理论力学(哈工大版)第十二章动量矩定理（全面版）资料第八章 动量矩定理8-1 质点系的动量矩（待强化） 一．动量矩的概念质点对点O 的动量矩：v m r v m m O ⨯=)( 质点对轴 z 的动量矩：)()(xy O z v m m v m m = 对着轴看：顺时针为负 逆时针为正质点对点O 的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系：[])( )(v m m v m m z z O = kg·ｍ2/s 。
二．质点系的动量矩 质系对点O 动量矩：i i i i i OO v m r v m mL ⨯==∑∑)(质系对轴z 动量矩：[]z Oii zz L v m m L)(==∑三．质点系的动量矩的计算c c c mv r L L ⨯+=0质点系对任意定点O 的动量矩，等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。
质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi ，或用质点相对于固结在质心上的平动参考系的相对速度vi `，所得结果是一样的。
四、刚体的动量矩 1．平动刚体C C C O O v m r v m m L ⨯==)( )(C z z v m m L =2．定轴转动刚体ωZ z J L =3．平面运动刚体C C C C C O m m L v O C L v r L +⨯=+⨯= ω⋅+=C C z z J v m m L )(平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
8-2 动量矩定理（待强化） 一．质点的动量矩定理)()]([ , )(F m v m F r v r O O m dtdm dt d =⨯=⨯ 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。
质点动量矩定理的应用：1、在质点受有心力的作用时。
2、质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理∑==)()()(e O e i O O dtd M F m L 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。
8-3 动量矩守恒质点系的动量矩守恒：当0)(=e OM 时，=O L 常矢量。
当0)(=e zM 时，=z L 常量。
8-4 刚体定轴转动微分方程（自：这里可以不用看） 一．转动惯量 1．定义：∑=2i i z r m J若刚体的质量是连续分布：⎰=dm r J mz 2单位：kg·m 22．转动惯量的计算（１）积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用） （2） 回转半径 由mJ z=ρ所定义的长度z ρ称为刚体对 z 轴的回转半径。
2z z m J ρ=（3） 平行移轴定理（同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。
）2'md J J zC z +=（4）计算转动惯量的组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。
若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。
二．刚体定轴转动微分方程)(22)( e z z e zz M dtd J M J ==ϕε或解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。
但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。
特殊情况： 若∑==0)()()(e z e z F m M ,则==ωε,0恒量，刚体作匀速转动或保持静止。
若=)(e zM 常量，则ε =常量，刚体作匀变速转动。
8-5 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程 一．质点系相对质心的动量矩定理∑==)()( )(e C e i C r C M F m dtL d （自：没什么区别） 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系。
二．刚体平面运动微分方程∑∑∑===)( , , )( e C C y C x C F m J Y ma X ma ε∑∑∑===)( , , )(e C C C C F m J Y ym X x m ϕ动量矩定理习题课 六．动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便） 1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。
2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。
3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。
注意：研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。
应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定的一致性。
第十二章 函数方程与不等式证明一. 证明不等式21111211ln )1(na aaa n a nn n n <-<+++. (a > 1, n ≥ 1) 证明: 令x a x f =)(, 在[]n n 1,11+上使用拉格朗日定理)1(1ln )111)((')11()1(111+=-+-=+-+n n aa a a n n f n f n f n n ξξ 即)1(ln 111+=-+n n a aa an nξ所以21111211ln )1(na aaa n a nn n n <-<+++. (a > 1, n ≥ 1)二. 若a0, b0, 0 < p < 1, 证明p p p b a b a +≤+)(证明: 令p p p b x b x x f --+=)()( 显然f(0) = 0. 当x0 时, 因为0 < p < 10)()('11<-+=--p p px b x p x f所以当x0时, f(x)单减, 所以f(a) ≤ f(0) = 0. 所以0)(≤--+pppb a b a 即得 pp p b a b a +≤+)(三. 设函数f(x)在[0, 1]上有连续导数, 满足0)0(1)('0=<<f x f 且. 求证⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210)()(dx x f dx x f 证明: 令⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx dt t f dt t f x F 0320)()()(, 显然F(0) = 0. 因为0)0(1)('0=<<f x f 且,所以当x > 0时f(x) > 0. )()()(2)('30x f dt t f x f x F x-=⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰)()(2)(20x f dt t f x f x(1)令)()(2)(20x f dt t f x x-=Φ⎰, 显然Φ(0) = 0.0))('1)((2)(')(2)(2)('>-=-=Φx f x f x f x f x f x 所以当x > 0时,(x) > 0. 由(1)知0)('>x F (x > 0). 当x > 0时F(x)F(0) = 0.所以F(1)F(0) = 0. 立即得到⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡103210)()(dx x f dx x f四. 