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第1章 直角三角形的边角关系 专项训练一、选择题：本题共20小题.1.如图,在平面直角坐标系内有一点(3,4)P ,连接OP ,则OP 与x 轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )A.34B.43C.35D.452.在ABC △中,A ∠,B ∠都是锐角,且1sin 2A =,cos B =,则ABC △的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定3.如图,某停车场入口的栏杆AB ,从水平位置绕点O 旋转到A B '的位置,已知AO 的长为4米.若栏杆的旋转角AOA α'∠=,则栏杆A 端升高的高度为( )A.4sin α米B.4sin α米C.4cos α米D.4cos α米4.如图,ABC △的顶点在正方形网格的格点上,则tan A 的值为( )A.12 C.2 D.5.如图,在四边形ABCD 中,//AD BC ,AC AB ⊥, AD CD =,4cos 5DCA ∠=,10BC =,则AB 的长是( )A.3B.6C.8D.96.如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200 m 的P ,Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置,T 在P 的正北方向,且T 在Q 的北偏西70°方向,则河宽（PT 的长）可以表示为( )A.200tan70︒ mB.200tan70︒ mC.200sin70︒ mD.200sin 70︒m7.一人乘雪橇沿坡比为的斜坡笔直滑下,滑下的距离s （m ）与时间t （s ）之间的关系为282s t t =+,若滑到坡底的时间为5 s,则此人下降的高度为( )A.mB.45 mC.mD.90m8.公元3世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形的面积是25,则2(sin cos )θθ-=( )A.15 D.959.如图,在ABC △中,90ACB ∠=︒,点D 在AB 的延长线上,连接CD ,若2AB BD =,2tan 3BCD ∠=,则AC BC的值为( )A.1B.2C.12D.3210.如图,一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边（OC OB ⊥,点A ,B ,C ,D ,O 在同一平面内）,已知AB a =,AD b =,BCO x ∠=.则点A 到OC 的距离等于( )A.sin sin a x b x +B.cos cos a x b x +C.sin cos a x b x +D.cos sin a x b x + 11.已知α∠为锐角,且1sin 2α=,则α∠=( ) A.30° B.45° C.60° D.90°12.如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线AC 与BC 相互垂直(A ,D ,B 在同一条直线上),设CAB α∠=,则拉线BC 的长度为( )A.sin h αB.cos h αC.tan h αD.cos h α⋅13.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tan15︒时,如图,在Rt ACB △中,90C ∠=︒,30ABC ∠=︒,延长CB 使BD AB =,连接AD ,得15D ∠=︒,所以tan152AC CD ====︒类比这种方法,计算tan22.5︒的值为( )1 1 D.1214.如图,ABC △的顶点是正方形网格的格点,则cos ABC ∠的值为( )A.3B.2C.43D.315.如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为α时,梯子顶端靠在墙面上的点A 处,底端落在水平地面的点B 处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为β,已知3sin cos 5αβ==,则梯子顶端上升了( )A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米16.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图（2）所示的四边形OABC .若1AB BC ==,AOB α∠=,则2OC 的值为( )A.211sin α+B.2sin 1α+C.211cos α+D.2cos 1α+17.如图,Rt ABC △中,90BAC ∠=︒,1cos 4B =,点D 是边BC 的中点,以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ,使ADE B ∠=∠,连接CE ,则CE AD的值为( )A.32 D.218.如图,相邻两个山坡上,分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND .甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°,测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m,测得山坡DF 的坡度1:1.25i =.若58ND DE =,点C ,B ,E ,F 在同一水平线上,则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（参考数据：2 1.41≈,3 1.73≈）( )A.9.0 mB.12.8 mC.13.1 mD.22.7 m19.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,CE 是斜边AB 上的中线,过点E 作EF AB ⊥交AC 于点F .若4BC =,AEF △的面积为5,则sin CEF ∠的值为( )A.35 C.45 20.如图,AB 是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B 出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C ,再经过一段坡度（或坡比）为1:0.75i =、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ,B ,C ,D ,E ）均在同一平面内）.在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°,则建筑物AB 的高度约为（参考数据sin240.41︒≈,cos240.91︒≈,tan240.45︒=）( )A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米二、填空题：本题共10小题.21.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,90C ∠=︒,2a =,1b =,则cos A =__________,tan B =___________.22.某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB 的长为___________.23.如果三角形有一边上的中线长等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt ABC △是“好玩三角形”,且90A ∠=︒,则tan ABC ∠=___________.24.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,CD AB ⊥,垂足为点D ,如果3BC =,4AC =,那么cos BCD ∠=__________.25.如图,在正方形ABCD 中,E 是边AD 的中点.将ABE 沿直线BE 翻折,点A 落在点F 处,连接DF ,那么EDF ∠的正切值是____________.26.如图,在四边形ABCD 中,90B ∠=︒,2AB =,8CD =,AC CD ⊥.若1sin 3ACB ∠=,则tan D =______________.27.如图,在ABC 中,6AB AC ==,2sin 3B =,则ABC 的面积=___________.28.如图,ABC △的顶点B ,C 的坐标分别是(1,0),,且90ABC ∠=︒,30A ∠=︒,则顶点A 的坐标是____________________.29.如图,运载火箭从地面L 处垂直向上发射,当火箭到达A 点时,从位于地面R 处的雷达测得AR 的距离是40 km,仰角是30°,n 秒后,火箭到达B 点,此时在R 处测得仰角是45°,则火箭在这n 秒中上升的高度是____________km.30.如图,在矩形ABCD 中,BD 是对角线,AE BD ⊥,垂足为E ,连接CE .若30ADB ∠=︒,则tan DEC ∠的值为______________.三、解答题：本题共4小题.31.如图,90ACB ∠=︒,13AB =,12AC =,BCM BAC ∠=∠,求sin BAC ∠的值和点B 到直线MC 的距离.32.如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一儿童在C 处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A 处驶来.已知3m CM =,5m CO =,3m DO =,70AOD ∠=︒,汽车从A 处前行多少米,才能发现C 处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan370.75︒≈；sin700.94︒≈,cos700.34︒≈,tan70 2.75︒≈）33.小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B ,如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选取了一点D ,并在点D 处安装了测倾器DC ,测得古树的顶端A 的仰角为45°；再在BD 的延长线上确定一点G ,使5m DG =,并在点G 处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG 方向移动,当移动到点F 时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A 的像,此时,测得2m FG =,小明眼睛与地面的距离 1.6m EF =,测倾器的高0.5m CD =.已知点F ,G ,D ,B 在同一水平直线上,且EF ,CD ,AB 均垂直于FB ,求这棵古树的高AB （小平面镜的大小忽略不计）.34.如图,在直角梯形ABCD 中,//AB DC ,90DAB ∠=︒,8AB =,5CD =,BC =（1）求梯形ABCD 的面积；（2）连接BD ,求DBC ∠的正切值.答案解析1.答案：D解析：解：作PM x ⊥轴于点M ,(3,4)P ,4PM ∴=,3OM =,由勾股定理得：5OP =,4sin 5PM OP α∴==, 故选：D2.答案：B解析：ABC △中,A ∠,B ∠都是锐角,1sin 2A =,cosB =, 30A B ∴∠=∠=︒.1801803030120C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.故选B.3.答案：B解析：如图,过点A '作A C AB '⊥于点C .由题意知4A O AO '==米.sin A C A O α'=',4sin A C α'∴=米.故选B. 4.答案：A解析：如图,点D 为格点,连接BD ,设网格中每个小正方形的边长为1,则2223318CD =+=,2224220BC =+=,222112BD =+=,222CD BD BC +=,BD AC ∴⊥.又BD =,AD =,1tan 2BD A AD ∴==.故选A.5.答案：B解析：//AD BC ,DAC ACB ∴∠=∠.AD CD =,DAC DCA ∴∠=∠.ACB DCA ∴∠=∠.4cos cos 5ACB DCA ∴∠=∠=,即4105AC AC BC ==,8AC ∴=,6AB ∴=. 