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小学概率知识的教学误区与思考现代教育的发展需要更多的科学知识，而概率论在科学领域中起着至关重要的作用，尤其是在统计学中。
但是，在小学阶段，概率知识的教学仍然存在误区，这不仅限于存在普遍的误解，而且也存在一定的实践挑战。
本文结合教学实践对这些误区和挑战进行了探讨，提出了一些相应解决思路。
一、小学概率知识在教学中存在的误区1、概率是“0”或“1”的误解概率是一种数字或比例的描述，但在小学阶段，很多学生仍然将概率理解为“0”或“1”，当遇到有大事件发生的可能性时，他们只能说“0”或“1”，对概率概念缺乏认知。
2、概率与偶然事件之间的误解很多学生将概率与偶然事件等同起来，比如说抛硬币，他们会觉得抛硬币落在正反面永远是“偶然”的，因此取消了概率概念，没有对概率做出更深入的思考。
3、数学概念和实际情境之间的断层概率是一种数学描述的方式，但概率的概念应该是会连接实际的情境的。
从学生的角度出发，他们缺乏理解概率论的实用性，所以在解决实际问题的过程中难以运用概率知识。
二、解决误区的思路与方式1、从实际出发，建立学生的认知从实际出发，把概率理解成一种类比比率，比如：抛硬币可以认为两面有百分之五十，帮助学生明确概率的数值，以便更好地理解概率知识。
2、丰富练习，培养学生的根据能力在教学过程中，丰富多样的练习，让学生对概率知识进行深入活用，加深理解，培养学生的分析问题解决问题的能力。
3、拓展实际，让学生用概率知识解决实际问题在教学中，除了练习，一些拓展实战也可以使用概率知识来解决一些实际问题，比如判断摇骰子有没有概率偏差，这样可以让学生明白，概率知识是可以应用到实际中的。
三、小结概率知识在小学阶段的教学中还存在许多的误区，解决这些误区的关键是结合实际来拓展教学，让学生体验到概率知识的实际应用，从而形成自身的观念，拓宽他们的思维，进行有意义的探究。
巧选例题辨析概率统计中几个容易混淆的概念作者：蔡鸣晶来源：《职业教育研究》2012年第07期摘要：对概率统计中几个容易混淆的概念：频率与概率、互不相容事件与相互独立事件、互不相容事件与相互对立事件、多个事件两两独立与相互独立、条件概率与乘积概率等举例辨析。
在概率统计教学过程中，选取既具有实用背景又能阐明基本概念、能够提高学生兴趣的例题，能够加强学生对知识理解的准确性和完善性，提高学生的学习效果和职业能力。
关键词：例题；概率统计；概念辨析；频率；概率；职业素质中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1672-5727（2012）07-0095-02概率统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类专业一门重要的基础理论课，也是高等职业院校一门重要的职业素质课程。
它的思想方法与学生以往接触过的任何一门学科均有所不同。
在概率统计中存在许多容易混淆的概念，如不能认真区分，仔细加以甄别，就难以正确理解这些重要概念，在应用时就容易出现各种各样的错误。
学生在学习这门课的过程中普遍感到概念难以理解，思维难以展开。
因此，教师在教学过程中对那些容易使学生混淆的内容一定要提出来特别强调，消除学生对这些内容理解的困难。
对于这些内容如果能精心选择适当的例子加以解释说明，会得到事半功倍的效果。
下面举例说明。
频率与概率定义1：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值称为频率。
定义2：大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某一常数p，并在它附近摆动，这个常数p叫做事件A的概率。
两者之间的关系：概率来源于频率，它是大量独立重复试验时频率的稳定值。
因此，频率是概率的先导，而概率是频率的抽象和发展。
频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，但频率本身是随机的，在实验前不能确定，无法从根本上刻画事件发生可能性的大小。
