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2024年数学建模教案修订版一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第五章“线性规划与应用”，具体内容为：线性规划的基本概念、数学模型及求解方法。
主要涉及教材第5.1节至第5.3节的内容。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划问题的数学模型。
2. 学会运用单纯形法求解线性规划问题，并能解释求解过程中各步骤的含义。
3. 能够运用数学建模方法解决实际问题，提高分析和解决问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：线性规划模型的建立与求解方法的理解。
2. 教学重点：线性规划的基本概念、数学模型以及单纯形法的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、练习本、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示一道关于物流配送的实际问题，引导学生思考如何运用数学方法解决这一问题。
2. 理论讲解（10分钟）介绍线性规划的基本概念、数学模型及其求解方法。
3. 例题讲解（15分钟）以教材例题为例，详细讲解线性规划的建模过程及单纯形法的求解步骤。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成一道关于生产计划的线性规划问题，教师巡回指导。
5. 小组讨论（10分钟）学生分小组讨论线性规划在实际问题中的应用，并展示讨论成果。
六、板书设计1. 线性规划的基本概念2. 线性规划的数学模型3. 单纯形法的求解步骤4. 例题解析七、作业设计1. 作业题目：某公司生产两种产品A和B，已知生产A产品需要3小时工时，2平方米场地，生产B产品需要2小时工时，1.5平方米场地。
该公司每天有12小时工时和6平方米场地可用。
请问该公司如何安排生产计划，才能使每天的生产利润最大？2. 答案：目标函数：z = 5x + 4y约束条件：3x + 2y ≤ 12，2x + 1.5y ≤ 6，x ≥ 0，y≥ 0解得最优解为：x = 2，y = 4，即该公司每天生产A产品2件，B产品4件，可获得最大利润。
《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.0000 40.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval = 960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
《数学建模》课程教案教学文档一、教学内容本节课选自《数学建模》教材第四章：线性规划及其应用。
详细内容包括线性规划的基本概念、线性规划模型的建立、单纯形方法及其应用。
二、教学目标1. 理解线性规划的基本概念，掌握线性规划模型的建立方法。
2. 学会运用单纯形方法求解线性规划问题，并能将其应用于实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点难点：线性规划模型的建立、单纯形方法的运用。
重点：线性规划的基本概念、线性规划模型的求解。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。
学具：教材、笔记本、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际情景，引出线性规划问题。
实践情景：某工厂生产两种产品，产品A和产品B。
生产每个产品A需要2小时工时和3平方米厂房面积，生产每个产品B需要4小时工时和1平方米厂房面积。
工厂每天有8小时工时和6平方米厂房面积可用。
如何分配生产时间和厂房面积，使得工厂每天的生产利润最大？2. 知识讲解：1) 线性规划的基本概念。
2) 线性规划模型的建立。
3) 单纯形方法及其应用。
3. 例题讲解：例题1：求解导入环节提出的实际线性规划问题。
