1.3.2函数的奇偶性教案

1.3.2 奇偶性教学设计一、教材分析1.教材的地位与作用①内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节。

②奇偶性是函数的一个重要性质。

有了函数的奇偶性，对于某些函数来说，我们只需要研究它的一部分即可；另外，它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入研究起着铺垫的作用。

③奇偶性的教学无论是在知识还是水平方面对学生的教育起着非常重要的作用，所以本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中表达。

2.学情分析①已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的理解。

即使他们尚不知函数奇偶性，但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性理解。

②在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体，然后再由具体到一般的科学处理方法，具备一定数学研究方法的感性理解。

③高一学生具备一定的观察水平，但观察的深刻性还有待于提升。

④高一学生的心理具备一定的稳定性，有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。

二、教学目标1.知识与技能①理解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法。

②能用定义来判断函数的奇偶性。

③掌握奇偶函数的图像性质。

2.过程与方法①从数和形两个角度理解函数的奇偶性。

②培养学生数形结合的思想，感悟由形象到具体，再从具体到一般地研究方法。

3.情感态度与价值观①体会具有奇偶性函数的图像对称的性质，感受数学的对称美，体验数学研究的严谨性。

②通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的水平，同时渗透数形思想，从特殊到一般的数学思想。

三、重点与难点1.重点：函数奇偶性的概念与判断2.难点：函数奇偶性的判断四、教法1.多媒体与板书相结合2.以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅五、教学过程1 新课导入师：同学们，上节课我们研究了函数很重要的一个性质——单调性，那么这节课我们就要来研究一下函数的另一个重要性质——奇偶性。

1.3.2 函数的奇偶性导学案一..新知引入问题1.观察下列两个函数的图象，它们函数图象有什么共同特征？问题2.完成下表，并结合函数图象特征，说说两函数表达式的共同特征。

偶函数定义：问题3.观察下列两个函数的图象，它们函数图象有什么共同特征？问题4.完成下表，并结合函数图象特征，说说两函数表达式的特征。

奇函数定义：问题5.找出偶函数和奇函数的共同特点及其不同点。

问题6.我们知道函数单调性是函数的局部性质，那么奇偶性是局部性质还是整体性质呢？问题7.你会如何用定义判断一个函数的奇偶性？]3,1[,)()6(1)()5(0)()4(5)()3(1)()2(1)()1(22-∈=+===+-=-=x x x f x x f x f x f x x f xx x f 0221)(.8）（）（-+=x xx f 5()=f x x4()=f x x f (x )＝x 3－x 2x －1. 1()=+f x x x 31()53=-f x x x 31()53=-f x x x二.应用新知 1.试试看：判断下列函数的奇偶性：]3,3()(.72-∈=x x x f ，）（【练习小结】判断函数的奇偶性步骤：第一步：_________________________________________.第二步：_________________________________________.第三部： _________ . 练习.判断下列函数的奇偶性：（1） ； （2） ；（3） ； （4） 探究：（1）判断函数 的奇偶性. （2）如图是函数 图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？。

