天津市十二区县重点学校2020届高三数学毕业班联考 文(二,无答案)

2021年天津市十二区县重点中学高三毕业联考〔一〕数学试卷本试卷分为第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，共150分，考试用时120分钟．第一卷 选择题(共45分)参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)＝P(A)P(B)． ·柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高． ·锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．一、选择题(本大题共9小题，每题5分，共45分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．a ，b ∈R ，假设a －2i ＝b ＋ii (i 是虚数单位)，那么复数a ＋bi 是( )A ．1－2iB ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i2．设θ∈R ，那么“⎪⎪⎪⎪θ－π2<π2〞是“sinθ>0〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．函数f(x)＝lnx ＋x2－ax.假设曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y ＝2x 平行，那么实数a ＝( )A.72 B ．2 C.32D ．1 4．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，以边BC 所在的直线为轴，将△ABC 旋转一周，所成的曲面围成的几何体的体积为( )A ．36πB ．12πC ．36D ．125．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取局部学生参加环保知识测试，这些学生的成绩(分)的频率分布直方图如下图，数据(分数)的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．假设分数在区间[20，40)的频数为5，那么大于等于60分的人数为( )A ．15B ．20C ．35D ．456．函数f(x)＝2x ＋5x.假设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1312，b ＝f(log35)，c ＝f(60.2)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a>b>cB ．a>c>bC ．c>a>bD ．c>b>a7．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，其图象关于直线x ＝π6对称．给出下面四个结论：①将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；②点⎝⎛⎭⎫5π12，0为f(x)图象的一个对称中心；③f ⎝⎛⎭⎫π4＝12；④f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增．其中正确的结论为( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的两条渐近线与圆x2＋y2＝10相交于A ，B ，C ，D 四点，假设四边形ABCD 的面积为12，那么双曲线的离心率是( )A.103B.10C.10或103D ．210 9．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝60°，AB ＝8，CD ＝4.假设M 为线段BC 的中点，E 为线段CD 上一点，且AM →·AE →＝27，那么DM →·DE →＝( )A ．15B ．10 C.203D ．5第二卷 非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)10．集合A ＝{2，2m}，B ＝{m ，n}，(m ，n ∈R)，且A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，那么A ∪B ＝________．11．在⎝⎛⎭⎫1x －2x25的展开式中，x5项的系数为________(用数字作答)． 12．设a>0，b>0，假设a 与b2的等差中项是2，那么log2a ＋2log2b 的最大值是________． 13．圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝16，过点P(－2，3)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝211，那么l 的方程为________．14．天津市某学校组织教师进行“学习强国〞知识竞赛，规那么为：每位参赛教师都要答复3个问题，且对这三个问题答复正确与否互不影响，假设每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排知名次，并分一、二、三等奖分别给予奖励．对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p.假设教师甲恰好答对3个问题的概率是14，那么p＝________；在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，那么X 的数学期望为________．15．函数f(x)＝⎩⎨⎧x2－x ，x ≤0，2x ，x>0.假设存在x ∈R 使得关于x 的不等式f(x)≤ax －1成立，那么实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共5小题，共75分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．)16．(本小题总分值14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.asinA ＋B2＝csinA ，c ＝7，2a ＝3b.(1)求角C 的大小； (2)求sin(C －B)的值． 17．(本小题总分值15分)如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，四边形ABB1A1，BB1C1C 均为正方形，且A1B1⊥B1C1，M 为CC1的中点，N 为A1B 的中点．(1)求证：MN ∥平面ABC ；(2)求二面角B －MN －B1的正弦值；(3)设P 是棱B1C1上一点，假设直线PM 与平面MNB1所成角的正弦值为215，求B1PB1C1的值．18．(本小题总分值15分)抛物线C ：y2＝42x 的焦点为椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且|PQ|＝2.(1)求E 的方程；(2)过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO(O 为坐标原点)的延长线交E 于点M ，假设直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．(本小题总分值15分)设{an}是等比数列，{bn}是等差数列．a4＝8，a3＝a2＋2，b1＝a2，b2＋b6＝a5.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn ＝其中m ∈N*，求数列{cn}的前2n 项和．20．(本小题总分值16分)函数f(x)＝x －mlnx －1(m ∈R)在x ＝1处取得极值A ，函数g(x)＝f(x)＋ex －1－x ，其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数．(1)求m 的值，并判断A 是f(x)的最大值还是最小值； (2)求g(x)的单调区间；(3)证明：对于任意正整数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <e 成立． 数学答案1．B [命题立意]此题考查复数的乘法运算、复数相等．[解析]∵a －2i ＝b ＋ii ，∴(a －2i)i ＝b ＋i ，∴2＋ai ＝b ＋i ，∴b ＝2，a ＝1，∴a ＋bi ＝1＋2i ，应选B.2．A [命题立意]此题考查充分、必要条件的判定．[解析]当⎪⎪⎪⎪θ－π2<π2时，有0<θ<π，∴sinθ>0；反之不成立，∴“⎪⎪⎪⎪θ－π2<π2〞是“sinθ>0〞的充分不必要条件，应选A.3．