6.答案：B解析：在Rt PQT△中,90QPT ∠=︒,907020PQT ∠=︒-︒=︒,70PTQ ∴∠=︒.tan PQ PTQ PT ∠=,200tan 70tan 70PQ PT ∴==︒︒m,即河宽200tan70︒ m.故选B. 7.答案：B解析：设斜坡的坡角为α.当5t =时,2852590s =⨯+⨯=.斜坡的坡比为,tan α∴=.30α∴=︒. ∴此人下降的高度为19045m 2⨯=,故选B.8.答案：A解析：大正方形的面积是125,小正方形的面积是25,∴大正方形的边长为小正方形的边长为5.5θθ∴-=,cos sin θθ∴-,21(sin cos )5θθ∴-=.故选A. 9.答案：B解析：过点D 作DM BC ⊥,交CB 的延长线于点M ,如图所示.90ACB DMB ∠=∠=︒,ABC DBM ∠=∠,ABC DBM ∴△△.BD BM DM AB BC AC∴==. 2AB BD =,12BD BM DM AB BC AC ∴===. 在Rt CDM △中,2tan 3DM MCD CM ∠==, 设2DM k =,则3CM k =. 又12BM DM BC AC==, 2BC k ∴=,4AC k =.422AC k BC k∴==. 10.答案：D解析：过点A 分别作AE OC ⊥于点E ,作AF OB ⊥于点F .设AE 与BC 的交点为G .四边形ABCD 是矩形,90ABC ∴∠=︒,ABC AEC ∠=∠,AGB CGE ∠=∠,BCO EAB x ∴∠=∠=,FBA x ∴∠=,AB a =,AD b =,cos sin FO FB BO a x b x ∴=+=⋅+⋅,故选D.11.答案：A解析：1sin ,302a α=∴∠=︒,故选A. 12.答案：B解析：因为CD AB ⊥,AC BC ⊥,所以90CAB ACD ∠+∠=︒,90ACD BCD ∠+∠=︒,所以CAB BCD a ∠=∠=.在Rt BCD △中,cos BCD ∠cos h BC α==,故 cos h BC α=.故选B. 13.答案：B 解析：如图,在Rt ACB △中,90C ∠=︒,45ABC ∠=︒,延长CB 使BD AB =,连接AD ,得22.5D ∠=︒,设1AC BC ==,则AB BD =tan 22.51AC CD ∴==︒. 14.答案：B 解析：如图,过点A 作AD BC ⊥于点D .在Rt ABD △中,90ADB ∠=︒,3AD BD ==,AB ∴==cos2BD ABC AB ∴∠===. 15.答案：C解析：如图,由题意可知10AB DE ==米.在Rt ABC △中,3sin 1065AC AB α=⨯=⨯=（米）.在Rt DEC △中,3cos 1065DC DE β=⨯=⨯=（米）,8EC ∴===（米）,862AE EC AC ∴=-=-=（米）,即梯子顶端上升了2米.16.答案：A解析：在Rt AOB △中,1AB =,AOB α∠=,sin AB OB α=,1sin sin AB OB αα∴==.在Rt COB △中,由勾股定理,得222OB BC OC +=,即22211sin OC α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,2211sin OC α∴=+,故选A. 17.答案：D解析：设DE 交AC 于点T ,过点E 作EH CD ⊥于点H ,如图所示.在Rt ABC △中,点D 是边BC 的中点,AD DB DC ∴==.B DAB ∴∠=∠.B ADE ∠=∠,DAB ADE ∴∠=.//AB DE ∴.90DTC BAC ∴∠=∠=︒.//DT AB ,BD DC =,AT TC ∴=.EA EC ED ∴==.EDC ECD ∴∠=∠.EH CD ⊥,CH DH ∴=.//DE AB ,EDC B ∴∠=∠.ECD B ∴∠=∠.1cos cos 4ECH B ∴∠==. 14CH EC ∴=. 22EC EC EC AD CD CH∴===. 18.答案：C解析：由题意可知,60MCB ∠=︒,30m CB =.在Rt CBM中,tan MB MCB CB ∠=,tan 30tan 6030MB CB MCB ︒∴=⋅∠=⨯==.由题意可知,11.25DE EF =,50m EF =,40m DE ∴=.又58ND DE =,25m ND ∴=,254065(m)NE ND DE ∴=+=+=,656530 1.7313.1(m)NE MB ∴-=-≈-⨯=.因此,两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差约为13.1m.19.答案：A解析：如图,连接BF .CE 是斜边AB 上的中线,EF AB ⊥,EF ∴是AB 的垂直平分线.AF BF ∴=,5AFE BFE S S ==△△.FBA A ∴∠=∠,1102AFB S AF BC ==⋅△.4BC =,5AF BF ∴==.在Rt BCF △中,4BC =,5BF =,3CF ∴=. 由题易得12CE AE BE AB ===,A FBA ACE ∴∠=∠=∠.又90BCA BEF ︒∠==∠,90902CBF BFC A ︒︒∴∠=-∠=-∠,90902CEF BEC A ︒-∠=︒∠=-∠.CEF FBC ∴∠=∠.3sin sin 5CF CEF FBC BF ∴∠=∠==.20.答案：A解析：如图,作BM ED ⊥交直线ED 于点M ,作CN DM ⊥于点N .在Rt CDN △中,140.753CN DN ==,设4CN k =,则3DN k =. 10CD =,222(3)(4)10k k ∴+=,解得2k =（负值舍去）.8CN ∴=,6DN =.因为四边形BMNC 是矩形,8BM CN ∴==,20MN BC ==,66EM MN DN DE ∴=++=.在Rt AEM △中,8tan 2466AM AB EM +︒==,21.7AB ∴≈.故选A.21.12解析：由勾股定理得c 所以cosb Ac ===1tan 2b B a ==. 22.答案：95cos αm 解析：如图,过A 点作AD BC ⊥于点D .整个图形是轴对称图形,30.32 3.6BC ∴=+⨯=（m ）,1 1.82BD BC ∴==m. 1.89cos cos 5cos BD AB ααα∴===（m ）.23.解析：①如图,在Rt ABC △中,90A ∠=︒,CE 是ABC △的中线,设2AB EC a ==,则AE EB a ==,AC ∴=,tan AC ABC AB ∴∠==②如图,在Rt ABC △中,90A ∠=︒,BE 是ABC △的中线,设2EB AC a ==,则AE EC a ==,AB ∴=,tan AC ABC AB ∴∠==.. 24.答案：45 解析：90ACB ∠=︒,90A B ∠+∠=︒.CD AB ⊥,90BCD B ∴∠+∠=︒.BCD A ∴∠=∠.3BC =,4AC =,根据勾股定理,得5AB =.4cos cos 5AC BCD A AB ∴∠===. 25.答案：2解析：由翻折可得AE FE =,12AEB FEB AEF ∠=∠=∠.正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,1122AE DE AD AB ∴===.DE FE ∴=.EDF EFD ∴∠=∠.又AEF ∠是DEF 的外角,AEF EDF EFD ∴∠=∠+∠.12EDF AEF ∴∠=∠.AEB EDF ∴∠=∠.tan tan 2AB EDF AEB AE∴∠=∠==. 26.答案：34解析：90B ∠=,1sin 3ACB ∠=,13AB AC ∴=,2AB =,6AC ∴=,AC CD ⊥,90ACD ∴∠=,63tan 84AC ADC CD ∴∠===. 27.答案：解析：如图,过点A 作AD BC ⊥于D .在Rt ABD 中,sin AD B AB =,即236AD =,解得4AD =.BD ∴===.AB AC =,2BC BD ∴==.ABC ∴的面积11422BC AD =⋅=⨯=28.答案：解析：过点A 作AG x ⊥轴,垂足为点G ,如图所示.B ,C 的坐标分别是(1,0),,OC ∴=1OB =.2BC ∴==.90ABC =︒∠,30BAC ∠=︒,tan30BC AB ∴==︒90ABG CBO ∠︒∠+=,90BCO CBO ∠+∠=︒,ABG BCO ∴∠=∠.sin sin ABG BCO ∴∠=∠,cos cos ABG BCO ∠=∠. 12AG OB AB BC ∴==,BG OC AB BC==. AG ∴=3BG =.134OG OB BG ∴=+=+=.∴顶点A 的坐标是.29.答案：20)解析：在Rt ALR△中,30ARL ∠=︒,40AR =km,1202AL AR ∴==km,cos3040LR AR ⋅==︒=km ）.在Rt BLR △中,45BRL ∠=︒,BL LR ∴==20)AB BL AL ∴=-=km.30. 解析：本题考查矩形的性质、三角函数的定义.过点C 作CF BD ⊥,垂足为F .由题意可得,,,,ABE CDF BE DF AE CF ≅∴==设.BE x ADB =∠=30,30,2,3,BAE AB x AE CF x BD ∴∠=∴===︒︒=.4,,2x DF x EF x =∴=.tan CF DEC EF ∴∠==3322x x =.31.答案：点B 到直线MC 的距离为2513 解析：13AB =,12AC =,90ACB ∠=︒,5BC ∴==.5sin 13BC BAC AB ∴∠==. 过点B 作BD MC ⊥于点D .BCM BAC ∠=∠,sin sin BCM BAC ∴∠=∠.5sin 13BD BCM BC ∴∠==,即5513BD =. 2513BD ∴=, 即点B 到直线MC 的距离为2513. 32.答案：汽车从A 处前行6 m 才能发现C 处的儿童.解析：在Rt COM △中,4(m)OM ==. BOD COM ∠=∠,tan tan BOD COM ∴∠=∠, 34BD CM OD OM ∴==, 2.25m BD ∴=. 在Rt AOD △中,tan 3tan703 2.758.25(m)AD OD AOD =⨯∠=⨯≈⨯=︒, 8.25 2.256(m)AB AD BD ∴=-=-=.答：汽车从A 处前行6 m 才能发现C 处的儿童.33.答案：这棵古树的高AB 为18 m 解析：如图,过点C 作CH AB ⊥于点H , 则CH BD =,0.5m BH CD ==.在Rt ACH △中,45ACH ∠=︒,AH CH BD ∴==.0.5AB AH BH BD ∴=+=+.EF FB ⊥,AB FB ⊥,90EFG ABG ∴∠=∠=︒.由题意知EGF AGB ∠=∠,EFG ABG ∴△△.EF FG AB BG ∴=,即 1.620.55BD BD=++, 解得17.5m BD =.17.50.518(m)AB ∴=+=.答：这棵古树的高AB 为18 m.34.答案：（1）39（2）1tan 2DBC ∠= 解析：（1）如图,过点C 作CE AB ⊥于点E . //AB DC ,90DAB ∠=︒,90D ∴∠=︒.90A D AEC ∴∠=∠=∠=︒.∴四边形ADCE 是矩形.AD CE ∴=,5AE CD ==.853BE AB AE ∴=-=-=. 3BC =,6AD CE ∴===. ∴梯形ABCD 的面积为1(58)6392⨯+⨯=.（2）如图,过点C 作CH BD ⊥于点H . //CD AB ,CDB ABD ∴∠=∠,又90CHD A ∠=∠=︒,CDH DBA ∴△△.CH CD AD BD∴=.10BD AB ===, 5610CH ∴=, 解得3CH =.6BH ∴==. 31tan 62CH DBC BH ∴∠===.。
