2021年高考理科数学全国新课标卷1(附答案)

2021年高考全国卷一理科数学(含答案)绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号1．设，则（）A．0 B．C．D．2．已知集合，则（）A．B．C．D．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．125．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．6．在中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．28．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（）A．5 B．6 C．7D．89．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（）A．B．C．D．11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（）A．B．3 C．D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若满足约束条件，则的最大值为________．14．记为数列的前项和．若，则________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数，则的最小值是________．三、解答题（共70分。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（理）一、选择题1.设2()3()46z z z z i ++-=+，则z =(）A.12i -B.12i +C.1i +D.1i -答案：C 解析：设z a bi =+，则z a bi =-，2()3()4646z z z z a bi i ++-=+=+，所以1a =，1b =，所以1z i =+.2.已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则S T = ()A.∅B.SC.TD.Z 答案：C 解析：21s n =+，n Z ∈；当2n k =，k Z ∈时，{|41,}S s s k k Z ==+∈；当21n k =+，k Z ∈时，{|43,}S s s k k Z ==+∈.所以T S Ü，S T T = .故选C.3.已知命题:p x R ∃∈﹐sin 1x <；命题||:,1x q x R e∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（）A.p q∧B.p q ⌝∧C.p q∧⌝D.()p q ⌝∨答案：A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，故x R ∃∈，sin 1x <，p 为真命题，而函数||x y y e ==为偶函数，且0x ≥时，||1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.，则q 也为真命题，所以p q ∧为真，选A.4.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案：B 解析：12()111x f x x x -==-+++，()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数.5.在正方体1111ABCD ABC D -中，P 为11BD 的中点，则直线PB 与1A D 所成的角为（）A.2πB.3πC.4πD.6π答案：D 解析：如图，1P B C ∠为直线PB 与1A D 所成角的平面角.易知11AB C ∆为正三角形，又P 为11AC 中点，所以16PBC π∠=.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑､冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种答案：C 解析：所求分配方案数为2454240C A =.7.把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则)(f x =（）A.7sin()212x π-B.sin()212x π+C.7sin(212x π-D.sin(212x π+答案：B解析：逆向：231sin()sin(sin() 412212 y x y x y xππππ=-−−−→=+−−−−−−−→=+左移横坐标变为原来的倍.故选B.8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.7 9B.23 32C.9 32D.2 9答案：B解析：由题意记(0,1)x∈，(1,2)y∈，题目即求74x y+>的概率，绘图如下所示.故113311123224411132 ABCDAM ANSPS==⨯-⋅-⨯⨯==⨯阴正.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点,,E H G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB =（）A.⨯+表高表距表高表目距的差B.⨯-表高表距表高表目距的差C.⨯+表高表距表距表目距的差D.⨯-表高表距表距表目距的差答案：A 解析：连接DF 交AB 于M ，则AB AM BM =+.记BDM α∠=，BFM β∠=，则tan tan MB MBMF MD DF βα-=-=.而tan FG GC β=，tan EDEHα=.所以11(()tan tan tan tan MB MB GC EH GC EH MB MB MB FG ED ED βαβα--=-=⋅-=⋅.故ED DF MB GC EH ⋅⨯==-表高表距表目距的差，所以高AB ⨯=+表高表距表高表目距的差.10.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a >答案：D 解析：若0a >，其图像如图（1），此时，0a b <<；若0a <，时图像如图（2），此时，0b a <<.综上，2ab a <.11.设B 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足，2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A.[)2B.1[,1)2C.2D.1(0,2答案：C 解析：由题意，点(0,)B b ，设00(,)P x y ，则2222200002221(1)x y y x a a b b +=⇒=-，故22222222222000000022()(122y c PB x y b a y by b y by a b b b =+-=-+-+=--++，0[,]y b b ∈-.由题意，当0y b =-时，2PB 最大，则32b b c -≤-，22b c ≥，222a c c -≥，2c c a =≤，2(0,2c ∈.12.设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c -，则（）A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.c a b <<答案：B 解析:设()ln(1)1f x x =+，则(0.02)b c f -=，易得1()1f x x '==+当0x ≥时，1x +=≥()0f x '≤.所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以(0.02)(0)0f f <=，故b c <.再设()2ln(1)1g x x =++，则(0.01)a c g -=，易得2()21g x x '==+当02x ≤<时，1x ≥=+，所以()g x '在[0.2)上0≥.故()g x 在[0.2)上单调递增，所以(0.01)(0)0g g >=，故a c >.综上，a c b >>.二、填空题13.已知双曲线C ：221(0)x y m m-=>的一条渐近线为0my +=，则C 的焦距为.答案：4解析：易知双曲线渐近线方程为by x a=±，由题意得2a m =，21b =，且一条渐近线方程为y x m=-，则有0m =（舍去），3m =，故焦距为24c =.14.已知向量(1,3)a = ，(3,4)b = ，若()a b b λ-⊥，则λ=.答案：35解析：由题意得()0a b b λ-⋅= ，即15250λ-=，解得35λ=.15.记ABC ∆的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒，223a c ac +=，则b =.答案：解析：1sin24ABC S ac B ac ∆===4ac =，由余弦定理，222328b a c ac ac ac ac =+-=-==，所以b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC ==，BA BC =，2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，AC AB =，2BC =，俯视图为④.三、解答题17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y，样本方差分别己为21s 和22S .（1）求x ，y，21s ，22s ：（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果2212210s s y x +-≥，否则不认为有显著提高)。

