2016_2017学年高中数学几何变换与矩阵2.3.1_2矩阵乘法的概念矩阵乘法的简单性质学案

矩阵之间的乘法引言矩阵是线性代数中常见的数学工具，而矩阵乘法是矩阵运算中最基础且重要的操作之一。

本文将深入探讨矩阵之间的乘法，包括定义、性质、计算方法以及应用。

什么是矩阵乘法矩阵乘法指的是将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的操作。

如果矩阵A是一个m行n列的矩阵，矩阵B是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积AB是一个m行p列的矩阵。

矩阵乘法的性质矩阵乘法具有以下性质：1.结合律：对于任意的矩阵A、B和C，满足(A B)C = A(B C)；2.分配律：对于任意的矩阵A、B和C，满足(A+B)C = A C + B*C；3.零乘性质：对于任意的矩阵A和0矩阵，满足A0 = 0A = 0。

这些性质使得矩阵乘法在计算中更加灵活和方便。

矩阵乘法的交换律与幂等性矩阵乘法不满足交换律，即对于任意的矩阵A和B，通常情况下A B ≠ B A。

这是因为矩阵乘法涉及到行乘以列的运算，行和列的顺序不同会导致结果不同。

另一方面，矩阵乘法满足幂等性，即一个矩阵与自身相乘等于自身，即A*A = A。

矩阵乘法的计算方法矩阵乘法的计算方法可以通过“行乘以列”的方式来实现。

具体步骤如下：1.确定乘法的两个矩阵A和B；2.确定A矩阵的行数m、列数n，以及B矩阵的行数n、列数p；3.创建一个新的矩阵C，其行数为m，列数为p；4.对于C矩阵的每个元素C[i][j]，使用如下方法计算：–对于每个i = 1, 2, …, m，j = 1, 2, …, p，计算C[i][j]的值：•将A矩阵的第i行与B矩阵的第j列对应元素相乘并求和，得到C[i][j]的值。

通过这种方式，可以将矩阵乘法转化为简单的数学运算，实现高效的矩阵相乘。

矩阵乘法的应用矩阵乘法在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。

以下是一些矩阵乘法的应用示例：线性变换矩阵乘法可以表示线性变换。

在三维空间中，矩阵乘法可以用来表示旋转、缩放和投影等操作。

矩阵乘法提供了一种便捷的方式来描述和计算复杂的几何变换。

高三矩阵乘法与变换知识点高三数学是一个重要的学习阶段，矩阵乘法与变换是其中一个重要的知识点。

学好矩阵乘法与变换，不仅可以帮助我们更好地理解数学，还可以在实际生活中应用到各个领域。

本文将重点介绍高三矩阵乘法与变换的相关知识点。

一、矩阵的定义与基本运算1. 矩阵的定义：矩阵是由m行n列数按一定顺序排列成的矩形数表。

常用类型有行向量、列向量、行矩阵和列矩阵等。

2. 矩阵的相等与相加：矩阵相等的条件为对应元素相等；矩阵相加即对应元素相加。

3. 矩阵的数乘：即将矩阵中的每个元素与一个实数相乘。

4. 矩阵的乘法：矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。

二、矩阵的乘法1. 矩阵乘法的定义：若A是一个m行n列的矩阵，B是一个n 行p列的矩阵，则称A与B的乘积为一个m行p列的矩阵记作AB。

2. 矩阵乘法的性质：矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律；矩阵乘法的分配律；若矩阵C与D可相乘，则(CD)T = DTCT。

三、矩阵的应用1. 线性方程组与矩阵：通过矩阵的乘法可以将线性方程组的求解问题转化为矩阵的运算问题。

通过行初等变换和列初等变换，可以求解矩阵的逆、行列式等。

2. 几何变换与矩阵：矩阵可以表示平移、旋转、缩放等几何变换。

通过矩阵乘法可以实现多个几何变换的复合。

四、矩阵变换的坐标表示1. 平移变换的矩阵表示：平移变换的矩阵表示为：[1 0 tx][0 1 ty][0 0 1]其中，tx和ty分别表示水平和垂直方向的平移距离。

