北京工业大学2013-2014概率论与数理统计考题答案

2012年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题5分, 共30分)1. 设随机变量X 服从正态分布(1,4)N , 已知(1)a Φ=, 其中()x Φ表示标准正态分布的分布函数, 则{13}P X -≤≤=21a -.解: 111311{13}11(1)(1)2222(1)(1(1))2(1)12 1.X X P X P P a -----⎧⎫⎧⎫-≤≤=≤≤=-≤≤=Φ-Φ-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Φ--Φ=Φ-=- 2. 设概率()0.3,()0.5,()0.6P A P B P A B ==+=, 则()P AB = 0.1 . 解: ()()()()0.2P AB P A P B P A B =+-+=,()()()0.30.20.1P AB P A P AB =-=-=.3. 设随机变量,X Y 的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计(|2|6)P X Y +≥≤ 13/36 . 解: 由已知条件得, (2)2220E X Y EX EY +=+=-+=,(2)4()2(,2)4()4(,)D X Y DX D Y Cov X Y DX D Y Cov X Y +=++=++4()41164(1/2)213DX D Y ρ=++=++⋅-⋅=, 所以, 13(|2|6)36P X Y +≥≤. 4. 已知,X Y 是具有相同分布的两个独立随机变量, 且1(1)(1)2P X P Y =-==-=, 1(0)(0)2P X P Y ====, 则()P X Y == 1/2 . 解:()(0,0)(1,1)1(0)(0)(1)(1).2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ====+=-=-===+=-=-=5. 设1216,,,X X X 是来自2(0,)N σ的样本, S 是样本均方差, 则1614ii XS=∑服从t (15).解: 由定理3(15)t ,161611(15)4i ii X X X t S ===∑∑.6. 设1281,,,(,9)X X X N μ, 要检验假设0:0H μ=, 则当0H 为真时, 用于检验的统计量3X 服从的分布是(0,1)N . 解: 由定理1(0,1)X N , 3(0,1)X N .二. 解答下列各题:7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.解: 设A =“该人是色盲”, 1A =“该人是男人”, 2A =“该人是女人”.由全概率公式知, 2111()()()0.050.0025 2.625%22i i i P A P A P A A ===⨯+⨯=∑.8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令1,,0,i X ⎧=⎨⎩第次取出球第次取出白球，i 红i 1,2i =. 实在不放回模式下求12,X X 的联合分布律,4/7 3/7 j P因为1212{0,0}{0}{0}P X X P X P X ==≠==, 所以12,X X 不独立. 9. (10分)设随机向量(,)X Y 的联合概率密度函数为3,01,,(,)20,xx x y x f x y ⎧<<-<<⎪=⎨⎪⎩其他，求,X Y 的边缘概率密度函数. 解: 当01x <<时, 23()(,)32xX x xf x f x y dy dy x +∞-∞-===⎰⎰.所以,23,01,()0,.其他X x x f x ⎧<<=⎨⎩当10y -<<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y -==-⎰;当01y ≤<时, 1233()(1)24Y y x f y dx y ==-⎰; 所以,23(1),11,()40,.其他Y y y f y ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩10. (10分) 设,X Y 相互独立, 且(1)(1)0P X P Y p ====>, (0)(0)10P X P Y p ====->,令1,0,X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩当为偶数,当为奇数,求Z 的分布律.解:{0}{0,1}{1,0}{0}{1}{1}{0}2(1)P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===- 22{1}{0,0}{1,1}{0}{0}{1}{1}(1).P Z P X Y P X Y P X P Y P X P Y p p ====+=====+===+- 所以, Z11. (10分12,,X 是来自具有分布的总体的随机样本,试用中心极限定理计算()5P X >.(已知(2)0.508Φ=.)解: 由题知1()3i E X =,2()1i E X =,故()228()9i i i D X EX EX =-=. 由中心极限定理知,20012001600(,)39ii X N =∑. 所以, 11111()4014052005n i n n i i i i i X P X P P X P X ===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪>=>=>=-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭∑∑∑1200200403311(2)(2)0.508404033n i i X P =⎛⎫-- ⎪ ⎪=-≤≈-Φ-=Φ= ⎪ ⎪⎝⎭∑. 12. (10分)设总体X 的密度函数为36(),0,(;)0,其他,xx x f x θθθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩求θ的矩估计ˆθ并计算ˆD θ.解: 依题意,306()()2xE X xx dx X θθθθ=-==⎰,得参数θ的矩估计量为ˆ2X θ=. 4ˆ4D DX DX n θ==. 而2223063()()10x E X x x dx θθθθ=-=⎰,故22244ˆ()5D DX EX E X n n n θθ==-=.13. (10分) 某电器零件平均电阻一直保持在2.64Ω,使用新工艺后,测得100个零件平均电阻在2.62Ω,如改变工艺前后电阻均方差保持在0.06Ω,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取0.01α=)(1.96)0.975,Φ=(1.64)0.95,Φ=(2.58)0.995Φ=. 解: 设X 为零件的平均电阻, 则2~(,0.06)X N μ. (1)假设0: 2.64H μ=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3)由0.01α=, 确定临界值22.58u α=, , 使得2{||}0.01P U u α>=;(4)由样本值 2.62x =, 得统计量U 的观察值3.33x u ==≈-.(5)因为 2.58u >,所以拒绝原假设0H ,认为新工艺对零件电阻有显著影响.2013年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(每题4分, 共20分)1. 设随机变量,X Y 相互独立, 且同分布, {1}{1}0.5P X P X =-===,{1}{1}0.5P Y P Y =-===, 则{}P X Y == 1/2 .解: 1{}{1,1}{1,1}{1}{1}{1}{1}.2P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y ===-=-+====-=-+===2.22x edx +∞-=⎰2. 解:因为221x +∞--∞=⎰,所以22xe +∞--∞=⎰即2202x e +∞-=⎰. 3. 设连续型随机变量X的密度函数22()2()x f x μσ--=, x -∞<<+∞, 则EX =μ, DX =2σ. 解:因为22()2()x X f x μσ--=, 所以2(,)X N μσ.4. 设总体(3,10)XN , 12100,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本, 则10011100i i X X ==∑1~(3,)10X N . 