数学与信息科学学院教案课题奇偶性专业指导教师班级姓名学号2011年5月20日课 题：§1．3.2奇偶性 课 型：新授课. 教学目标：（1）知识目标：从形和数两个方面进行引导，使学生理解奇偶性的概念,学会利用定义判断简单函数的奇偶性.（2）能力目标：通过设置问题情境培养学生观察、判断、推理的能力,同时渗透数形结合和由特殊到一般的数学思想方法.（3）情感目标：在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.教学重点：函数奇偶性概念的形成. 教学难点：函数奇偶性的判断.教学方法：探究研讨法，讲练结合法等.教学准备(教具)：直尺，粉笔，小黑板，多媒体. 教学过程：（一）情景引入：在前面我们已经学习了函数的一个性质（单调性），我们知道函数的单调性体现的是在一定的区间上函数的函数值随着自变量的变化的变化情况，如果从对称上看函数又能得到怎样的性质呢？我们现在一起来看一下这样两个函数的图象.（在黑板上做出函数图象）我们可以发现这两个函数的图象都是对称图形.其中第一个函数的图象是关于y 轴对称的轴对称图形，第二个函数是关于原点对称的图形.像这种函数图象关于y 轴对称或者关于原点对称的性质我们称为函数的奇偶性.——（这就是我们今天要学习的函数的另一个性质函数的奇偶性）yx 0 yx（二）讲授新课我们如何利用函数的解析式体现函数图象的这些性质呢？ 1、偶函数的定义与性质请同学们一起来观察函数2)(x x f =图象（见小黑板），并观察相应的函数值对应表是如何体现这个特征的.从函数值对应表我们可以，当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相同. 例如：对于函数2)(x x f =有).1(1)1(),2(4)2(),3(9)3(f f f f f f ==-==-==- 实际上，对于R 内任意的一个x ，都有)()()(22x f x x x f ==-=-.这时我们称函数2)(x x f =为偶函数.利用刚才的方法我们同样可以说明函数x x f -=2)(也是偶函数.（1）偶函数的定义：一般的，如果对于函数)(x f 的定义域内任取一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就称为偶函数.（2）性质：偶函数的图像关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么就称这个函数为偶函数. 2、奇函数的定义与性质 现在我们一起来观察函数xx f 1)(=的图象，并完成下面的函数值对应表.x... -3 -2 -1 0 1 2 3 (2))(x x f = (9)410 1 4 9 …x… -3 -2 -1 0 1 2 3 …xx f 1)(=… / …-1131 0 y -9-4 2-1 -2-34 9 x311 0 y--2 --- 2 3x通过刚才完成函数值对应表我们可以发现函数图象关于原点对称的这个性质，反应在函数解析式上就是：当自变量x 取一对相反数时，相应的函数值)(x f 也是一对相反数.例如：对于函数xx f 1)(=有：).1(1)1(:)2(21)2();3(31)3(f f f f f f -=-=--=-=--=-=-实际上，对于函数xx f 1)(=定义R 内任取一个x ，都有)(1)(x f xx f -=-=-，这时我们称函数xx f 1)(=为奇函数.我们利用同样的方法可以验证函数x x f =)(也是奇函数. 我们通过偶函数的定义进行类比得出奇函数的定义与性质：（1）奇函数的定义：一般的，如果对于函数)(x f 的定义域内任取一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫做奇函数.（2）性质：奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数是奇函数.注： 1)由奇（偶）函数的定义我们知道，函数具有奇（偶）性的一个必要条件是：函数的定义域必须关于原点对称. （三）例题讲解例 判断下列函数的奇偶性：（！）4)(x x f =； （2）x x x f +=1)(.分析 1、定义判断函数奇偶性的步骤：1）先求定义域，看是否关于对称；2）再判断)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-是否恒成立. 性质判断函数奇偶性的步骤：作出函数的图象看是关于y 轴对称还是原点对称. 解 （用定义解）（1） 易求函数的定义域为R ，又因为)()()(44x f x x x f ==-=-，所以函数4)(x x f =是偶函数.（2） 易求函数的定义域为()⋃∞-0,)(∞,0，又因为)()1(1)()(1)(x f x xx xx x x f -=+-=--=-+-=-，所以函数x xx f +=1)(是奇函数.（四）课堂练习：判断下列函数的奇偶性：（1）2432)(x x x f += ； （2）xx x f 1)(2+=.（请两位同学上讲台做这两个练习题，以加深同学们对这节课所学知识的应用） 现在我们一起来看一下书上的这一个思考题：（看课本35页）通过这个思考题我们可以利用奇偶函数图象的性质可以简化函数图象的画法. （五）课时小结1、两个定义：对于定义域内任意一个x ，如果都有)()()(x f x f x f ⇔-=-为奇函数；如果都有)()()(x f x f x f ⇔=-为偶函数.2、两个性质：一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称； 一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称. （六）课后作业 课本36页练习题1、（2）、（4）； 2.对于一个函数是不是，不是奇函数就是偶函数呢？如果不是的那还会有几种情况呢？并对每一种情况各举一个例子.（有同学们课后进行讨论）.板书设计1、非多媒体辅助教学板书1.3.2 奇偶性一、偶函数 1、定义 2、性质 二、奇函数 1、定义 2、性质 注：例题讲解 课堂练习 情景引入探究新知作业布置2、多媒体辅助教学1.3.2 奇偶性多媒体展示区一、偶函数二、奇函数 练习题。

