2014年高考数学真题江苏卷试题及答案
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2014高考数学【江苏卷】 数学Ⅰ一、填空题：1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A .2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 .3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 .4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .6. 为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位cm ），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21,a =8642a a a =+，则6a 的值是 .8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ,2S ，体积分别为1V ,2V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为.10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 .（第3题）100 80 90 110 120 底部周长/cm（第6题）（第12题）13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，|212|)(2+-=x x x f . 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 . 14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 .二、解答题15. 已知),2(ππα∈，55sin =α.（1）求)4sin(απ+的值；（2）求)265cos(απ-的值.16. 如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱 AB AC PC ,,的中点. 已知AC PA ⊥， ,6=PA .5,8==DF BC（1）求证：直线//PA 平面DEF ； （2）求证：平面⊥BDE 平面ABC .17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另 一点C ，连结C F 1.（1）若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；（2）若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.（第16题）PDCEFBA18. 如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO . （1）求新桥BC 的长；（2） 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 19. 已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. （1）证明：)(x f 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(0300x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20. 设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”. （1）若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明: }{n a 是“H 数列”；（2）设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d .若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *) 成立.2014高考数学【江苏卷】——附加卷21. 选做题A ．【选修4 - 1：几何证明选讲】如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB ＝∠D ．AOBCDB ．【选修4 - 2：矩阵与变换】已知矩阵A ＝121-⎡⎤⎢⎥⎣⎦x ，B ＝1121⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，向量α＝2⎡⎤⎢⎥⎣⎦y ，x ，y 为实数．若Aα＝Bα，求x ，y 的值．C ．【选修4 - 4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为1,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D ．【选修4 - 5：不等式选讲】已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy ． 【必做题】22．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．23．已知函数f 0(x )＝sin xx(x ＞0)，记f n (x )为f n -1(x )的导数，n ∈N *． （1）求2f 12π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2πf 22π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）证明：对任意n ∈N *，等式1444n n nf f πππ-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立．2014高考数学江苏卷参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{ - 1，3} 2．21 3．5 4．135．6π6．247．48．32910．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭11． - 3 12．22⎝⎭二、解答题：15．本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力．满分14分．解：(1)因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sinα = cosα = =．故πsin4α⎛⎫+⎪⎝⎭=πsin4cosα +πcos4sinα=⎛=⎝⎭．(2)由(1)知sin2α = 2sinαcosα =4 25⎛=-⎝⎭，cos2α = 1 - 2sin2α = 1 -2325⨯=⎝⎭，所以cos5552cos cos2sin sin2666πππααα⎛⎫-=+⎪⎝⎭=314525⎛⎛⎫⨯+⨯-=⎪⎝⎭⎝⎭16．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A．又因为PA ⊄平面DEF，DE ⊂平面DEF，所以直线P A∥平面DEF．（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，P A = 6，BC = 8，所以DE∥P A，DE =12P A = 3，EF =12BC = 4．又因为DF = 5，故DF2 = DE2 + EF2，所以∠DEF = 90°，即DE丄EF．又P A⊥AC，DE∥P A，所以DE⊥AC．因为AC ∩ EF = E，AC ⊂平面ABC，EF ⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC．又DE ⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．17．本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．解：设椭圆的焦距为2c，则F1( - c，0)，F2(c，0)．(1)因为B(0，b)，所以BF2= = a，又BF2 = a =因为点C41,33⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b+=，解得b2 = 1．故所求椭圆的方程为2212xy+=．(2)因为B(0，b)，F2(c，0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1x yc b+=．