解: 由定理1知, 1~(3,)10X N . 5. 设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 . 解: 记i A =“第i 次摸到红球”, 1,2,3i =.13131223123123()()(())()P A A P A A P A A A A P A A A A A A =Ω=+=+123123121312121312()()()()()()()()P A A A P A A A P A P A A P A A A P A P A A P A A A =+=+876827281098109845=⨯⨯+⨯⨯=. 二. 解答题6. (12分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反12第4题. 解: 设A =“甲有效”, B =“乙有效”.题目转为: 已知()0.92,()0.93P A P B ==, {}0.85P B A =, 求()P A B +和{}P A B . 因为()()()(){}0.851()1()()P BA P B A P B P AB P B A P A P A P A --====--, 所以, ()0.862P AB =.所以, ()()()()0.988P A B P A P B P AB +=+-=;()()()()0.920.862{}0.831()1()10.93()P AB P A B P A P AB P A B P B P B P B ---====≈---. 7. (12分)设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan ()F x a b x x =+-∞<<+∞, 求常数,a b 以及随机变量X 的密度函数. 解: 根据分布函数的性质得()1,2()0,2b F a b F a ππ⎧+∞=+=⎪⎪⎨⎪-∞=-=⎪⎩ 所以1,21.a b π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩X 的密度函数为21()(1)f x x π=+.8. (14分) 设某种类型人造卫星的寿命X (单位: 年)的密度函数为21,0,()20,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩若2颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求:(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率. 参考教材P37例3 解: 1颗卫星3年内正常运行的概率为32231{3}2x P X e dx e +∞--≥==⎰. 记Y 表示2颗卫星在3年内正常运行的颗数, 则32(2,)Y B e -.(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率2332{2}P Y e e --⎛⎫=== ⎪⎝⎭;(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率232{1}1{0}11P Y P Y e -⎛⎫≥=-≥=-- ⎪⎝⎭.9. (14分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满分为100, 合格线为60), 试求: (1) 考生成绩在60-84之间的概率;(2) 该校考生的合格率.((2)0.977,(1)0.8413)Φ=Φ= 解: 设某高校英语考试成绩为X , 则2(72,)XN σ.由题意知{96}0.023P X ≥=, 即7296720.023X P σσ--⎧⎫≥=⎨⎬⎩⎭, 所以241()0.023σ-Φ=, 即24()0.977(2)σΦ==Φ.因此, 12σ=.(1) 考生成绩在60-84之间的概率6072728472{6084}(1)(1)2(1)10.6826;121212X P X P ---⎧⎫≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-=⎨⎬⎩⎭(2) 合格率726072{60}1(1)(1)0.8413.1212X P X P --⎧⎫≥=≥=-Φ-=Φ=⎨⎬⎩⎭10. (14分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布(25,100)N , 现在从这种电池中随机抽取16个, 测得平均寿命为23.8小时, 由此能否断定: 在显著性水平为0.05α=时, 该种电池的平均寿命小于25小时. ((1.96)0.975,(1.64)0.95)Φ=Φ= 解: 设X 为电池寿命, 则~(,100)X N μ.(1)假设00:25H μμ≥=; (2)取统计量~(0,1)X U N=;(3) 由0.05α=, 确定临界值 1.64u α-=-, 使得{}0.05P U u α<-=; (4)由样本均值23.8x =, 得统计量U 的观察值00.48u ===-.(5)因为00.48 1.64u =->-,此时没有充分理由说明小概率事件{ 1.64}u <-一定发生. 所以接受原假设0H , 认为这种电池的平均寿命不小于25小时. 注: 原假设不能设为00:25H μμ<=,此时μ取不到0μ,统计量X U =就没有意义了!11. (14分)设总体X 是离散型随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2, 已知2(1)EX θ=-, 2{2}(1)P X θ==-, θ为参数. 对X 取容量为10的样本如下 1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2.求参数θ的矩估计和极大似然估计.解:(1) 由2(1)X θ=-, 得θ的矩估计量为12Xθ=-; 结合 1.1x =, θ的矩估计值为10.452x θ=-=.(2) 构造似然函数为11912101210(){1,1,,2}{1}{1}{2}32(1)L P X X X P X P X P X θθθ=========-,取对数ln ()ln3211ln(1)9ln L θθθ=+-+,求导数(ln ())11901d L d θθθθ=-+=-, 得θ的极大似然估计值为920θ=.2014年概率论与数理统计期末考试试卷一. 填空题(共40分, 每空5分)1. 设~(,)X B n p , ~(,)Y B m p , 且X 与Y 独立, 则X Y +~(),(p m n B +)分布;2. 设2~(,)X N μσ, 则X 的密度函数()f x =(222)(21σμσπ--x e);3. 设总体X 的方差为2σ, 12,,,n X X X 为样本, X 为样本均值, 则期望211()n i i E X X n =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑(21σn n -); 4. 设12,,,n X X X 为样本, 则统计量211n i i X n =∑的名称为(样本2阶原点矩);5. 设总体~(,1)X N μ, 12,,,n X X X 为来自该总体的样本, 则21()ni i X μ=-∑服从()(2n χ)分布;6. 一批产品中有5个正品, 3个次品, 从中任取2个, 恰有1个次品, 1个正品的概率为(2815281315=C C C );7. 样本的特性是(独立、同分布且与总体分布相同);8. 在假设检验中, 可能犯两类错误. 其中第一类错误也称为弃真, 弃真的确切含义为(当原假设是真的时，拒绝了它). 二. 计算题(60分, 每题10分)1. 假设某贪官收受一次贿赂而被曝光的概率为0.05, 到目前为止共收受80次贿赂, 假设案发前每次收受贿赂是否曝光相互独立. 试用概率说明 “多行不义必自毙”. (取20190.3520⎛⎫≈ ⎪⎝⎭)解：记i A 为事件“第i 次收受贿赂而被曝光”（1,2,,80i），---------------------2 于是案发的概率为 )(801∑=i i A P ------------- ------------- -----------------4 )(1)(1801801∏∏==-=-=i i i i A P A P----------------------6985.035.01)2019(195.0148080=-=-=-=。