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》解答题专题训练（附答案）1．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据AM＝4米，AB＝8米，∠MBC＝30°，∠MAD＝45°，则警示牌的高CD为多少米？（结果精确到米，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝：2．若新坡角下留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡CD的坡度为：1．求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，≈1.73）．4．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53】5．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）6．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）7．如图，宿豫区某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高3米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有30米的距离（B、F、C在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）若要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离．（结果精确到1m）（参考数据：sin22°，cos22°≈，tan22°≈）8．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i＝1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD＝8x（m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→B）到达B地，平均速度是2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．9．缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．10．如图所示是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应当前进或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）11．一扇窗户如图1所示，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，如图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，支点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D在一条直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE ＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）当∠CAB＝35°时，求窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数．（2）当窗扇关闭时，图中点E，A，D，C，B都在滑轨MN上，求此时点A与点B之间的距离．（3）在（2）的前提下，将窗户推开至四边形ACDE为矩形时，求点A处的滑块移动的距离．12．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）13．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度i＝1：1（即DB：EB＝1：1，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）14．如图，一辆摩托单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于底面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）15．停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位不足，停车资源结构性失衡，中心城区供需差距大等等．如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，车架中立管BC的长为60cm，后轮切地面L于点D．（参考数据：sin72≈0.95，cos18°≈0.95，tan43.5°≈0.9 5）（1）求∠ACB的大小（精确到1°）（2）如果希望车座B到地面的距离B'E′为96.8cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？（结果取整数）17．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交通，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC＝5.5米，CD＝3米，EF＝0.4米，∠CDE＝162°．（1）求∠MCD的度数；（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离．（精确到百分位）（参考数据；sin72°＝0.95，cos72°≈0.31，tan72°＝3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）18．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈20．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sin l8°＝0.309，cos l8°＝0.951，tan l8°＝0.325】22．如图1是儿童写字支架示意图，由一面黑板，一面白板和一块固定支架的托盘组成，图2是它的一个左侧截面图，该支架是个轴对称图形，∠BAC是可以转动的角，B，C、D，E和F，G是支架腰上的三对对称点，是用来卡住托盘以固定支架的．已知AB＝AC＝60cm，BD＝CE＝DF＝EG＝10cm．（1）当托盘固定在BC处时，∠BAC＝32°，求托盘BC的长；（精确到0.1）（2）当托盘固定在DE处时，这是儿童看支架的最佳角度，求此时∠BAC的度数．（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，sin16°＝0.28，sin20°＝0.34，sin25°＝0.42．）23．如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书AB长20cm，台灯上半节DE长40cm，下半节DC长50cm．当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角即∠EDC＝120°，下半节DC与写字台FG的夹角即∠DCG＝75°，求BC的长．（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G在同一条直线上．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41，结果精确到0.1）24．如图，一架梯子底端放在一处斜坡上，顶端靠在墙上，已知梯子与坡面的夹角α＝75°，斜坡CD与地面的夹角β＝30°，BC＝1米，CD＝2米，求梯子顶端到地面的距离AB．25．据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．【参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25】26．如图是菏泽银座地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）27．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．参考答案1．解：在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，∴DM＝AM⋅tan45°＝4（m），在Rt△BMC中，∠MBC＝30°，∴CM＝BM⋅tan30°，∵BM＝AM+AB＝4+8＝12（m），∴CM＝12×≈6.92（m），∴CD＝CM﹣DM＝6.92﹣4≈3（米），答：警示牌的高CD为3米．2．解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10，∵坡面DC的坡度为i＝：2，∴tan∠CDB＝，在Rt△BCD中，＝，∴BD＝×10＝14.14，∵10+10﹣14.14＝5.86＞3，∴离原坡角（A点处）10米的建筑物不需要拆除．3．解：在Rt△BAE中，tan∠BAE＝，即＝2.5，解得，AE＝64.8，在Rt△DCE中，tan∠DCE＝，即＝，解得，CE＝102.08，AC＝CE﹣AE＝102.08﹣64.8≈37.3（米），答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．4．解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF＝AH＝3.5m，∠HAF＝90°，∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF＝，∴CF＝8sin28°＝8×0.47＝3.76，∴CE＝CF+EF＝3.76+3.5≈7.3（m），答：操作平台C离地面的高度为7.3m．5．解答：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×＝2，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝2，在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4，AD﹣AB＝4﹣4≈1.66．答：改善后滑板会加长1.66米．6．解：（1）过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，则∠CEP＝∠PFD＝90°，由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，tan32.3°＝，∴PE＝x•tan32.3°，同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，∴PF＝x•tan55.7°，由PF﹣PE＝EF＝CD＝42，可得x•tan55.7°﹣x•tan32.3°＝42，解得：x＝50∴楼间距AB＝50m，（2）由（1）可得：PE＝50•tan32.3°＝31.5m，∴CA＝EB＝90﹣31.5＝58.5m由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．7．解：（1）过点EE作EM⊥AB于点M，设AB＝x，在Rt△ABF中，∵∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF+FC＝x+30，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝22°，AM＝AB﹣CE＝x﹣3，，∴，解得x＝25，∴办公楼AB的高度为25m．（2）在Rt△AEM中，∵，∴＝≈59m，答：A，E之间的距离约为59m．8．解：（1）∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEF＝∠CFE＝90°，∴DE∥CF，∵DC∥AB，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝DC＝8x，∵＝＝，∴EA＝BF＝3x，∴AD＝BC＝5x，∴AB＝AE+EF+BF＝14x，∴天桥总长和马路宽度AB的比＝18x：14x＝9：7．（2）由（1）可知，AB＝14x，AD+CD+BC＝18x，由题意：＝﹣12.8，解得x＝2，∴14x＝28，答：马路宽度AB的长为28m，9．解：如图，作DH⊥水平线于H，AG⊥水平线于G，BE⊥DH于E，AC⊥DH于F．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠α＝16°，AB＝700，由sinα＝，可求BC的长．