1．3．2函数的奇偶性学案（第一课时）【学习目标】：1.理解函数奇偶性的概念，掌握奇偶函数的图象特征.2.掌握判断函数的奇偶性的方法.3.逐步掌握数形结合的方法. 【学习内容】： 一、课前预习：预习课本P33~P35，结合函数图象及函数值对应表了解体会偶函数和奇函数的定义 二、新课学习：（一）函数奇偶性的概念 1、偶函数的概念（1）偶函数的概念：一般地，对于函数f(x)的定义域内个x ，都有 ，那么f(x)就叫做偶函数． （2）偶函数的函数图像关于 对称. 2、奇函数的概念（1）奇函数的概念：一般地，对于函数f(x)的定义域内个x ，都有 ，那么f(x)就叫做奇函数．例1、判断下列函数的奇偶性（1）]2,2[,)(2-∈=x x x f 32x )()2(-+=x x f（三）课堂练习判断下列函数的奇偶性：1．)(x f =x x 53+ 2.5)(=x f3. x x x f 2)(2-=4.xx f -=11)(（四）方法总结1．判断函数奇偶性的方法：2．用定义判断函数奇偶性的步骤：（五）学习反馈1、已经知道f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整：2、判断函数xx x f 1)(+= 与 x x f =)(的奇偶性三、课堂小结1、知识：2、方法： 四、作业布置1、课本36页练习1、22、【探究题】：（1） 判断5432,,,,x y x y x y x y x y =====的奇偶性，从中你有什么发现？结论：（2）若函数f(x) 和g （x ）分别是定义域为R 的奇函数和偶函数， 试判断F （x ）=f （x ）+g （x ）的奇偶性并证明。

1X。

§1．3．2函数的奇偶性学习目标：1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养自己观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养自己从特殊到一般的概括归纳问题的能力． 重点和难点分析：重点：函数的奇偶性及其几何意义难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 问题导学：预习教材P 33----P 36, 并找出疑惑之处。

1. 明确偶函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否偶函数2. 明确奇函数的概念并找出如何通过函数图象判断该函数是否奇函数预习自测：判断下列函数的奇偶性1.2()f x x =2. ()||1f x x =-3. 21)(x x f =4. 2432)(x x x f +=5. x x x f 2)(3-=6. xx x f 1)(2+=7. 1)(2+=x x f学习过程：学习探究思考：“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？1.观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()f x=通过讨论归纳：函数2()f x x =是定义域为 ————的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为———— 的折线；函数21()f x x=是定义域为 ————的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于————对称．2.观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？归纳问题：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -是否也在函数图象上?即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标是否一定相等？归纳定义：函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有 ————，那么()f x 就叫做奇函数． 注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．典型例题：例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=-例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x =（2）5()f x x =（3）1()f x x x =+（4）21()f x x=小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系； ③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．判断下列函数的奇偶性：2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材P 35思考题规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例5．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．课堂训练：判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+④())f x lg x =（五）归纳小结，整体认识． 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．。

1.3.2函数的奇偶性一、教学目标：1.知识与技能：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力．（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想．2.过程与方法：从已有知识出发，通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力，进一步领会数形结合和分类的思想方法。