全国2013年1月自考概率论与数理统计(经管类)试题课程代码：04183一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

解：本题考查的是和事件的概率公式，答案为C.解：()()(|)1()()P B AB P AB P B AB P AB P AB ⋂===()()()0.50.15(|)0.5()()1()0.7P BA P B P AB P B A P B P A P A --=====- ()()0.15(|)0.3()()()0.5P B AB P AB P AB B P A P B P B ⋂=====()()(|)1()()P A AB P AB P A AB P AB P AB ⋂===故选B.解：本题考查的是分布函数的性质。

由()1F +∞=可知，A 、B 不能作为分布函数。

再由分布函数的单调不减性，可知D 不是分布函数。

所以答案为C 。

解：{||2}{2}{2}1{2}{2}1(2)(2)1(2)1(2)22(2)P X P X P X P X P X >=>+<-=-≤+<-=-Φ+Φ-=-Φ+-Φ=-Φ 故选A 。

解：因为(2)0.20.16P Y c ===+，所以0.04c =又(2)10.80.20.02P X c d ==-==++，所以10.020.040d =--= 故选D 。

解：若~()X P λ，则()()E X D X λ==，故 D 。

解：由方差的性质和二项分布的期望和方差：1512(1)()()3695276633D X Y D X D Y -+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=选A 。

解：由切比雪夫不等式2(){|()|}1D X P X E X εε-<>-，可得21600{78008200}{|8000|200}10.96200P X P X <<=-<>-= 选C 。

北京工业大学2004—2005年度第I 学期概率论与数理统计考试试卷(经,A 卷)及参考答案一. 填空题(每空两分,共30分)1. 若B A ,为随机事件，且6.0)(=A P ,2.0)(=-A B P .当A 与B 相互独立时,=)(B P 0.5 ；A 与B 互不相容时,=)(B P 0.2 。

2. 若每次试验时A 发生的概率都是2.0，X 表示50次独立试验中事件A 发生的次数，则=)(X E 10 ，=)(X Var 8 。

3. 若随机变量X 只取2±,1之三个可能值,且15.0)2(=-=X P ,5.0)1(==X P 。

则=)(X E 0.9 ，=)(X Var 1.69 。

4. 若随机变量21,X X 相互独立,且1X ～)3,3(2N ，2X ～)2,1(2N 。

令212X X X -=，则=)(X E 1 ，=)(X Var 25 ，)1(>X P ＝ 0.5 。

5. 若n X X X ,,,21 为抽自正态总体),(2σμN 的随机样本，记 ∑==ni i X n X 11，212)(11X X n S ni i --=∑=. 则σμ/)(-X n ～)1,0(N , 2/)(S X n μ-～1-n t , 22/)1(σS n -～21-n χ。

进一步，记αZ 为标准正态分布上α分位点，)(αm t 为自由度为m 的t 分布上α分位点,)(2αχm 为自由度为m 的2χ分布上α分位点,m 为自然数，10<<α为常数。

当2σ已知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为])/(,)/([2/2/αασσZ n X Z n X +-；当2σ未知时,μ的置信系数为α-1的置信区间为)]2/()/(),2/()/([11αα--+-n n t n S X t n S X ,2σ的置信系数为α-1的置信区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----)2/1()1(,)2/()1(212212αχαχn n S n S n 。