即BC＝AB•sinα＝700sin16°，在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∠β＝16°，BD＝AB＝700，由sinβ，可求DE的长．即DE＝BD•sinβ＝700sin20°，由矩形性质，可知EF＝BC＝700sin16°，FH＝AG＝126．从而，可求得DH的长．即DH＝DE+EF+FH＝700sin20°+700sin16°+126．10．解：过点F作FH⊥DK于H，过点E作EL⊥FH于L，在Rt△FGH中，cos∠FGH＝．∴GH＝GF•cos∠FGH＝100×0.17＝17，在Rt△EFL中，∠EFL＝180°﹣125°﹣10°＝45°，EF＝166﹣100＝66cm，∴EL＝≈46.5cm，DH＝DC+CG+GH＝48+15+17＝80，∴小强的头距墙：80﹣46.5＝33.5，而洗漱盆的中心距墙48÷2＝24，小强应该向前移动：33.5﹣24≈9.5（cm）．11．解：（1）∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四边形DEAC是平行四边形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠CAB＝35°．（2）由题意AB＝AC+BC＝20+30＝50（cm），（3）当四边形DEAC是矩形时，AB＝＝10（cm），∴点A处的滑块移动的距离＝（50﹣10）cm．12．解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，则∠FHE＝60°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM＝AB＝2.2392，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，∴sin60°＝＝，∴FG≈2.17（m），∴FM＝FG+GM≈4.4（米），答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．13．解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°﹣∠EAC＝50°，AB＝≈＝＝x，在Rt△EBD中，∵i＝DB：EB＝1：1，∴BD＝BE，∴CD+BC＝AE+AB，即2+x＝4+x，解得x＝12，即BC＝12，答：水坝原来的高度为12米．14．解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CH cot68°＝0.4x，由AB＝49 知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝4，∴EF＝BE sin68°＝3.72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），答：点E到地面的距离约为66.7cm．15．过点A作OB的垂线AC，垂足是C，在Rt△ACO，AO＝1.2，∠AOC＝40°∵sin40°＝，∴AE＝OA sin40°≈0.64×1.2＝0.768＜0.8，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．16．解：（1）∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l∴AD∥CF∥HE，∵AD＝33cm，CF＝33cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝33cm，∵BE＝90cm，∴BH＝57cm，在Rt△HCB中，sin∠BCH＝＝＝＝0.95，∴∠ACB＝72°．（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝67cm．故BB'＝B'C﹣BC＝67﹣60＝7（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是7cm．17．（1）如图，延长ED，AM交于点P，∵DE∥AB，MA⊥AB∴EP⊥MA，即∠MPD＝90°∵∠CDE＝162°∴∠MCD＝162°﹣90°＝72°；（2）如图，在Rt△PCD中，CD＝3米，∠MCD＝72°，∴PC＝CD•cos∠MCD＝3×cos72°≈3×0.31＝﹣0.93米∵AC＝5.5米，EF＝0.4米，∴PC+AC﹣EF＝0.93+5.5﹣0.4＝6.03米答：摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米．18．解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，由题意可得，四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，则AC＝AB＝8cm，∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，则FM＝41.76cm，∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝＝＝0.26，解得：EF＝3.9，故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．19．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝AB sin∠BAF＝2sin37°≈＝1.2．∴真空管上端B到AD的距离约为1.2米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝AB cos∠BAF＝2cos37°≈1.6，∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝0.7米，在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴＝，∴AD＝1.75米，∴BC＝DF＝AD﹣AF＝1.75﹣1.6＝0.15≈0.2∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．20．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5米，BH＝5≈8.65（米），∴DH＝15（米），在Rt△ADH中，AH＝≈＝20（米），∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．21．解：由题意可得：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠DCB＝∠CDB＝45°，∴BC＝BD＝7，在Rt△ABC中，∠BAC＝18°，BC＝7，tan∠BAC＝，∴，∴AD＝21.538﹣7＝14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91＜3，答：AD之间的距离约为14.54米，此轿车没有超速．22．解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝60cm，∴∠CAH＝∠BAC＝16°，∴Rt△ACH中，CH＝sin16°×AC，∴BC＝2CH＝2×sin16°×60≈33.6cm；（2）如图，连接DE，过A作AP⊥DE于P，∵AD＝AE＝60﹣10＝50，∴PE＝DE＝×33.6＝16.8，∠BAC＝2∠CAP，∴Rt△APE中，sin∠PAG＝＝≈0.34，又∵sin20°＝0.34，∴∠PAE＝20°，∴∠BAC＝40°．23．解：如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形．∴DM∥ON，∴∠DCN＝∠CDM＝75°，∴∠EDM＝120°﹣75°＝45°，∵DE＝40cm，∴EM＝DM＝ON＝20≈28.2（cm），在Rt△DCN中，CN＝CD•cos75°≈13（cm），∵OB＝10，∴BC＝ON﹣OB﹣CN＝28.2﹣10﹣13＝5.2（cm）．24．解：作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．则四边形DEBF是矩形．在Rt△DCF中，DF＝EB＝CD•sin30°＝1，CF＝CD•cos30°＝，∴DE＝BF＝1+，在Rt△ADE中，∠ADE＝75°﹣30°＝45°，∴AE＝DE＝1+，∴AB＝AE+EB＝2+．25．解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠EDF＝∠ABC＝14°．在Rt△EDF中，∠DFE＝90°，∵cos∠EDF＝，∴DF＝DE•cos∠EDF＝2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.47．∵限高杆顶端到桥面的距离DF为2.47米，小于客车高2.5米，∴客车不能通过限高杆．26．解：由已知有：∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°，又∵tan∠BAE＝，∴BD＝AB•tan∠BAE，又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，∴CE＝CD•cos∠BAE＝（BD﹣BC）•cos∠BAE＝（AB•tan∠BAE﹣BC）•cos∠BAE＝（10×0.4040﹣0.5）×0.9272≈3.28（m），答：CE的长度为3.28m．27．解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD＝，AC＝18、∠CAD＝30°，∴AD＝＝＝＝12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF＝x米，则BF＝AB+AF＝9+x（米），在Rt△BEF中，BE＝＝＝18+x（米），由题意知AD＝BE＝18+x（米），∵CF＝10，∴AC＝AF+CF＝10+x，由cos∠CAD＝可得＝，解得：x＝3+2，则AD＝18+（3+2）＝24+2，∴CD＝AD sin∠CAD＝（24+2）×＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+；方法二：设CD＝x，∵∠CAD＝30°，∴BE＝AD＝2CD＝2x，AC＝＝＝x，∵CF＝10，∴AF＝AC﹣CF＝x﹣10，∵AB＝9，∴BF＝AB+AF＝9+x﹣10，∵∠EBF＝45°，∴由cos∠EBF＝可得＝，解得：x＝12+，即CD＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+．答：风筝原来的高度C1D为（+）米。
