届高三数学一轮复习专讲210函数模型及其应用精品PPT课件

点问题中的增长率、最优化问题．
2．多以解答题为主，考查建模能力，综合性强，属 中高档题．
知识梳理 1．几类函数模型 函数模型 一次函数模型 函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c 对数函数模型 (a，b，c为常数，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 幂函数模型
a(1＋x)5元
C．a＋(1＋x)5元 [答案] A [解析]
B．a(1＋x)6元
D．a(1＋x5)元
因为年利率按复利计算，所以到2012年7月1
日可取款a(1＋x)5.
5．鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东 省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票 2.4 万张，票价有30元、50元和80元三种，且票价30元和50元
把①代入③有x＝192－(50a＋30b)≤192－20 ＝132(万元)
5a＝3b 当且仅当 ab＝0.6
a＝0.6， 时等号成立，解得b＝1， c＝0.8.
由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值． 故三种门票分别为0.6,1,0.8万张时为失学儿童募捐纯 收入最大．
对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则
成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客
房的定价大致应为 A．220元 B．200元 ( )
C．180元
[答案] C
D．160元
4．2007年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年 利率为x，按复利计算，则到2012年7月1日可取款 ( )

厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号 重量 小包装 大包装 100克 300克
包装费
0.5元
0.7元8.4元销售价格 3.0元则下列说法中正确的是(
)
①买小包装实惠
②买大包装实惠 ③卖3小包比卖1大包盈利多 ④卖1大包比卖3小包盈利多 A．①③ C．②③ B．①④ D．②④
公路通车后的 5 年中，该特产既在本地销售， 也在外地销售， 159 在外地销售的投资收益为： 每投入 x 万元， 可获利润 Q＝－ (60 160 119 －x) ＋ (60－x)万元．问从 10 年的总利润看，该规划方案是否 2
2
具有实施价值？
[ 思路探究 ]
先由二次函数性质求出实施规划前每年获得的最大
x n a . >x
(2)对于对数函数 y ＝logax(a>1)和幂函数 y ＝xn(n>0)在区间 (0 ，＋
∞)上，尽管在x的一定范围内可能会有logax>xn，但由y＝logax的增长
速度慢于 y ＝ xn 的增长速度，因此在 (0 ，＋∞ ) 上总存在一个实数 x0 使 x>x0时，有 logax<xn .
解析：设 x 小时后，血液中的酒精含量不超过 0.09 mg/mL， 3 3 则有 0.3· ( )x≤0.09，即( )x≤0.3. 4 4 估算或取对数计算，得 5 小时后，可以开车．
答案：5
热点之一
一次函数、二次函数模型的应用
1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数 模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量 的系数小于0)； 2 ． 有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润 问题、产量问题等．一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性 解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错．

logax<xn .
由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速
度不同,且不在同一个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个 x0,使 x>x0 时
有
ax>xn>logax .
第四页，共30页。
梳理(shūlǐ)
自测
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
解得 24-16 2≤a≤4,
所以 a 的最小值为 24-16 2≈1.6.
(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo diǎn)三
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16
14-
-a=(14-x)+
16
14-
-
探究
(tànjiū)
突破
方法提炼
1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增
D
A.x=60t+50t(0≤t≤6.5)
60t,0 ≤ t ≤ 2.5,
B.x= 150,2.5 < t ≤ 3.5,
150-50t,3.5 < t ≤ 6.5
60t,0 ≤ t ≤ 2.5,
C.x=
150-50t,t > 3.5
60t,0 ≤ t ≤ 2.5,
依题意,函数为分段函数.求出每一段上的解析式即可.
有 400 千克不需要保管).
(1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内
总的保管费用 y1(元)关于 x 的函数关系式;
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y(元)