北 京 交 通 大 学2013~2014学年第二学期概率论与数理统计阶段测验（一）参 考 答 案一．（本题满分8分）将12本各不相同的书籍放在书架的一层上，求指定的4本书放在一起的概率． 解：设{}本书放在一起指定的4=A ，求()A P ．12本不同的书籍放在书架的一层上，有不同的放法!12种（样本点总数）．将指定的4本书看成一本，再与其它的8本书一起放，有放法!9种；再，指定的4本书有放法!4，因此事件A 含样本点数为!4!9⨯个．所求概率为 ()01818.0551!12!4!9==⨯=A P ． 二．（本题满分8分）已知甲袋中装有2个红球、5个白球；乙袋中装有4个红球、3个白球．现掷一颗均匀的骰子，若所得点数能被3整除，则从乙袋中取出一球，否则从甲袋中取出一球．⑴. 计算所取的球为红球的概率（4分）；⑵. 已知所取的球为红球，球该球是从甲袋中取出的概率（4分）． 解：设{}从甲袋中取球=A ，{}取出的球为红球=B ， ⑴. 由全概率公式，得()()()()()A B P A P A B P A P B P += 21874317232=⨯+⨯=⑵. 由Bayes 公式，得 ()()()()()()()AB P A P A B P A P A B P A P B A P ⨯+⨯⨯=21743172327232=⨯+⨯⨯=三．（本题满分8分）一实习生用同一台机器独立地制造3个同种零件，第i 个元件是不合格品的概率为11+=i p i ， ()3,2,1=i 以X 表示3个零件中合格品的个数，求{}2=X P ． 解：设{}个零件是合格品第i A i =，()3,2,1=i ．则 {}3213213212A A A A A A A A A X ⋃⋃==， 而且321,,A A A 相互独立，以及()()()43411,32311,21211321=-==-==-=A A A P所以，{}()3213213212A A A A A A A A A P X P ⋃⋃== ()()()321321321A A P A A P A A P ++=()()()()()()()()()321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=2411413221433121433221=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．四．（本题满分8分）有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯．如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次．⑴. 某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少（3分）？⑵. 某人声称他通过品尝能区分两种酒．他连续试验10次，成功3次．试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）（5分）． 解：⑴. 设{}试验成功一次=A ，则有()7014844==C C A P⑵. 设X ：试验10次成功的次数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛701,10~B X由于()473310101633.370697013-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P 因此随机事件{}6==X B 是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生的”的原理，随机事件{}6==X B 是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们可以断定此人确有区分酒的能力．五．（本题满分8分）将一个表面涂有颜色的正方体等分为1000个小正方体，从这些小正方体中任取一个．令X 表示所取的小正方体含有颜色的面数，⑴ 求X 的分布列（5分）；⑵ 求概率()1≥X P （3分）． 解：⑴ X 的取值为3,2,1,0． {}100083==X P ，{}1000962==X P ，{}10003841==X P ，{}10005120==X P ． 所以，X 的分布列为⑵ ()()111<-=≥X P X P ()01=-=X P 512.01-= 488.0.01-=．六．（本题满分8分）设离散型随机变量X 的可能取值为 ,2,1，其相应的概率分别为()!k C k X P kλ⋅==， () ,2,1=k ．其中0>λ为参数．求常数C ． 解：由 ()∑∞===11k k X P∑∞=⋅=1!k kk C λ∑∞=⋅=1!k kk C λ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=∑∞=1!0k k k C λ ()1-⋅=λe C 所以，11-=λe C ． 七．（本题满分8分）某人住家附近有一个公交车站，他每天上班时在该站等车的时间X （单位：分钟）服从41=λ的指数分布，如果他候车时间超过5分钟，他就改为步行上班．求他一周5天上班时间中至少有2天需要步行的概率． 解：X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex p xX ． 设=A “候车时间超过5分钟”，则()4554415-+∞-==≥=⎰e dx e X P p x ．设Y ：一周5天中他需要步行上班的天数．则()p B Y ,5~，因此所求概率为()()()()41155005111112p p C p p C Y P Y P ----=≤-=≥4438.0151144545545=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---e e e ． 八．（本题满分8分）设连续型随机变量X 的分布函数为()x B A x F arctan +=， ()+∞<<∞-x ．试求：⑴. 系数A 与B ；⑵. 概率{}11<<-X P ． 解：⑴. 由()1lim =+∞→x F x ，()0lim =-∞→x F x ，得()()B A x B A x F x x 2a r c t a nlim lim 1π+=+==+∞→+∞→， ()()B A x B A x F x x 2a r c t a nlim lim 0π-=-==-∞→-∞→．解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0212B A B A ππ ，得21=A ，π1=B 所以，()x x F arctan 121π+=()+∞<<∞-x ⑵. {}11<<-X P ()()11--=F F()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1a r c t a n 1211a r c t a n 121ππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=41214121ππππ 21=九．（本题满分9分） 从6,5,4,3,2,1这6个数字中任意取出3个数字，并将其按照大小排列，得：321x x x <<，令随机变量2x X =．求随机变量X 的 ⑴ 分布律（5分）；⑵ 分布函数()x F （4分）． 解：随机变量X 的取值为5,4,3,2．从6个不同的数字中任意取出3个，有取法2036=C 种，由此得()5120412=⨯==X P ，()10320323=⨯==X P ，()10320234=⨯==X P ，()5120145=⨯==X P ． 因此随机变量X 的分布列为234551 103 103 51 X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=5154544321325120x x x x x x F ． 十．（本题满分9分）设在时间t （分钟）内，通过某路口的汽车数()t X 服从参数为t λ的Poisson （泊松）分布，其中0>λ为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为2.0，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率． 解：()t X 的分布列为(){}()tk e k t k t X P λλ-==!，() ,2,1,0=k ．因此在1=t 分钟内，通过的汽车数为 (){}λλ-==e k k X P k!1，() ,2,1,0=k ．由题设，(){}2.001===-λe X P ，所以5ln =λ．因此，(){}(){}()252425111!0521021125ln 220=-=-=⋅-==-=≥--e e X P X P λ． 十一．（本题满分9分）甲袋中有1个黑球和2个白球，乙袋中有3个白球．每次从甲、乙两个袋中各任取一球，交换后放入另一个袋中．求这样交换n 次后，黑球仍在甲袋中的概率． 解：设=n A “第n 次交换后黑球在甲袋中”，并设()n n p A P =，() ,2,1=n ． 由全概率公式，得()()()()()1111----+==n n n n n n n n A A P A P A A P A P A P p()3113211⨯-+⨯=--n n p p3131313132111+=+-=---n n n p p p 313131313131312222++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n n p p313131313122111+++++==--- n n n p 323131313113131311111nn n n p p -+=--+=-- ⎪⎭⎫⎝⎛-+=--1113112131n n p ． 而 321=p ，代入上式，得 2113121213131121323111⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=--n n n n n p ． 十二．（本题满分9分）设随机变量()1,0~N X ，求随机变量122+=X Y 的密度函数()y p Y ．解：X 的密度函数为()2221x X e x p -=π，()+∞<<∞-x ．所以，随机变量122+=X Y 的分布函数为()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=≤+=≤=211222y X P y X P y Y P y F Y ．所以，当1≤y 时，()0=y F Y ； 当1>y 时，()⎰⎰------==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=2102212122222221212121y x y y x Y dx edx ey X y P y X P y F ππ，即 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=⎰--11222122y y dx ey F y x Y π ，对()y F Y 求导，得随机变量Y 的密度函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-⋅⋅='=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111221222212y y y ey F y p y Y Y π ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--10112141y y e y y π ．。