2. 旋转变换的矩阵表示：旋转变换的矩阵表示为：[cosθ -sinθ][sinθ cosθ ]其中，θ表示旋转的角度。

3. 缩放变换的矩阵表示：缩放变换的矩阵表示为：[sx 0][0 sy]其中，sx和sy分别表示水平和垂直方向的缩放比例。

五、矩阵乘法与变换的综合应用矩阵乘法与变换在计算机图形学、信号处理、物理仿真等领域有着广泛的应用。

通过矩阵乘法可以实现复杂的图形变换，如三维物体的旋转、平移和缩放等。

高等数学矩阵矩阵是高等数学中的重要概念之一，它在代数学、线性代数以及其他数学领域中起着重要作用。

矩阵由行和列组成，其中每个元素都可以是数字、符号或者是其他矩阵。

在本文中，我们将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及一些常见的矩阵类型。

一、矩阵的基本概念矩阵是由m行n列的元素所组成的矩形阵列。

其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

我们用大写字母来表示矩阵，比如A、B 等。

矩阵中的每个元素用小写字母加上下标来表示，比如a11表示矩阵A中第一行第一列的元素。

二、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法：对应位置的元素相加，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。

2. 矩阵的减法：对应位置的元素相减，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。

3. 矩阵的乘法：矩阵乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。

矩阵相乘的结果为一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

4. 矩阵的数乘：将矩阵的每个元素与一个数相乘，结果为一个新的矩阵，其行列数与原矩阵相同。

三、常见的矩阵类型1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记作O。

2. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵，记作I。

3. 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。

4. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵。

5. 上三角矩阵：主对角线及其以下的元素都不为0的矩阵。

6. 下三角矩阵：主对角线及其以上的元素都不为0的矩阵。

四、矩阵的应用领域1. 线性代数：矩阵在线性代数中起着至关重要的作用，它可以用来表示线性方程组、向量空间以及线性变换等概念。

2. 统计学：矩阵在统计学中用于处理大量的数据，如多元线性回归、主成分分析等。

3. 物理学：矩阵在物理学中用于描述物体的状态、运动以及相互作用等。

4. 电脑图形学：矩阵在电脑图形学中用于表示图像的变换、旋转、缩放等操作。

总结：矩阵作为高等数学中的重要概念，其应用广泛且不可忽视。

我们在学习和应用矩阵时，需要掌握矩阵的基本概念和运算规则，了解常见的矩阵类型，并将其运用于各个领域中。

2.1.1 矩阵的概念教学目标1．了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题．2．了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示．教学重点、难点矩阵的概念教学过程：一、问题情境情境1：已知向量，O(0,0),P(1,3)．因此把，如果把的坐标排成一列，可简记为．情境2：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，初赛复赛甲80 90乙60 85并简记为．情境3：将方程组中未知数的系数按原来的次序排列，并简记为．二、建构数学（一）矩阵的概念1．矩阵:我们把形如，，这样的矩形数字阵列称为矩阵．用大写黑体拉丁字母A,B,……或者(a ij)来表示矩阵，其中i,j分别表示元素a ij所在的行与列．2．矩阵的行同一横排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行．3．矩阵的列同一竖排中按原来顺序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的列．4．矩阵的元素组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素C BAy x0-121321（二）矩阵的分类（按照行与列来分）记为2×1矩阵，记为2×2矩阵（二阶矩阵），记为2×3矩阵．（三）几个特殊矩阵1．零矩阵：所有元素都为零的矩阵叫做零矩阵．2．行矩阵：把像这样只有一行的矩阵称为行矩阵．3．列矩阵：把像这样只有一列的矩阵称为列矩阵．注：一般用希腊字母α，β，γ，来表示行、列矩阵．（四）矩阵的相等对于两个矩阵A ，B 只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记为A ＝B ．三、数学应用：例1 用矩阵表示下图中的ΔABC ，其中A(－1,0),B(0,2),C(2,0)．解：因为ΔABC 由点A ，B ，C 唯一确定，点A ，B ，C 可以分别由列向量来表示，所以ΔABC 可表示为变题1：如果像例1中那样用矩阵表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？等腰梯形（数形结合）变题2：已知是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b 的值．例 2 某种水果的产地为,销地为，请用矩阵表示产地运到销地水果数量，其中（见书本第4页）．例3 已知A＝，B＝，若A＝B，试求x,y,z．分析：抓住相等的条件即可例4 设矩阵A为二阶矩阵，且规定其元素，求矩阵A．四、课堂精练1．在平面直角坐标系内，分别画出矩阵所表示的以坐标原点为起点的向量．2．由矩阵表示平面中的图形的面积为．3．已知,，若A=B，求a，b，c，d．．4．设矩阵A为二阶矩阵，其元素满足，，试求矩阵A．五、回顾小结1．矩阵的相关概念及表示方法．2．矩阵相等的条件．C六、课后作业1．已知A(3,1),B(5,2)，则表示的列向量为2．某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S，黄灯3S，红灯20S，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用2矩阵表示该路口的时间设置为3．设矩阵A为矩阵，且规定其元素，其中，那么A中所有元素之和为 384．已知，则 -2。