例题2：求解一个标准形式的线性规划问题。
4. 随堂练习：让学生独立求解一个线性规划问题，并给出解答。
六、板书设计1. 线性规划基本概念2. 线性规划模型的建立3. 单纯形方法4. 例题解答七、作业设计1. 作业题目：习题4.1：求解线性规划问题。
习题4.2：应用单纯形方法求解实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对线性规划的基本概念和求解方法掌握程度，以及对实际问题的建模能力。
2. 拓展延伸：探讨线性规划的其他求解方法，如内点法、对偶问题等。
引导学生关注线性规划在实际问题中的应用，如物流、生产计划等。
重点和难点解析1. 线性规划模型的建立。
2. 单纯形方法的运用。
3. 例题讲解与随堂练习的设置。
考试内容分布：1、线性规划2题，有1题需编程；2、非线性规划2题，有1题需编程；3、微分方程1题，需编程；4、差分方程2题，纯计算，不需编程；5、插值2题，拟合1题，纯计算，不需编程；；6、综合1题(4分)，纯计算，不需编程。
一、列出下面线性规划问题的求解模型，并给出matlab计算环境下的程序1.某车间有甲、已两台机床，可用于加工三种工件，假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400,600和500，且已知用两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。
问怎样分配车床的加工任务，才能即满足加工工件的要求，又使加工费用最低。
（答案见课本P35, 例1）2.有两个煤厂A,B，每月进煤分别不少于60t、100t，它们负责供应三个居民区的用煤任务，这三个居民区每月需用煤分别为45t, 75t, 40t。
A厂离这三个居民区分别为10km, 5km, 6km，B厂离这三个居民区分别为4km, 8km, 15km，问这两煤厂如何分配供煤，才能使总运输量最小？(1)问题分析设A煤场向这三个居民区供煤分别为x1,x2,x3;B煤场向这三个居民区供煤分别为x4,x5,x6，则min f=10*x1+5*x2+6*x3+4*x4+8*x5+15*x6，再根据题目约束条件来进行解题。
(2) 模型的求解>> f=[10 5 6 4 8 15];>> A=[-1 -1 -1 0 0 00 0 0 -1 -1 -1-1 0 0 -1 0 00 -1 0 0 -1 00 0 -1 0 0 -1];>> b=[-60;-100;-45;-75;-40];>> Aeq=[];>> beq=[];>> vlb=zeros(6,1);>> vub=[];>> [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)Optimization terminated.(3) 结果分析x =0.0000 20.000040.0000 45.0000 55.0000 0.0000 fval =960.0000即A 煤场分别向三个居民区供煤0t,20t,40t ；B 煤场分别向三个居民区供煤45t,55t,0t 可在满足条件下使得总运输量最小。
第十四章赛题选讲§14.1 节水洗衣机问题问题（CUMCM1996 B题）我国淡水量有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要，假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水—漂水—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水（称“加水—漂水—脱水”为运行一轮）。
请为洗衣机设计一种程序，确定洗涤轮数以及每一轮的加水量等，使得在满足一定洗剂效果的条件下，总的用水量达最少。
选用合理的数据进行计算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果做出评价。