全国2013年1月高等教育自学考试概率论与数理统计(经管类)试题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)四、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)五、应用题(10分)全国2013年1月高等教育自学考试 概率论与数理统计(经管类)答案1、本题考查的是和事件的概率公式，答案为C.2、解：()()(|)1()()P B AB P AB P B AB P AB P AB ⋂===()()()0.50.15(|)0.5()()1()0.7P BA P B P AB P B A P B P A P A --=====- ()()0.15(|)0.3()()()0.5P B AB P AB P AB B P A P B P B ⋂=====()()(|)1()()P A AB P AB P A AB P AB P AB ⋂=== ，故选B.3、解：本题考查的是分布函数的性质。

由()1F +∞=可知，A 、B 不能作为分布函数。

再由分布函数的单调不减性，可知D 不是分布函数。

所以答案为C 。

4、解：选A 。

{||2}{2}{2}1{2}{2}1(2)(2)1(2)1(2)22(2)P X P X P X P X P X >=>+<-=-≤+<-=-Φ+Φ-=-Φ+-Φ=-Φ 5、解：因为(2)0.20.16P Y c ===+，所以0.04c =又(2)10.80.20.02P X c d ==-==++，所以10.020.040.14d =--= ，故选D 。

6、解：若~()X P λ，则()()E X D X λ==，故 D 。

7、解：由方差的性质和二项分布的期望和方差：1512(1)()()3695276633D X Y D X D Y -+=+=⨯⨯+⨯⨯=+= ，选A8、解：由切比雪夫不等式2(){|()|}1D X P X E X εε-<>-，可得21600{78008200}{|8000|200}10.96200P X P X <<=-<>-= ，选C 。

2013～ 2014年概率论与数理统计A 卷答案一、选择填空题（共18分）1.箱中有5个白球3个红球，任取2个，则两个都是红球的概率为（ D ） A.15/28 B.13/28 C.5/28 D.3/282.设2~(,)X N μσ，则随σ增加，概率(||)P X μσ-<（ C ） A.单调增加B.单调减少 C.保持不变D.与μ有关3.设总体2123(,),,,XN u X X X σ是总体X 的样本，则以下μ的无偏估计中， 最有效的估计量是（ C ）.A.12X X -B.123121236X X X +-C. XD.123241555X X X +-4.设()0.5,()0.8P A P A B ==，且A 与B 互斥，则()P B =0.35.设随机变量X 在（1,6）服从均匀分布，则(24)P X <<=0.46.若总体2~(,)X N μσ，其中2σ未知，则对总体均值μ进行区间估计时选择的枢轴量为X t =二、计算题（共30分）1.某保险公司把投保人分成三类：“谨慎的”、“一般的”、“冒险的”，占的比例分别为20%、50%、30%。

一年中他们出事故的概率分别为0.05、0.15、0.30。

（1）求一年中投保人出事故的概率；（2）现有一投保人出了事故，求他是“谨慎的”客户的概率.解：设i A :投保人是“谨慎的、一般的、冒险的”(i=1,2,3)，B:投保人出事故 （1）112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 0.20.050.50.150.30.30.175=⋅+⋅+⋅= （2）111()(|)(|)()P A P B A P A B P B =0.20.0520.0570.17535⋅==≈2.设随机变量X（1）求()E X ； （2）求()D X .解：（1）11111()(2)01264342E X =-⋅+⋅+⋅+⋅=（2）222221111()(2)01226434E X =-⋅+⋅+⋅+⋅=2217()()()244D XE X E X ∴=-=-=3.设随机变量X 的概率密度为3,0()0,x ce x f x -⎧>=⎨⎩其他（1）求常数c ；（2）求(1)P X <. 解：（1）3301()33x x c cf x dx ce dx e +∞+∞+∞---∞===-=⎰⎰，故3c =（2）1133300(1)31x x P X e dx e e ---<==-=-⎰三、计算题（共40分）1.设二维随机变量(,)X Y 具有联合分布律求（1）X 的边缘分布律； （2）)1(22≤+Y X P . 解：5115(0)2481212P X ==++=， 7517(1)24241212P X ==++=X 的边缘分布律为（2）2251755(1)24824246P X Y +≤=+++= 2.设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为38,01,01(,)0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其他，（1）求X 与Y 的边缘概率密度；（2）判断X 与Y 是否独立?(说明理由) 解：（1）01x <<时，130()(,)82X f x f x y dy xy dy x +∞-∞===⎰⎰，01y <<时，1330()(,)84Y f y f x y dx xy dx y +∞-∞===⎰⎰.2,01()0,X x x f x <<⎧∴=⎨⎩其他,34,01()0,Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其他 （2）因为()()(,)X Y f x f y f x y ⋅=，所以X 与Y 相互独立.3.设总体X 的概率密度为1,01,0(,)0,x x f x θθθθ-⎧<<>=⎨⎩其他,12,,,n X X X 是总体X 的样本，求未知参数θ的最大似然估计量. 解：似然函数为11111()(,)nnnni ii i i i L f x x x θθθθθθ--======∏∏∏，1ln ()ln (1)ln ni i L n x θθθ==+-∑，似然方程为1ln ()ln 0ni i d L n x d θθθ==+=∑ 解得1ln nii nXθ==-∑是θ的最大似然估计量。