矩阵高考知识点讲解高考数学中的矩阵是一个重要的概念，它在线性代数和几何学等领域中有着广泛的应用。

接下来，我们将对矩阵的相关知识点进行详细的讲解，以帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

一、矩阵的定义与性质1. 矩阵的基本概念矩阵是由数值按照一定的顺序排列而成的一个矩形阵列。

矩阵的行数和列数分别称为其维数，一般用m×n表示。

2. 矩阵的运算矩阵的加法、减法和数乘运算是常见的矩阵运算。

在运算过程中，要求矩阵具有相同的维数。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指对于两个满足条件的矩阵A和B，通过一系列运算得到一个新的矩阵C。

其中，要求A的列数等于B的行数。

二、矩阵的特殊类型和相关应用1. 单位矩阵单位矩阵是一个特殊的方阵，其主对角线上的元素全为1，其余元素全为0。

单位矩阵在矩阵乘法中具有特殊的作用。

2. 零矩阵零矩阵是一个全部元素都为0的矩阵。

在矩阵加法和矩阵乘法中，零矩阵分别作为零元素和乘法的零元。

3. 可逆矩阵可逆矩阵是指具有逆矩阵的矩阵。

逆矩阵存在的条件是其行列式不为0。

通过逆矩阵运算，可以求解线性方程组。

4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。

转置矩阵的性质与原矩阵有一些联系，如转置矩阵的转置等于原矩阵。

5. 矩阵在几何学中的应用矩阵在几何学中具有广泛的应用。

通过矩阵变换，可以实现平移、旋转、缩放等几何变换操作。

三、矩阵的行列式与特征值1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量值，用于描述矩阵的性质。

行列式的值表示了矩阵所代表的线性变换对体积的影响。

2. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵的重要概念。

特征值表示了线性变换的缩放因子，特征向量表示了在该变换下保持方向不变的向量。

3. 矩阵的对角化对角化是指将矩阵通过相似变换变为对角矩阵的过程。

对角化简化了线性变换的计算，并且能够更好地理解和应用矩阵的性质。

四、矩阵的解析几何应用1. 二维坐标变换通过矩阵变换，可以实现平移、旋转和缩放等二维坐标的变换。

2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的简单性质1.熟练掌握两个矩阵的乘法法则，并能从变换的角度理解它们.2.会从几何变换的角度求MN 的乘积矩阵.3.通过具体的几何图形变换，理解矩阵乘法不满足交换律.[基础·初探]1.矩阵的乘法 一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22.2.矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵.(2)矩阵乘法的几何意义：矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换.(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1，且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n＝.3.矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A 、B 来说，尽管AB 、BA 均有意义，但可能AB ≠BA . (2)矩阵乘法满足结合律设A 、B 、C 均为二阶矩阵，则一定有(AB )C ＝A (BC ).(3)矩阵乘法不满足消去律设A 、B 、C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B ≠C .[思考·探究]1.矩阵的乘法与实数的乘法有什么异同？【提示】 (1)运算条件不同，任何两个实数均可作乘法，而两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同时，才能作乘法.(2)从运算律上看，实数的乘法满足交换律、结合律及消去律，而矩阵的乘法只满足结合律.2.矩阵的乘法与变换的复合有什么关系？简单变换与复合变换有什么关系？【提示】 矩阵的乘法对应着变换的复合，这样使得若干个简单变换可以复合成较为复杂的变换；反过来较为复杂的变换可以分解成若干个简单的变换.3.矩阵乘法MN 与NM 的几何意义一致吗？为什么？【提示】 不一致；因为前一个对应着先T N 后T M 的两次几何变换，而后者对应着先T M后T N 的两次几何变换.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：(1)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，计算AB .(2)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算AB ，BA . (3)已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1，计算A 2、B 2.【精彩点拨】 利用矩阵乘法法则计算，根据矩阵乘法的几何意义说明.【自主解答】 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×0 1×0＋0×10×0＋0×0 0×0＋0×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000.(2)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×0＋0×1 1×（－1）＋0×00×0＋2×1 0×（－1）＋2×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0×1＋（－1）×0 0×0＋（－1）×21×1＋0×0 1×0＋0×2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.(3)A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12， B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00.这些计算只需利用矩阵的乘法公式即可，但对揭示矩阵乘法的性质却有着重要的意义.(1)中尽管A 、B 均为非零矩阵，但它们的乘积却是零矩阵；(2)中AB ≠BA ；(3)中尽管B ≠C ，但有AB ＝AC ，这与一般数乘有着本质的区别；(4)中A 2＝A ，B 2＝0，这里0是一个二阶零矩阵.证明下列等式并从几何变换的角度给予解释.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 1301⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0【导学号：30650025】【解】 ∵左＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋3×0 1×0＋3×00×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000，右＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋13×0 1×0＋13×0 0×1＋1×0 0×0＋1×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0，∴左＝右.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0对应的变换将平面上的点垂直投影到x 轴，而x 轴上的点沿x 轴的切变变换是不动点.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 301，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1130 1均为沿x 轴的切变变换，自然有等式成立.1所对应的矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，变换T 2所对应的矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，计算MN 、NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度予以解释.【精彩点拨】 利用具体的几何变换验证.【自主解答】 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －121 0. 故MN ≠NM .从几何变换的角度来看，矩阵M 表示T 1为向x 轴压缩为一半的变换，矩阵N 表示T 2为逆时针旋转90°的变换.这样MN 表示矩阵ABCD 先经T 2，再经T 1的变换，变换结果如图(1)所示：而NM 表示矩形ABCD 先经T 1，再经T 2的变换，变换结果如图(2)所示.(2)从图(1)以及图(2)可知，MN 和NM 表示的不是同一个变换.一个旋转变换与一个伸压变换的乘积一般不满足交换律.