声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为 p 1， p 2，
p 3，则(
ACD )
A. p1≥p2
B. p2＞10p3
C. p3＝100p0
D. p1≤100p2
[解析]
由已知，知60≤20×lg
利润取得最大值，且最大值为1 000元，故选C.
命题点3 构造函数模型求解实际问题
例3 (1)[2024四川省叙永一中模拟]净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯
净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的 PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构
成，其结构是多层式的，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假

指数函数模型
f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)
对数函数模型
f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)
函数模型
函数解析式
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)
对勾函数模型
f(x)＝ax＋ (a＞0，b＞0)


2. 指数、对数、幂函数模型性质的比较
A. 1.5
B. 1.2
10
10 ≈1.259)(
C. 0.8
C )
D. 0.6
[解析] 由题可知，4.9＝5＋lg V ⇒lg V ＝－0.1⇒ V ＝1 0
选C.
1
−10
1
1
＝ 10 ≈
≈0.8，故

地表示这些数据的规律(guīlǜ)，其中最接近的一个是
________．
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12
y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
①y＝2x；
②y＝log2x；
③y＝12(x2－1) ；
④y＝2.61cos x
解析：通过检验可知，y＝log2x较为(jiào wéi)
函数模型的建立以及函 数模型中的最值问题， 命题的热点是二次函数 的最值或利用基本不等 式求解最值，如2012年 江苏高考T17,2010年高
考T14等． 2.考查(kǎochá)题型以解答
题为主.
第二页，共50页。
[归纳(guīnà) 知识整合] 1．几种常见(chánɡ jiàn)的函数模型
函数模型
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Байду номын сангаас
(1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略(hūlüè)其大小)，其 飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮 弹可以击中它？请说明理由． [自主解答] (1)令 y＝0，得 kx－210(1＋k2)x2＝0，由实 际意义和题设条件知 x＞0，k＞0， 故 x＝12＋0kk2＝k2＋01k≤220＝10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程为 10 千米．
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4．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售， 后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________ 元． 解析(jiě xī)：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝ 112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元． 答案：12.5
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答案 B
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20
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
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21
问题探究 问题 1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？ (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．
A．100 台 B．120 台 C．150 台 D．180 台
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12
解析 设利润为 f(x)(万元)，则 f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2) ＝0.1x2＋5x－3 000≥0，
∴x≥150.
答案 C
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13
3．某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r， 存期是 x，
第二章 函数、导数及其应用
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1
第十节 函数模型及其应用
基础回扣·自主学习
热点命题·深度剖析
特色专题·感悟提高
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2
高考明方向 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例 体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含 义．
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在 社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
答案 2ln2 1 024
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17
知识点二 三种函数模型增长速度的比较 5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在 x0，使 ax0<xn0<logax0.( ) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x、h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，恒有 h(x)<f(x)<g(x)．( )

请你根据图像用简练的语言叙述出： 建议(1)是：______________________； 建议(2)是：______________________.
[答案] (1)不改变车票价格，减少支出费用 (2)不改变支出费用，提高车票价格
7.有一批材料可以建成 200m 的围墙，如果用此批材料在一 边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个 面积相等的矩形(如下图所示)，求围成的矩形最大面积．(围墙 厚度不计)．
[点评] 本题所列出的函数为分段函数，要注意结合题意明 确各段的自变量的取值范围．
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租 车计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型．
(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同， 可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再 将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
(2)二次函数一般看函数图像的开口方向和对称轴与单调性 解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易错解．
[解析] 设矩形的长为 xm，宽为2004－xm， 则 S＝x·2004－x＝14(－x2＋200x)(0<x<200)． 当 x＝100 时，Smax＝2500m2. 故围成矩形最大面积为 2500m2
一次函数与分段函数模型
[例 1] 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不 超过 4 吨时每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每 吨 3.00 元，某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两户 该月用水量分别为 5x,3x(吨)．
4 x>3.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增． 当 x∈0，45时，y≤f45＝11.52； 当 x∈45，43时，y≤f43＝22.4； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5. 所以甲户用水量为 5x＝7.5 吨，