北京工业大学2013-2014学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。

数据结果保留3位小数。

考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。

考试时允许使用计算器。

考试时间120分钟。

一、（10分）设学生某次考试成绩服从正态分布),(2σμN ，现从中随机抽取36位的考试成绩, 算得平均分为66.5，标准差为15分。

问在显著性水平0.05下，从样本看，(1)是否接受“70=μ”的假设？ (2)是否接受“2216≤σ”的假设？解：已知 05.0,36,15,5.66====αn S X（1）70:,70:10≠=μμH H由书中结论知，检验问题的拒绝域为)1(702-≥-n t nSX α4.13615705.6670=-=-nSX ，查表得0301.2)35()1(025.02==-t n t α，所以，接受原假设。

，（2）22122016:,16:>≤σσH H检验问题的拒绝域为)1(16)1(222-≥-n S n αχ7617.301615)136(16)1(2222=-=-S n ，802.49)136()1(205.02=-=-χχαn ，所以，接受原假设。

二、（15分）在某公路上观察汽车通过情况，取15秒为一个时间单位，记下锅炉汽车分布？(显著性水平取0.05α=)解：805.020014113282681920ˆ=*+*+*+*+*==x λ并组后k=4,而此处r=1,故自由度为k-r-1=2,200.932-200=0.932<991.5)2(205.0=χ,所以是Poisson 分布三、（15分）为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得甲醇浓度x(1)建立“缩醇化度” y 对甲醇浓度x 的一元线性回归方程； (2)对建立的回归方程进行显著性检验：（取01.0=α）； (3)在0x =36时，给出相应的y 的预测区间（取01.0=α）。

12014学年第一学期《概率率与数理统计》（A 卷）标准答案和评分标准 一、选择题1. D2. C3. A4. D5. D6. C7. B8. B9. D 10. B 二、填空题1. 0.12. 0.73. 2e -，,0()0,0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩ 4. 4/5或0.85. 2(2)1Φ-或(2)(2)Φ-Φ-6. 4，127. 7， 8三、1.解：设123,,A A A 分别表示被保险人为“谨慎型”、“一般型”和“冒失型”，B 表示被保险人在一年内出了事故。

（1分）依题意，有 123()0.2,()0.5,()0.3P A P A P A ===， 111(|)0.05,(|)0.1,(|)0.3P B A P B A P B A ===， （2分）所以，由贝叶斯公式可得 （1分）1111112233()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++ （4分） 0.20.0510.06670.20.050.50.10.30.315⨯===⨯+⨯+⨯ （2分） 2.解：根据题意，X 可能的取值有1，2，3， （1分）取值的概率分别为13241(1)2C P X C ===，12241(2)3C P X C ===，2411(3)6P X C ===故X (6分）11113(21)(211)(221)(231) 4.332363E X +=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== （3分）3.解：（1）由120()d d 13cf x x cx x +∞-∞===⎰⎰ 知3c =； （2分）（2）当0x ≤ 时，()()d 0d 0x xF x f x x x -∞-∞===⎰⎰；当01x <≤ 时，230()()d 3d xxF x f x x x x x -∞===⎰⎰；当1x > 时，120()()d 3d 1x F x f x x x x -∞===⎰⎰；所以30,0,(),0 1.1, 1.x F x x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩（4分）2（3）1203()()30.754E X xf x dx x x dx +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分）1222203()()30.65E X x f x d x x x d x +∞-∞==⋅==⎰⎰ （2分） 223()()[()]0.37580D XE X E X =-== （2分）（4）解法一：因为1Y X =-是严格单调的函数，所以 当01y <<时，即，01x <<时，2()(1)(1)3(1)Y X f y f y y y '=--=- 当Y 为其他值时， ()(1)(1)0Y X f y f y y '=--= 所以,1Y X =-的密度函数为：⎩⎨⎧<<-=其他,010,)1(3)(2y y y f Y （4分）解法二：1Y X =-的分布函数()Y F y 为()()(1)(1)Y F y P Y y P X y P X y =<=-<=>-1(1)1(1),X P X y F y =-≤-=--而其它100)1(3)1()]1(1[)()(2<<⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--==y y y f y F dy d dy y dF y f X X Y Y （4分）四、1. 解：矩法估计，因为1()xxxxE X xe dx xdexee dx θθθθμθ+∞+∞+∞----+∞===-=-+⎰⎰⎰0xeθθθ-+∞=-=或因为1XE θ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()E X μθ== （4分） 由矩法估计ˆX μ= ，所以ˆX θ=。