D [命题立意]此题考查导数的几何意义．[解析]∵f(x)＝lnx ＋x2－ax ，∴f′(x)＝1x ＋2x －a ，∴f′(1)＝3－a ，∵切线与y ＝2x 平行，∴3－a ＝2，∴a ＝1，应选D.4．B [命题立意]此题考查圆锥的体积．[解析]由题意知几何体为圆锥，底面半径r ＝3，高h ＝4，∴体积V ＝13πr2h ＝12π，应选B.5．C [命题立意]此题考查频率分布直方图．[解析]由图可得(a ＋0.01＋0.02＋0.015)×20＝1，∴a ＝0.005，∵分数在[20，40)的频数为5，∴共抽取学生50.005×20＝50人，那么大于等于60分的人数为50×(0.02＋0.015)×20＝35，应选C.6．D [命题立意]此题考查函数单调性的应用．[解析]∵log 1312＝log32<log35<1<60.2，f(x)＝2x ＋5x 在R 上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1312<f(log35)<f(60.2)，即c>b>a ，应选D.7．C [命题立意]此题考查正弦型函数的图象性质．[解析]∵f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，∴ω＝2.又∵f(x)的图象关于x ＝π6对称，∴2·π6＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，∴φ＝π6＋kπ，k ∈Z.又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，对于①，平移之后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，图象不关于原点对称，①错误；对于②，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2·5π12＋π6＝sinπ＝0，②正确；对于③，f ⎝⎛⎭⎫π4＝32≠12，③错误；对于④，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，④正确，应选C.8．A [命题立意]此题考查双曲线的几何性质．[解析]不妨设A ⎝⎛⎭⎫x ，ba x ，那么⎩⎨⎧2x·2bax ＝12x2＋⎝⎛⎭⎫b a x 2＝10，整理得b a ＋a b ＝103，又a>b>0，∴b a ＝13，∴e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝103，应选A.9．D [命题立意]此题考查向量的数量积．[解析]过D 作DO ⊥AB 于O ，以O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图直角坐标系， ∵等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝60°，AB ＝8，CD ＝4，∴AO ＝2，DO ＝23，∴A(－2，0)，B(6，0)，D(0，23)，C(4，23)，∴M(5，3)．设E(x ，23)，∴AM →·AE →＝(7，3)·(x ＋2，23)＝7(x ＋2)＋6＝27，∴x ＝1，∴E(1，23)，∴DM →·DE →＝(5，－3)·(1，0)＝5，应选D.10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－2，14 [命题立意]此题考查集合的交集、并集运算．[解析]∵A ＝{2，2m}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，∴2m ＝14，∴m ＝－2，又∵B ＝{m ，n}，∴n ＝14，∴A ∪B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－2，14.11．－80 [命题立意]此题考查二项展开式中的特定项的系数．[解析]⎝⎛⎭⎫1x －2x25展开式的通项为Tr ＋1＝Cr5⎝⎛⎭⎫1x 5－r (－2x2)r ＝(－2)rCr5x 5r －52，令5r －52＝5，∴r ＝3，∴x5的系数为(－2)3C35＝－80.12．2 [命题立意]此题考查根本不等式．[解析]由题意知a ＋b2＝4，又∵a>0，b>0，∴log2a ＋2log2b ＝log2ab2≤log2⎝⎛⎭⎫a ＋b222＝2，当且仅当a ＝b2＝2时等号成立，∴log2a ＋2log2b 的最大值为2.13．x －2y ＋8＝0 [命题立意]此题考查直线与圆的位置关系、直线的方程．[解析]当直线的斜率不存在时，x ＝－2代入圆的方程得y ＝1±15，|AB|＝215≠211，不合题意，故直线的斜率存在，设直线方程为y －3＝k(x ＋2)，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －1＋3|k2＋12＋11＝16，解得k ＝12，∴直线方程为y －3＝12(x ＋2)，即x －2y ＋8＝0.14.232312 [命题立意]此题考查独立事件同时发生的概率、离散型随机变量的分布列、期望． [解析]∵甲恰好答对3个问题的概率14＝34×12p ，∴p ＝23，X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X ＝0)＝14×12×13＝124，P(X ＝1)＝34×12×13＋14×12×13＋14×12×23＝624＝14，P(X ＝2)＝34×12×13＋34×12×23＋14×12×23＝1124，P(X ＝3)＝14，∴E(X)＝0×124＋1×624＋2×1124＋3×624＝2312. 15．(－∞，－3]∪(0，＋∞) [命题立意]此题考查分段函数、存在性问题求参数的取值范围．[解析]当x ≤0时，f(x)≤ax －1等价于x2－x ≤ax －1即ax ≥x2－x ＋1，当x ＝0时，不成立；当x<0时，等价于存在x ∈R ，a ≤x ＋1x －1成立，∵x ＋1x－1≤－2－1＝－3，∴a ≤－3.当x>0时f(x)≤ax －1等价于2x ≤ax －1，即x ∈R ，a ≥1x ＋2x 成立，∵1x ＋2x ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋12－1>0，∴a>0.综上a>0或a ≤－3.16．[命题立意]此题考查正、余弦定理、两角差的正弦公式． [解题思路](1)利用正弦定理将转化为角的关系式，结合三角形内角和定理得sinC ，从而求得角C ；(2)由余弦定理求得a ，b 边，再利用正弦定理求得sinB ，由b<c ，得B<C ，即B 是锐角，求得cosB 代入两角差的正弦公式即可．[解](1)由题设及正弦定理，得sinAsin A ＋B2＝sinCsinA.在△ABC 中，因为sinA ≠0， 所以sin A ＋B2＝sinC ，由于A ＋B ＝π－C ，从而sin A ＋B 2＝cos C2，所以cos C 2＝2sin C 2cos C2.在△ABC 中，因为0<C 2<π2，所以cos C 2≠0，所以sin C 2＝12，所以C 2＝π6，即C ＝π3.(2)在△ABC 中，由于c ＝7，C ＝π3，那么由余弦定理，得7＝a2＋b2－2abcos π3，即a2＋b2－ab ＝7.因为2a ＝3b ，所以⎝⎛⎭⎫3b 22＋b2－32b2＝7， 解得b ＝2，a ＝3.在△ABC 中，由正弦定理，得 sinB ＝bsinC c ＝2×sinπ37＝37＝217，因为△ABC 中，b ＝2<7＝c ，且C ＝π3，所以0<B<π3，所以cosB ＝1－sin2B ＝1－⎝⎛⎭⎫2172＝277.所以sin(C －B)＝sinCcosB －cosCsinB ＝32×277－12×217＝2114. 17．[命题立意]此题考查线面平行、二面角、线面角．[解题思路]建立空间直角坐标系，(1)证MN →与平面ABC 的法向量垂直；(2)分别求出平面MNB 和平面MNB1的法向量，利用向量法求得二面角的大小；(3)设P 点坐标，利用向量法和线面角的正弦值求得P 点坐标即可得B1PB1C1的值．[解]因为四边形ABB1A1，BB1C1C 均为正方形，所以A1B1⊥BB1，BB1⊥B1C1. 又A1B1⊥B1C1，从而以点B1为坐标原点，分别以向量B1B →，B1C1→，B1A1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如下图的空间直角坐标系B1－xyz.不妨设BB1＝2，那么有B1(0，0，0)，B(2，0，0)，A1(0，0，2)，M(1，2，0)，N(1，0，1)，所以MN →＝(0，－2，1)．