2021年普通高等学招生全国统一考试〔全国一卷〕理科数学参考答案与解析一、选择题：此题有12小题，每题5分，共60分。

1、设z=，那么|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、集合A={x|x 2-x-2>0}，那么A = A 、{x|-1<x<2} B 、{x|-1x 2} C 、{x|x<-1}∪{x|x>2} D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建立，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地理解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建立前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是： A 、新农村建立后，种植收入减少。

B 、新农村建立后，其他收入增加了一倍以上。

C 、新农村建立后，养殖收入增加了一倍。

D 、新农村建立后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A【解析】由题可得新农村建立后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，假设3S3=S2+S4，a1=2，那么a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f〔x〕=x3+(a-1)x2+ax，假设f〔x〕为奇函数，那么曲线y=f〔x〕在点〔0，0〕处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f〔x〕为奇函数，有f〔x〕+f〔-x〕=0整理得:f〔x〕+f〔-x〕=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f〔x〕=x3+x求导f‘〔x〕=3x2+1f‘〔0〕=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱外表上的点N 在左视图上的对应点为B ，那么在此圆柱侧面上，从M 到N 的途径中，最短途径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则=A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=在的图像大致为．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入2sin cos ++x xx xA ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 1022||F B ，|A 11①f ③f A 12E ，F 分别是A13n S14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB=，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____________．三、解答题：共70分。