但两个旋转变换、两个反射变换满足交换律.算式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示AB ＝AC ，但A ≠0且有B ≠C ，请通过计算验证这个结果，并从几何上给予解释.【导学号：30650026】【解】 左边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×20×1＋0×0 0×0＋0×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100右边＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×1＋0×0 1×0＋0×120×1＋0×0 0×0＋0×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0. ∴左边＝右边.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再往x 轴上投影.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12表示先将平面上的点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12，再往x 轴上投影.已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程.【精彩点拨】 先求出旋转90°的矩阵Q ，进而求QP ，再求曲线方程.【自主解答】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0. 设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x ′0，y ′0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝－2y 0，y ′0＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′0，y 0＝－x ′02. 又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(y ′0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ′022＝1. 故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒.若将本例中两次变换的顺序交换，则曲线的方程如何？ 【解】 绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0， 则M ＝PQ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0. 设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝－y 0，y ′0＝2x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ′02，y 0＝－x ′0.又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y ′022＋(－x ′0)2＝1.故所得曲线的方程为x 2＋y 24＝1.[真题链接赏析](教材第47页习题2.3第5题)已知△ABC ，A (0，0)，B (2，0)，C (1，2)，对它先作M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换，再作N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002对应的变换，试研究变换作用后的结果，并用一个矩阵来表示这两次变换.已知曲线C 1：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换，再作矩阵B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 10对应的变换，得到曲线C 2：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值. 【命题意图】 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.【解】 从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0.在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′.解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1方程得，y ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b x ′2＝1.即曲线C 2方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4.所以b ＝±1.1.若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 4－2 3，则AB ＝________，BA ＝________. 【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 4－2 3 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×1＋0×（－2） 1×4＋0×30×1＋2×（－2） 0×4＋2×3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 14－46，【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 14－462.若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1244，则AB ＝________，AC ＝________.【导学号：30650027】【解析】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 24 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 200 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b a ＋b a ＋b a －b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b a －b a －b a ＋b ＝__________. 【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b a ＋b a ＋b a －b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b a －b a －b a ＋b＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a －b ）（a ＋b ）＋（a ＋b ）（a －b ） （a －b ）2＋（a ＋b ）2（a ＋b ）2＋（a －b ）2 （a ＋b ）（a －b ）＋（a －b ）（a ＋b ） ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2－2b 2 2a 2＋2b 22a 2＋2b 2 2a 2－2b 2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2－2b 2 2a 2＋2b 22a 2＋2b 2 2a 2－2b 24.矩阵乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12的几何意义是________. 【解析】 几何意义是先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换. 【答案】 先施以沿y 轴方向的伸压变换，再施以原点为中心的反射变换我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(五)[学业达标]1.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，计算AB 、AC . 【解】 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0. 2.计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 13.【解】 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3k 0 1. 3.已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3，W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－3 1，试求满足MZ ＝W 的二阶矩阵Z .