北 京 交 通 大 学2013~2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（一）试卷参 考 答 案一．（本题满分4分）从1到1000这1000个数字中任取一个，求取出的数字能被2或者被3整除的概率． 解：设=A “取出的数字能够被2或者3整除”，所求概率为()A P ． =B “取出的数字能够被2整除”， =C “取出的数字能够被3整除”． 则 C B A ⋃=．由概率的加法公式，得 ()()()()()BC P C P B P C B P A P -+=⋃= 1000667100016610003331000500=-+=． 二．（本题满分8分）n ()2>n 个人围成一个圆圈，求甲、乙两人站在一起的概率．解：n 个人围成一个圆圈，有方法()!1-n 种，这是样本点总数．设=A “甲、乙两人站在一起”．甲乙两人站在一起，有2种可能，将甲乙两人排好后，再与其余2-n 人，共1-n 个“人”排成一个圆圈，有()!2-n 种方法，因此A 事件所含的样本点数为()!22-⨯n ．所以 ()()()12!1!22-=--⨯=n n n A P ．三．（本题满分8分）在某城市中，共发行3种报纸A ，B ，C ，在这城市的居民中，订有A 报纸的占%45，订有B 报纸的占%35，订有C 报纸的占%30，同时订购A ，B 报纸的占%10，同时订购B ，C 报纸的占%5，同时订购A ，C 报纸的占%8，同时订购A ，B ，C 报纸的占%3，试求下列事件的百分率：⑴ 只订购A 报纸的（4分）；⑵ 正好订购两种报纸的（4分）． 解：设=A “订购A 报纸”；=B “订购B 报纸”；=C “订购C 报纸”．由已知，()45.0=A P ，()35.0=B P ，()30.0=C P ，()10.0=AB P ，()05.0=BC P ， ()08.0=AC P ，()03.0=ABC P ． ⑴ 所求概率为()C B A P ．()()()()()C B A A P C B A P C B A P ⋃-=⋃-= ()()()()()AC AB P A P C B A P A P ⋃-=⋃-= ()()()()A B C P AC P AB P A P +--= 30.003.008.010.045.0=+--=． ⑴ 所求概率为()BC A C B A C AB P ⋃⋃．()()()()BC A P C B A P C AB P BC A C B A C AB P ++=⋃⋃ ()()()ABC BC P ABC AC P ABC AB P -+-+-= ()()()()ABC P BC P AC P AB P 3-++= 14.003.0308.005.010.0=⨯-++=．四．（本题满分8分）将6只颜色分别为黑、白、红、黄、蓝、绿的球任意地放入6只颜色也分别为黑、白、红、黄、蓝、绿的盒子中，每个盒子放一球．求球与盒子的颜色都不一致的概率． 解：设=B “球与盒子的颜色都不一致”．=1A “黑球放入黑盒”，=2A “白球放入白盒”，=3A “红球放入红盒”， =4A “黄球放入黄盒”，=5A “蓝球放入蓝盒”，=6A “绿球放入绿盒”， 则有 61654321===i i A A A A A A A B ．所以有()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=== 61611i i i i A P A P B P ()()()()∑∑∑∑≤<<<≤≤<<≤≤<≤=+-+-=616161611l k j i lkj ik j i kj ij i jii i A A A A P A A A P A A P A P()()65432161A A A A A A P A A A A A P m l k j i ml kj i+-∑≤<<<<≤!61!6!1!6!2!6!3!6!4!6!516161616161+-+-+-=∑∑∑∑∑≤<<<<≤≤<<<≤≤<<≤≤<≤=m l k j i l k j i k j i j i i !61!6!1!6!2!6!3!6!4!6!515646362616+⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-=C C C C C 14453!61!51!41!31!21!111=+-+-+-=． 五．（本题满分8分）某地区有甲、乙、丙、丁四家商店，分别有员工80人、90人、60人及150人，其中女员工分别占各店员工总数的21、32、41和53，现已知一名女员工辞职了，求这名员工是乙商店员工的概率． 解：设=1A “辞职员工是甲店员工”，=2A “辞职员工是乙店员工”， =3A “辞职员工是丙店员工”，=4A “辞职员工是丁店员工”． =B “辞职员工是女员工”．则所求概率为()B A P 2． 由Bayes 公式，得 ()()()()()∑==41222i iiA B P A P A B P A P B A P533801504138060323809021380803238090⨯+⨯+⨯+⨯⨯=2926829268.04112==． 六．（本题满分8分）设()4.0=A P ，()5.0=B P ，()5.0=C P ．试分别就下面两种情况，计算概率()C AB C A P ⋃- ：⑴. 随机事件A 、B 、C 相互独立；⑵. 随机事件A 、B 相互独立，且随机事件A 、C 互不相容； 解：()()()()C AB P C AB C A P C AB C A P ⋃⋃⋂=⋃-()()()()C AB P C C A AB C A P ⋃⋂⋃⋂=()()()()()()()A B CP C P AB P ABC P AB P C AB P C AB P -+-=⋃=⑴. 随机事件A 、B 、C 相互独立时 ()()()()()()A B CP C P AB P ABC P AB P C AB C A P -+-=⋃- ()()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P B P A P -+-=615.05.04.05.05.04.05.05.04.05.04.0=⨯⨯-+⨯⨯⨯-⨯=；⑵. 随机事件A 、B 相互独立，且随机事件A 、C 互不相容时，即∅=AC ，并且由于AC ABC ⊂，所以有∅=ABC ．因此，()()()()()()()()()C P AB P AB P ABC P C P AB P ABC P AB P C AB C A P +=-+-=⋃- ()()()()()725.05.04.05.04.0=+⨯⨯=+=C P B P A P B P A P ．七．（本题满分8分）设甲，乙，丙三枚导弹向同一目标射击．已知甲，乙，丙三枚导弹击中目标的概率分别为4.0，5.0，7.0．如果只有一枚导弹击中目标，目标被摧毁的概率为2.0；如果只有两枚导弹击中目标，目标被摧毁的概率为6.0；如果三枚导弹全击中目标，目标被摧毁的概率为9.0．⑴ 求目标被摧毁的概率（4分）．⑵ 已知目标被摧毁，求恰有两枚导弹击中目标的概率（4分）． 解：⑴ 设=1A “甲导弹命中目标”，=2A “乙导弹命中目标”，=3A “丙导弹命中目标”． =1B “恰有1枚导弹命中目标”，=2B “恰有2枚导弹命中目标”， =3B “3枚导弹都命中目标”． =C “目标被摧毁”．则有 3213213211A A A A A A A A A B ⋃⋃=，所以，()()3213213211A A A A A A A A A P B P ⋃⋃= ()()()321321321A A A P A A A P A A A P ++=()()()()()()()()()321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=()()()()()()7.05.014.017.015.04.017.015.014.0⋅-⋅-+-⋅⋅-+-⋅-⋅= 7.05.06.03.05.06.03.05.04.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 36.0=．