1.4 解直角三角形一．选择题（共18小题）1．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．2．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC 于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2 3．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．4．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10 5．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．6．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．7．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21 8．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．3 9．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（）A．2 B．3 C．3D．2 10．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为（）A．B．C．D．11．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．12．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．4 13．（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．10 14．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 15．（2016•福州）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）16．（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2 17．（2015•牡丹江）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7 B．8 C．8或17 D．7或17 18．（2015•日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．二．填空题（共23小题）19．（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝．20．（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．21．（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tan C＝．22．（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．23．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．24．（2019•盐城）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为．25．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是．26．（2018•德阳）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC ＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的序号）．27．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝，AB ＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝．28．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD ＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为．29．（2018•无锡）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．30．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝．31．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．32．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝．33．（2017•黑龙江）△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是．34．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝．35．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．36．（2017•嘉兴）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝，…按此规律，写出tan∠BA n C ＝（用含n的代数式表示）．37．（2016•盐城）已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为．38．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P 运动一周时，点Q运动的总路程为．39．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．40．（2015•香坊区）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AD＝2，AB＝3，cos∠ABC的值为．41．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD 的长为．三．解答题（共9小题）42．（2019•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．43．（2018•赤峰）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sin B＝∴AD＝c•sin B∴S△ABC＝a•AD＝ac sin B同理：S△ABC＝ab sin CS△ABC＝bc sin A∴S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A（1）通过上述材料证明：＝＝（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）44．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．45．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．46．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．47．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1＝，sin2A2+cos2A2＝，sin2A3+cos2A3＝；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sin A＝，求cos A．48．（2017•湘潭）某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°．（≈1.4，≈1.7）（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．49．（2016•遂宁）已知：如图1，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，sin∠B＝，则AD＝c sin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝，则AD＝；所以，c sin∠B＝b sin∠C，即，，进一步即得正弦定理：（此定理适合任意锐角三角形）．参照利用正弦定理解答下题：如图2，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．50．（2016•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若CD＝3，BD＝，sin∠DBC＝，求对角线AC的长．1.4 解直角三角形参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（）A．B．C．D．解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴＝，∵BC＝AD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴AB＝BC，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝＝；故选C．2．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC 于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选D．3．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（）A．B．C．D．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，∴AC＝＝＝5．∴sin∠BAC＝＝．故选D．4．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE 上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tan A＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选B．5．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选D．6．（2019•自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝＝，∴tan∠BAD＝＝＝，故选B．7．（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝9 C．3x﹣y2＝15 D．4x﹣y2＝21解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD＝x，∴BD＝DE＝x，∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，∴AQ＝6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM＝QM＝CQ＝3，∴EM＝3y，∴DM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得x2＝（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2＝9，故选B．8．（2017•滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）A．2+B．2C．3+D．3解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，BC＝＝AC．∵BD＝BA，∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，∴tan∠DAC＝＝＝2+．故选A．9．（2016•牡丹江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于（）A．2 B．3 C．3D．2解：∵AC＝6，∠C＝45°，∴AD＝AC•sin45°＝6×＝6，∵tan∠ABC＝3，∴＝3，∴BD＝＝2，故选A．10．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cos A的值为（）A．B．C．D．解：∵△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝36°，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝72°，∴∠BEC＝∠C＝72°，∴BE＝BC，∴AE＝BE＝BC．设AE＝x，则BE＝BC＝x，EC＝4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝﹣2±2（负值舍去），∴AE＝﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE＝90°，∴cos A＝＝＝．故选C．11．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．