一．模型假设1．衣物有相同的质地，为一仅与布料有关的参数，表示衣服布料的亲水性，即在普通的空气湿度、布料被充分浸湿的前提下，再经一定强度（洗衣机）下充分脱水后，（衣物湿重-衣物干重）/衣物干重；2．假设在放入衣物和洗涤剂（有害物）后洗衣机的运行过程为：加水—漂水—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水，即除了首轮洗涤外，不再投放洗涤剂，且洗涤剂的一次投放量足够多，在首轮洗涤过程中，洗涤剂以及衣物上附着的污物可以得到充分溶解；3．为待洗衣物的（干）重量，所附着污物的质量可以忽略，为投放洗涤剂的重量，而表示经连续轮洗涤后，残留在衣物中洗涤剂的量，表示总的洗涤轮数；4．为清洁衣物的健康指标，表示在单位重量的衣物中存留的洗涤剂量的上限，即只有在，方才达到洗涤要求。
5．、分别表示在首轮、第轮洗涤时的加水量；分别表示最小、最大加水量，即；6．经每轮洗涤，洗涤剂在水中和衣物中的分配可达到平衡，即经充分漂洗；这里假设经连续轮洗涤后，残留在衣物中洗涤剂的量相当于完全均匀地溶于，经脱水将溶于的部分残留在衣物中。
二．模型建立：记，，则模型可表示为：三．模型求解定理：在总用水量一定的条件下，平均分配每次加水量，实现的洗涤效果最好。
即为最优化问题的解。
证明：1）若，必有，即为该最优化问题的一个可行解；2），；又，；根据在算术平均数一定的有些个正实数变量，当且仅当它们相等时，它们的几何平均数最大，可得本定理结论。
因此，本文模型的求解归结为求解：显然，当需要的洗涤轮数最少：；当需要的洗涤轮数最多：（表示对上取整）。
因此就，必对应解：，相应的用水量为，而对应的用水量为，从中取最小。
四．结果分析以下几个表是直接从当年竞赛优秀论文中摘抄的，我们在学习其在处理类似问题所采用的形式之余，同时也应当注意到这种方式以及相应结果的不足——对于本例，采用解析的方式加以讨论将更加简洁并可得到更为深入的结果。
1）表一：洗涤剂添加量的变化对结果的影响，这里kg，，，升。
（克）20结论：在其它条件一定的情况下，洗涤剂添加量越少越省水；2）表二：衣物亲（吸）水性系数的变化对结果的影响，这里kg，，g，升。
0.030.600.5542080结论：在其它条件一定的情况下，亲水性越小越省水（洗涤剂的洗涤效果越大越省水）；3）表三：衣物重量的变化对结果的影响，这里，，g，，升。
（千克）1五．讨论（不考虑加水有上下界的限制）：1）用水量为，视为连续变量，考虑2）事实上，，可以完全利用解析的方式对各个变量、参量进行灵敏度、稳定性等一系列分析；3）进而发现把一般的洗衣问题仅仅视作节水的问题进行建模是有缺陷的，应同时考虑节能、节时。
§14.2 小行星撞击南极的灾害分析建模一. 引言1999年，即在第15届美国大学生数学建模竞赛中，有一道题目是假设一颗直径为1000米的小行星撞击南极，考虑撞击强烈程度以及南极的特殊地理位置，参赛队员须分析建模，回答由于撞击所可能引发各种自然灾变，以及估算南半球（或全球）由此造成的经济损失。
一些科学家认为，在人类之前，曾在地球上一度繁荣的恐龙时代很可能就是由于小行星或者是彗星在猛烈撞击地球所引发的一系列灾变而惨遭遏杀，而在1994年，人类又亲睹了彗星撞击木星的壮烈场面，这使得一些人们担心“天塌”的忧虑变得不再特别可笑。
因此，就大学生所处的年龄，1999年的赛题是有吸引力的，同时在短暂的几天时间内试图给出一个比较圆满的答案，该题也是极具挑战性的，它要求队员具备除了相关的数学、物理以及计算机知识外，还应对地理学、天文学甚至对全球经济构成和分布等多方面知识皆有了解，显然能够有效利用图书馆和互联网等资源就变得非常重要。
当时，北京邮电大学共组织了 4 个参赛队，其中一个队选做该题，参赛论文被评为一等奖。
与几篇优秀论文比较，该参赛论文除了比较细致地讨论了小行星撞击南极所可能引发的多种灾难性后果外，又建立了一个综合的灾害分析模型，后者也正好是该文的特色所在——这样，使得文章不论从分析论证的角度还是从成文的角度来审视，都是相对完整的。
而就这点，笔者认为数学建模活动作为一种教学行为，除了培养学生应用数学知识分析和解决实际问题的意识和能力外，还应该强调学生尝试在自己的作品中体现出整体设计的美学效果。
一篇好的作品，不仅仅是能简单地提出问题，给出一大堆解决的思路，反映在作品中则是一大堆很难从中发现任何规律性的简单结果的堆砌，而应该在整体上体现设计的思想，除了有到位的内容之外，在文章的论述过程和成文中读者可以发现一个漂亮的结构。