解方程组22221,1x yc b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2122221222,(),a c x a c b c a y a c ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩220,.x y b =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标为22222222(),a c b c a a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222(),a c b a c a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 因为直线F 1C 的斜率为222222223()()23()b ac b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB 的斜率为b c-，且F 1C ⊥AB ， 所以2223()13b a c b a c c c -⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭，又b 2 = a 2 - c 2，整理得a 2 = 5c 2．故e 2 = 15，因此e=18．本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力．满分16分．解：解法一：(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0，60)，C (170，0)，直线BC 的斜率k BC = - tan ∠BCO = 43-．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB = 34． 设点B 的坐标为(a ，b )， 则k BC =041703b a -=--，k AB = 60304b a -=-．解得a = 80，b = 120． 所以BC== 150．因此新桥BC 的长为150 m ．(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM = d m(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即4x + 3y – 680 = 0．由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即r= 68035d-=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80,(60)80,r d r d -≥⎧⎨--≥⎩即680380,56803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩解得10≤d ≤35．故当d = 10时，r =68035d-最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大． 解法二：(1) 如图，延长OA ，CB 于点F ．因为tan ∠FOC =43，所以sin ∠FOC = 45，cos ∠FOC = 35因为OA = 60，OC = 170， 所以OF = OC tan ∠FOC =6803，CF = 850cos 3OC FOC =∠． 从而AF = OF – OA = 5003．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB = sin ∠FCO = 45．又因为AB ⊥BC ，所以BF = AF cos ∠AFB =4003． 从而BC = CF - BF = 150．因此新桥BC 的长为150 m ． (2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD = r m ，OM = d m(0≤d ≤60)． 因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO = cos ∠FCO ． 故由(1)知sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--，所以r = 68035d-． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80,(60)80,r d r d -≥⎧⎨--≥⎩ 即680380,56803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩解得10≤d ≤35．故当d = 10时，r =68035d-最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．19．本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．满分16分．(1)证明：因为对任意x ∈R ，都有f ( - x ) = e - x + e - ( - x ) = e - x + e x = f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数． (2)解：由条件知m (e x + e - x - 1)≤e - x – 1在(0，+∞)上恒成立． 令t = e x (x >0)，则t >1，所以m ≤21111111t t t t t --=--+-++-对于任意t >1成立．因为11111t t -++≥- = 3，所以1113111t t -≥--++-， 当且仅当t = 2，即x = ln2时等号成立．因此实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．(3)解：令函数g (x ) = e x +1e x - a ( - x 3 + 3x )，则g ′(x ) = e x- 1ex + 3a (x 2 – 1)． 当x ≥1时，1e 0ex x ->，x 2– 1≥0，又a >0，故g ′(x )>0，所以g (x )是[1，+∞)上的单调增函数， 因此g (x )在[1，+∞)上的最小值是g (1) = e + e - 1 – 2a ．由于存在x 0∈[1，+∞)，使00300e e (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值g (1)<0，故e + e - 1- 2a <0，即1e e 2a -+>．令函数h (x ) = x – (e – 1)ln x - 1，则h ′(x ) = 1 -e 1x-，令h ′(x ) = 0，得x = e - 1． 当x ∈(0，e - 1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e - 1)上的单调减函数． 当x ∈(e – 1，+∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e – 1，+∞)上的单调增函数． 所以h (x )在(0，+∞)上的最小值是h (e - 1)．注意到h (1) = h (e) = 0，所以当x ∈(1，e - 1)⊆(0，e – 1)时，h (e - 1)≤h (x )<h (1) = 0； 当x ∈(e – 1，e)⊆(e – 1，+∞)时，h (x )<h (e) = 0，所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． ①当a ∈1e e ,e 2-⎛⎫+⎪⎝⎭⊆(1，e)时，h (a )<0，即a - 1<(e - 1)ln a ，从而e a - 1<a e - 1； ②当a = e 时，e a - 1 = a e - 1；③当a ∈(e ，+∞)⊆(e - 1，+∞)时，h (a )>h (e) = 0，即a – 1>(e - 1)ln a ，故e a - 1>a e - 1．综上所述，当a ∈1e e ,e 2-⎛⎫+⎪⎝⎭时，e a - 2<a e - 1，当a = e 时，e a - 1 = a e - 1，当a ∈(0， + ∞)时，e a - 1>a e - 1．20．本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力．满分16分．(1)证明：由已知，当n ≥1时，a n + 1 = S n + 1 – S n = 2n + 1 – 2n = 2n ，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m =n + 1，使得S n = 2n = a m ，所以{a n }是“H 数列”．