解：如图所示：设BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，根据题意得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，则AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝；故选B．12．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．4解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cos B＝，即cos30°＝，∴BC＝8×＝4；故选D．13．（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝6，则AB＝（）A．4 B．6 C．8 D．10解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝6，∴AB＝＝＝10，故选D．14．（2016•怀化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm解：∵sin A＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，又∵AC2+BC2＝AB2，∴62+（4x）2＝（5x）2，解得x＝2或x＝﹣2（舍），则BC＝4x＝8cm，故选C．15．（2016•福州）如图，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是（）A．（sinα，sinα）B．（cosα，cosα）C．（cosα，sinα）D．（sinα，cosα）解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP＝1，∠POQ＝α，∴sinα＝，cosα＝，即PQ＝sinα，OQ＝cosα，则P的坐标为（cosα，sinα），故选C．16．（2015•南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C．则OC＝2，BC＝1，则tanα＝＝．故选C．17．（2015•牡丹江）在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（）A．7 B．8 C．8或17 D．7或17解：∵cos∠B＝，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝12，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选D．18．（2015•日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝，即＝，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE＝x，DE＝，∴AE＝，∴tan∠CAD＝＝．故选D．二．填空题（共23小题）19．（2019•鄂尔多斯）如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝或．解：①如图1中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC ＝a，∴tan∠ABC＝＝．②如图2中，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB ＝a，∴tan∠ABC＝＝．，故答案为或．20．（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得AC＝＝＝，故答案为21．（2019•舟山）如图，在△ABC中，若∠A＝45°，AC2﹣BC2＝AB2，则tan C＝．解：如图，过B作BD⊥AC于D，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝∠A＝45°，∴AD＝BD．∵∠ADB＝∠CDB＝90°，∴AB2＝AD2+DB2＝2BD2，BC2＝DC2+BD2，∴AC2﹣BC2＝（AD+DC）2﹣（DC2+BD2）＝AD2+DC2+2AD•DC﹣DC2﹣BD2＝2AD•DC＝2BD•DC，∵AC2﹣BC2＝AB2，∴2BD•DC＝×2BD2，∴DC＝BD，∴tan C＝＝＝．故答案为．22．（2019•宿迁）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC＜．解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为＜BC＜2．23．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cos C＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．24．（2019•盐城）如图，在△ABC中，BC＝+，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为2．解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D，如图所示．设AC＝x，则AB＝x．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin C＝x，CD＝AC•cos C＝x；在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝x．∴BC＝BD+CD＝x+x＝+，∴x＝2．故答案为2．25．（2019•绵阳）在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是75或25．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD＝AB•sin B＝10，BD＝AB•cos B＝10；在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，∴CD＝＝5，∴BC＝BD+CD＝15或BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝BC•AD＝75或25．故答案为75或25．26．（2018•德阳）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC ＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是①③④（填写正确结论的序号）．解：∵D是AB中点∴AD＝BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD＝CD，∠ADC＝60°＝∠ACD，CE⊥AB，∠DCE＝30°∴CD＝BD∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝故①③正确，②错误∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°∴∠ACB＝90°若AC＝2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN＝CP∵d12+d22＝MN2＝CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB∴CP＝∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④27．（2018•齐齐哈尔）四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC＝90°，tan∠ABD＝，AB ＝20，BC＝10，AD＝13，则线段CD＝17或．解：当∠ADB为锐角时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G，∵tan∠ABD＝，∴＝，设AH＝3x，则BH＝4x，由勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝202，解得，x＝4，则AH＝12，BH＝16，在Rt△AHD中，HD＝＝5，∴BD＝BH+HD＝21，∵∠ABD+∠CBD＝90°，∠BCG+∠CBD＝90°，∴∠ABD＝∠BCG，∴＝，又BC＝10，∴BG＝6，CG＝8，∴DG＝BD﹣BG＝15，∴CD＝＝17，当∠ADB为钝角时，CD′＝＝，故答案为17或．28．（2018•泰安）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tan C＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD ＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为S＝x2．解：在Rt△CDE中，tan C＝，CD＝x∴DE＝x，CE＝x，∴BE＝10﹣x，∴S△BED＝×（10﹣x）•x＝﹣x2+3x．∵DF＝BF，∴S＝S△BED＝x2，故答案为S＝x2．29．（2018•无锡）已知△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于15或10．解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝10，∴AD＝AB sin B＝5，BD＝AB cos B＝5，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，则BC＝BD+CD＝6，∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×5＝15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝5，CD＝，则BC＝BD﹣CD＝4，∴S△ABC＝•BC•AD＝×4×5＝10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．30．（2018•眉山）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD＝2．解：如图，连接BE，∵四边形BCEK是正方形，∴KF＝CF＝CK，BF＝BE，CK＝BE，BE⊥CK，∴BF＝CF，根据题意得AC∥BK，∴△ACO∽△BKO，∴KO：CO＝BK：AC＝1：3，∴KO：KF＝1：2，∴KO＝OF＝CF＝BF，在Rt△OBF中，tan∠BOF＝＝2，∵∠AOD＝∠BOF，∴tan∠AOD＝2．故答案为231．（2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是．解：∵AB2＝32+42＝25、AC2＝22+42＝20、BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，则sin∠BAC＝＝，故答案为．32．（2017•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A＝α，且tanα＝，则tan2α＝．解：连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A＝α，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB＝EA，∴∠EBA＝∠A＝α，∴∠BEC＝2α，∵tanα＝，设DE＝a，∴AD＝3a，AE＝，∴AB＝6a，∴BC＝，AC＝∴CE＝AC﹣AE＝，∴tan2α＝，故答案为．33．（2017•黑龙江）△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积是21或15．解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB＝12、∠B＝30°，∴AD＝AB＝6，BD＝AB cos B＝12×＝6，在Rt△ACD中，CD＝＝＝，∴BC＝BD+CD＝6+＝7，则S△ABC＝×BC×AD＝×7×6＝21；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD＝6、BD＝6、CD＝，则BC＝BD﹣CD＝5，∴S△ABC＝×BC×AD＝×5×6＝15，故答案为21或15．