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自动控制理论_08一、二阶系统的分析与计算

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《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)

《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。

自动控制理论(二)自考试题 (11)

自动控制理论(二)自考试题 (11)

.全国2005年1月高等教育自学考试自动控制理论(二)试题课程代码：02306一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题后的括号内。

1—5小题每小题2分，6—15小题每小题1分，共20分)1. 如果系统中加入一个微分负反馈，将使系统的超调量P σ( )。

A. 增加B. 减小C. 不变D. 不定2. 在伯德图中反映系统动态特性的是( )。

A. 低频段B. 中频段C. 高频段D. 无法反映3. 设开环系统的频率特性G(j ω)=2)j 1(1ω+，当ω=1rad/s 时，其频率特性幅值M(1)=()。

A. 1 B. 2C. 21D. 414. 若系统的状态方程为u 10X 1103X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=•，则该系统的特征根为( )。

A. s 1=3, s 2=-1B. s 1=-3, s 2=1C. s 1=3, s 2=1D. s 1=-3, s 2=-15. 开环传递函数为G(s)H(s)=)3s (s K3+,则实轴上的根轨迹为( )。

A.［-3,∞］B. ［0,∞］C. (-∞,-3］D. ［-3,0］6. 由电子线路构成的控制器如图，它是( )。

A. 超前校正装置B. 滞后校正装置C. 滞后—超前校正装置D. 以上都不是7. 进行串联滞后校正后，校正前的穿越频率ωC 与校正后的穿越频率C ω'的关系，通常是()。

A. ωC =C ω' B. ωC >C ω'C. ωC <C ω'D. ωC 与C ω'无关8. 状态转移矩阵φ(t)的重要性质有( )。

A. φ(0)=0B. φ-1(t)= -φ(t)C. φk(t)=kφ(t)D. φ(t1+t2)=φ(t1)φ(t2)9. 微分环节的频率特性相位移θ(ω)=( )。

A. 90°B. -90°C. 0°D. -180°10. 对于一阶、二阶系统来说，系统特征方程式的所有系数都是正数是系统稳定的( )。

自动控制理论08答案

自动控制理论08答案

2008年真题解析一：1：a 2: c 3:c 4:对 错 5:减小 不变 减小 减弱 解析：1 ：系统闭环特征方程为：20.20.50z z +-=二阶离散系统可以有两种方法判断稳定性：①直接求特征根，看是否在单位圆内；②利用双线性变换，再利用劳斯判据。

① 解得15jz -±=，可见其根位于单位圆内部，所以系统稳定。

注：本题给出的是闭环传递函数，系统的稳定性只跟特征方程有关系，与闭环放大倍数无关，就可以直接作出判断了。

2：当T=0.4时，系统开环传递函数1[0.2270.119]()[](0.21)(1)(0.135)sT e K K z G z Z s s s z z --+=⋅=+--特征方程为2()(0.227 1.135.)0.1190.1350D z z K z K =+-++= 对上式进行双线性变换在进行劳斯判据。

令11w z w +=-，可得w 域的特征方程要使系统稳定，则0.34601.730.23802.270.1080K K K >⎧⎪->⎨⎪->⎩解得 0<K<7.269 即 存在K >0，使得当0(0,)K K ∈时，系统稳定。

3 本题考查描述函数法稳定性的判定，及自激振荡点的判断。

判据：曲线没有被()G jw 所包围，则闭环系统是稳定的； 曲线被()G jw 所包围，则闭环系统是不稳定的； 曲线与()G jw 曲线相交，系统可能产生自激振荡。

自激振荡点的判据：1）稳定区→不稳定区：系统稳定； 2）不稳定区→稳定区：系统不稳定。

4 根轨迹是描述特征根的轨迹，根轨迹相同只能说明特征方程相同，即系统的闭环传递函数的极点相同。

零点不同则会对应不同的传递函数。

5 考查开环对数频率特性的“三频段理论”低频段：决定系统的稳态误差，低频段越高越陡则稳态误差越小； 中频段：决定系统的动态性能，中频段越宽，快速性越好；高频段：统抗高频干扰的能力，高频段越低、越陡，抗高频干扰能力越强。

自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解

自动控制理论_08一、二阶系统的与计算.详解

n t
(cosd t +

1 2
sin d t ) +
[d e
n t
( sin d t +

1 2
cosd t )]
h(t ) = ne n t cosd t +
2 n
1 2
e n t sin d t
+ n 1 2 e n t sin d t
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) = 1 e
e nt 1
2
sin( d t + )
(1)
nt
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1

自动控制_03b二阶系统计算举例.

