1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kT hvv v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThcekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x ex=--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=kT hcv v e hccd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．3 氦原子的动能是kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数K=1.3806505×10^-23 J/K ），求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。
解 根据eVK k 3101-=⋅，1 eV = 1.60217653(14)×10-19 J知本题的氦原子的动能为,105.123233eV K k kT E -⨯=⋅==显然远远小于2c 核μ这样，便有Ec hc 22核μλ=nmmm37.01037.0105.1107.321024.19396=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=---这里，利用了eV eV c 962107.3109314⨯=⨯⨯=核μ最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT ，这样，其相庆的德布罗意波长就为Tkc hc Ec hc 2222μμλ==据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有2c hv E e μ==此外，还有λhcpc E ==于是，有2chce μλ=⇒2chce μλ=nmm m 31266104.2104.21051.01024.1---⨯=⨯=⨯⨯=尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。
能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
2.1证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )(m 2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i**Et iEt i**Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： i k ri k rerer-==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇s i n r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik rr r ik r r m i r e rr ere r r e r m i m i J ikrikrikrikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψr J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
r mrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m 2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikxe x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为 12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。
其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dxdm ψψψ=+-在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx dm x ψψψ=+-<①Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx dm a x ψψ=-≤≤②Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dxdm a x ψψψ=+->③由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为0)(2)(22222=+x mE dxx d ψψ令222mE k=，得0)()(22222=+x k dxx d ψψ其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤)()(32a a ψψ=⑥⑤ 0=⇒B ⑥0sin =⇒ka A),3 ,2 ,1( 0s i n 0 ==⇒=∴≠n n ka ka A π∴x an A x πψsin )(2=由归一化条件1)(2=⎰∞dx x ψ 得 1s i n22=⎰ax d x an Aπ由mnaba xdx an x am δππ⎰=*2sinsinxan ax aA πψs i n2)(22=∴=⇒222mE k=),3,2,1( 22222==⇒n n maE n π可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=-a x a x a x xe an a t x t E in n , ,0 0 ,sin 2),( πψ # 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是aA 1='证：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+'=a x a x a x a n A n,0 ),(sin πψ（2.6-14） 由归一化，得aA a x an n aA a A dxa x a n A xA dx a x an A dxa x an A dx aaaaaaaaaan222222222)(sin 2)(cos 22)](cos 1[21)(sin 1'=+⋅'-'=+'-'=+-'=+'==-----∞⎰⎰⎰⎰πππππψ∴归一化常数aA 1=' #2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：222122)(x xex ααπαψ-⋅=22222322211224)()(xxex ex x x ααπαπααψω--⋅=⋅⋅==22]22[2 )(3231xex x dxx d ααπαω--=令0 )(1=dxx d ω，得±∞=±==x x x 10α由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。
显然不是最大几率的位置。
2222)]251[(4)]22(2)62[(2 )(44223322223212xxex x ex x x x dxx d ααααπααααπαω----=---=而0142)(321212<-=±=edx x d x παω可见μωα±=±=1x 是所求几率最大的位置。
#2.7 一粒子在一维势阱中⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=a xax U x U ,0 ,0)(0运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。
解法一：粒子所满足的S-方程为 )()()()(2222x E x x U x dxdψψψμ=+-按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx d21101222ψψψμ=+-a x <<∞- ①Ⅱ：)()(222222x E x dxdψψμ=-a x a ≤≤- ②Ⅲ：)x (E )x (U )x (dxd23303222ψψψμ=+-∞<<x a ③整理后，得Ⅰ： 0)(21201=--''ψμψE U ④Ⅱ：. 0E 2222=+''ψμψ⑤Ⅲ：0)(23203=--''ψμψE U ⑥令 22220212 )(2E k E U k μμ=-=则Ⅰ： 01211=-''ψψk ⑦ Ⅱ：. 02222=-''ψψk ⑧Ⅲ：01213=-''ψψk ⑨ 各方程的解为xk xk 3222xk xk 11111FeEex k cos D x k sin C BeAe-+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，有 0)(0 )(31=⇒∞=⇒-∞E A 有限有限ψψ因此xk 3x k 111FeBe -==ψψ由波函数的连续性，有)13( Fe k a k sin D k a k cos C k ),a ()a ()12( Fea k cos D a k sin C ),a ()a ()11( a k sin D k a k cos C k Be k ),a ()a ()10( a k cos D a k sin C Be),a ()a (a k 1222232ak 22322222ak 12122ak 211111-----=-⇒'='=+⇒=+=⇒-'=-'+-=⇒-=-ψψψψψψψψ整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得F ek aD k sin k aC k cos k 00F eaD k cos aC k sin 000D a k sin k aC k cos k B ek 00aD k cos aC k sin B eak 12222ak 222222ak 122ak 1111=+-+=-++=+--=+-+----解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须0Bek ak sin k ak cos k 0ea k cos a k sin 00a k sin k a k cos k ek 0a k cos a k sin eak 12222ak 222222ak 122a k 1111=--------]a k 2c o s k k 2a k 2s i n )k k [(e]a k 2sin k a k 2sin k a k 2cos k k 2[e ]a k sinek a k cos a k sin e k a k cos ek a k cos a k sin ek [ek ]a k cos a k sin ek a k sine k k a k cos a k sin e k a k cos ek k [eek ak sin k ak cos k e a k cos a k sin 0a k cos ak sin ek ek ak sin k ak cos k e a k cos a k sin 0a k sin k ak cos k e022122122ak 2221222221a k 222ak 222ak 122a k 222ak 1ak 122ak 2222a k 2122ak 2222a k 21ak ak 12222a k 2222ak 1ak 12222a k 222222ak 111111111111111111--=-+-=-+++--++++-==---------=------------------∵ 012≠-ak e∴02cos 22sin )(22122122=--a k k k a k k k即 022)(2122122=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。