3.情感态度价值观：通过知识的探究过程，突出学生的主观能动性，培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.二．重点难点重点：函数的奇偶性及其几何意义．难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．三、教学过程（一）创设情境导入新课同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？(学生回答可能有和谐美、自然美、对称美……)今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？(学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志)生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？(学生发现：图象关于y轴对称)数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究．（二）探究新知探究（1）偶函数的概念问题1:如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．图1学生先自己观察，教师最后总结：这两个函数的图象关于y轴对称。

问题2：如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1表1f(－3)＝f(3)；f(－2)＝f(2)；f(－1)＝f(1)．可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任一个x，都有f(－x)＝f(x)．问题3：请给出偶函数的定义．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．问题4：偶函数有什么特征？①解析式的基本特征：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值相同，即：f(－x)＝f(x)②图像的特征：偶函数的图象关于y轴对称．探究（2）奇函数的概念问题5：再观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点规律呢？x －3 －2 －1 0 1 2 3 f (x )＝xx －3 －2 －1 0 1 2 3 f (x )＝1x这两个函数的解析式都满足：f (-1)= -1 = -f (1).f (-2)= -2 = -f (2); f (-3)=-3 = -f (3);可以发现实际上,对于R 内任意的一个x,都有f(-x) = - x = -f(x).这时我们称函数f(x)=x 为奇函数。