概率是随机事件发生的可能性大小的数量反映，是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定后的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同。
概率统计易混淆概念概率统计是一门充满趣味和挑战的学科，但其中也存在一些容易让人混淆的概念。
下面就让我们一起来梳理一下这些容易混淆的概念，帮助大家更好地理解和应用概率统计知识。
首先，我们来谈谈“概率”和“频率”。
概率是指某个事件在理论上发生的可能性大小，它是一个固定的数值，通常用 0 到 1 之间的数来表示。
比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 05。
而频率则是指在多次重复试验中，某个事件实际发生的次数与试验总次数的比值。
频率是一个随着试验次数变化而变化的量，但当试验次数足够多时，频率会逐渐趋近于概率。
举个例子，抛 10 次硬币，正面朝上的频率可能是 4/10 ＝ 04，但如果抛 1000 次硬币，正面朝上的频率就可能更接近 05 了。
接下来，“条件概率”和“联合概率”也是容易让人迷糊的一对概念。
条件概率是指在某个条件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
比如，已知某人患有某种疾病，再去计算他某项检测结果为阳性的概率，这就是条件概率。
而联合概率则是指两个或多个事件同时发生的概率。
例如，同时掷两个骰子，骰子 A 掷出 3 点且骰子 B 掷出 5 点的概率就是联合概率。
“独立事件”和“互斥事件”也是经常被混淆的概念。
独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如，今天下雨和明天考试成绩好坏就是两个独立事件。
互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
比如，掷骰子得到奇数点和得到偶数点就是互斥事件。
再说说“期望”和“方差”。
期望是随机变量的平均值，它反映了随机变量取值的平均水平。
比如，掷一个骰子，每个点数出现的概率都是1/6，那么掷骰子的期望值就是（1+2+3+4+5+6）×1/6 ＝ 35。
方差则衡量的是随机变量取值的分散程度。
方差越大，说明随机变量的取值越分散；方差越小，说明随机变量的取值越集中。
还有“正态分布”和“二项分布”。
正态分布是一种非常常见的连续型概率分布，它的形状像一个钟形曲线，具有很多优良的性质。
对初中“概率”教学中几个概念的理解现在的初中数学教材中引入了“概率”的内容。
但目前在这方面的教学中还有一些模糊的认识。
下面就以下几个问题谈谈一点看法。
随机事件概率论是研究随机现象的。
随机现象是指：在条件相同的情况下，做重复试验，试验结果却不确定，以至于在试验之前无法预料出现哪一个结果。
我们把这时的试验结果称为“随机事件”（通常把上述“条件相同情况下的重复试验”称为随机试验。
但是，在初中引入这种概念的意义并不太大）。
换句话说，随机事件是和重复试验紧密相连的，并非所有不确定的结果都是随机事件。
目前出现的有两种错误：一、把目前尚不知道结论是否正确的命题当成了随机事件。
例如，哥德巴赫猜想是否成立、火星上是否有生命等。
显然，这些命题或结果没有任何随机性，它是完全确定的。
只是人们至今尚未知道其结论而已。
特别在数学中，凡是未被证明或否定的猜想都是这种命题，它们没有任何随机性，更不是随机事件。
二、把和重复试验无关的不确定结果当成了随机事件。
例如，本·拉丹是否还活着、小李是否生病了等等。
对上述两类问题，人们有时在言谈中也会谈到其发生的“可能性”。
例如，人们会说“我看十有八九本·拉丹已经死了”、“我猜火星上有生命的可能性不到万分之一”等等。
但这只是一种猜测，和重复试验无关。
这样一种猜测我们称为“主观概率”。
它反映的是人们主观的想法或愿望。
其结论正确与否依赖于该人对所谈事物了解的程度、依赖于该人的经验和学识。
研究主观概率并非没有意义。
这种判断在人们的生活工作中确实大量存在，特别是在许多决策问题中。