自动控制_03b二阶系统计算举例.

解：直接利用二阶系统的阶跃响应特征值的计算公式
arctg
tr
1 2

n 1 2
1 0.62 3.14 arctg 3.14 0.93 0 . 6 0.55s 2 4 5 1 0.6
3.14 tp d n 1 2 = 4 0.785 s
p e
ts


1
2
100% = e

3.140.6 0.8
100% 9.5%
3
ts
n 4
1s
5%
n
1.33
2% 2%
注：N 1说明过渡过程只存在一次超调。振荡在一个 周期内可结束。
2 0 .8 0 .8 3.14 0.6 1 .5 1 2 1 .5 0 .8 N 0 .6 3.14 0.6

n 1
3
2
n 1.96(rad / s)
n
0.7809 ( N s 2 / cm)
f 2 n M 18( N s / cm)
五、单位速度函数作用下二阶系统的过渡过程
1 单位速度函数为 r (t ) t ，则有 R ( s ) 2 ，其对应的输出信号的 s 拉氏变换式为：
1 C ( s) 2 2 2 s 2 n s n s
2 n
1）
欠阻尼（
0 1 ）时的过渡函数
2 2 ( s n ) (2 2 1)
1 n n 由 C (s) 2 2 s s s 2 2 n s n

t 0
2 n 1
2
e
( 2 1) n t

自动控制原理实验——二阶系统的动态过程分析

自动控制原理实验——二阶系统的动态过程分析

.实验二二阶系统的动态过程分析一、实验目的1.掌握二阶控制系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术。

2.定量分析二阶系统的阻尼比和无阻尼自然频率n对系统动态性能的影响。

3.加深理解“线性系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与外作用无关”的性质。

4. 了解和学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和 Simulink 实现方法。

二、实验内容1.分析典型二阶系统 G(s) 的和n变化时，对系统的阶跃响应的影响。

2.用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图 2.1 所示，若要求系统具有性能：p% 20%, t p1s,试确定系统参数K 和，并计算单位阶跃响应的特征量t d， t r和 t s。

图 2.1 控制系统的结构图3.用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图 2.2 所示。

图中，输入信号r (t)t ，放大器增益 K A 分别取 13.5，200 和 1500。

试分别写出系统的误差响应表达式，并估算其性能指标。

.图 2.2 控制系统的结构图三、实验原理任何一个给定的线性控制系统，都可以分解为若干个典型环节的组合。

将每个典型环节的模拟电路按系统的方块图连接起来，就得到控制系统的模拟电路图。

2通常，二阶控制系统 G(s) n 2 可以分解为一个比例环节、一个22 ns n惯性环节和一个积分环节，其结构原理如图 2.3 所示，对应的模拟电路图如图 2.4 所示。

图 2.3 二阶系统的结构原理图图 2.4 二阶系统的模拟电路原理图图 2.4 中：u(t )r (t), u (t)c(t) 。

比例常数（增益系数）K R2 ，惯性时间常数 T1 R3C1，积分时间常数R1T2R4C2。

其闭环传递函数为：U c (s)KK TT21 (0.1)U r (s) T2 s(T1s 1) K 21s s KT1 TT1 2又：二阶控制系统的特性由两个参数来描述，即系统的阻尼比和无阻尼自然频率 n 。

《自动控制》一二阶典型环节阶跃响应实验分析报告

《自动控制》一二阶典型环节阶跃响应实验分析报告一、实验目的本实验旨在通过实际的一二阶典型环节阶跃响应实验，掌握自动控制理论中的基本概念和方法，并能够分析系统的动态响应特性。

二、实验原理1.一阶惯性环节：一阶惯性环节是工程实际中常见的系统模型，其传递函数为G(s)=K/(Ts+1)，其中K为传递函数的增益，T为时间常数。

2.二阶惯性环节：二阶惯性环节是另一类常见的系统模型，其传递函数为G(s)=K/((Ts+1)(αTs+1))，其中K为传递函数的增益，T为时间常数，α为阻尼系数。