1．3函数的基本性质1．3.2奇偶性●三维目标1．知识与技能(1)能从数和形两个角度认识函数奇偶性；(2)能判断一些简单函数的奇偶性．2．过程与方法经历奇偶性概念的形成过程，提高抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力．3．情感、态度与价值观(1)培养学生观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合的数学思想；(2)通过对函数奇偶性的研究，培养学生对数学美的体验、乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度．●重点难点重点：函数奇偶性的概念和几何意义．难点：奇偶性概念的数学化提炼过程．重难点的突破：函数的奇偶性实质就是函数图象的对称性，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，先让学生观察一组图形(关于原点对称或y轴对称)，从中寻找它们的共性．由于“数”与“形”有着密切的联系，为了便于从数值角度研究图象的对称，可提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，建立奇(偶)函数的概念，最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解．让学生在“观察—归纳—检验—应用”的学习过程中，在掌握知识的同时培养数形结合的意识．【问题导思】考察下列两个函数：(1)f(x)＝－x2；(2)f(x)＝|x|.1．这两个函数的图象有何共同特征？【提示】图象关于y轴对称．2．对于上述两个函数，f(1)与f(－1)，f(2)与f(－2)，f(3)与f(－3)有什么关系？【提示】f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(3)＝f(－3)．3．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？【提示】若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)＝f(－x)．反之，若f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．(1)定义：对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．(2)图象特征：图象关于y轴对称.【问题导思】函数f(x)＝x及f(x)＝1x的图象如图所示．1．两函数图象有何共同特征？ 【提示】 关于原点对称．2．对于上述两个函数f (1)与f (－1)，f (2)与f (－2)，f (3)与f (－3)有什么关系？ 【提示】 f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，f (－3)＝－f (3)．3．一般地，若函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，则f (x )与f (－x )有什么关系？反之成立吗？【提示】 若函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，则f (－x )＝－f (x )．反之，若f (－x )＝－f (x )，则函数y ＝f (x )的图象关于原点对称．(1)定义：对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )叫做奇函数．(2)图象特征：图象关于原点对称.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3xx 2＋3；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (3)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(4)f (x )＝0.【思路探究】 定义域是否关 于原点对称→f (－x )是否 等于±f (x )→下结论 【自主解答】 (1)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝3(－x )(－x )2＋3＝－3x x 2＋3＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．(4)∵f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝0＝f (x )，且f (－x )＝0＝－f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数．1．本题(3)在求解过程中，若先对f (x )化简得到f (x )＝2x ，就会得出f (x )为奇函数的错误．2．定义法判断函数奇偶性的步骤下列函数中是奇函数的序号是________．①y ＝－1x ；②f (x )＝x 2；③y ＝2x ＋1；④f (x )＝－3x ，x ∈[－1,2]．【解析】 y ＝－1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝－f (x )，所以是奇函数；f (x )＝x 2的定义域为R ，且f (－x )＝f (x )，所以是偶函数；y ＝2x ＋1的定义域为R ，图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，是非奇非偶函数；f (x )＝－3x ，x ∈[－1,2]，定义域不关于原点对称，不具备奇偶性．【答案】 ①若函数f (x )＝ax ＋(b －1)x ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＋b等于( )A.13B.23C.43 D ．2【思路探究】f (x )为 偶函数定义域[a －1，2a ]关于原点对称f (－x )＝f (x )【自主解答】 因为定义域[a －1,2a ]关于原点对称，所以(a －1)＋2a ＝0， 解得a ＝13.所以f (x )＝13x 2＋(b －1)x ＋1＋b .又因为f (－x )＝f (x )，所以13x 2－(b －1)x ＋1＋b ＝13x 2＋(b －1)x ＋1＋b ， 由对应项系数相等，得－(b －1)＝b －1.所以b ＝1，所以a ＋b ＝43. 【答案】 C1．本题中由f (－x )＝f (x )求b 时，运用了对应项系数相等的方法，这也是解决此类问题经常使用的方法．2．利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略(1)定义域含参数：奇(偶)函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，可以利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数可解．函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则a ＝________. 【解析】 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即ax 2－2x ＝－ax 2－2x ，由对应项系数相等得，a ＝0. 【答案】 0已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求： (1)f (0)；(2)当x <0时，f (x )的解析式； (3)f (x )在R 上的解析式．【思路探究】 (1)利用奇函数的定义求f (0)；(2)设x <0――→转化－x >0――→代入x >0的解析式――→定义求f (x )【自主解答】 (1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.(2)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1.由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以f (x )＝2x 2＋3x －1，x <0.(3)函数f (x )在R 上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋3x ＋1，x >00， x ＝02x 2＋3x －1，x <0.1．本题(1)在求解时，常犯f (0)＝1的错误． 2．已知函数奇偶性求解析式的步骤一般步骤一设设出所求区间上的自变量x 二转把x 转化为－x，代入已知错误! 3．若函数f (x )的定义域内含有0且为奇函数时，则必有f (0)＝0，但若为偶函数，未必有f (0)＝0.本例中若把“奇函数”换成“偶函数”，求x <0时f (x )的解析式． 【解】 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝－2x 2－3x ＋1，x <0.忽略函数的定义域致误判断函数f (x )＝x ＋1·x －1的奇偶性． 