在这种猜测或判断中，经验起着重要的作用，但它和重复试验无关。
一般来说，每个人的经验和看法并不相同，主观概率的大小因人而异。
它不是概率论研究的内容（目前在统计中有一个强大的学派：贝叶斯学派，这一学派的理论是依赖主观概率的）。
老师在讲随机事件时，所举的例子一定要和重复试验紧密相连，强调相同条件下的试验（当然在现实生活中，条件不可能绝对相同）。
小学概率知识的教学误区与思考
小学概率知识的教学存在着误区，一般会出现以下形式：
一、概率教学重视事件发生可能性而忽视事实背景。
小学概率知
识教学中，往往会重视事件发生可能性而忽视事实背景，仅仅给出事
件发生可能性，没有紧密地理解背景，这样会限制学生对概率的正确
理解。
二、错误的理解概率的实质。
小学概率知识教学中，也会出现学
生误解概率实质的情况，学生往往把概率理解为明确的几率，把概率
当作某一事件的发生的必然程度或其概率，而不是真正的概率统计概念，所以学生无法灵活使用概率。
三、把概率简单地理解为固定不变的概念。
小学概率知识教学时，还有学生将概率简单地理解为固定不变的概念，学生不太关注概率变化，更不会去思考概率变化的原因，概率思维也欠缺。
因此，在教学过程中，我们要加强学生对概率知识系统化的认识，让学生充分理解概率的实质，灵活运用概率的思维去解决实际问题，
强化对概率变化的思考，从而提高学生对概率的掌握能力。
通过引导
学生进行实际概率的实验，让学生体验概率的变化，综合运用概率的
概念去分析，把概率运用到实践中，也可以提高学生针对性训练概率
知识的能力。
总之，小学概率知识教学中，要避免以上这类教学误区，从而提高学生对概率知识的正确理解能力。
和县教学成果评选材料类型教学论文论题对概率教学中几类易混淆概念的认识单位和县第二中学姓名张后志时间 2014年3月28日对概率教学中几类易混淆概念的认识摘要：随着概率统计内容引入中小学数学课程，学生在学习过程中出现了一系列由于对概念定义混淆导致的错误，影响了学生学习的认知心理，增加了概率教学的难度．在概率教学中，要注意区分概念定义之间的差别，了解概率概念的认知特征，这样才能引导学生正确解题，把握随机性思维的规律．关键词：概率概念；数学教学；混淆概率知识和现实生活有着很密切的关系，在经济、管理、决策、保险、销售等方面都有着广泛的应用，新数学课程标准及教材侧重培养学生的实际应用能力，理所当然的加入了概率知识，然而学生在分析问题和解决问题时常常容易因为概念不清出现一些似是而非的错误，或是面对概率问题束手无策、无从下手，使概率教学的难度加大．以下就几类易混淆概念问题例证解析，以阐发“概念不清，寸步难行”的教学要义．1 频率和概率的区别事件A发生的频率是指相同条件下，进行n次试验，事件A发生的次数(或称频数) nA与n的比值．直观的想法是用频率来表示A在一次试验中发生的可能性的大小，但实际上频率值是有波动的．需要通过操作实验活动，亲手体验、感受频率的稳定性以及频率与概率的关系，观察频率的变化，从而建立这样的信念或影响，当实验次数越来越大时，这个比值(频率)越来越稳定于一个固定值，并以此来预测事件出现的可能性的大小，即概率．概率是准确的表示A在一次试验中发生的可能性的大小．学习概率概念的一个误区是大部分学生用频率理解概率．事实上，频率随着试验的发生而发生的其统计值是不断变化的，而概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性，是先于试验而客观存在的．概率的统计定义是利用频率来刻画的，但频率并不是概率，当试验次数增多时，该随机事件发生的频率总是稳定于某一个数值附近，而且偏离的幅度很小．频率本身也是个随机变量，由贝努里大数定律知频率与概率具有强相合性，频率的稳定值反映了该事件发生的可能性大小，所以是借助于频率的稳定性去刻画概率．义务教育数学课程标准中设计了“做一做”活动“一定能摸到红球吗”，使学生体会事件发生的可能性是有大小的．活动是通过分组进行的，然后汇集班里所有的统计数据，把总的频率(比值)与概率进行比较．为什么要这么做?