求证 p p p p b a b a |)||(|2||||1+≤+-, (0 < p < 1). 求证: 先证当0x1, 0 < p < 1时, 有1)1(21≥-+≥-p p p x x 令p p x x x F )1()(-+=11)1()('----=p p x p px x F . =)('x F 0得 21=x . 1)0()1(2)21(1===-F F F p ，.所以为最小值为最大值，1)0()1(2)21(1===-F F F p. 所以当0x 1, 0 < p < 1时, 有 1)1(21≥-+≥-p p px x2令||||||b a a x +=, 则||||||1b a b x +=-. 代入上述结论, 立即得到1|)||(||||)||(|||21≥+++≥-pp p p pb a b b a a 即 p ppppb a b a b a |)||(|2|||||)||(|1+≤+≤+-, (0 < p < 1).五. 求证: 若x + y + z = 6, 则12222≥++z y x , (x 0, y 0, z 0).证明：方法1:xz yz xy z y x 222)(2222++≥++)(236222)(2222222z y x xz yz xy z y x z y x ++-≥---++=++所以 36)(3222≥++z y x , 12222≥++z y x 方法2:解以下条件极值问题:⎩⎨⎧=++++=6),,(222z y x z y x z y x s 条件：令F(x, y, z, λ) = x 2 + y 2 + z 2－λ(x + y + z －6)02'=-=λx F x , 02'=-=λy F y , 02'=-=λz F z解得 x = y = z = 2. 只有一个驻点, 当x = y = z = 2时达到最小值12. 所以 12222≥++z y x , (x 0, y0, z0)六. 证明: 1. 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上0)(''>x f ，则 2)()()()()()(b f a f a b dx x f a f a b ba+-<<-⎰2. 若f(x)在[a, b]上是增加的，且在其上0)(''<x f ，则 2)()()()()()(b f a f a b dx x f b f a b ba+->>-⎰证明：1. 方法1: 因为f(x)是增加的, 所以对于[a, b]中的一切x, 有f(x) > f(a), 所以 ))(()(a b a f dx x f ba->⎰令2)()()()()(x f a f a x dt t f x F xa+--=⎰ 2)(')(2)()(2)(')(2)()()()('x f a x a f x f x f a x x f a f x f x F ---=--+-=a x x f a x f ---=(2)('2))(('ξ) ()x a <<ξ =0)](')(')[(21<--x f f a x ξ(因为0)(''>x f )所以F(x)单减. 又因为F(a) = 0, 所以F(b) < F(a) = 0. 立即可得2)()()()(b f a f a b dx x f ba+-<⎰方法2: 将f(x)台劳展开t, x, 2)(!2)(''))((')()(x t f x t x f x f t f -+-+=ξ 所以 21)(!2)(''))((')()(x a f x a x f x f a f -+-+=ξ 22)(!2)(''))((')()(x b f x b x f x f b f -+-+=ξ 2221)(!2)('')(!2)('')('2))((')(2)()(x b f x a f x xf b a x f x f b f a f -+-+-++=+ξξ上式二边积分得 ⎰⎰++=-+babadx x f b a dx x f a b a f b f )(')()(2)))(()((dx x b f x a f dx x xf b a ba⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-2221)(!2)('')(!2)('')('2ξξ所以⎰⎰+--++>-+baba dx x f abx xf a f b f b a dx x f a b a f b f )(2)(2))()()(()(2)))(()(()(2)(2)()()()()(4a af b bf a bf b bf a af b af dx x f ba +--+-+=⎰))()()(()(4b f a f a b dx x f ba+--=⎰于是 ⎰>+-badx x f a f b f a b )(4))()()((2即⎰>+-b a dx x f a f b f ab )())()((22. 证法同1.注: 无论方法1、 2, 右边的不等式都不需要f(x)单增的条件.七. 证明:1. nx x x nx x x nn 2222121+++<+++ ;2.nn n x x x nx x x 2121>+++证明. 有如下结论:1)()()(0)(''111=>⇒⇒>∑∑∑===ni i n i i i n i i i p x p f x f p x f x f ，其中为凹函数 （1）1)()()(0)(''111=<⇒⇒>∑∑∑===ni i ni i i ni i i p x p f x f p x f x f ，其中为凸函数 (2 )1. 令n i np x f x x f i ,,2,1,1,02)('',)(2==>== 由(1 ) ,)1(12112∑∑==>ni i ni i x n x n 所以 nx x x n x x x nn 2222121+++<+++2. 令n i np x x f x x f i ,,2,1,1,01)('',ln )(2==<-== 由(2 ) n x x x x x x x nx n n n n ni i ni i +++<<∑∑== 212111ln ln ,)1ln(ln 1即所以 nn n x x x nx x x 2121>+++.八. 若)('x f 在[0, 2]上连续, 且)('x f ≥ 0,n(正整数)有nf f nxdx x f )]0()2([2sin )(20-≤⎰ππ证明:⎰π20sin )(nxdx x f =⎰-π20cos )(1nx d x f n=⎰+--ππ20cos )('1))0()2((1nxdx x f n f f n所以 )]0()2([2)('1)0()2(sin )(2020f f ndx x f n n f f nxdx x f -=+-≤⎰⎰ππππ九. 设在[a, b]上0)(''>x f , a < x 1 < x 2 < b, 0 < < 1, 试证:])1([)()1()(2121x x f x f x f αααα-+>-+证明: )('))(1()())1((112221ξαααf x x x f x x f --=--+ (1) )(')())1(()(212212ξαααf x x x x f x f -=-+- (2) (1)×－(2)×(1－)得到)](')(')[)(1()()1()())1((21122121ξξααααααf f x x x f x f x x f ---+-+=-+ )()1()()](')(')[)(1())1((21121221x f x f f f x x x x f ααξξαααα-+=---+-+ )()1()()(''))(1())1((211221x f x f f x x x x f ααξαααα-+=--+-+因为0)(''<ξf , 所以质点对点O 的动量矩与对轴二.质点系的动量矩质系对点O 动量矩:质系对轴z 动量矩:O L =L 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点[(v m m O 2一.质点的动量矩定理两边叉乘矢径而(r v m r dt d =⨯质点对任一固定点的动量矩对时间的导数,等于作用在质点上的力对同一点之矩。