3.阶跃响应：阶跃响应是指给定一个单位阶跃输入，观察系统的输出过程。

根据系统的阶数不同，其响应形式也不同。

实验仪器：电动力控制实验台，控制箱，计算机等。

三、实验步骤1.将实验台上的一阶惯性环节模型接入控制箱和计算机，并调整增益和时间常数的初始值。

2.发送一个单位阶跃信号给控制器，观察实验台上的输出响应，并记录时间和输出值。

3.根据记录的数据，绘制一阶惯性环节的阶跃响应图像。

4.类似地，将实验台上的二阶惯性环节模型接入控制箱和计算机，并调整增益、时间常数和阻尼系数的初始值。

5.发送一个单位阶跃信号给控制器，观察实验台上的输出响应，并记录时间和输出值。

6.根据记录的数据，绘制二阶惯性环节的阶跃响应图像。

四、实验结果与分析1.一阶惯性环节的阶跃响应图像如下：（在此插入阶跃响应图像）根据图像可以看出，随着时间的增加，输出逐渐趋于稳定。

根据实验数据，可以计算出一阶惯性环节的增益K和时间常数T的估计值。

2.二阶惯性环节的阶跃响应图像如下：（在此插入阶跃响应图像）根据图像可以看出，相较于一阶惯性环节，二阶惯性环节的响应特性更加复杂。

根据实验数据，可以计算出二阶惯性环节的增益K、时间常数T和阻尼系数α的估计值。

五、实验结论通过本实验，我们成功地进行了一二阶典型环节阶跃响应实验，并获得了实际的响应数据。

通过对实验数据的分析，我们得到了一阶惯性环节和二阶惯性环节的估计参数值。

二阶系统,其自然振荡频率和阻尼比公式

一、概述二阶系统是指具有两个自由度的动力系统，其特点包括自然振荡频率和阻尼比。

在工程学和科学领域中，对二阶系统的分析和控制具有重要意义。

本文将探讨二阶系统的自然振荡频率和阻尼比的相关公式，以便更好地理解和应用这些理论知识。

二、二阶系统的定义在探讨二阶系统的自然振荡频率和阻尼比之前，我们首先需要了解二阶系统的基本定义。

二阶系统是指具有两个因素或变量的动力系统，通常可以用微分方程或传递函数来描述其动态行为。

在工程学中，二阶系统的典型例子包括机械振动系统、电气电路系统等。

三、自然振荡频率的计算1. 自然振荡频率是指在没有外部干扰的情况下，系统的固有振荡频率。

对于二阶系统，其自然振荡频率可以通过以下公式进行计算：ω_n = √(k/m)其中，ω_n表示自然振荡频率，k表示系统的刚度，m表示系统的质量。

这个公式反映了系统的固有特性与其刚度和质量的关系，可以帮助工程师和科学家分析系统的振动行为。

四、阻尼比的计算2. 阻尼比是衡量系统阻尼效果的重要参数。

对于二阶系统，其阻尼比可以通过以下公式进行计算：ξ = c/(2*√(km))其中，ξ表示阻尼比，c表示系统的阻尼系数，k表示系统的刚度，m 表示系统的质量。

阻尼比反映了系统阻尼效果的强弱，对于振动系统的稳定性和响应特性具有重要影响。

五、实际应用以上介绍的自然振荡频率和阻尼比的公式，可以广泛应用于工程学和科学领域。

举例而言，在机械工程中，工程师可以利用这些公式来设计和优化振动系统，以确保系统的稳定性和性能。

在控制工程中，科学家可以利用这些公式来分析和改进控制系统的响应特性，以实现更好的控制效果。

六、结论通过上述分析，我们了解了二阶系统的自然振荡频率和阻尼比的相关公式，以及这些公式在实际应用中的重要性。

这些理论知识可以帮助工程师和科学家更好地理解和控制二阶系统的动态行为，为工程和科学领域的发展提供重要支持。

希望本文的内容能够对读者有所帮助，谢谢阅读！在工程学和科学领域中，二阶系统的自然振荡频率和阻尼比的计算与分析是非常重要的课题。

自动控制理论时域分析2-二阶系统


案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二 阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳 定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模 和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初 始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大 系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通 过判断其阻尼比和自然频 率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是 过阻尼的，输出会缓慢地趋 近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临 界阻尼的，输出会以最快的速 度趋近于零，系统也是稳定的 。
当阻尼比等于0时，系统是无 阻尼的，输出会呈现等幅振荡 的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学 模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠 阻尼的，输出会呈现振荡衰减 的趋势，系统仍然是稳定的。