【错解】 因为f (－x )＝(－x )＋1·(－x )－1 ＝[(－x )＋1][(－x )－1]＝x ＋1·x －1＝f (x )， 所以f (x )是偶函数．【错因分析】 错解中没有判断函数f (x )的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性．【防范措施】 1.在判断函数奇偶性时，务必树立定义域优先的原则．2．在定义域关于原点对称的前提下，判断f (－x )同f (x )的关系．【正解】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x －1≥0，解得x ≥1，即f (x )的定义域为[1，＋∞)，因为f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f (x )定义域内的每一个值x ，都有f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，才能说f (x )是奇函数(或偶函数)．2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.1．函数f (x )＝1x ，x ∈(0,1)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【解析】 f (x )的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数． 【答案】 C2．函数f (x )＝x 2的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于y ＝x 对称【解析】 ∵f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴图象关于y 轴对称． 【答案】 B3．已知函数f (x )是定义在区间[a －1,2a ]上的奇函数，则实数a 的值为( )A ．0B ．1 C.13 D ．不确定【解析】 ∵奇函数f (x )的定义域为[a －1,2a ]，∴a －1＋2a ＝0，a ＝13. 【答案】 C4．函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，当x ≥0时f (x )＝x 2－2x －3，求函数y ＝f (x )的解析式．【解】 令x <0，则－x >0，故f (－x )＝(－x )2－2(－x )－3＝x 2＋2x －3. 又f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，故f (x )＝x 2＋2x －3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x ≥0x 2＋2x －3，x <0.一、选择题1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )【解析】 选项A 中的图象关于原点或y 轴均不对称，故排除；选项C 、D 中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B 中的图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.【答案】 B2．已知f (x )是奇函数，且f (a )＝－2，则f (－a )＝( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D ．0 【解析】 f (－a )＝－f (a )＝2. 【答案】 B3．下面为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2(x ≥0) B ．(x －1)x ＋11－xC ．y ＝0D ．y ＝|x |(x ≤0)【解析】对于选项A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；又选项B中f(－1)＝0，而f(1)无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，无论x取何值都满足f(－x)＝f(x)＝0.【答案】 C4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝()A．x－x2B．－x－x2C．－x＋x2D．x＋x2【解析】当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.【答案】 D5．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图1－3－7所示，下列说法正确的是()图1－3－7A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是－7【解析】结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7,7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．【答案】 C二、填空题6．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－1，那么f(－1)＝________.【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1.【答案】－17．若y＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝________.【解析】 ∵函数y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(m －1)x 2－2mx ＋3＝(m －1)x 2＋2mx ＋3，∴－2m ＝2m ，得m ＝0.【答案】 08．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是________．【解析】 因为当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以有f (2)＜f (3)＜f (π)．又f (x )是R 上的偶函数，故f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)＜f (－3)＜f (π)．【答案】 f (－2)<f (－3)<f (π) 三、解答题9．已知函数f (x )＝x ＋mx ，且f (1)＝3. (1)求m ；(2)判断函数f (x )的奇偶性．【解】 (1)∵f (1)＝3，即1＋m ＝3，∴m ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋2x ，其定义域是{x |x ≠0}，关于原点对称， 又f (－x )＝－x ＋2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－f (x )，所以此函数是奇函数．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，已知当x ≤0时，f (x )＝x 2＋4x ＋3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )的图象，并写出函数f (x )的单调递增区间； (3)求f (x )在区间[－1,2]上的值域．图1－3－8【解】 (1)∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴对任意的x ∈R 都有f (－x )＝f (x )成立，∴当x >0时，－x <0即f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋4(－x )＋3＝x 2－4x ＋3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3 x >0x 2＋4x ＋3 x ≤0.(2)图象如图所示，函数f (x )的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)(3)值域为[－1,3]．11．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间(－∞，0)上是减函数，实数a 满足不等式f (3a 2＋a －3)＜f (3a 2－2a )，求实数a 的取值范围．【解】 ∵f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，∴f (x )的图象在y 轴左侧递减．又∵f (x )是奇函数，∴f (x )的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减． 又f (－0)＝－f (0)，解得f (0)＝0，所以f (x )的图象在R 上递减．∵f (3a 2＋a －3)＜f (3a 2－2a )，∴3a 2＋a －3＞3a 2－2a ，解得a ＞1. ∴实数a 的取值范围为(1，＋∞).。