2021年全国高考（新课标Ⅰ卷）数学试题及答案本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},则A ∩B=( )A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4} 2.已知z=2-i ，则z ()z+1=( )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i3.( )A.2 C.4 4.下列区间中，函数f(x)=7sin(6x π-)单调递增的区间是( )A.(0,2π) B.(,2ππ) C.(3,2ππ,) D.(3,22ππ,) 5.已知F 1,F 2是椭圆C ： 22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6 6.若tan θ=-2,则sin (1sin 2)sin cos θθθθ++=( )A.65-B.25-C.25 D 65.7.若过点（a,b)可以作曲线y=ex 的两条切线，则( )A.e b <aB.e a <bC.0<a<e bD.0<b<e a8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {x -2 < x < 4}， B = {2, 3, 4, 5} ，则 A B = （）A.{2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {2, 3, 4}【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有 A ⋂ B = {2, 3} ，故选：B .2. 已知 z = 2 - i ，则 z (A. 6 - 2i z + i ) = （B. 4 - 2i）C. 6 + 2iD. 4 + 2i【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为 z = 2 - i ，故 z = 2 + i ，故 z (z + i )= (2 - i )(2 + 2i ) = 6 + 2i故选：C.22 2 3. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l 的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则π l = 2π ⨯ ，解得l = 2 .故选：B.4. 下列区间中，函数 f (x ) = 7 sin ⎛x - π ⎫单调递增的区间是（ ）6 ⎪A. ⎛ 0, π ⎫ ⎝⎭B. ⎛ π , π ⎫C. ⎛π , 3π ⎫D.⎛ 3π , 2π ⎫⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭⎝ ⎭【答案】A【解析】π π π【分析】解不等式2k π -< x - < 2k π + 2 6 2(k ∈ Z ) ，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数 y = sin x 的单调递增区间为⎛2k π - π , 2k π + π ⎫(k ∈ Z )，2 2 ⎪ ⎝ ⎭对于函数 f (x ) = 7 sin ⎛ x - π ⎫ ，由2k π - π < x - π < 2k π + π (k ∈ Z ) ， 6 ⎪ 2 6 2 ⎝ ⎭2k ππ 2π 解得- < x < 2k π + 3 3(k ∈ Z ) ， 取 k = 0 ，可得函数 f ( x ) 的一个单调递增区间为⎛ - π , 2π ⎫，3 3 ⎪ ⎝ ⎭则⎛ 0, π ⎫ ⊆ ⎛ - π , 2π ⎫ ， ⎛ π ,π ⎫ ⊄ ⎛ - π , 2π ⎫，A 选项满足条件，B 不满足条件；2 ⎪3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭取 k = 1 ，可得函数 f ( x ) 的一个单调递增区间为⎛ 5π , 8π ⎫，3 3 ⎪ ⎝ ⎭⎛π , 3π ⎫ ⊄ ⎛ - π , 2π ⎫且⎛π , 3π ⎫ ⊄⎛ 5π , 8π ⎫ ， ⎛ 3π , 2π ⎫ ⊄ ⎛ 5π , 8π ⎫ ，CD 选项均不满足条件. 2 ⎪ 3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ 2 ⎪ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y = A sin (ωx + φ) 形式，再求2 2= = θ ( θ + θ ) ⎝⎝y = A sin (ωx + φ) 的单调区间，只需把ω x + ϕ 看作一个整体代入 y = sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω 化为正数．F F x 2 y 2 MF ⋅ MF5. 已知 1 ， 2 是椭圆C ：+= 1的两个焦点，点 M 在C 上，则1942的最大值为（ ）A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C【解析】【 分 析 】 本 题 通 过 利 用 椭 圆 定 义 得 到MF 1 + MF 2= 2a = 6， 借 助 基 本 不 等 式2MF ⋅ MF ≤ 即可得到答案． 1 22 ⎭【详解】由题， a 2 = 9, b 2 = 4 ，则 MF 1 + MF 2 = 2a = 6 ，2所以 MF ⋅ MF ≤ = 9 （当且仅当 MF 1 = MF 2 = 3 时，等号成立）． 1 22 ⎭ 故选：C ．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．sin θ (1+ sin 2θ )6. 若tan θ = -2 ，则 sin θ + cos θ= （）A. - 6 5B. -2 C.2 D. 6555【答案】C【解析】【分析】将式子进行齐次化处理，代入tan θ = -2 即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得：sin θ (1+ sin 2θ ) sin θ + cos θ sin θ (sin 2 θ + cos 2θ + 2sin θ cos θ ) sin sin cos sin θ + cos θsin θ (sin θ + cos θ ) tan 2 θ + tan θ 4 - 2 2 = = = = ．sin 2 θ + cos 2 θ 1+ tan 2 θ1+ 4 5故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan θ = -2 ，求出sin θ , cos θ 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．max max7. 若过点(a , b ) 可以作曲线y = e x 的两条切线，则（ ）A. e b < aB. e a < bC. 0 < a < e bD. 0 < b < e a【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果 【详解】在曲线 y = e x 上任取一点 P (t , et) ，对函数 y = e x 求导得 y ' = e x ，所以，曲线 y = e x 在点 P 处的切线方程为 y - e t = e t(x - t ) ，即 y = e t x + (1- t )e t ， 由题意可知，点(a , b ) 在直线 y = e tx + (1- t )e t上，可得b = ae t+ (1- t )e t= (a +1- t )e t，令 f (t ) = (a +1- t )e t，则 f '(t ) = (a - t )e t.