自动控制原理第三章二阶系统


1. ζ >1 过阻尼
1 T
e-t/T
c(t)=1-e-t/T
r(t)=t
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应，等 于该输入信号输出响应的导数；根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。
自动控制原理第三章二阶系统
第二节 一阶系统性能分析
设例ФKk(若=s一 调 t)=s1要=阶 节000CR求系 时.1((ss:sK统 间))，=H的t=求1s+0结（反t1.11s0构0±=馈000•如/5K.系S1%HR图/s(数Ss）)，。；=试(_E如0(求.则s0果)11系://K要KKS统HkH求)的S+C1(s) 解Ф：(系s)统=t s=闭CR3((T环ss=))传=3×1递+K01H1函.000=010数0•/./0K3S.1H/=SK0k .=K1HT0.s=11S00K+.0H11/KH
有性任何着 能=二对 指S2阶应 标+GR系(的 与sS1)/=统/L关 其L+CUU的1系 参rc(/(ssL动))C数。=态L间求C=性S的出2能S+2关标R+1指C2系准Sζω标+ω形，1n。2n 式S便+ω的可n动求2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
态 得
2ζ ω n=R/L
得：
ω
2 n
=
1/LC
ω n=1/ LC
ζ=
RC 2L
一阶系统ts =单3位T 阶跃响应:
(±R5%(s))=
1 S
C(s)= tФs =(s4)•TS1
=
1 TS+1
•
1S(=±1S2%- S)+11/T
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t
常数，跟踪误差等于常数T。
二、二阶系统的数学模型
R( s )
二阶系统的微分方程一般式为：
2
n2 s( s + 2 n )
C ( s)
d c(t ) dc(t ) 2 2 + 2 + c ( t ) = n n n r (t ) (n 0) 2 dt dt
阻尼比 n 无阻尼振荡频率
（1）一阶系统的单位阶跃响应
1 r (t ) = 1(t ) R( s ) = s 1 1 输出： H ( s ) = ( s ) R( s ) = Ts + 1 s
输入：
h(t ) = 1 e = css + ctt
css = 1 ctt = e
1 1 H ( s) = s s+ 1 t T T
• 快速性
16 例 2：二阶系统的闭环传递函数为 ( s)时，调节时间 = 2 从图中看出，对于 5％误差带，当 = 0.707 s + 8s + 16 最短，即快速性最好。同时，其超调量 <5％，平稳性也 求 分别为0，0.1，0.2，…,1，2时系统的阶跃响应。 较好，故称 = 0.707 为最佳阻尼比。
s1,2 = n s jn 1
此时s1,s2 为一对共 轭复根， 且位于复 平面的左 半部。
2
⑤特征根分析— = 1（临界阻尼）
s1,2 = n n 1 = n
2
此时s1,s2为 一对相等的 负实根。
s1=s2=-n
⑥特征根分析— 1（过阻尼）
[cosd t +

1
2
sin d t ]
(2)
对(2)式求关于时间的导数，并令其=0，得：
h(t ) = ne
n t
(cosd t +

1 2
sin d t )
e
n t
( sin d t +

1
2
cosd t ) d
h(t ) = n e
10K 0 1 + 10K H = 0 .2 s +1 1 + 10K H
（2）一阶系统的单位脉冲响应 理想单位脉冲函数 r (t ) = (t ) ，则有 R(s) = 1 对于一阶系统
C ( s) 1 ( s ) = = R( s) Ts + 1
输出信号的拉氏变换式可以写成:
t 1 1 1 1 C ( s) = ( s) R( s) = c(t ) = L [ ]= e T Ts + 1 Ts + 1 T
s1,2 = n n 1
2
此时s1,s2 为两个正 实根，且 位于复平 面的正实 轴上。
③特征根分析— = 0（零阻尼）
s1,2 = n n 1 = jn
2
此时s1,s2为 一对纯虚根， 位于虚轴上。 S1,2= jn
④特征根分析— 0 1 （欠阻尼）
a L[ ate ] = 2 (s + a)
-at
h(t)= 1 e
nt
(1 + nt )
3.欠阻尼 (0 1) 二阶系统的单位阶跃响应
2 n C ( s) = 2 2 R(s) s + 2n s + n
s1,2 = n jn 1 2
= jd
t c() = 1
t T
dc(t ) dt
t =0
1 = e T