由二次函数的性质得，经过8.5 min，放水停止,
共出水34×8.5=289(L)，289÷65≈4.45.
故至多可供4人洗浴. 答案：(1)y=0.95m5x0 ,x∈N*
(2)对数函数模型
(3)
利用函数刻画实际问题 【方法点睛】 用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最 小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的 缓急等)相吻合即可.
每年最多
每件产品 可生产的
销售价
件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关,m为待定常数,其值由生产 A产品的原材料价格决定,预计m∈［6,8］,另外,年销售x件B产 品时需上交0.05x2万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能 在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1,y2与生产相 应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域; (2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划.
(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0)型，其中最常见的是二次函 数模型:_y_=_a_x_2+_b_x_+_c_(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函
数值先减小，后增大(a＞0).
f1(x), x D1
(6)分段函数模型：y f2 (x), x D2 ,其特点是每一段自变量变
fn (x)，x Dn
(2)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时
间t(小时)成正比,则设函数y=kt(k≠0),将点(0.1,1)代入可得
k=10,则y=10t;将点(0.1,1)代入y=( 1 )t,a得a= 1 .

A
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
［思路点拨］（1）根据与 的关系图可得正确的选项.
（2） 水池有两个相同的进水口和一个出水口,其进水量和出水量随时间的变化如图a, 所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图c所示,给出以下3个说法:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则说法一定正确的是( )
，，为常数，且，
对数函数模型
，，为常数，且，
幂函数模型
，， 为常数，，
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数，，，则随着 的增大，增长速度的大小关系是_______________.（填关于，， 的关系式）
[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .
2.［教材改编］ 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的矩形花园（阴影部分），则其中 的取值范围是_________.
［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.
[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.

5.在增长速度上，一般在区间（0，+∞）上， 总会存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
双基回顾
1.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑 步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴 表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则
下列四个图形中较符合该学生的走法的是： D
2.某种放射性元素，100年后只剩原来 质量的一半，现有这种元素1克，三年 后剩下：D
2.解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意， 明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、 概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；
二是要合理选取参变数，设定变元后， 就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的 代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、 方程、不等式等数学模型；最终求解数学模 型使实际问题获解.
单利问题：本金为P，期利率为r，经n期后 本利和为： P=（1+nr） ；
例4 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分 别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后 每月的产量，以这三个月的产品数量为依据， 用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的 关系，模拟函数可以选择二次函数或函数 y=a.bx+c（其中a,b,c为常数），已知4月份该 产品的产量为1.37万元，试问用以上哪个函数 作为模拟函数较好？并说明理由。
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
例3 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今 后能将人口平均增长率控制在1%，经过x年后， 我国人口为y（亿）；
（1）求y与x的函数关系式y=f(x)； （2）求函数y=f(x)的定义域； （3）判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出

素4
1
秒后,信息素浓度为2a
A.2√2
的位置距释放处的距离为( D )米.
C.√2
B.2
解析 由题意知,当 t=1,x=2 时,y=a,代入 ln
当
1
t=4,y= a
2
时,代入关系式,得
1
ln =- ln
2 2
立①②,解得 x=4 或-4(舍),故选 D.
D.4
1
y=- ln
2
2
t- x +A,得
2025
北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
第10节 函数模型及其应用
课标解读
1.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.会比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数
增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
3.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活
和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度
所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以保证奖金数逐年增加.假设基
金平均年利率为r=6%,资料显示:2003年诺贝尔奖发放后基金总额约为20
000万美元,设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(单位:万美
元,2003年记为f(1),2004年记为f(2),…,依此类推).
1
f(3)=f(2)(1+0.06)- f(2)×0.06=f(2)(1+0.03)=f(1)(1+0.03)2,…,故
2
f(x)=20 000×(1+0.03)x-1(x∈N*).
(2)由题知,2012 年度诺贝尔奖发放后的基金总额记为 f(10),则