尽管在该参赛论文中作者们对假设的撞击事件所可能引发的灾害，诸如地震、海啸、洪水以及酸雨等，逐个进行了细致的讨论和建模分析，因为他们不能比我们在UMAP见到的优秀论文做的更好，故不在这里赘述，而是就在比较中我认为形成特色的部分作详细介绍。
通过查阅资料和周密的分析计算，文章假定造访的小行星为一个巨大的火球或者干脆就是一团巨大的能量在南极瞬间释放，由此引发诸如地震、海啸等自然灾变，考虑到南极的特殊地理环境，队员们认为被融化和炸碎的南极冰原可能导致全球海平面升高并由此引发洪水泛滥。
当然，他们也注意到了当这个火球穿行于大气层中会导致大量氮氧化合物的生成并最终形成酸雨考验地球和人类，而这一种灾害按照他们的分析结果同样不容忽视。
因此，在他们的论文中，将刚才提及的一大袋子能量分成他们认为合适的四块对地震、海啸、洪水以及酸雨等分别展开讨论。
显然，以上提及的几种灾变形式对人类以及地球本身的作用方式以及后果是有很大差异的，这里不妨只讨论这些灾害对人类所造成的危害，因为人类经济构成的多样性，而即使是同一经济组分由于在全球范围内分布的不均衡，还可以找到更多的因素来佐证试图就这一意外灾难给出一个量化估计是困难的。
为讨论方便，这里假设地球表面是一半径为的球面，适当建立直角坐标系，使得地心落在坐标原点，而南极的坐标为，这样即表示地球表面，如果特别强调南半球，只须加条件。
二. 模型假设、概念及记号●: 第种可能的自然灾变，比如地震、海啸、洪水、酸雨等等，, 其中为所有被考虑的灾变类型总数;●: 第种经济或财富类型或组分, 比如工业、农业、渔业等等，甚至可以划分更加细致，总之对于被划在同一组分的人类财富，应当在上面提及的几种自然灾害面前的反应基本上是一致的，比方渔业和采矿业在面临地震和酸雨的威胁时表现出的脆弱性有很大的差异，我们宁可把二者分开。
这里, 其中为所有被考虑的经济组分的总数;●: 定义在上, 表示第种经济组分在全球的分布，应满足:1) , 对任意;2) : 表示在上对面积的曲面积分，这里;●: 同样定义在上, 表示在点处，第种经济组分由于第类自然灾害所遭受的损害程度，应满足, 当是表示第类自然灾害不会对第种经济组分造成任何破坏，相反若则表示第类自然灾害对第种经济组分造成的破坏程度达. 这里、;●: 定义在上, 表示第经济组分在遭遇各种自然灾害共同作用所遭受的损害程度，应满足前面提及的的所有性质;●:表示在全球范围内，即在曲面上，第种经济组分在遭遇各种自然灾害共同作用后所遭受的损害的平均程度，这里;●: 表示若将人类的全部经济财富综合在一块考虑，在这次小行星撞击南极的事件中所遭受的破坏程度，而这也是我们最为关心的一个数字;●: 表示第种经济组分在人类全部财富中的权重，;●这里假设类灾害同时发生，而且它们在对各经济组分发生作用时是相互独立的；同时假定各经济组分的划分没有交叠的部分，即不存在某种财富被划分到两种不同的经济组分。
三. 模型建立有了以上的假设，我们可以建立如下的综合灾害分析模型:其中式中同样是对面积的曲面积分，而关于式：因为表示在点处第种经济组分由于第类自然灾害所遭受的损害程度，则即是幸存下来的部分，又因为我们假设类灾害同时发生且它们在对各经济组分发生作用时是相互独立的，因此第种经济组分在遭遇各种自然灾害共同作用后所能幸存下来的部分等于，进而得式。
模型看上去尽管简单,可是() 获得有赖于统计数据，而(, ) 则取决于在点处的强度和的性质——该参赛队在论文中作了细致的讨论和精致的模型设计。
四. 模型应用与点评为了尝试应用他们提出的方法，三位队员用一簇纬线将曲面分为个纬度带、…. 假定在同一纬度带各类自然灾害的强度均取定值，以及各种经济组分在同一纬度带的分布皆为均匀分布。
这样就将上面建立的连续型模型离散化，我们只须给出、的一些离散取值、(), 而且，由于对经济统计数据的欠缺，在经济组分的划分时他们依赖于手边的一部世界地图册上提供的世界人口分布图构造了一组粗略的世界财富分布数据，即只考虑了单一的经济组分构成。
按照他们的计算，得出整个南半球将有超过工业财富在这次灾难中被吞噬掉。
——这一数字结果的可信性姑且不论，仅就为得到这一数字所进行的方法探索和表现出的求真的科学态度及勇气也是值得肯定的。