又有 3213213212A A A A A A A A A B ⋃⋃=， 所以，()()3213213212A A A A A A A A A P B P ⋃⋃= ()()()321321321A A A P A A A P A A A P ++=()()()()()()()()()321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= ()()()7.05.04.017.05.014.07.015.04.0⋅⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅= 7.05.06.07.05.04.03.05.04.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 41.0=． 又有 3213A A A B =， 所以，()()3213A A A P B P = ()()()321A P A P A P = 7.05.04.0⨯⨯= 14.0=． 因此，由全概率公式，得()()()444.09.014.06.041.02.036.031=⨯+⨯+⨯==∑=i i i B C P B P C P ．⑵ 所求概率为()C B P 2．()()()()554054054.0444.06.041.0222=⨯==C P B C P B P C B P ． 八．（本题满分8分）某工厂宣称自己的产品的次品率为20%，检查人员从该厂的产品中随机地抽取10件，发现有3件次品，可否据此判断该厂谎报了次品率？ 解：将抽取10件产品看作是一10重Bernoulli 试验，每次试验“成功”的概率为2.0=p ． 设X ：抽取10件产品中的次品数，则()2.010~，B X所以，()2013.08.02.0373310=⨯⨯==C X P因此随机事件“{}3=X ”并非是小概率事件，故不能据此判断该厂谎报了次品率．九．（本题满分8分）设连续型随机变量X 的分布函数为()x B A x F arctan +=， ()+∞<<∞-x ．试求：⑴. 系数A 与B （3分）；⑵. 概率{}11<<-X P （3分）；⑶. 随机变量X 的密度函数（2分）． 解：⑴. 由()1lim =+∞→x F x ，()0lim =-∞→x F x ，得()()B A x B A x F x x 2a r c t a nlim lim 1π+=+==+∞→+∞→ ()()B A x B A x F x x 2a r c t a nlim lim 0π-=-==-∞→-∞→解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+0212B A B A ππ ，得21=A ，π1=B 所以，()x x F arctan 121π+=()+∞<<∞-x ⑵. {}11<<-X P ()()11--=F F()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1a r c t a n 1211a r c t a n 121ππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=41214121ππππ 21=⑶. X 的密度函数为()()2111x x F x f +='=π ()+∞<<∞-x ． 十．（本题满分8分）某地区成年男子的体重X （以kg 计）服从正态分布()2,σμN．若已知()5.070=≤X P ，()25.060=≤X P ，⑴ 求μ与σ的值；⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过kg 65的概率． 解：⑴ 由已知()5.0707070=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ，()25.0606060=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ75.025.016015.070σμσμ ．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ75.0605.070σμσμ ，查正态分布表，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-675.060070σμσμ，解方程组，得70=μ，81.14=σ．⑵ 设=A “从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过kg 65”．则()()⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>3376.081.1470181.14706581.1470165165X P X P X P X P ()()6631.03376.03376.01=Φ=-Φ-=． 设X ：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg 65的人数．则 ()6631.0,5~B X ． 设=B “5人中至少有两人的体重超过kg 65．则 ()()()()()101112===-=≤-=≥=X P X P X P X P B P9530.03369.06631.03369.06631.0141155005=⨯⨯-⨯⨯-C C ．（已知()75.0675.0=Φ，()6631.034.0=Φ）十一．（本题满分8分） 一袋中有5个编号分别为5,4,3,2,1的乒乓球，从中任意地取出三个，以X 表示取出的三个球中的最大号码，写出X 的分布律和X 的分布函数，并画出其分布函数的图形． 解：X 的取值为3，4，5，并且{}10133522===C C X P ，{}10343523===C C X P ，{}10653524===C C X P ．所以，X 的分布律为X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=x x x x x F 51541044310130．（分布函数的图形省略．）十二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？ 解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A ，{}次感冒某人一年中患2=B ．由题设，可知如果事件1A 发生，则X 服从参数为1=λ的Poisson 分布；如果事件2A 发生，则X 服从参数为3=λ的Poisson 分布；如果事件3A 发生，则X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．因此，由Bayes 公式，我们有 ()()()()()∑==31111k kkA BP A P A B P A P B A P2206.02441.02337.02122.02122.042321212=⨯+⨯+⨯⨯=----e e e e． 十三．（本题满分8分） 设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它022ππx xx f X ，求随机变量X Y sin =的密度函数()y f Y ． 解：由随机变量X Y sin =，知随机变量Y 的取值范围是[]1,0． 因此，当0<y 时，()0=y F Y ； 当1>y 时，()1=y F Y ； 当10≤≤y 时，()()()y X P y Y P y F Y ≤=≤=s i n()()ππ≤≤-+≤≤=X y P yX P a r c s i n a r c s i n 0 ⎰⎰-+=ππππyydx xdx xarcsin 2arcsin 0222．所以，随机变量X Y sin =的分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤+<=⎰⎰-11102200a r c s i n 2a r c s i n 02y y dx x dx x y y F y y Y ππππ ． 因此，随机变量X Y sin =的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-='=其它010122y y y F y f Y Y π ．韩非子名言名句大全，韩非子寓言故事,不需要的朋友可以下载后编辑删除！！1、千里之堤，毁于蚁穴。