§1.3.2 函数的奇偶性编写人徐平一、课标要求：1 知识要求：从形与数两个方面进行引导，使学生了解函数奇偶性的概念，会利用定义判断简单函数的奇偶性.2 能力要求：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察，归纳，抽象概括的能力，同时渗透数形结合和由特殊到一般的思想方法.3 情感，态度与价值观：从生活的对称联想到数学中的对称，再通过严密的代数形式去表达，去推理，使学生在感受数学美的同时，激发学习的兴趣，培养学生乐于求索的精神.二、新课学习：1 学习体验☆知识储备体验1：现实生活中，许多事物给我们以“对称”的感觉，如“人的轮廓、天安门城楼、射箭用的弓”等等，他们关于某条中轴线对称.英文中的字母“S”、道教中的“太极八卦图”等给我们以“中心对称”的感觉.对称是一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映.观察下列函数的图象，你能看出他们有什么共同的特征吗？发现：当自变量x任取定义域的一对相反数的时候，相应的两个函数值______.体验3：观察下列图象，他们又有什么共同特征呢？请填写相应的函数值对应表2、知识探究：请同学们根据上面的体验感悟把你能得出的结论写在下面，有多少就写多少.3、知识形成：（师生共同对学生得出的知识探究修正完善）（1） 偶函数：__________________________________________________； （2） 奇函数：__________________________________________________； （3） 偶函数和奇函数的图象关于______对称，奇函数的图象关于______对称. 4、知识巩固：（学生独立完成，注意规范和步骤） 练习1、判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x=+（4）21()f x x=（5）2()1f x x x =-+练习2、判断下列函数的奇偶性（1）[]2()533, 2f x x x =+∈-， （2）3253()53x x f x x -=-练习3、（1）判断函数3()f x x x =+的奇偶性（2）如果右图是函数3()f x x x =+图象的一部分，你能根据()f x 的奇 偶性画出它在y 轴左边的图象吗？※ 题型方法小结：（通过练习，你认为能解决什么问题，其思路和方法是什么，请记下来）三、典型例题与能力提高例1、（1）设3()2f x x x =-.(2)_____f =，(2)_____f -=；()f x 是奇函数吗？（2）设2()24f x x x =--.(2)_____f =，(2)_____f -=；()f x 是奇函数吗？思路分析 规范解答（一步只解决一个问题）例2、判断下列函数的奇偶性 （1）()f x =+ （2）(()1f x x =- （3）()f x =+ （4）()f x =（5）()()1 , 0()1 , 0x x x f x x x x -<⎧⎪=⎨+>⎪⎩思路分析 规范解答（一步只解决一个问题）例3、若()f x 是定义在(), -∞+∞上的奇函数，且0x >时，()()21f x x x =-， 求()f x 的解析式.思路分析 规范解答（一步只解决一个问题）随堂练习：1、已知()f x 是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，则()0f x =的所有实根之和是（ ）A. 4B. 2C. 1D. 02、已知定义在R 上的()f x 满足()()f x f x -=，则下列各点中必在函数()f x 图象上的是（ ）A. ()(), a f a -B. ()(), a f a --C. ()(), a f a ---D. ()(), -a f a3、()f x 是定义在(), -∞+∞上的奇函数，且0x ≥时，32()f x x x =+，则当0x <时，()f x = .4、已知函数53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f =_____.※题型方法总结（通过例题练习，你认为能解决什么问题，思路和方法是什么，请记下来.）四、知识与方法归纳（同学们独立完成）1、知识（罗列知识条目）2、 与方法归纳（应用本节所学知识能解决的问题）§1.2.1函数的概念（一）课标要求：1 知识要求： 正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；通过大量实例理解构成函数的三个要素；掌握判定两个函数是否相等的方法2 能力要求：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，培养学生的抽象概括能力。