34．（2017•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝17．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝15，∴＝，解得AC＝8，根据勾股定理得，AB＝＝＝17．故答案为17．35．（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于3．解：方法一：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，则∠BO′D′＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B＝，O′D′＝，BD′＝3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE＝，∴O′E＝＝，∴tan BO′E＝，∴tan∠BOD＝3，故答案为3．方法二：连接AM、NL，在△CAH中，AC＝AH，则AM⊥CH，同理，在△MNH中，NM＝NH，则NL⊥MH，∴∠AMO＝∠NLO＝90°，∵∠AOM＝∠NOL，∴△AOM∽△NOL，∴，设图中每个小正方形的边长为a，则AM＝2a，NL＝a，∴＝2，∴，∴，∵NL＝LM，∴，∴tan∠BOD＝tan∠NOL＝＝3，故答案为3．方法三：连接AE、EF，如右图所示，则AE∥CD，∴∠F AE＝∠BOD，设每个小正方形的边长为a，则AE＝，AF＝，EF＝a，∵，∴△F AE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠F AE＝，即tan∠BOD＝3，故答案为3．36．（2017•嘉兴）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3C＝，计算tan∠BA4C＝，…按此规律，写出tan∠BA n C＝（用含n的代数式表示）．解：作CH⊥BA4于H，由勾股定理得，BA4＝＝，A4C＝，△BA4C的面积＝4﹣2﹣＝，∴××CH＝，解得，CH＝，则A4H＝＝，∴tan∠BA4C＝＝，1＝12﹣1+1，3＝22﹣2+1，7＝32﹣3+1，∴tan∠BA n C＝，故答案为；．37．（2016•盐城）已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD＝2：1，则△ABC面积的所有可能值为8或24．解：如图1所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，∴BD＝4，∵AD⊥BC，tan B＝，∴＝，∴AD＝BD＝，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×＝8；如图2所示：∵BC＝6，BD：CD＝2：1，∴BD＝12，∵AD⊥BC，tan B＝，∴＝，∴AD＝BD＝8，∴S△ABC＝BC•AD＝×6×8＝24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．38．（2016•舟山）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P 运动一周时，点Q运动的总路程为4．解：在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO＝＝，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ＝90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从B→C时，∵∠ABO＝30°∴∠BAO＝60°∴∠OQD＝90°﹣60°＝30°∴cos30°＝∴AQ＝＝2∴OQ＝2﹣1＝1则点Q运动的路程为QO＝1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′＝2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝1，∴点Q运动的总路程为+1+2﹣+1＝4故答案为439．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是．解：过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB＝t，OB＝3，又∵tanα＝＝＝，∴t＝．故答案为．40．（2015•香坊区）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AD＝2，AB＝3，cos∠ABC的值为．解：∵AD平分∠BAC，∴＝，∴设BD＝3x，CD＝2x，过AE⊥CD于E，∵AD＝AC，∴DE＝CE＝x，∴BE＝4x，∴AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，∴32﹣（4x）2＝22﹣x2，∴x＝，∴BE＝，∴cos∠ABC＝，故答案为．41．（2015•齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD＝，则CD 的长为2或2﹣或．解：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2+，②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，在R t△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD＝，∴AD＝，AB＝2，∴AC＝2，∴CD＝2﹣，③如图3，∠A为底角，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∴∠C＝120°，∴∠BCD＝60°∵BD＝1，∴CD＝；④∠C为锐角且为顶角时，如图4，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵tan∠ABD＝，∴∠ABD＝60°，∴∠A＝30°，∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，∴这种情况不存在；综上所述；CD的长为2或2﹣或，故答案为2或2﹣或．三．解答题（共9小题）42．（2019•梧州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tan B＝．（1）求AD的长；（2）求sinα的值．解：（1）∵tan B＝，可设AC＝3x，得BC＝4x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（3x）2+（4x）2＝52，解得，x＝﹣1（舍去），或x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝；（2）过点作DE⊥AB于点E，∵tan B＝，可设DE＝3y，则BE＝4y，∵BE2+DE2＝BD2，∴（3y）2+（4y）2＝12，解得，y＝﹣（舍），或y＝，∴，∴sinα＝．43．（2018•赤峰）阅读下列材料：如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sin B＝∴AD＝c•sin B∴S△ABC＝a•AD＝ac sin B同理：S△ABC＝ab sin CS△ABC＝bc sin A∴S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A（1）通过上述材料证明：＝＝（2）运用（1）中的结论解决问题：如图2，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，求AC的长度．（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A、B、C三个测量点，在B 点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，≈1.4，结果取整数）解：（1）∵ab sin C＝ac sin B，∴b sin C＝c sin B，∴＝，：同理得＝，∴＝＝；（4分）（2）由题意得∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20，∴，即，∴，∴AC＝40×0.3＝12；（8分）（3）由题意得∠ABC＝90°﹣75°＝15°，∠ACB＝90°﹣45°＝45°，∠A＝180°﹣15°﹣45°＝120°，由＝＝得＝，∴AC＝6，∴S△ABC＝AC×BC×sin∠ACB＝×6×18×0.7≈38．（12分）44．（2018•贵阳）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴＝根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．解：＝＝，理由为过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，sin B＝，即AD＝c sin B，在Rt△ADC中，sin C＝，即AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C，即＝，同理可得＝，则＝＝．45．（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．解：（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得AC＝＝；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD＝CD，BF＝CF＝，∵tan∠DBF＝＝，∴DF＝，在Rt△BFD中，根据勾股定理得BD＝＝，∴AD＝5﹣＝，则＝．46．（2018•自贡）如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝，∠B＝30°；求AC和AB的长．解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝BC＝6，BH＝＝6，在Rt△ACH中，tan A＝＝，∴AH＝8，∴AC＝＝10，∴AB＝AH+BH＝8+6．47．（2017•黔西南州）把（sinα）2记作sin2α，根据图1和图2完成下列各题．（1）sin2A1+cos2A1＝1，sin2A2+cos2A2＝1，sin2A3+cos2A3＝1；（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A+cos2A＝1；（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：（4）已知在△ABC中，∠A+∠B＝90°，且sin A＝，求cos A．解：（1）sin2A1+cos2A1＝（）2+（）2＝+＝1，sin2A2+cos2A2＝（）2+（）2＝+＝1，。