当t < a 时， f '(t ) > 0 ，此时函数 f (t ) 单调递增，当t > a 时， f '(t ) < 0 ，此时函数 f (t ) 单调递减，所以， f (t ) = f (a ) = e a ，由题意可知，直线 y = b 与曲线 y = f (t ) 的图象有两个交点，则b < f (t ) = e a，当t < a +1时， f (t ) > 0 ，当t > a +1时， f (t ) < 0 ，作出函数 f (t ) 的图象如下图所示：由图可知，当0 <b <e a时，直线y =b 与曲线y = f (t )的图象有两个交点.故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6 个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】P(甲) =1，P(乙) =1，P(丙) =5，P(丁) =6=1，6636366P(甲丙) = 0 ≠P(甲)P(丙)，P(甲丁) =136=P(甲)P(丁)P(乙丙) =136故选：B≠P(乙)P(丙)，P(丙丁) = 0 ≠P(丁)P(丙)【点睛】判断事件A, B 是否独立，先计算对应概率，再判断P( A)P(B) =P( AB) 是否成立二､选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i=x i+c ( i = 1, 2,⋅⋅⋅, n), c 为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C 利用两组数据的线性关系有E( y) =E(x) +c 、D( y) =D(x) ，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D 的正误.OP 1 = OP 2OA ⋅ OP 3 = OP 1 ⋅ O P 2 OP 2 4sin 2 α 2 【详解】A ： E ( y ) = E (x + c ) = E (x ) + c 且c ≠ 0 ，故平均数不相同，错误； B ：若第一组中位数为 x i ，则第二组的中位数为 y i = x i + c ，显然不相同，错误； C ：D ( y ) = D (x ) + D (c ) = D (x ) ，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为 x max - x min ，则第二组的极差为y max - y min = (x max + c ) - (x min + c ) = x max - x min ，故极差相同，正确；故选：CD10. 已知O 为坐标原点，点 P 1 (cos α , sin α )，P 2 (cos β , -sin β ) ，P 3 (cos (α + β ), sin (α + β ))，A (1, 0)，则（）A B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】A 、B 写出OP 1 ， 、AP 1 ， AP 2 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【 详 解 】 A ： OP 1 = (cos α , sin α ) ， OP 2 = (cos β , -sin β ) ， 所 以 | =1 ，| = 1 ，故| OP 1 |=| OP 2 |，正确；B ： AP 1 = (cos α -1, sin α ) ， AP 2 = (cos β -1, -sin β ) ，所以| == α= = 2 | sin | ， 2同理| = 2 | sin β | ，故| AP |,| AP | 不一定相等，错误；21 2C ：由题意得： OA ⋅ OP 3 = 1⨯cos(α + β ) + 0⨯sin(α + β ) = cos(α + β ) ，OP 1 ⋅ OP 2 = cos α ⋅cos β + sin α ⋅ (-sin β ) = cos(α + β ) ，正确；D ：由题意得： OA ⋅ OP 1 = 1⨯cos α + 0⨯sin α = cos α ，OP 2 ⋅ O P 3 = cos β ⨯cos(α + β ) + (-sin β ) ⨯sin(α + β )= cos α cos 2 β - sin α sin β cos β - sin α sin β cos β - cos α sin 2 βAP 1 = AP 2OA ⋅ OP 1 = OP 2 ⋅ O P 3OP |= cos 2 α + sin 2 α 1 OP |= (cos β)2 + (-sin β )2 2 AP |= (cos α -1)2+ sin 2α 1cos 2α - 2 cos α +1+ sin 2α 2(1- cos α ) AP |= (cos β -1)2 + sin 2 β 211 534 = cos α cos 2β - sin α sin 2β = cos(α + 2β ) ，错误；故选：AC11. 已知点 P 在圆(x - 5)2+ ( y - 5)2= 16 上，点 A (4, 0) 、 B (0, 2) ，则（ ）A. 点 P 到直线 AB 的距离小于10B. 点 P 到直线 AB 的距离大于2C. 当∠PBA 最小时， PB = 3D. 当∠PBA 最大时， PB = 3【答案】ACD【解析】【分析】计算出圆心到直线 AB 的距离，可得出点 P 到直线 AB 的距离的取值范围，可判断 AB 选项的正误；分析可知，当∠PBA 最大或最小时， PB 与圆 M 相切，利用勾股定理可判断 CD 选项的正误. 【详解】圆( x - 5)2+ ( y - 5)2= 16 的圆心为 M (5, 5) ，半径为4 ，直线 AB 的方程为 x + y= 1，即 x + 2 y - 4 = 0 ，42圆心 M 到直线 AB 的距离为= = 11 5 > 4 ， 5所以，点 P 到直线 AB 的距离的最小值为11 5 - 4 < 2 ，最大值为11 5 + 4 < 10 ，A 选项正确，B 选项错55误；如下图所示：当∠PBA 最大或最小时， PB 与圆 M 相切，连接 MP 、 BM ，可知 PM ⊥ PB ，BM ==， MP = 4 ，由勾股定理可得 BP == 3 2 ，CD 选项2212 + 225 + 2⨯ 5 - 4 (0 - 5)2 + (2 - 5)2BM 2 - MP 2正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点 P 到直线l 的距离的取值范围是[d - r , d + r ].12. 在正三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，AB = AA 1 = 1 ，点 P 满足 BP = λ BC + μ BB 1 ，其中λ ∈[0,1] ，μ ∈[0,1] ，则（）A. 当λ = 1 时， △AB 1P 的周长为定值B. 当 μ = 1 时，三棱锥 P - A 1BC 的体积为定值C. 当λ = 1时，有且仅有一个点 P ，使得 A P ⊥ BP21D. 当 μ = 1 时，有且仅有一个点 P ，使得 AB ⊥ 平面 AB P21 1【答案】BD【解析】【分析】对于A ，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B ，将 P 点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C ，考虑借助向量 平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数；对于D ，考虑借助向量的平移将 P 点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解 P 点的个数．