(1)证明：方法1：易知，平面ABC 的法向量为B1B →＝(2，0，0)． 由于B1B →·MN →＝0，所以B1B →⊥MN →，即BB1⊥MN.又因为MN 平面ABC ，所以MN ∥平面ABC.方法2：取B1B 的中点Q ，连接MQ.证明平面MNQ ∥平面ABC ，进而证得MN ∥平面ABC.方法3：取AB 的中点R ，连接CR ，NR.先证明MN ∥CR ，进而证得MN ∥平面ABC.(2)由题意，知MN →＝(0，－2，1)，BM →＝(－1，2，0)，B1M →＝(1，2，0)． 设平面MNB 的法向量m ＝(x ，y ，z)， 那么有⎩⎪⎨⎪⎧m·MN →＝0，m·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，得m ＝(2，1，2)．设平面MNB1的法向量为n ＝(x1，y1，z1)， 那么有⎩⎪⎨⎪⎧n·MN →＝0，n·B1M →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2y1＋z1＝0，x1＋2y1＝0.令y1＝1，得n ＝(－2，1，2)．所以m ·n ＝1，|m|＝3，|n|＝3， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝19，设二面角B －MN －B1的大小为θ， 所以sinθ＝1－cos2〈m ，n 〉＝459. 故所求二面角B －MN －B1的正弦值为459.(3)设点P(0，t ，0)(0≤t ≤2)，那么PM →＝(1，2－t ，0)， 且有PM →·n ＝－t ，|PM →|＝1＋〔2－t 〕2，|n|＝3.设直线PM 与平面MNB1所成角为θ，那么有sinθ＝|cos 〈PM →，n 〉|＝215，即|t|31＋〔2－t 〕2＝215，整理，得21t2＋16t －20＝0， 解得t ＝23或t ＝－107(舍去)．所以B1P B1C1＝t 2＝13.18．[命题立意]此题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系．[解题思路](1)⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，|PQ|＝2b2a＝2，a2＝b2＋c2，求得a ，b ，c 得椭圆方程；(2)设直线AB 方程与椭圆方程联立，消y ，利用韦达定理求得B 点坐标，利用M 、B 关于原点对称得M 点坐标，由kAM ＝1，求得直线l 的方程．[解](1)易得，抛物线C 的焦点F 的坐标为(2，0)，准线方程x ＝－2，所以椭圆E 的右焦点F(2，0)，左焦点为F′(－2，0)．设椭圆E 的半焦距为c ，依题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，|PQ|＝2b2a ＝2，a2＝b2＋c2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 2.故所求椭圆E 的方程为x24＋y22＝1.(2)方法1：由题意，得E 的左顶点A(－2，0)．又知直线l 的斜率存在，不妨设为k(k ≠0)，点B(xB ，yB)，那么直线AB 方程为y ＝k(x ＋2)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x ＋2〕，x24＋y22＝1.消去y 并整理，得(2k2＋1)x2＋8k2x ＋8k2－4＝0，(*)易知Δ＝(8k2)2－4(2k2＋1)(8k2－4)＝16>0， 所以－2，xB 为方程(*)的实数根， 从而－2×xB ＝8k2－42k2＋1，所以xB ＝2－4k22k2＋1.所以yB ＝k(xB ＋2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k22k2＋1＋2＝4k 2k2＋1.由题意，点B ，M 均在E 上，且B ，M 关于原点O 对称，所以点M(－xB ，－yB)，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－4k22k2＋1，－4k 2k2＋1.所以kAM ＝1，所以4k2k2＋1－2＋2－4k22k2＋1＝1，解得k ＝－12.故所求直线l 的方程为y ＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0.方法2：由题意，得E 的左顶点A(－2，0)，直线AM 的斜率为1， 所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x24＋y22＝1.消去y 并整理，得3x2＋8x ＋4＝0. 解得x ＝－2，或x ＝－23.所以点M 的横坐标xM ＝－23(因为－2为点A 的横坐标)，所以点M 的纵坐标yM ＝43，从而点M ⎝⎛⎭⎫－23，43. 由题意，点B ，M 均在E 上，且B ，M 关于原点O 对称， 所以点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，－43，所以kAB ＝－12. 所以直线AB 的方程为y ＝－12(x ＋2)，即所求直线l 的方程为x ＋2y ＋2＝0.19．[命题立意]此题考查等差、等比数列的通项公式、分组求和、错位相减求和．[解题思路](1)解方程组分别求得a1、q 和b1、d.得{an}、{bn}的通项公式；(2)将cn 分为奇数项和偶数项分别求和、奇数项利用错位相减法求和，偶数项利用等差数列前n 项和公式求和．[解](1)设等比数列{an}公比为q ，由a4＝8，a3＝a2＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧a1q3＝8，a1q2＝a1q ＋2，消去a1并整理，得q2－4q ＋4＝0， 解得q ＝2，从而a1＝1.所以an ＝2n －1；设等差数列{bn}的公差为d ，由b1＝a2，b2＋b6＝a5，得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝2，4＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧b1＝2，d ＝2. 所以bn ＝2＋(n －1)×2＝2n.(2)由(1)及题意，得cn ＝⎩⎪⎨⎪⎧n·2n ，n ＝2m －1，2n ＋1，n ＝2m ，其中m ∈N*. ①当n 为奇数时，不妨设数列{n·2n}的前n 项和为S 奇，所以S 奇＝c1＋c3＋c5＋…＋c2n －1，即S 奇＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1，所以4S 奇＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1， 上述两式相减，得－3S 奇＝2＋2×23＋2×25＋…＋2×22n －1－(2n －1)×22n ＋1 ＝2＋24〔1－4n －1〕1－4－(2n －1)×22n ＋1＝5－6n 3×22n ＋1－103，所以S 奇＝6n －59×22n ＋1＋109.②当n 为偶数时，易得，数列{2n ＋1}前n 项和为S 偶＝5＋9＋13＋…＋(4n ＋1)＝n[5＋〔4n ＋1〕]2＝2n2＋3n.设{cn}的前2n 项和为T2n 那么T2n ＝S 奇＋S 偶 ＝6n －59×22n ＋1＋2n2＋3n ＋109. 20．[命题立意]此题考查利用导数求函数的极值、最值、单调区间、不等式证明．[解题思路](1)对f(x)求导，利用f′(1)＝0求得m ，代回解不等式得f(x)的单调区间，从而得极值；(2)对g(x)求导，判正负得单调区间；(3)利用(1)中结论x －1>lnx(x>1)，令x ＝1＋12n (n ∈N*)，累加即可得证．[解](1)因为f(x)＝x －mlnx －1(x ∈(0，＋∞))，所以f′(x)＝1－mx(x ∈(0，＋∞))．因为x ＝1是f(x)的极值点，所以f′(1)＝0， 即1－m1＝0，所以m ＝1.此时f(x)＝x －lnx －1，f′(x)＝1－1x ＝x －1x，(x ∈(0，＋∞))．易得，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0，1)上单调递减；在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x ＝1处的极值A 是最小值． (2)由(1)知，m ＝1，所以g(x)＝ex －1－lnx －1，且x ∈(0，＋∞)， 所以g′(x)＝ex －1－1x.设h(x)＝ex －1－1x (x ∈(0，＋∞))，那么h′(x)＝ex －1＋1x2.