热力学统计物理复习

热力学统计物理复习（2011年）一、简答题（每小题4分，共20分）二、填空题（每空2分，共36分）三、证明和计算题（10+12+10+12=44分）第一部分1.熵增原理（P42）在绝热过程中，系统的熵永不减少，对于可逆绝热过程，系统的熵不变；对于不可逆绝热过程，系统的熵总是增加，这个结论叫做熵增加原理。

2.特性函数（P63）如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。

这样的热力学函数称为特性函数。

3.热力学第二定律的两种表述及其本质（P30）热力学第二定律的克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化,这种表述反映了热传导的不可逆性；开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用功而不引起其他变化,这种表述反映了功热(或热功)转换的不可逆性.4.熵判据（P76）如果孤立系统已经达到了熵为极大的状态，就不可能在发生任何宏观变化，系统就达到了平衡态。

我们可以利用熵函数这一性质来判定孤立系统的平衡态，这称为熵判据。

5.单元系、单元复相系（P80）单元系是指化学上纯的物质系统，它只含一种化学组分（一个组元）。

如果一个单元系不是均匀的，但可以分为若干个均匀的部分，该系统称为单元复相系。

比如水和水蒸汽共存构成一个单元两相系。

6.单元复相系平衡条件包括哪些？（P82）单元复相系达到平衡条件必须同时满足热学平衡条件、力学平衡条件和相平衡条件。

7.等几率原理（P178）对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观态出现的几率是相等的。

这是统计物理学中的基本假设。

8.μ空间（P165）设粒子的自由度为r ,为了形象地描绘粒子的力学运动状态，用r r p p q q ，，；，，⋅⋅⋅⋅⋅⋅11共r 2个变量为直角坐标，构成一个r 2维空间，称为μ空间。

粒子在某一时刻的力学运动状态)(11r r p p q q ，，；，，⋅⋅⋅⋅⋅⋅可以用μ空间中一点表示，称为粒子力学运动状态代表点。

9.近独立粒子系统（P174）近独立粒子系统是指系统中的粒子之间相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子间的相互作用，将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和。

10.全同性粒子系统（P174）全同性粒子系统是指由具有完全相同的内禀属性（相同的质量、电贺、自旋等等）的同类粒子组成的系统。

11.玻色子、费米子（P175）自然界中的基本粒子可分为两类，自旋量子数为半整数的称为费米子；自旋量子数为整数的称为玻色子。

12.第一定律的积分表达及微分表达（P178）统计物理学的一个最根本的观点是，宏观物质系统的特性是大量微观粒子运动的集体表现，宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。

13.统计物理学的最根本观点是什么？（P187） 玻耳兹曼分布：leal lβεαω--=；玻色分布与费米分布：玻色分布）—：费米分布；+±=+(1lea l l βεαω14.玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布的数学表达式（P187、P196）非简并条件（经典极限条件）：1 αe 或者1<<lla ω或者13<<λn 气体越稀薄，温度越高，分子质量越大越容易满足。

（P228）若简并条件：α-e 或3λn 虽小但不可忽略；（P239）强简并条件：1<<αe 或者13>>λn15.简并条件（经典极限条件）、弱简并条件、强简并条件（P175）系统微观运动状态的描述：假如全同粒子可以分辨，确定全同近独立粒子组成的系统的微观运动状态归结为确定每一个粒子的个体量子态；对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的微观运动状态归结为确定每一个个体量子态上的粒子数。