【详解】易知，点 P 在矩形 BCC 1B 1 内部（含边界）．对于A ，当λ = 1 时， BP = BC + μ BB 1 =BC + μCC 1 ，即此时 P ∈ 线段CC 1 ， △AB 1P 周长不是定值，故A 错误；AP = ⎛ - 3 = - 对于B ，当 μ = 1 时，BP = λ BC + BB 1 =BB 1 + λ B 1C 1 ，故此时 P 点轨迹为线段 B 1C 1 ，而B 1C 1 //BC ，B 1C 1 // 平面 A 1BC ，则有 P 到平面 A 1BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当λ = 1时， BP = 1BC + μ BB ，取 BC ， BC 中点分别为Q ， H ，则 BP = BQ + μQH ，所221 1 1以 P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A ⎛ 3 , 0,1⎫ ，P (0, 0,μ ) ，B ⎛ 0, 1 , 0 ⎫， 1 2⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭则, 0, μ -1⎫ ， BP = ⎛ 0, - 1 , μ ⎫， μ (μ -1) = 0 ，所以 μ = 0 或 μ = 1 ．故 H ,Q 均满足，故 1 2⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ C 错误；对于D ，当 μ = 1时， BP = λ BC + 1BB ，取 BB ， CC 中点为 M , N ． BP = BM + λ M N ，所以 P 点2 211 1轨迹为线段 MN ．设 P ⎛ 0, y , 1 ⎫ ，因为 A ⎛ 3 ⎫ ⎛ ，0, 0，所以 AP = - 3 , y , 1 ⎫ ， AB ⎛ 3 1 ⎫ , , -1 ， 0 2 ⎪ 2 ⎪ 2 0 2 ⎪ 1 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 3 1 1 1⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 + y 0 - = 0 ⇒ y 0 = - ，此时 P 与N 重合，故D 正确． 4 2 2 2故选：BD ．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知函数 f ( x ) = x 3 (a ⋅ 2x - 2- x )是偶函数，则a = .【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【详解】因为 f (x ) = x 3 (a ⋅ 2x - 2-x ) ，故 f (-x ) = -x 3 (a ⋅ 2-x - 2x )，因为 f ( x ) 为偶函数，故 f (-x ) = f ( x ) ，时 x 3 (a ⋅ 2x - 2-x ) = -x 3 (a ⋅ 2-x - 2x )，整理得到(a -1)(2x +2-x )=0 ，故 a = 1 ， 故答案为：114. 已知O 为坐标原点，抛物线C ： y 2 = 2 px ( p > 0 )的焦点为 F ，P 为C 上一点，PF 与 x 轴垂直，Q 为p p 1 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP ，若 FQ = 6 ，则C 的准线方程为.【答案】 x =- 32【解析】【分析】先用坐标表示 P ，Q ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 p ，即得结果.【详解】不妨设P ( , p )∴Q (6 + 2 2uuur , 0), PQ = (6, - p ) 因为 PQ ⊥ OP ，所以 p ⨯ 6 - p 2 = 0 Q p > 0∴ p = 3∴ C 的准线方程为 x =- 32 2 故答案为： x =- 32【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键. 15. 函数 f ( x ) = 2x -1 - 2 ln x 的最小值为 .【答案】1【解析】【分析】由解析式知 f (x ) 定义域为(0, +∞) ，讨论0 < x ≤ 1 、 1< x ≤ 1、 x > 1 ，并结合导数研究的单调22性，即可求 f (x ) 最小值.【详解】由题设知： f (x ) =| 2x -1| -2 ln x 定义域为(0, +∞) ， ∴当0 < x ≤ 1时， f (x ) = 1- 2x - 2 ln x ，此时 f (x ) 单调递减；2当 1 < x ≤ 1时， f (x ) = 2x -1- 2 ln x ，有 f '(x ) = 2 - 2≤ 0 ，此时 f (x ) 单调递减；2x当 x > 1 时， f (x ) = 2x -1- 2 ln x ，有 f '(x ) = 2 - 2> 0 ，此时 f (x ) 单调递增；x又 f (x ) 在各分段的界点处连续，∴综上有： 0 < x ≤ 1时， f (x ) 单调递减， x > 1 时， f (x ) 单调递增； ∴ f (x ) ≥ f (1) = 1故答案为：1.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm ⨯12dm 的长方形纸，对折 1 次共可以得到10dm ⨯12dm ， 20dm ⨯ 6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S = 240dm 2 ，对折 2 次共可以得到5dm ⨯12dm ，10dm ⨯ 6dm ， 20dm ⨯ 3dm 三种规格的图形，它们的面积之和 S 2 = 180dm 2 ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n 次，+ 120n 2n -1( ) ( ) 2 ( )那么∑S k = dm 2.k =1【答案】(1). 5(2).720 -15(3 + n ) 2n -4【解析】【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 S n ，再根据错位相减法得结果.【详解】（1）对折 4 次可得到如下规格： 5 dm ⨯12dm ， 5 dm ⨯ 6dm ， 5dm ⨯ 3dm ， 10dm ⨯ 3dm ，4 2 220dm ⨯ 3dm ，共5 种；4（2）由题意可得S = 2 ⨯120 ， S = 3⨯ 60 ， S = 4 ⨯ 30 ， S = 5⨯15 ， ， S 120n +1 = ， 12120⨯ 2 120⨯ 3 120⨯ 43120(n +1) 4n2n -1设 S = + + +L +， 20 21 22 2n -1则 1S = 120⨯ 2 + 120 ⨯ 3 +120 n +1 + ， 22122 2n60⎛1- 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 120 (n +1) 2n -1 ⎪ 120(n +1) 两式作差得 S = 240 +120 + + + n -1 ⎪ - = 240 + ⎝ ⎭ - 1 n 2 ⎝ 2 2 2 ⎭ 2120 120(n +1)120(n + 3) 1- 22 = 360 -- = 360 -， 2n -1 2n240(n + 3) 2n15(n + 3)因此， S = 720 -= 720 -. 