显然，当x>0时，h′(x)>0恒成立，所以函数h(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0. 所以，当0<x<1时，h(x)<0，即g′(x)<0； 当x>1时，h(x)>0，即g′(x)>0.所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)；单调递增区间为(1，＋∞)． (3)证明：由(1)可知，当x>1时，f(x)>f(1)＝0，即x －1>lnx. 不妨令x ＝1＋12n (n ∈N*)，那么有ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n(n ∈N*)． 所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋121＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <121＋122＋…＋12n ＝1－12n<1， 即ln ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <1＝lne. 因为函数y ＝lnx 在区间(1，＋∞)上单调递增， 所以⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <e(得证)．。

天津市十二重点中学2020届高三下学期毕业班联考（二）数学（理）试题一：选择题。

1.已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合A、B，根据交集的定义写出．【详解】集合，，则．故选：A．【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2.已知x，y满足不等式组，则目标函数的最小值为( )A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移直线，结合可行域可得直线经过点时取到最小值. 详解：画出不等式组表示的可行域，如图，平移直线，设可行域内一点，由图可知，直线经过点时取到最小值，联立，解得，的最小值为，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】赋值i＝1，T＝0，S＝0，判断条件成立，执行i＝1+1＝2，T＝0+1＝1，S＝0；判断条件成立，执行i＝2+1＝3，T＝1+1＝2，S；判断条件成立，执行i＝3+1＝4，T＝2+1＝3，S；判断条件不成立，算法结束，输出S．此时i＝4，4＜4不成立．故判断框中应填入的条件是,故选：D．【点睛】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，是基础题．4.已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l1∥l2⇒，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，则m=1，即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.5.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据函数的最小正周期为，求出的值，再由平移后得到为偶函数，可得，进而可得结果.详解：由函数的最小正周期为，可得，，将的图象向左平移个单位长度，得的图象，平移后图象关于轴对称，，，，故选D.点睛：已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2）时，是偶函数.6.已知定义在R上的函数，则三个数，，，则a，b，c之间的大小关系是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：求出的导数，得到函数的在上递增，利用对数函数与指数函数的性质可得，，从而比较函数值的大小即可.详解：时，，,可得在上递增，由对数函数的性质可得所以，由指数函数的性质可得,由可得,所以，根据函数的单调性可得，故选C.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N在双曲线上，且，，线段交双曲线C于点Q，，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】分析：运用双曲线的对称性结合，可设出的坐标,由可得的坐标，再由在双曲线上，满足双曲线的方程，消去参数可得从而可得到双曲线的离心率.详解：由，可得，由，可设，由，可得，可得，由在双曲线上，可得，消去整理可得，，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.8.已知函数定义在上的函数，则下列说法中正确的个数是（）①关于x的方程，有个不同的零点②对于实数，不等式恒成立③在上，方程有5个零点④当，时，函数的图象与x轴围成的面积为4A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析：根据函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合分别判断即可.详解：由表达式可知.①当时，方程等价为对应方程根的个数为五个，而，故①错误；②由不等式等价为，在恒成立，作出函数图象如图，由图可知函数图象总在的图象上方，所以不等式恒成立，故②正确；③由，得，设，则在上，方程有四个零点，故③错误；④令得，，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为，故④错误，故选B. 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的、函数的图象与性质，以及函数的零点与不等式恒成立问题，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二：填空题。

天津市六校2020学年度高三年级联考数学试题（文科）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共10个小题，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数)1)(1ln()(>-=x x x f 的反函数是（ ） A ．)(1)(1R x e x f x ∈+=- B ．)(110)(1R x x f x ∈+=-C ．)1(110)(1>+=-x x fxD ．)1(1)(1>+=-x e x fx2．已知条件265:,2|1:|x x q x p >->+条件，则q p ⌝⌝是的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．设α是三角形的一个内角，且,51cos sin =+αα则方程1cos sin 22=-ααy x 表示（ ）A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆4．设x x f x x f x a x f x =⎩⎨⎧>-≤-=-)(,0),1(0,2)(若有且只有两个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．)2,1[C ．),1[+∞D ．]1,(-∞5．m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （ ）（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m I （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβαI I （3）αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,,I（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）6．若多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则Λ（ ）A ．9B ．10C ．－9D ．－107．若函数)(,0)(21,0)1,0)(2(log )(2x f x f a a x x x f a 则内恒有在区间>⎪⎭⎫ ⎝⎛≠>+=的单调递增区间是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-41, B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 C ．