其实这里有两个概念需要明确，汇集所有数据，是基于概率的统计定义，即当试验的次数越来越大时频率将稳定于概率；而计算比值这是概率的古典定义，事件所包含的基本事件数与总的基本事件的比值即为(古典)概率，学生对概率的统计定义与古典定义是不知道的，重复试验次数让学生观察频率逐渐稳定于一个固定的值，从而让学生知道事件发生可能性的大小是可以用频率的稳定值来表征的，建立统计意义的概率概念对学生准确理解和把握概率的实质是具有重要意义的．2 排列和组合定义的混淆由于种种原因，现行学校数学的概率内容教学，还停留在对古典概率问题的计算技能训练上和一些概率概念的死记硬背上，这种现象必需改变．学过概率的学生在现实生活中遇到随机现象问题，仍不会应用已学过的概率知识，仍然保持着他们在学习以前对随机现象问题的迟钝和误解．在处理概率问题时，经常会遇到排列和组合方面的思考，不少同学往往难以选择．例如：甲、乙两足球队激战90min 后踢成平局，加时赛30min 后仍成平局，先决定派5名队员，每人射一点球决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5．(1)不考虑乙队，求甲队仅有3名队员，点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率；(2)求甲乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率．这是一道与排列、组合相结合的概率题．在(1)中，要考虑甲队5名队员中有3名队员命中，有且仅有2名队员连续命中的情形共有多少种，这是一个排列问题，甲队3名队员射中，恰有2名队员连续命中的情形有23A 种，故所求概率为P 1＝23A 35.02)5.01(-＝163． 在(2)中，两队射完5个点球后仍是平局有6中可能(0：0、1：1、…5：5)，每一情形中都涉及到组合问题，比如说3：3时，5名队员中哪3名队员命中要进行选择．两组射完5个点球后再次出现平局共有6种可能，所求的概率为[]250052)5.01(5.0-=C P +[]++- 24115)5.01(5.0C []25663)5.01(5.020555=-C 对排列和组合定义混淆，导致了对概率学习的畏难情绪和障碍，也影响对概率概念的实质理解．事实上，统计与概率强调的内容方面是以统计的全过程为主线，而不是以排列组合为主线．由于学生缺少体验，数学课程标准要求通过体验经历和生活事例，例如，后抽签比先抽签吃亏吗?抛100次硬币一定出现50次正面吗?“三局两胜”制公平吗?“五局三胜”，“七局四胜”呢?教师在概率教学中应以生活经验帮助了解、区别和纠正学生对概率已有的错误经验和直觉，树立辨证的和正确的随机观念．3 不可能事件与必然事件的误区有人认为“不可能事件与概率为0的事件等价，必然事件与概率为1的事件等价，随机事件的概率大于0而小于1”，这是具有科学性错误的，违背了概率概念的实质．事实上，随机事件A 的概率是0≤P(A)≤1，这是概率所具备的基本规范，高中数学教材也给出这个性质．事实上，概率为1的事件不一定是必然事件，0概率事件也不一定是不可能事件，但必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．例如：向平面内投一质点，该质点落在平面内任一点都是等可能的，分别求落在平面内点A 的概率和落在平面内除点A 处以外的概率．这是求随机事件概率问题，是一个典型的几何概型问题，但前者的概率为0，后者的概率为1．发生上述情形的原因在于概率有一个测度，有测度为O 的不可数集存在，并且对于连续函数来说，在一点处的积分为零．在古典概型中，概率为零的事件一定是不可能事件；在几何概型中，概率为零的事件未必是一个不可能事件．由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件．4 “独立”和“互斥”的混同独立是概率特征的涵义，即对任意两个事件A 、B ，若P(AB)二P(A)P(B)成立，则称事件A 、B 是相互独立的．由此可知必然事件以及不可能事件与任何事件都是相互独立的．而互斥是事件的众多关系中较为特殊的一种集合关系．若事件A 、B 不可能同时发生，也就是说AB 是一个不可能事件，则称事件A 与B 互斥，有时也称互不相容，即A 的出现必然导致B 的不出现或B 的出现必然导致A 的不出现． 