t =0
1 = T
可知一阶系统的时间常数
性能指标
1. 平稳性： 非周期、无振荡， ＝0 2. 快速性ts：
t = 3T时，c(t ) = 0.95 [对应5%误差带 ] t = 4T时，c(t ) = 0.98 [对应2%误差带 ]
d tr + = n (n = 0,1,2,)
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需 时间，所以应取n=1。
所以：
tr = d
②峰值时间 t p ：
h(t ) = 1
h(t ) t + )
(1)
nt
c(t ) = css + ctt = (t T ) + Te
T
T越小，反应越快，则跟踪误差越小，输出信号滞后输入信号的时 t t 间也越短。 e(t ) = r (t ) c(t ) = t (t T ) Te T = T (1 e T ) 当t
时，
e() = lim e(t ) = T =
2
, T1 =
1
n ( + 2 1)
C(s) 1 = R(s) (T1s + 1)(T2 s + 1)
1 e 拉氏反变换： h(t ) = 1 + T2 / T1 1
1 t T1
1 + e T1 / T2 1

1 t T2
, (t 0)
1 h(t ) = 1 + e T2 / T1 c(t) 1
3.准确性 ess：
ess = 1 c() = 0
例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时 间减小到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确 定参数 Ko 和 KH 的取值。
10K 0 K 0G ( S ) 10K 0 0 . 2 s + 1 ( s ) = = = 10K H 1 + K H G( s) 0.2s + 1 + 10K H 1+ 0.2s + 1 0.2 = T * = 0.02 K H = 0 .9 1 + 10K H 10K 0 K 0 = 10 = K * = 10 1 + 10K H
拉氏反变换得： c(t ) = 1 e
= 1
nt
[cos d t +
e
nt

1 2
(sin d t )]
1 1 2
2
nt
( 1 2 cosd t + sin d t )
= 1
1 1
e
sin(d t + )
= arctg
1 2
演示
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标
①上升时间 t r ：令 h(tr ) = 1 ，则
1
1 1
e
2
e
nt
sin(d t + ) = 1
n t r 2
1
sin(d t r + ) = 0

1 1 2
0, e
n t r
0,
第3章
时域分析法
3－2 一、二阶系统的分析与计算
一、一阶系统的数学模型及单位阶跃响应 定义：由一阶微分方程描述的系统。
T dc ( t ) dt + c (t ) = r (t )
K 1 T= K K K s G( s) = ( s ) = = K s+K s 1+ s
1 1 T = = 1 Ts + 1 s+ T
c(t ) = A0 + Ae + A2e 1
s1t s2t
式中 A0 , A 1, A 2为由r(t)和初始条件确定的待定系数
①特征根分析— 1 （负阻尼） 0
s1,2 = n jn 1
此时s1,s2为 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
2
②特征根分析— 1（负阻尼）
二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析
1.误差ess = lim[r ( t ) c( t )] = 0
t
2.响应没有振荡 ％ = 0
3.调节时间ts
2.临界阻尼
( = 1) 二阶系统的单位阶跃响应
2
n C(s) = 有重根 2 s ( s + n ) n 1 1 = + + 2 ( s + n ) s + n s n 1 1 = 2 s ( s + n ) s + n
T1 =
1
1 t T1
1 + e , (t 0) T1 / T2 一阶系统响应 1
T2 = 1

1 t T2
1
2
n ( 1)
n ( + 2 1)
二阶过阻尼系统 • 衰减项幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值 大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴 近，衰减速度慢； t 0 • 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调，但又不同于一阶系统； • 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。
1
= 0, h(t ) = 1 cosnt
1 e n t 1 2
2
0
t
1
1 1
ts t's
*欠阻尼二阶系统的动态过程分析
暂态分量组成。稳态分量值等于 1，暂态分量为 t e 衰减过程，振荡频率为 ωd。 暂态分量的振幅为： A= 2
n
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和 • • 准确性 稳定性（ ％）
1
振荡角频率为： d = n 1 2
结论：ξ越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向 nt 1 越弱，超调越小，平稳性越好。反之， ξ 越小， ωd 越大， h(t ) = 1 e sin(d t + ) 2 1 振荡越严重，平稳性越差。
从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零， 当 ξ ＝ 0 时，为零阻尼响应，具有频率为 ω 的不衰减 n 而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的 （等幅）振荡。 单位阶跃响应稳态误差为零。