()+∞,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,8．如果直线N M my kx y x kx y ,04122交于与圆=-++++=两点，且M 、N 两点关于直线0=+y x 对称，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 所表示的平面区域的面积是（ ）A ．41 B ．21 C ．1 D ．29．椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且21PF PF ⋅的最大取值范围是,],3,[2222b a c c c -=其中则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21C ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2110．设)(),(22222)(1031074n f N n n f n 则∈+++++=+Λ等于（ ）A ．)18(72-nB ．)18(721-+n C ．)18(723-+n D ．)18(724-+n第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（每小题4分，6个小题，共24分）11．已知抛物线方程为,2ax y =则其准线方程为 . 12．向量θ夹角与则满足,6||,2||,=-=+的最小值为 .13．点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB的中点，△ABC 、△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB ，则△ABC 的边长为 . 14．设3log log 2log ,10=-+<<y a x y x a x x a 满足和，如果y 有最大值,42则此时a = ，x = .15．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689），则五位“渐升数”共有 个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为 . 16．函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且只有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共76分）17．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积为2,32=⋅- （1）求A tan 的值；（2）求)4cos(12cos 2sin 22sin 22A AA A --+π的值. 18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二等奖；摸出两个红球获得一等奖。

天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（二）数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 设，则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 3. 某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是，，，.若低于60分的人数是18人，则参加体能测试的学生人数是（）A．45B．48C．50D．60(★★) 4. 已知的展开式中常数项为112，则实数 a的值为（）A．B．1C．2D．(★★) 5. 抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是，则双曲线的实轴长是（）A．B．C．1D．2(★★) 6. 函数的部分图像大致为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知函数是定义在 R上的偶函数，且在上单调递增，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★★★★) 9. 已知函数，若关于的不等式的解集为，且，，则实数 t的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 10. 已知复数 ，则复数 z 的共轭复数_________(★★) 11. 过点，倾斜角为 的直线 交圆于两点，则弦的长为_________(★★★) 12. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为______________(★★★) 13. 已知 ， ， ，则 的最小值为_______ (★★★) 14. 如图，在中，，， D ， E 分别是直线，上的点，， ，且 ，则 _________三、双空题(★★★) 15. 某校在高一年级一班至六班进行了“社团活动”满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表： 班号 一班 二班 三班 四班 五班 六班 频数 4 5 11 8 10 12 满意人数 3 2 8 5 6 6现从一班和二班调查对象中随机选取4人进行追踪调查，则选中的4人中恰有2人不满意的概率为___________；若将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率，在高一年级全体学生中随机抽取3名学生，记其中满意的人数为 X，则随机变量 X的数学期望是___________四、解答题(★★★) 16. 在中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若，，（1）求的值（2）求的值.(★★★) 17. 如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，， N为的中点.（1）求证：平面（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值（3）在线段上是否存在一点 M，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由(★★★) 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 E：的离心率是，短轴长为2，若点 A， B分别是椭圆 E的左右顶点，动点，，直线交椭圆E于 P点.（1）求椭圆 E的方程（2）①求证：是定值；②设的面积为，四边形的面积为，求的最大值.(★★★) 19. 已知等差数列的前 n项和为，且，，数列的前 n项和为，且.（1）求数列，的通项公式.（2）设，数列的前 n项和为，求.（3）设，求数列的前 n项和.(★★★★) 20. 设函数的定义域为，其中，.（1）若，判断的单调性；（2）当，设函数在区间上恰有一个零点，求正数 a的取值范围；（3）当，时，证明：对于，有.。

天津市各地市2020年高考数学 最新联考试题分类汇编（4） 数列一、选择题:2.（天津市十二区县重点中学2020年高三毕业班联考一）“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．（天津市新华中学2020届高三第二次月考文）等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为A. 297B. 144C. 99D. 66 【答案】C【解析】由147=39a a a ++，得443=39=13a a ，。

由369=27a a a ++，德663=27=9a a ，。

所以194699()9()9(139)===911=99222a a a a S ++⨯+=⨯，选C. 2. （天津市新华中学2020届高三第二次月考文）已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =，则nm 41+的最小值为 A.23 B. 35 C. 625 D. 不存在4. （天津市南开中学2020届高三第四次月考理）数列}{n a 的前n 项和为)()1(,1*2N n a b n n S n n n n ∈-=++=，则数列}{n b 的前50项的和为（ ）A. 49B. 50C. 99D. 100【答案】A 二、填空题:1.（天津市新华中学2020届高三第一次月考文）等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m【答案】10【解析】在等差数列中，由0211=-++-m m m a a a 得220m m a a -=，解得2m a =或m a =（舍去）。