2n15 n + 3 故答案为： 5 ； 720 -.2n -42n -4【点睛】方法点睛：数列求和 常用方法：（1） 对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2） 对于{a n b n }结构，其中{a n } 是等差数列，{b n }是等比数列，用错位相减法求和； （3） 对于{a n + b n } 结构，利用分组求和法；（4） 对于⎧ 1 ⎫ 结构，其中{a } 是等差数列，公差为d (d ≠ 0) ，则1= 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ ，利用裂 ⎨ ⎬na a⎪ ⎩ a n a n +1 ⎭nn +1d ⎝ a n a n +1 ⎭ n n项相消法求和.四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{a } 满足a = 1 ， a= ⎧a n +1, n 为奇数, n1n +1⎨a + 2, n 为偶数. ⎩ n（1） 记b n = a 2n ，写出b 1 ， b 2 ，并求数列{b n } 的通项公式；（2） 求{a n }的前 20 项和.【答案】（1） b 1 = 2, b 2 = 5 ；（2） 300 .【解析】【分析】（1）根据题设中的递推关系可得b n +1 = b n + 3 ，从而可求{b n } 的通项.（2）根据题设中的递推关系可得{a n } 的前20 项和为S 20 可化为 S 20 = 2(b 1 + b 2 + + b 9 + b 10 ) -10 ，利用（1） 的结果可求 S 20 .【详解】（1）由题设可得b 1 = a 2 = a 1 +1 = 2, b 2 = a 4 = a 3 +1 = a 2 + 2 +1 = 5又 a 2k +2 = a 2k +1 +1， a 2k +1 = a 2k + 2 ，故 a 2k +2 = a 2k + 3 即b n +1 = b n + 3 即b n +1 - b n = 3 所以{b n }为等差数列，故b n = 2 + (n -1)⨯ 3 = 3n -1 .（2） 设{a n }的前20 项和为 S 20 ，则 S 20 = a 1 + a 2 + a 3 + + a 20 ，因为a 1 = a 2 -1, a 3 = a 4 -1,, a 19 = a 20 -1 ，所以S 20 = 2 (a 2 + a 4 + + a 18 + a 20 ) -10= 2(b + b ++ b + b) -10 = 2⨯⎛10⨯ 2 +9⨯10 ⨯ 3⎫-10 = 300 . 129102⎪ ⎝ ⎭【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有 A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分： B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分，己知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8，能正确7 回答 B 类问题的概率为 0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1） 若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； （2） 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（1）见解析；（2） B 类． 【解析】【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分 X 的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答 B 类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可． 【详解】（1）由题可知， X 的所有可能取值为0 ， 20 ，100 ．P ( X = 0) = 1- 0.8 = 0.2 ； P ( X = 20) = 0.8(1- 0.6) = 0.32 ； P ( X = 100) = 0.8⨯ 0.6 = 0.48 ． 所以 X 的分布列为（2）由（1）知， E ( X ) = 0⨯ 0.2 + 20⨯ 0.32 +100 ⨯ 0.48 = 54.4 ．若小明先回答 B 问题，记Y 为小明的累计得分，则Y 的所有可能取值为0 ， 80 ，100 ．P (Y = 0) = 1- 0.6 = 0.4 ； P (Y = 80) = 0.6 (1- 0.8) = 0.12 ； P ( X = 100) = 0.8⨯ 0.6 = 0.48 ．所以 E (Y ) = 0⨯ 0.4 + 80 ⨯ 0.12 +100 ⨯ 0.48 =57.6 ．因为54.4 < 57.6 ，所以小明应选择先回答 B 类问题．19. 记 ABC 是内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c .已知b 2 = ac ，点 D 在边 AC 上，BD sin ∠ABC = a sin C .（1） 证明： BD = b ；（2） 若 AD = 2DC ，求cos ∠ABC【答案】（1）证明见解析；（2）cos ∠ABC = . 12X 0 20100 P0.20.320.48c a c b b 【解析】【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 BD = ac ，结合已知即可证结论.b（2）由题设 BD = b , AD =2b , DC = b，应用余弦定理求cos ∠ADB 、cos ∠CDB ，又 3 32 b 4 11b 2∠ADB = π - ∠CDB ，可得2a + = ，结合已知及余弦定理即可求cos ∠ABC .a 2 3【详解】（1） 由题设， BD =a sin C ，由正弦定理知： =b sin C ，即= c ， sin ∠ABC ∴ BD =ac，又b 2 = ac ，b∴ BD = b ，得证.（2） 由题意知： BD = b , AD =2b , DC = b ， 3 3sin C sin ∠ABC sin ∠ABC b2 + 4b 2- 2 13b 2 - c 2 2+ b 2 - 2 10b 2 - a 2 ∴ cos ∠ADB = 9 = 9 ，同理cos ∠CDB = 9 = 9 ， 2b ⋅ 2b 4b 2 2b ⋅ b2b 2 3 3 3 3∵ ∠ADB = π - ∠CDB ，13b 2 - 9 c 2 a 2 = - 10b 292 211b 2∴4b 22b 2，整理得2a + c =，又b 3 = ac ，332b 4 11b 2 4 2 2 4 a 21 a2 =3 ∴ 2a + = a 2 ，整理得6a 3-11a b + 3b = 0 ，解得 b 2 = 3 或 b 22 ，a 2 + c 2 -b 24a 2由余弦定理知： cos ∠ABC == -， 2ac3 2b 2当 a 2 = 1时， cos ∠ABC = 7 > 1不合题意；当 a 2 = 3 时， cos ∠ABC = 7 b 2 36 b 2 2 12 2 ；综上，cos ∠ABC =7.12【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及∠ADB =π-∠CDB 得到a, b, c 的数量关系，结合已知条件及余弦定理求cos ∠ABC .20.如图，在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB =AD ，O 为BD 的中点.（1）证明：OA ⊥CD ；（2）若OCD 是边长为1 的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE = 2EA ，且二面角E -BC -D 的大小为45︒，求三棱锥A -BCD 的体积.