【导学号：30650028】【解】 设Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则MZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2cb －2d 2a ＋3c 2b ＋3d .又因为MZ ＝W ，且W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2c ＝2，b －2d ＝－1，2a ＋3c ＝－3，2b ＋3d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－17，c ＝－1，d ＝37.故Z ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 －17－1 37. 4.验证下列等式，并说明其几何意义(结合法从右到左进行).(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110.【解】 (1)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 211＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝左边.故等式成立.从几何变换上说，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1把点P (x ，y )切变到点P 1(y ，x ＋y )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101把点P 1(y ，x ＋y )切变到点P 2(x ＋2y ，x ＋y )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2把点P 2(x ＋2y ，x ＋y )垂直于x 轴伸长2倍变成点P 3(x ＋2y ，2x ＋2y )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011把点P 3(x ＋2y ，2x ＋2y )向y 轴正向切变到点P 4(x ＋2y ，3x ＋4y ).这样连续实施以上四次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234直接把点P (x ，y )变到点P 4(x ＋2y ，3x ＋4y )是一致的.(2)右边＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k1＝左边.故等式成立.从几何上看，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110把点A (x ，y )以直线y ＝x 为对称轴，反射到其点A 1(y ，x )；而⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01把点A 1(y ，x )平行于x 轴切变到点A 2(y ＋kx ，x )；矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0把点A 2(y ＋kx ，x )以直线y ＝x 为对称轴，反射到对称点A 3(x ，y ＋kx ).这样连续三次变换的结果与用矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1直接把点A (x ，y )沿y 轴切变到A 3(x ，y ＋kx )是一致的.5.试求曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1.【导学号：30650029】【解】 MW ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 0 1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1×12＋0×0 1×0＋0×10×12＋2×0 0×0＋2×1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2.设(x ′，y ′)是曲线y ＝sin x 上任意一点，变换后曲线上与之对应的点为(x ，y )，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x ′ 2y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧12x ′＝x ，2y ′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y . 所以12y ＝sin 2x ，即y ＝2sin 2x . 故曲线y ＝sin x 在矩阵MW 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x .6.求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1. 【解】 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－22， 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′ 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y 2. 代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0得xy ＝1，所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.7.已知晴天和阴天的转移矩阵A ，及表示今天天气晴、阴的概率α分别为A ＝明天晴天阴天⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 1313 23，α＝今天晴天阴天⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1878， (1)计算A 2、A 3，并分别说明A 2、A 3的实际意义；(2)请用矩阵A 与向量α表示出明天，后天与再后天的天气晴、阴的概率. 【解】 (1)A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤59 4949 59，A 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1427 13271327 1427， 它们分别表示A 2＝后天晴天,阴天)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤59 4949 59， A 3＝再后天晴天,阴天)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1427 13271327 1427. (2)明天天气晴、阴概率A α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3858； 后天天气晴、阴概率A 2α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11241324； 再后天天气晴、阴概率A 3α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35723772. [能力提升]8.设T A 是绕原点旋转且旋转60°的旋转变换，T B 是以直线x ＋y ＝0为轴的反射变换，求先进行T A 变换后进行T B 变换的复合变换对应的矩阵.【解】 若逆时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 60° －sin 60°sin 60° cos 60°＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0， 故所求矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 －12－12 32. 若顺时针方向旋转，则T A ，T B 对应的矩阵分别为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos （－60°） －sin （－60°）sin （－60°） cos （－60°）＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12， B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0，故所求矩阵为 BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 －1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－12－32. 综上所述，所求矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 －12－12 32或⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－12 －32.。