例如：设0<P(A)<1，0<P(B)<1，由户P(A ︱B)+P(A ︱B )=1，则( )．选择支为：(A)事件A 与B 相互独立；(B)事件A 与B 互斥；(C)事件A 与B 互不相关；(D)事件A 与B 相互对立．首先题目要求事件之间的关系，所以可排除(C)，因为不相关则只用于表述随机变量之间的关系．其次由上述分析可知由概率得不出互斥的结论，所以(B)也显然不对．而独立性则是由概率得到的，因此,由P(A ︱B)+P(A ︱B )=1 得P(A ︱B)=1-P(A ︱B )=P(A ︱B )， 又P(A)=P(AB+A B )=P(AB)+P(A B )=P(B)P(A ︱B)+P(B )P(A ︱B)=(P(B)+P(B ))P(A ︱B),即有P(AB)=P(A)P(B)从而由独立的定义立即可得A 与B 是相互独立的，故(A)是正确的．再如：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声被接的概率为0.1；响第二声被接的概率为0.3；响第三声被接的概率为0.4；响第四声被接的概率为0.1，那么电话在前四声被接的概率是多少?很多学生认为，电话在前四声内被接的概率是P=0.1×0.3×0.4×0.1＝0.0012．出现错误的原因是将互斥事件看成相互独立事件，电话在响第i 声被接和在响第j 声被接(i ≠j ，且i 、j ∈｛1，2，3，4｝)是互斥事件．因此正确解法是P ＝0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．由此可知，利用概念定义准确把握内涵中种差概念的区别，在解相关题目中可以收到意想不到的效果．5 “有放回”和“不放回”条件混用有放回和不放回也是概率中的常见问题，有些题目中没有直接说明是有放回还是无放回，需要学生自己进行判定．这与有关(涉及到)试验的机会、等可能性概念，也是学习概率概念常常混淆的．例如：一个人有n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，随机逐个试验钥匙，试验后放回，求“房门恰在第k 次被打开”的概率，常见的错误有： (1)P(A)=nk n k n k n n n n n n n 1)1(1)2()1(23121=--⨯----⨯⨯--⨯--⨯- ; (2)P(A)=n A A k nk n 111=-- 错解(1)的主要原因在于将“有放回”与“无放回”混淆，这两种问题的主要不同点是：“有放回”的抽取每次被抽元素个数总是相同的，而“不放回”的抽取时每次被抽元素个数不相同；“有放回”抽取时每次抽取都是独立事件，概率不互相影响，“无放回”抽取每次抽取是互相影响的；错解(2)的主要原因在于“有放回”的抽取问题中，事件“一次抽取k 个元素”与“逐次抽取k 个元素”的概率是不相同的，而“不放回”的抽取问题中，以上两个事件的概率是相同的．正确解法为： P(A)=k k nn n n n n n n n 1)1(1111--=⨯-⨯⨯-⨯- 利用概念定义准确把握外延的不同，在解题时注意被取对象的全体，就可以避免错误．根据最近发展区理论，教学应该基于学生的最近发展区，而着眼于学生的潜在发展水平．因为大多数学生都接受用频率解释概率，所以教师应重视对概率统计定义的教学．此外，概率概念的教学要基于学生的认知发展水平，并且还要促进学生的认知能力的提高．在概率教学中，只有充分了解概率概念的认知特征，运用生活实践、活动体验等方式，这样才能帮助学生把握概率本质和概念定义之间的区别与联系，引导学生正确地分析问题和解决问题，把握随机性思维的规律．参考文献[1] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 北京师范大学出版社，2001．[2] 全日制普通高级中学教案系列丛书编委会．高中数学教案：第2册下(A)人民教育出版社，延边教育出版社 2001[3] 罗建宇．对“概率”概念教学的一处释疑数学通讯，2004，(5)．[4] 盛骤．概率论与数理统计高等教育出版社，2001．。