17 系统微观运动状态的描述(量子)第二部分第一章 用熵的定义式计算熵增第二章 证明题5453~P P ；第六章 361.6188⋅、P 、第七章 态方程；推导单原子理想气体物195P 、17220⋅P第八章241~240P 推导费米能级3222)3(20V N mFπμε==）（；第二章 1、证：选择pT ,为独立变量，焓的全微分为dp pH dT T H dH Tp ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= （1） 而由 Vdp TdS dH += （2） 及以pT ,为变量，熵的全微分表达dp p S dT T S dS Tp ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= （3） 可得 dp Vp S T dT T S T dH T p ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= （4）比较（1）和（4）得TT pS T V pH⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （5） 由麦氏关系P TT V p S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ （6） 得 P TT V T V p H ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 证毕 2、证明： 选V T ,为独立变量，内能的全微分为dV V U dT T U dU TV ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= （1） 2分而由 pdV TdS dU -= 2分及以V T ,为自变量时熵的全微分表达dVV S dT T S dS TV ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 2分 可得dV p V S T dT T S T dU T V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= （2） 2分 比较（1）和（2）得p V S T V U TT -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ （3） 2分 由麦氏关系 VT T p V S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 1分 （3）式变为p T p T V U VT -⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 1分证毕。

第六章6.1解：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 范围内三维自由粒子可能的量子态数为234Vp dphπ （1）自由粒子的能量动量关系为22pm ε=因此有22p m ε= （2）122m dp d εε⎛⎫= ⎪⎝⎭ （3）将（2）（3）代入（1）即得在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()31322V D d m d hπεεεε=（4）6.2证明：面积2L 内，动量大小在p 到p+dp 范围内二维自由粒子可能的量子态数为222L pdp hπ （2）自由粒子的能量动量关系为22pmε=因此有 1(2)p m ε= （3）122m dp d εε⎛⎫= ⎪⎝⎭（4）（3）（4）（2）得在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内二维自由粒子量子态数为 ()222L D d md hπεεε=（5）第七章1解：将单原子理想气体能量表达式为()22221zy xp p pm++=ε在相空间z y xdp dp dxdydzdp范围内，分子可能的微观状态数为3hdp dp dxdydzdpzy x于是，系统配分函数为()z y xp p pmdp dp dxdydzdpehZ zy x⎰⎰++-⋅⋅⋅=222231β上式可分解为六个积分相乘：z p myp mx p mdp edpedp edxdydz hZ zyx⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞+-∞-∞+-∞-∞+-⋅⋅=22222231βββ由积分公式，可得2322⎪⎪⎭⎫⎝⎛=βπh m V Z其中⎰⎰⎰=dxdydz V 是气体的体积。

根据Z V Np ln ∂∂=β 可求得系统的压强为VNkT Z VNp =∂∂=ln β2证：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为)()2(21222222,,z y x n n nn n n Lmmpzy x++==πε （1）),2,1,0,,(⋅⋅⋅±±=z y x n n n为了方便，将上式简记为32-=aVl ε （2）其中3L V =为系统的体积，常量)(2)2(2222z y x n n n ma ++=π，并以单一指标l 代表zy x n n n ,,三个量子数，由（2）得VaVVl l εε323235-=-=∂∂-（3）代入压强公式有VU a VVa p ll l l l3232==∂∂-=∑∑εε （4）式中∑=lll a U ε是系统内能上述证明未涉及分布{}l a 的具体表达式，因此（4）式对波耳兹蔓分布、玻色分布和费米分布都成立。

第八章根据费米分布，温度为T 处在能量为ε的平均一个量子态上的电子数为11+=-kTef με （1）考虑到自旋因子，在体积V 内在的能量范围εεεd +~内，电子的量子态数()εεπd m hV 2123324 (2)所以在体积V 内在的能量范围εεεd +~内，平均电子数为()12421233+-kTed m hV μεεεπ (3)在给定系统N 、T 、V 情况下，化学势能由下式决定()N ed m hV kT=+⎰∞-021233124μεεεπ （4）以)0(μ表示0K 时电子气体的化学势，由（1）知当0K 时)0(0)0(1μεμε>=<=f f （5）上式可知)0(μ为0K 时电子的最大能量，)0(μ也称费米能级，由下式决定()Nd m hV =⎰εεπμ)0(02123324 （6）解（6）得322232)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛=V N m πμ（7） 令F p 表示费米动量，由mp F 2)0(2=μ 可得 ()31231233nV N p Fππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛= （8）(好好看书复习, 在重点复习的基础上,平时讲课讲过的内容也要看,多劳多得)。