2 z 2 Re z 3
解: 设 z x iy, 则 2 z 2 Re z 3
y
即为 2 x 2 y 2 2 x 3
0

3 4
x
9 整理得： y 3 x 4
7
点为 z1 1 和z2 2 i , 例2 已知正三角形的两个顶 求它的另一个顶点 .
y
解
如图所示,
o
z3
z2 2 i
3
x
将表示 z2 z1 的向量
z1 1 z 3 绕 z1 旋转 (或 )就得 3 3 到另一个向量, 它的终点即为所求顶点z3 (或 z ). 3
已知曲线： x , y 0, F
若令 z x iy,
代入得： zz zz F , 2i 2
zz zz 则 x , y 2 2i
0 为曲线的复数形式方程.
18
例5
指出下列方程表示的曲线
(1) z i 2
解:法 1.
由几何意义 z i 2 即 z i 2 表示到 i
n in
n
r
n
cos n i sin n
1 n , 那么当 n 为负整数时, z
n个
z z , Argz nArgz
n
如果我们定义 z 上式仍成立.
n
10
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cos n i sin n . 棣莫佛公式
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:

若 z = x + iy ,
则 z = x − iy .
例2 计算共轭复数 = x + yi 与 z = x − yi 的积 z . 解
( x − yi )( x + yi ) = x − ( yi ) = x + y .
2 2 2 2
结论：两个共轭复数 z, z 的积是实数.
即 zz = x + y . ：
3) Im(i + z ) = 4 .
解：1) 表示与 −i 的距离等于 2 的所有复数 z 的集合 的集合. 为圆心， 为半径的圆. 此曲线是以 −i 为圆心，2 为半径的圆
y
o
2
⋅ −i
x
24
2) | z − 2i | = | z + 2 | ;
20
（3）三角表示法 ）
x = r cosθ , 利用直角坐标与极坐标的关系 y = r sinθ ,
复数可以表示成 z = r (cosθ + i sinθ ) （4）指数表示法 ） 利用欧拉公式 e iθ = cosθ + i sinθ , 复数可以表示成
z = re iθ
的指数表示式. 称为复数 z 的指数表示式
解
(5 − 5i )( −3 − 4i ) z1 5 − 5i = = z2 − 3 + 4i ( −3 + 4i )( −3 − 4i ) ( −15 − 20) + (15 − 20)i 7 1 = = − − i. 25 5 5
z1 7 1 = − + i. 5 5 z2
4
2 例1 实数 m 取何值时 , 复数 ( m − 3m − 4) +

数学总结复数知识点归纳一、复数的定义复数是数学中一种特殊的数。

它由实部和虚部组成，通常写成a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

例如，3+4i就是一个复数，其中实部是3，虚部是4。

复数既可以用代数形式表示，也可以用几何形式表示。

二、基本运算1. 复数加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 复数减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数乘法：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad+bc)i4. 复数除法：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)= (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)i/(c²+d²)三、幂指数形式1. 复数的幂指数形式表达：z = r(cosθ + isinθ) = r(e^(iθ))2. 复数的乘幂：z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ)) = r^n(e^(inθ))3. 复数的根：z^(1/n) = (r^(1/n))(cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n))四、三角形式1. 三角形式的定义：z = r(cosθ + isinθ) = r∠θ2. 三角形式的加法：z₁ + z₂ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) + r₂(cosθ₂ + isinθ₂)= (r₁cosθ₁ + r₂cosθ₂) + i(r₁sinθ₁ + r₂sinθ₂)= r(cosθ+ isinθ)3. 三角形式的乘法：z₁ * z₂ = r₁∠θ₁ * r₂∠θ₂= r₁r₂∠(θ₁+θ₂)五、欧拉公式欧拉公式是数学中非常重要的公式，也被称为数学中最美丽的公式之一，它将三角函数、指数函数和虚数单位联系在了一起。

i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
7
二、幂与根
1. n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
幂为负整数时,
求出z的幂.
8
2.棣莫佛公式
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
(cos i sin )n cosn i sin n .
棣莫佛公式
3. 方程 wn z 的根 w, 其中 z 为已知复数.
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0,1,2, ,n 1)
w2
o
w0 x
w3
15
三、小结
应熟练掌握复数乘积与商，幂与根的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:
z1
z2
r1
r ei(12 ) 2
z2 r e2 i(2 1 )
z1 r1
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
(k 0,1,2, ,n 1)
放映结束，按Esc退出.
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i sin(1 2 n )]
r1 r2 rnei(12 n ) .
5
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.