【答案】(1)详见解析(2)36【解析】【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.【详解】（1）因为AB=AD,O 为BD 中点，所以AO⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD⊥平面BCD，AO ⊂平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因为CD ⊂平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD 于F, 作FM⊥BC 于M,连FM因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD所以EF⊥BD, EF⊥CD,BD ⋂CD =D ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因为FM⊥BC，FM I EF =F ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF3 17 y则∠EMF 为二面角 E-BC-D 的平面角, ∠EMF = π4 因为 BO = OD , OCD 为正三角形,所以 OCD 为直角三角形 因为 BE = 2ED ,∴ FM = 1 BF = 1 (1+ 1) = 2223 3从而EF=FM= 2∴ AO = 13Q AO ⊥ 平面BCD,所以V = 1 AO ⋅ S3 ∆BCD= 1 ⨯1⨯ 1 ⨯1⨯ = 3 3 2 6【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法. 21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F 1 (- （1） 求C 的方程；17, 0) 、 F 2( 17, 0) MF 1- MF2= 2 ，点 M 的轨迹为C .（2） 设点T 在直线 x = 1上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和 P ，Q 两点，且 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ ，2求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.【答案】（1） x 2 2- = 1( x ≥ 1) ；（2） 0 . 16【解析】【分析】（1）利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点 F 1 、 F 2 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程； （2）设点T⎛ 1 , t ⎫ ，设直线 AB 的方程为 y - t = k ⎛ x - 1 ⎫，设点 A ( x , y ) 、B (x , y ) ，联立直线 AB 与 2 ⎪ 1 2 ⎪1 12 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭曲线C 的方程，列出韦达定理，求出 TA ⋅ TB 的表达式，设直线 PQ 的斜率为k 2 ，同理可得出 TP ⋅ TQ 的表达式，由 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ 化简可得k 1 + k 2 的值. 【详解】因为 MF 1 - MF 2 = 2 < F 1F 2 = 2 ，- 2 = ( > > ) = = y 1 2 1 2 2 所以，轨迹C 是以点 F 1 、 F 2 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为 x a 2y 21 a 0, b 0 ，则2a2 ，可得 a 1 ， b =b= 4 ，所以，轨迹C 的方程为 x 2 2-= 1( x ≥ 1) ；16（2）设点T ⎛ 1 , t ⎫，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，2 ⎪ ⎝ ⎭不妨直线 AB 的方程为 y - t = k ⎛ x - 1 ⎫，即 y = k x + t - 1 k ，1 2 ⎪12 1⎝ ⎭⎧ y = k x + t - 1 k 2 联立⎪ 1 2 1 ，消去 y 并整理可得(k 2 -16) x 2 + k (2t - k ) x + ⎛ t - 1 k ⎫ +16 = 0 ，⎨ ⎪⎩16x 2 - y 2 = 16 设点 A ( x , y ) 、 B ( x , y1 1 1) ，则 x > 1 且 x > 1. 1 ⎪ ⎝ ⎭ 1 1 2 2 1 2 22⎛ 1 ⎫2k 2- 2k t t - k ⎪ +16 由韦达定理可得 x 1 + x 2 = 1 1， k 2 -16 x 1 x 2 = ⎝ 2 1 ⎭， 1 k 2 -16x + x 1(t 2 +12)(1+ k 2) 所以， TA ⋅ TB = (1+ k 2 )⋅ x - ⋅ x - = (1+ k 2 )⋅⎛ x x - 1 2 + ⎫ = 1 ，1 1 21 12 2 4 ⎪ k 2 -16 ⎝ ⎭ 1(t 2 +12)(1+ k 2 )设直线 PQ 的斜率为k 2 ，同理可得 TP ⋅ TQ =2，k 2-16(t 2 +12)(1+ k 2 ) (t 2 +12)(1+ k 2 )因为 TA ⋅ TB = TP ⋅ TQ ，即1=k 2-16k 2-162，整理可得k 2 = k 2，12即(k 1 - k 2 )(k 1 + k 2 ) = 0 ，显然k 1 - k 2 ≠ 0 ，故k 1 + k 2 = 0 . 因此，直线 AB 与直线 PQ 的斜率之和为0 .【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1） 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数 f ( x ) = x (1- ln x ) .（1） 讨论 f( x ) 的单调性；1 2 1 2 2a ⎪b ⎪ （2） 设a ， b 为两个不相等的正数，且b ln a - a ln b = a - b ，证明： 2 <1 + 1< e . a b【答案】（1） f ( x ) 的递增区间为(0,1) ，递减区间为(1, +∞) ；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设 1 = x , 1 = x ，原不等式等价于2 < x + x < e ，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者a1 b2 1 2可设 x 2 = tx 1 ，从而把 x 1 + x 2 < e 转化为(t -1)ln (t +1) - t ln t < 0 在(1, +∞) 上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为(0, +∞ ) ，又 f '(x ) = 1- ln x -1 = -ln x ， 当 x ∈(0,1)时， f '(x ) > 0 ，当 x ∈(1, +∞) 时， f '( x ) < 0 ，故 f (x ) 的递增区间为(0,1) ，递减区间为(1, +∞) . （2）因为b ln a - a ln b = a - b ，故b (ln a +1) = a (ln b +1) ，即ln a +1 = ln b +1， a b故 f ⎛ 1 ⎫ = f ⎛ 1 ⎫ ，⎝ ⎭⎝ ⎭设 1 = x , 1 = x ，由（1）可知不妨设0 < x < 1, x> 1.a1b21 2因为 x ∈(0,1)时， f (x ) = x (1- ln x ) > 0 ， x ∈(e , +∞) 时， f ( x ) = x (1- ln x ) < 0 ，故1 < x 2 < e . 