函数奇偶性的教案【篇一：《函数的奇偶性》教案】1.3.2《函数的奇偶性》一、教材分析1．教材所处的地位和作用“奇偶性”是人教a版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。

奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的及数、三角函数的基础。

因此，本节课起着承上启下的重要作用。

2．学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。

同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。

从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题．3．教学目标基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标：【知识与技能】1．能判断一些简单函数的奇偶性。

2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。

【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。

【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。

从课堂反应看，基本上达到了预期效果。

4、教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和几何意义。

几年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。

他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。

因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。

因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。

在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。

难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。

由于，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。

因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。

“五个一评比”教案函数的奇偶性1.3.2奇偶性[教材分析]本节课是在学完函数单调性后讨论函数的又一重要性质，是描述函数整体性质。

新教材沿用了处理函数单调性的方法，先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得对函数奇偶性的认识，然后通过代数运算，数形自然结合，建立奇(偶)函数的概念，从中体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。

教学目标：1．理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生思维能力。

2．掌握判断函数奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想。

教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式[教学方法]“问题是数学的心脏”，教学活动采用“问题探究式”的教学模式，把学生需要掌握的知识转化成问题，引导学生分组讨论，合作探究，教学中穿插学练结合，渗透数形结合。

学生则采用自主探究，合作交流的“研讨式”学习方式去体验知识的形成过程，参与问题的发现、解决过程，从而达到掌握知识提高能力的目的。

[教学过程]导入新课：从函数图象的升降变化引发了函数的单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的最值，如果从下列函数图象的特征(对称性)出发，又能得到什么性质呢？引出课题：函数的奇遇性[师生互动，学导结合]1．①观察下列函数图象有何共同特征：结论：关于y 轴对称②研究函数2)(x x f =，求出)2();2()1(),1(f f f f -及)(x f -，并画出它的图象。

思考1：一般地，若函数)(x f y =的图象关于y 轴对称，则)(x f 与)(x f -有什么关系？)()(x f x f -=思考2：我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？ 如果对于函数)(x f 定义域内的任意一个x 都有)()(x f x f =-成立，则称函数)(x f 为偶函灵敏。

[自主探究，分组讨论]仿照前面分析下列函数图象的特征：结论：关于原点中心对称类似引出奇函数的定义：如果对于函数)(x f 定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=成立，则称函数)(x f 为奇函数。

§1．3．2函数的奇偶性（1）教学目标：知识目标——理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题。

能力目标——通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。

情感目标—— 通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性；养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。

教学分析：教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性的步骤； 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学方法：诱思引探鼓励法 教学工具：多媒体课件 教学过程一、 创设情景，激发兴趣（多媒体投放图片） 二、 实例引入，初步感知请比较下列两组函数图象，从对称的角度，你发现了什么 ？2()f x x = ||)(x x f =y 轴对称师：再观察表1和表2，你看出了什么？ 表1x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321 0123表2生：当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

三、实验体验，加以体会 【探究】图象关于轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个,都有。

反之也成立吗？（超级链接几何画板演示）师：从以上的讨论，你能够得到什么？（师生讨论，共同完善，形成概念，老师板书偶函数定义）一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；师：仿此请观察下面两组图象，你能给出关于原点对称的函数图象与式子之间的关系，进而给出奇函数的定义吗？一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数。

问题1：具有奇偶性函数的图象的对称如何？师：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

问题2：函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？师：函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 。

人教A版必修一§1.3.2奇偶性（第一课时）教学设计一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修1第一章《集合与函数概念》第三节《奇偶性（第一课时）》。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在中学，函数的学习大致可分为三个阶段，第一阶段义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数，本章学习的函数概念，基本性质和后续学习的基本初等函数是函数学习的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段，第三阶段是选修中导数及其应用的学习。

函数奇偶性是函数重要性质之一，从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的基础。

因此，本节课起着承上启下的重要作用。

这一节利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学的学习当中。

从方法论的角度来看，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。

奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。

教材在本章实习作业中，安排学生收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物资料，渗透数学文化教育。

二、教学目标设置（一）课程目标函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，通过本模块的学习，使学生不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还会用集合与对应的语言刻画函数，感受用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学及各领域的重要地位与作用。

（二）课堂教学目标1.知识和技能：初步理解函数奇偶性的概念、图象特征和性质；会根据定义和图像判断简单函数的奇偶性；能初步应用定义分析和解决与函数的奇偶性有关的一些简单问题。

2.过程与方法：通过经历函数奇偶性概念的形成过程，培养观察、归纳、抽象的能力，体会从特殊到一般的数学归纳思想和数形结合思想。