(2)解：由已知，得S 2 = 2a 1 + d = 2 + d ，因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2 = a m ， 即2 + d = 1 + (m – 1)d ，于是(m – 2)d = 1． 因为d <0，所以m – 2<0，故m = 1，从而d = - 1． 当d = - 1时，a n = 2 - n ，()32n n n S -=是小于2的整数，n ∈N *．于是对任意的正整数n ，总存在正整数m = 2 - S n = 2 - ()32n n -，使得S n = 2 - m = a m ，所以{a n }是“H 数列”，因此d 的值为 - 1．(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n = a 1 + (n - 1)d = na 1 + + (n - 1)(d - a 1)(n ∈N *)． 令b n = na 1，c n = (n - 1)(d - a 1)，则a n = b n + c n (n ∈N *)． 下证{b n }是“H 数列”． 设{b n }的前n 项和为T n ，则()112n n n T a +=(n ∈N *)， 于是对任意的正整数n ，总存在正整数()12n n m +=，使得T n = b m ，所以{b n }是“H 数列”． 同理可证{c n }也是“H 数列”．所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n = b n + c n (n ∈N *)成立．数学II （附加题）21．【选做题】A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力．满分10分． 证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB = OC ．故∠OCB = ∠B ．又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆心角， 所以∠B = ∠D ． 因此∠OCB = ∠D ．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：由已知，得Aα = 1222212y x y xy --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，Bα = 1122214y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦B α． 因为Aα = Bα，所以22224y y xy y -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，故222,24.-+=+⎧⎨+=-⎩y y xy y 解得1,24.x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以x + y =72．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．AO BCD解：将直线l的参数方程1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入抛物线方程y 2 = 4x ，得2241⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得t 1 = 0，t 2= - 所以AB = |t 1 - t 2| = ．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]本小题主要考查算术 - 几何平均不等式，考查推理论证能力．满分10分．证明：因为x >0，y >0，所以1 + x + y 2≥>0，故(1 + x + y 2)(1 + x 2 + y )≥≥= 9xy ．22．【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：(1)取出的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P = 22243229C C C 6315C 3618++++==． (2)随机变量X 的所有可能的取值为2，3，4．{X = 4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X = 4) = 4449C 1C 126=； {X = 3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其它颜色的球，或3个黄球和1个其它颜色的球”，故P (X = 3) = 3131453649C C C C 13C 63+=； 于是P (X = 2) = 1 - P (X = 3) = 1 -13163126-= 1114． 所以随机变量X 的概率分布如下表：因此随机变量X 的数学期望E (X ) = 23414631269⨯+⨯+⨯=．23．【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及应用数学归纳法的推理论证能力．满分10分．(1)解：由已知，得f 1(x ) = f 0′(x ) = 2sin cos sin x x xx x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2014高考数学江苏卷试题及答案11 于是f 2(x ) = f 1′(x ) = 223cos sin sin 2cos 2sin x x x x x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12π42πf ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23π2162ππf ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故12πππ2222f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ = - 1． (2)证明：由已知得：xf 0(x ) = sin x ，等式两边分别对x 求导得：f 0(x ) + xf 0′(x ) = cos x ，即f 0(x ) + xf 1(x ) = cos x = πsin 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，类似可得2f 1(x ) + xf 2(x ) = - sin x = sin(x + π)， 3f 2(x ) + xf 3(x ) = - cos x = 3πsin 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4f 3x ) + xf 4x ) = sin x = sin(x + 2π)． 下面用数学归纳法证明等式nf n - 1(x ) + xf n (x ) = πsin 2n x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对所有的n ∈N *都成立． (i)当n = 1时，由上可知等式成立．(ii)假设当n = k 时等式成立，即kf k - 1(x ) + xf k (x ) = πsin 2k x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 因为[kf k - 1(x ) + xf k (x )]′ = kf ′k - 1(x ) + f k (x ) + xf ′k (x ) = (k + 1)f k (x ) + xf k + 1(x )， ππ(1)πsin cos sin 2222k k k k x x x x π''⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 所以(k + 1)f k (x ) + xf k + 1(x ) = (1)πsin 2k x +⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． 因此当n = k + 1时，等式成立．综合(i)，(ii)可知等式nf n - 1(x ) + xf n (x ) = πsin 2n x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对所有的n ∈N *都成立． 令x = π4，可得1sin 44442n n n nf f πππππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(n ∈N *)．所以1444n n nf f πππ-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n ∈N *)．。