又12`121(21)()2(21)(21)22m mm mm a a m a S m a ---+-===-，即(21)2(21)38m m a m -=-=，解得10m =。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()UA B =（ ）A ．{}3B ．{}4,5C ．{}1,2,3D ．{}2,3,4,5 2.已知向量()1,2a =，()23,2a b +=，则b =（ ） A ．()1,2 B ．()1,2- C ．()5,6 D ．()2,0 3.已知i 是虚数单位，若()32i z i -⋅=，则z =（ ）A ．2155i -- B ．2155i -+ C ．1255i - D ．1255i + 4.从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ） A ．13 B ．16 C ．12 D ．235.已知3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．34± 6.已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（ ）R x ∈，下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 是偶函数 C ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．函数()f x 的图象关于直线4x π=对称 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则当1n >时，n S =（ ）A ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12n - C ．123n -⎛⎫⎪⎝⎭D ．111132n -⎛⎫-⎪⎝⎭8.执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ） A ． B ． C ．D ．10.下列函数中，在内有零点且单调递增的是（ ）A ．B ．C ．D ．11.设函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．12.设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒有，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（ ）A ．[]3,5B ．[]4,6C ．()3,5D ．()4,6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x ，y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，3z x y m =++的最大值为4，则m 的值为．14.已知直线:l y kx b =+与曲线331y x x =++相切，则当斜率k 取最小值时，直线l 的方程为． 15.已知正项等比数列{}n a 的公比2q =，若存在两项m a ，n a 14m n a a a =，则14m n+的最小值为．16.下列有关命题中，正确命题的序号是．（1）命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”． （2）命题“，”的否定是“，”．（3）命题“若，则”的逆否命题为假命题． （4）若“或”为真命题，则，至少有一个为真命题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分） 在中，角、、所对的边分别是、、，，，．（I ）求的值； （II ）求的面积．18.（本小题满分12分） 已知是公差的等差数列，，，成等比数列，；数列是公比为正数的等比数列，且，．（I ）求数列，的通项公式；（II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．19.（本小题满分12分）某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[)20,30，第2组[)30,40，第3组[)40,50，第4组[)50,60，第5组[]60,70，得到的频率分布直方图如图3所示． （I ）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；（II ）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率． 20.（本小题满分12分）如图4，在直三棱柱111C C AB -A B 中，底面C ∆AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB =，4AB =，16AA =，点M 是1BB 中点．（I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ； （II ）求点A 到平面1C A M 的距离． 21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x a x x =-+-． （I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当1a <时，证明：对任意的()0,x ∈+∞，有()()2ln 11xf x a x a x<--+-+． 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图5所示，已知PA 与O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于B ，C 两点，弦CD//AP ，D A ，C B 相交于点E ，F 为C E 上一点，且2D F CE =E ⋅E ．（I ）求证：C F E⋅EB =E ⋅EP ；（II ）若C :3:2E BE =，D 3E =，F 2E =，求PA 的长． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）；以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（I ）直线l 的参数方程化为极坐标方程；（II ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标．（其中0ρ≥，02θπ≤<） 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式211x x a ---≤． （I ）当3a =时，求不等式的解集； （II ）若不等式有解，求实数a 的取值范围．参考答案及评分标准一、 选择题：本大题共12题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBCABDACBCDC提示： 11.()()()712-7-7log 3f f +==-=-，()()()()()3127333log 2g f g f f +⎡-⎤=-=-=-=-=-⎣⎦故选D.12.()2f x x =在[10]-，单调递减，如图所示，易得1a >， 依题意得log 31log 51a a <⎧⎨>⎩，∴35a <<，故选 C..二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 13. -4 14. 31yx =+ 15. 3216.⑷三、解答题：本大题共6小题，满分70解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由且，得，……3分又由正弦定理：得：．……6分（Ⅱ）由余弦定理：得：，即，解得或（舍去），………………4分所以，……………………6分18．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）因为d ≠0的等差数列，2a ,6a ,22a 成等比数列即即①……………1分又由46a a +=26得②……………………2分由①②解得……………………3分即，即；………………5分又q 为正数，……………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知……………………1分……………………2分……………………3分……………………6分19．