先证： x 1 + x 2 > 2 ，若 x 2 ≥ 2 ， x 1 + x 2 > 2 必成立.若 x 2 < 2 ， 要证： x 1 + x 2 > 2 ，即证 x 1 > 2 - x 2 ，而0 < 2 - x 2 < 1，故即证 f (x 1 ) > f (2 - x 2 ) ，即证： f ( x 2 ) > f (2 - x 2 ) ，其中1 < x 2 < 2 . 设 g (x ) = f ( x ) - f (2 - x ),1 < x < 2 ， 则 g '(x ) = f '( x ) + f '(2 - x ) = -ln x - ln (2 - x ) = -ln ⎡⎣x (2 - x )⎤⎦ ，因为1 < x < 2 ，故0 < x (2 - x ) < 1，故-ln x (2 - x ) > 0 ，max 所以 g '(x ) > 0 ，故 g ( x ) 在(1, 2) 为增函数，所以 g ( x ) > g (1) = 0 ， 故 f (x ) > f (2 - x ) ，即 f ( x 2 ) > f (2 - x 2 ) 成立，所以 x 1 + x 2 > 2 成立，综上， x 1 + x 2 > 2 成立. 设 x 2 = tx 1 ，则t > 1，结合ln a +1 = ln b +1 ， 1 = x , 1 = x 可得： x (1- ln x ) = x (1- ln x ) ，a b a 1b 21 12 2即：1- ln x = t (1- ln t - ln x ) ，故ln x = t -1- t ln t ，1 1 1t -1要证： x 1 + x 2 < e ，即证(t +1) x 1 < e ，即证ln (t +1) + ln x 1 < 1 ，即证： ln (t +1)+ t -1- t ln t < 1 ，即证： (t -1)ln (t +1) - t ln t < 0 ，t -1令 S (t ) = (t -1)ln (t +1) - t ln t , t > 1 ，则 S '(t ) = ln (t +1) +t -1 -1- ln t = ln ⎛1+ 1 ⎫ - 2，t +1t ⎪t +1 ⎝ ⎭先证明一个不等式： ln (x +1) ≤ x . 设u (x ) = ln ( x +1) - x ，则u '( x ) = 1x +1 -1 = -x ， x +1当-1 < x < 0 时， u '(x ) > 0 ；当 x > 0 时， u '( x ) < 0 ， 故u ( x ) 在(-1, 0) 上为增函数，在(0, +∞) 上为减函数，故u ( x ) = u (0) = 0 ，故ln ( x +1) ≤ x 成立由上述不等式可得当t > 1时， ln ⎛1+1 ⎫ ≤ 1 < 2，故 S '(t ) < 0 恒成立， t ⎪t t +1 ⎝ ⎭故 S (t ) 在(1, +∞) 上为减函数，故 S (t ) < S (1) = 0 ，故(t -1)ln (t +1) - t ln t < 0 成立，即 x 1 + x 2 < e 成立.综上所述， 2 < 1 + 1< e .a b【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：A（全国新课标1卷） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2【答案】A考点：1.复数的运算；2.复数的模.（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（ ）（A ）3 （B 3 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（ ） （A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】试题分析：p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.考点：特称命题的否定（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A【解析】试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（ ）（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233）【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

2021年高考理科数学全国1卷1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图所示，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图所示，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图所示：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图所示，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图所示，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图所示，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图所示，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。

2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：在答卷前，考生务必在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。

回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.(5分) 设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A。

{2} B。

{2,3} C。

{3,4} D。

{2,3,4}2.(5分) 已知z=2-i，则|z-3i|=（）A。

6-2i B。

4-2i C。

6+2i D。

4+2i3.(5分) 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。

2 B。

4 C。

4√2 D。

2√24.(5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin(x)单调递增的区间是（）A。

(0,π/2) B。

(π/2,π) C。

(π,3π/2) D。

(3π/2,2π)5.(5分) 已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A。

13 B。

12 C。

9 D。

66.(5分) 若tanθ=-2，则cos2θ=（）A。

-3/5 B。

-4/5 C。

-24/25 D。

-7/257.(5分) 若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）XXX<a B。

ea<b C。

0<a<eb D。

0<b<ea8.(5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“两次取到的数字和为偶数”，乙表示事件“两次取到的数字都是奇数”，则P(甲∪乙)=（）A。

2/3 B。

5/9 C。

7/9 D。