矩阵乘法几何意义矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，它在几何学中具有重要的意义。

在本文中，我们将探讨矩阵乘法在几何中的应用和意义。

首先，让我们复习一下矩阵乘法的定义。

设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB得到一个m×p的矩阵C。

矩阵C的每个元素cij是A的第i行和B的第j列的点乘积之和。

这可以用下面的公式表示：cij = a1i * b1j + a2i * b2j + ... + ani * bnj把矩阵乘法应用到几何中，可以帮助我们解释和分析几何对象在变换中的行为。

具体来说，矩阵乘法可以用来描述平移、旋转、缩放和剪切等几何变换。

首先，我们来看平移变换。

对于一个二维向量v，平移变换可以表示为v'=v+t，其中t是一个二维向量表示平移的位移。

我们可以用矩阵乘法来表示这个变换。

令A是一个2×2的单位矩阵，B是一个2×1的矩阵，分别表示平移前后的向量，那么v'=AB，其中A的每个元素都是1，B的第一列是v的坐标，第二列是t的坐标。

这样，矩阵乘法就把平移变换表示为了一种乘法运算。

接下来，我们来看旋转变换。

对于一个二维向量v，顺时针旋转θ度可以表示为v' = Rv，其中R是一个2×2的矩阵。

我们可以通过三角函数和矩阵乘法来计算旋转矩阵R。

具体来说，R的第一行是(cosθ, -sinθ)，第二行是(sinθ, cosθ)。

这样，矩阵乘法就把旋转变换表示为了一种乘法运算。

缩放变换也可以通过矩阵乘法来表示。

对于一个二维向量v，缩放变换可以表示为v'=Sv，其中S是一个2×2的矩阵。

S的对角线元素可以分别表示x轴和y轴的缩放比例。

这样，矩阵乘法就把缩放变换表示为了一种乘法运算。

最后，剪切变换也可以通过矩阵乘法来表示。

对于一个二维向量v，水平剪切可以表示为v'=Hv，其中H是一个2×2的矩阵。

2.3.1矩阵的乘法一、问题：已知△ABC，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作M＝对应的变换，再作N＝对应的变换，（1）试研究两次变换后的结果。

（2）两次变换能否用一个变换矩阵表示。

二、二阶矩阵的乘法规则及几何意义三、n次变换的表示方式——M n例1计算：①A＝，B＝②A=，B＝，C＝解：①AB== =BA===∵≠结论：矩阵乘法不满足交换律。

3、计算：① X =（）②X =（）解：①X =（）==②X =（）==可以验证结论：矩阵乘法满足结合律。

4．已知△ABC，A（0，0），B（2，0），C（1，2），对它先作关于x轴的反射的变换，再将图形绕原点顺时针旋转90o。

（1）求两次连续的变换对应的变换矩阵M；（2）求A，B，C在变换作用下所得到的结果。

5．若3=，试求x的值。

解：3====∴3x=1 ∴ x =6．A ＝，B ＝，求AB ，A 2，A 3，A n四、初等变换及初等变换矩阵2.3.2矩阵乘法的简单性质乘法的运算律：（1）交换律例1已知正方形ABCD ，A （0，0），B （1，0），C （1，1），D （0，1）变换T 1对应矩阵为M ＝，变换T 2对应矩阵为N ＝对应的变换，计算MN ，NM ，比较它们是否相同，并从几何变换的角度解释。

-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.51 1.5系列１系列２系列３-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.51 1.5系列１系列２系列３（2）结合律（AB ）C ＝A （BC ）（3）消去律例2 已知：A=，B ＝，C ＝，计算AB ，AC 。