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解:（Ⅰ）设第组的频率为，；………………3分第组的频率为…………………………4分 所以被采访人恰好在第组或第组的概率为………………………6分（Ⅱ）设第组的频数，则……………………1分记第组中的男性为，女性为， 随机抽取名群众的基本事件是：，，，，，，，，， ，，，，，，，，，共种 ……………………4分其中至少有两名女性的基本事件是：，，，，，，，，，，，，，，，共种………5分所以至少有两名女性的概率为………………………………………………6分20．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分） 解：（Ⅰ）记1AC 与C A 1的交点为E .连结ME .直三棱柱111C B A ABC -,点M 是1BB 中点,……2分因为点E 是1AC 、C A 1的中点，所以1AC ME ⊥ ， C A ME 1⊥，……4分 又从而ME ⊥平面11AAC C .因为ME ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11AAC C . ……6分 （Ⅱ）过点Ａ作1AH AC ⊥于点H ，由（Ⅰ）平面1A MC ⊥平面11AAC C ，平面1A MC 平面111AAC C AC =， 而AH ⊥平面11AAC C ……2分∴AH 即为点A 到平面1A MC 的距离．……3分在1A AC ∆中，190A AC ∠=︒，即点A 到平面1A MC 的距离为……6分21．（本小题满分12分）(注：第(1)问6分，第（2）问6分) 解：（Ⅰ）由题知……………………1分当时，由得且，……………2分①当时，所以)(x f 在上单调递增在上单调递减………………3分②当1->a 时，)(x f 在上单调递增； 在上上单调递减………4分③当时，)(x f 在上单调递增……………5分④当时，)(x f 在上单调递增； 在上上单调递减……………………6分 （Ⅱ）当1<a 时，要证在），（∞+0上恒成立,只需证ln ln 1xx x a x-<--+在），（∞+0上恒成立,……………………1分 令a xxx g x x x F -+--=-=1ln )(,ln ）（， 因为xxx x F -=-=111)(', 易得)(x F 在)1,0(上递增，在),1(∞+上递减，故1)1()(-=≤F x F ,……………2分由a x xx g -+-=1ln )(得21ln ()x g x x -'=-=2ln 1(0)x x x->, 当e x <<0时，0)('<x g ； 当e x >时，0)('>x g .所以)(x g 在),0(e 上递减，在),(+∞e 上递增, ………………3分所以a e e g x g -+-=≥11)()(,……………………4分 又1<a ，1111->->-+-∴ea e ，即min max )()(x g x F <,……………………5分所以)1(ln ln +--<-x a xxx x 在），（∞+0上恒成立, 故当1<a 时，对任意的），（∞+∈0x ，)1(ln )(+--<x a xxx f 恒成立………………6分22．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分) 解：（Ⅰ）∵EC EF DE ⋅=2,DEF DEF ∠=∠∴DEF ∆∽CED ∆,∴C EDF ∠=∠……………………………………3分 又∵AP CD //,∴C P ∠=∠, ∴P EDF ∠=∠,PEA DEF ∠=∠∴EDF ∆∽EPA ∆， ∴EDEPEF EA =， ∴EP EF ED EA ⋅=⋅ 又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅． ………………………………5分（Ⅱ）∵EC EF DE ⋅=2,2,3==EF DE ∴29=EC ，∵2:3:=BE CE ∴3=BE 由（Ⅰ）可知：EP EF EB CE ⋅=⋅，解得427=EP . …………………………2分 ∴415=-=EB EP BP ． ∵PA 是⊙O 的切线，∴PC PB PA ⋅=2∴)29427(4152+⨯=PA ，解得4315=PA ． ……………………………………5分 23．（本小题满分10分）(注：第(1)问4分，第（2）问6分)解：（Ⅰ）将直线:l 122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数t ，0y --=，……………………2分 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩0y --=cos sin 0θρθ--=.…………4分（Ⅱ）方法一：曲线C 的普通方程为2240x y x +-=.………………2分由22040y x y x --=+-=⎪⎩解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩4分所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π，)6π.………………6分方法二：由cos sin 04cos θρθρθ--==⎪⎩，……………2分得：sin(2)03πθ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<………………4分所以253ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩或236ρπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π ，(23,)6π.………………6分 24．（本小题满分10分）(注：第(1)问5分，第（2）问5分) 解:（Ⅰ）由题意可得：， 当时，，即； ……………………2分当时，，即即；……………………3分当1≥x 时，3112≤+--x x ，即13x ≤≤……………………4分∴该不等式解集为{}33≤≤-x x . …………5分（Ⅱ）令112)(---=x x x f ，有题意可知：min ()af x ≥……………………2分又1,21()32,12,1x x f x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎪⎩21min )(-=∴x f ，……………………4分1-2a ∴≥. ……………………5分创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校。

2020年天津十二重点中学高三毕业班联考（二）数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第1题5分2020~2021学年江西南昌湾里区南昌市湾里区第一中学高一上学期期中（四校联考）第2题3分已知全集U={−1,0,1,2,3}，集合A={0,1,2}，B={−1,0,1}，则∁U(A∩B)=（）．A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2,3}D. {−1,0,1,3}2、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第2题5分设x，y∈R，则“x>y”是“ln⁡x>ln⁡y”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第3题5分2020年湖北武汉武昌区高三二模文科第4题5分某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）．A. 45B. 48C. 54D. 604、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第4题5分已知(√x 3−2a x )8的展开式中常数项为112，则实数a 的值为（ ）．A. ±1B. 1C. 2D. ±25、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第5题5分2020~2021学年天津高二上学期期中（六校联考）第6题5分抛物线y 2=4x 的焦点到双曲线x 2a 2−y 2=1的一条渐近线的距离是√22，则双曲线的实轴长是（ ）．A. √3B. 2√3C. 1D. 26、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第6题5分函数f(x)=(e x −1)sin⁡x e x +1的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.7、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第7题5分2020~2021学年10月四川攀枝花东区攀枝花市第三高级中学高三上学期周测C卷文科第9题5分已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，则（）．A. f(21.1)>f(ln⁡3)>f(log132)B. f(21.1)>f(log132)>f(ln⁡3)C. f(ln⁡3)>f(21.1)>f(log132)D. f(ln⁡3)>f(log132)>f(21.1)8、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第8题5分2020~2021学年10月四川攀枝花东区攀枝花市第三高级中学高三上学期周测C卷文科第11题5分已知函数f(x)=sin⁡(ωx−π6)(ω>0)，若函数f(x)在区间(0,π)上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（）．A. (76,13 6)B. (76,13 6]C. (56,11 6)D. (56,116]9、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第9题5分已知函数f (x )={x 2+(t +1)x +2t 2,x ⩽0|ln x |,x >0，若关于x 的不等式f (x )⩽t 的解集为[a,b ]∪[c,d ]，且b <c ，ab +cd −t 2<2732，则实数t 的取值范围为（ ）． A. (516,47) B. (516,58) C. (516,1) D. [12,47)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第10题5分已知复数(1+i )z =2−3i （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z = ．11、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第11题5分2020~2021学年10月四川成都金牛区成都市第十八中学高二上学期月考理科第13题5分 过点(1,0)，倾斜角为π4的直线l 交圆(x −1)2+(y −2)2=4于A ，B 两点，则弦AB 的长为 ．12、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第12题5分农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体．则该六面体的体积为 ．13、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第13题5分某校在高一年级一班至六班进行了“社团活动”满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：现从一班和二班调查对象中随机选取4人进行追踪调查，则选中的4人中恰有2人不满意的概率为 ；若 将以上统计数据中学生持满意态度的频率视为概率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，在高一年级 全体．．学生中随机抽取3名学生，记其中满意的人数为X ，则随机变量X 的数学期望是 ．14、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第14题5分已知x >0，y >0，x +2y =3，则x 2+y xy 的最小值为 ．15、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第15题5分2020~2021学年天津和平区天津市耀华嘉诚国际学校高一下学期期中第18题4分2020~2021学年1月天津和平区天津市第一中学高三上学期月考第15题如图，在△ABC 中，AB =2，AC =1，D ，E 分别是直线AB ，AC 上的点，AE →=2BE →，CD →=4AC →且BD →⋅CE →=−2，则∠BAC = ；若P 是线段DE 上的一个动点，则BP →⋅CP →的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共75分）16、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第16题14分 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =c ，2sin⁡B =√3sin⁡A ．(1) 求sin⁡B 的值．(2) 求sin⁡(2B −π6)值．17、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第17题15分 2020~2021学年天津滨海新区塘沽第一中学高二上学期期中第16题如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，且CD =2，AB =1，BC =2√2，PA =1，AB ⊥BC ，N 为PD 的中点．(1) 求证：AN//平面PBC ．(2) 求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．(3) 在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为√2626，若存在，求出DM DP 的值；若不存在，说明理由．18、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第18题15分在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴长为2，若点A 、B 分别是椭圆E 的左、右顶点，动点M(a,t)，(t ⩾√2)，直线AM 交椭圆E 于点P ．(1) 求椭圆E 的方程．(2)① 求证：OM →⋅BP →是定值．② 设△ABP 的面积为S 1，四边形OBMP 的面积为S 2，求S1S 2的最大值．19、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第19题15分 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，S 5=30，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n =2n −1．(1) 求数列{a n }、{b n }的通项公式．(2) 设c n =b n (b n +1)(b n+1+1)，数列{c n }的前n 项和为M n ，求M n ． (3) 设d n =(−1)n (a n b n +ln⁡S n )，求数列{d n }的前n 项和．20、【来源】 2020年天津高三二模十二重点中学毕业班联考（二）第20题16分 设函数f(x)=(x +1)m −a(x −1)的定义域为(−1,+∞)，其中m ⩾0，a ∈R ．(1) 若m =3，判断f(x)的单调性．(2) 当m =0，设函数g(x)=ln⁡x +[f(x)−1]⋅e x 在区间(1,+∞)上恰有一个零点，求正数a 的取值范围．(3) 证明：当a =0，m >1时，对于∀n ∈N ∗，有1<1n ∑[(k−1k )m +m k ]n+1k=2<m ．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 D;4 、【答案】 A;5 、【答案】 D;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 B;9 、【答案】 B;10 、【答案】 −12+52i ;11 、【答案】 2√2;12 、【答案】 4√23;13 、【答案】 1021;95;14 、【答案】 2√6+13;15 、【答案】 π3;377;16 、【答案】 (1) sin⁡B =√63．;(2) 2√6+16．;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 23．;(3) 存在，23．;18 、【答案】 (1) x 22+y 2=1．;(2)① 证明见解析．②S1S2的最大值为1，;19 、【答案】 (1) a n=2n，b n=2n−1．;(2) 12−12n+1．;(3) (−1)n ln⁡(n+1)−29−3n+19⋅(−2)n+1．;20 、【答案】 (1) a⩽0，f(x)在[−1,+∞)上单调递增；a>0，单增区间为(−1+√a3,+∞)，单减区间为(−1,−1+√a3)．;(2) 0<a<1e．;(3) 证明见解析．;。