北师大版九下数学第一章直角三角形的边角关系一、选择题1. 在 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且 sin A =12，cos B =32，AC =40，则 △ABC 的面积是( )A ．800B ．8003C ．400D ．40032. 反比例函数 y =kx 的图象经过点 (tan45∘,cos60∘)，则 k 的值是 ( ) A ． 12B ．22C ．32D ．333. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，CD ⊥AB ，垂足为 D ，AB =c ，∠A =α，则 CD 长为 ( )A ． c ⋅sin 2αB ． c ⋅cos 2αC ． c ⋅sin α⋅tan αD ． c ⋅sin α⋅cos α4. 如图，矩形纸片 ABCD ，AB =4，BC =3，点 P 在 BC 边上，将 △CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处，PE ，DE 分别交 AB 于点 O ，F ，且 OP =OF ，则 cos ∠ADF 的值为 ( )A ． 1113 B ． 1315 C ． 1517 D ． 1719 5. 已知 α 为锐角，且 3tan 2α−(1+3)tan α+1=0，则 α 的度数为 ( )A ．30∘B ．45∘C ．30∘ 或 45∘D ．45∘ 或 60∘6. 如图，在正方形网格中，四边形 ABCD 为菱形，则 tan ∠BAD2等于 ( )A ． 34B ． 53C ． 35D ． 457. 一条船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，2 小时后到达海岛 B 处．灯塔 C 在海岛在海岛 A 的北偏西 42∘ 方向上，在海岛 B 的北偏西 84∘ 方向上．则海岛 B 到灯塔 C 的距离是 ( ) A ． 15 海里B ． 20 海里C ． 30 海里D ． 60 海里8. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，∠A =30∘，E 为 AB 上一点且 AE:EB =4:1，EF ⊥AC 于点 F ，连接 FB ，则 tan ∠CFB 的值等于 ( )A ．33B ．233C ．533D ． 53二、填空题9. 已知 α+β=90∘，且 sin α+cos β=3，则锐角 α= ．10. 如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．11. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，若 Rt △ABC 是“好玩三角形”，则 tan A = ．12. 如图，正方形 ABCD 的边长为 22，过点 A 作 AE ⊥AC ，AE =1，连接 BE ，则 tanE =．13. 如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15 cm，∠CBD=40∘，则点B到CD的距离为cm（参考数据：sin20∘≈0.342，cos20∘≈0.940，sin40∘≈0.643，cos40∘≈0.766．精确到0.1 cm，可用科学计算器）．14. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6 m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m和1 m，那么塔高AB=．15. 太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36∘，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90∘，则改建后南屋面边沿增加部分AD的长是．（结果精确到0.1米，参考数据：sin18∘≈0.31，cos18∘≈0.95，tan18∘≈0.32，sin36∘≈0.59，cos36∘≈0.81，tan36∘≈0.73）16. 如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30∘．n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45∘，则火箭在这n秒中上升的高度是 km．三、解答题17. 解答：(1) 计算：2cos30∘−tan45∘−(1−tan60∘)2；(2) 已知α是锐角，且sin(α+15∘)=3，求8−4cosα−(π−3.14)0+tanα+的值．218. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin(180∘−α)，cosα=−cos(180∘−α)．(1) 求sin120∘，cos120∘，sin150∘的值；(2) 若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2−mx−1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．19. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边ABCD为矩形，DE=10 m，其坡度为i1=1:3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2=1:4，求斜坡AF 的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：3≈1.732，17≈4.122）20. 如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80 cm，宽AB=48 cm，小强身高166 cm，下半身FG=100 cm，洗漱时下半身与地面成80∘（∠FGK= 80∘），身体前倾成125∘（∠EFG=125∘），脚与洗漱台距离GC=15 cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（sin80∘≈0.98，cos80∘≈0.18，2≈1.41，结果精确到0.1）(1) 此时小强头部E点与地面DK相距多少？(2) 小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？答案一、选择题1. 【答案】D【解析】如图所示，过 C 作 CD ⊥AB ，∵ 在 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且 sin A =12，cos B =32， ∴ ∠A =∠B =30∘， ∴ BC =AC ， ∴ D 为 AB 中点，在 Rt △ACD 中，AC =40， ∴ CD =12AC =20，根据勾股定理得：AD =AC 2−CD 2=203， ∴ AB =2AD =403，则 S △ABC =12AB ⋅CD =4003．2. 【答案】A3. 【答案】D4. 【答案】C【解析】由题意得：Rt △DCP ≌Rt △DEP ，所以 DC =DE =4，CP =EP ．在 △OEF 和 △OBP 中， ∠EOF =∠BOP,∠E =∠B,OF =OP,所以 △OEF ≌△OBP (AAS)，所以 OE =OB ，EF =BP ．设 EF 为 x ，则 BP =x ，DF =DE−EF =4−x ，又因为 BF =OF +OB =OP +OE =PE =PC ，PC =BC−BP =3−x ，所以，AF =AB−BF =4−(3−x )=1+x ．在 Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，也就是 (1+x )2+32=(4−x )2，解之得，x =35，所以 EF =35，DF =4−35=175．最终，在 Rt △DAF 中，cos ∠ADF =ADDF =1517．5. 【答案】C 6. 【答案】A 7. 【答案】C【解析】 ∵ 根据题意得：∠CBD =84∘，∠CAB =42∘， ∴∠C =∠CBD−∠CAB =42∘=∠CAB ， ∴BC =AB ，∵AB =15 海里/时 ×2 时 =30 海里，∴BC =30 海里，即海岛 B 到灯塔 C 的距离是 30 海里．8. 【答案】C 二、填空题9. 【答案】 60° 10. 【答案】 1sin α 11. 【答案】 32 或23312. 【答案】23【解析】延长 CA 使 AF =AE ，连接 BF ，过 B 点作 BG ⊥AC ，垂足为 G ．根据题干条件证明 △BAF ≌△BAE ，得出 ∠E =∠F ，然后在 Rt △BGF 中，求出 tan F 的值，进而求出 tan E 的值．13. 【答案】14.1【解析】如右图，作 BE ⊥CD 于点 E ． ∵BC =BD ，BE ⊥CD ， ∴∠CBE =∠DBE =20∘．在 Rt △BDE 中，cos ∠DBE =BEBD ， ∴cos20∘=BE15，∴BE ≈15×0.940=14.1( cm)．14. 【答案】24 m【解析】过点 D 作 AB 的平行线，交 AE 于点 G ，过 G 作 CD 的平行线，交 AB 于点 H ．设 EF ，MN 分别表示站在斜坡上的小明和站在平地上的小华，EP ，MO 分别表示小明和小华的影子．由 △AHG ∽△NMO 得，AHHG =NMMO ，即 AG 6=1.61， ∴AH =9.6 m ．由 △GDE ∽△FEP 得，GDDE =FEEP ，即 GD 18=1.62， ∴GD =14.4 m ，∴AB =9.6+14.4=24 m ．15. 【答案】 1.9 米16. 【答案】203−20三、解答题17. 【答案】(1) 原式=2×32−1−∣1−3∣=3−1−3+1=0.(2)∵α 为锐角，由 sin (α+15∘)=32，得 α=45∘， ∴原式=22−4×22−1+1+3=3．18. 【答案】(1) sin120∘=sin (180∘−120∘)=sin60∘=32， cos120∘=−cos (180∘−120∘)=−cos60∘=−12， sin150∘=sin (180∘−150∘)=sin30∘=12．(2) ∵ 三角形 ABC 三个内角的比为 1:1:4， ∴ 三个内角分别为 30∘，30∘，120∘．① 当 ∠A =30∘，∠B =120∘ 时，方程的两根为 12，−12，将 12 代入方程 4×−m ×12−1=0，解得m =0,经检验，−12 是方程 4x 2−1=0 的根，所以 m =0 符合题意．② 当 ∠A =120∘，∠B =30∘ 时，两根为 32，32，不符合题意．③当 ∠A =30∘，∠B =30∘时，两根为12，32，将 12 代入方程 4×−m ×12−1=0，解得m =0,经检验，32 不是方程 4x 2−1=0 的根．所以 m =0，∠A =30∘，∠B =120∘．19. 【答案】 ∵DE =10 m ，其坡度为 i 1=1:3，∴ 在 Rt △DCE 中，DE =DC 2+CE 2=2DC ，∴ 解得 DC =5，∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴AB =CD =5，∵ 斜坡 AF 的坡度为 i 2=1:4， ∴ABBF =14，∴BF =4AB =20，在 Rt △ABF 中，AF =AB 2+BF 2=517≈20.61(m)， ∴ 斜坡 AF 的长度为 20.61 米．20. 【答案】(1) 如图 1，过点 F 作 FN ⊥DK 于点 N ，过点 E 作 EM ⊥FN 于点 M ．因为 EF +FG =166 cm ，FG =100 cm ，所以 EF =66 cm ，因为 ∠FGK =80∘，所以 FN =100sin80∘≈98 cm ，又因为∠EFG=125∘，所以∠EFM=180∘−125∘−10∘=45∘，所以FM=66cos45∘=332≈46.53 cm，所以MN=FN+FM≈144.5 cm，所以他头部E点与地面DK相距约144.5 cm．(2) 如图2，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H．因为AB=48 cm，O为AB的中点，所以AO=BO=24 cm，因为EM=66sin45∘≈46.53 cm，即PH≈46.53 cm，GN=100cos80∘≈17 cm，CG=15 cm，所以OH≈24+15+17=56 cm，OP=OH−PH≈56−46.53=9.47≈9.5 cm．所以他应向前9.5 cm．。
数学随堂小练北师大版（2012）九年级下册3.9弧长及扇形的面积一、单选题1.矩形ABCD中，5AB=，12AD=，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( )A.25π2B.13πC.25πD.2522.一个扇形的弧长是10cm，面积是260cm，则此扇形的圆心角的度数是（）A.300°B.150°C.120°D.75°3.如图，在O的内接四边形ABCD中，135B∠=︒，若O的半径为4，则弧AC的长为( )A.4πB.2πC.πD.2π34.如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将ABC△绕着点A逆时针旋转得到AB C'△，则BB'的长为（）A.πB.π2C.7πD.6π5.如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 的长分别为( )A.π2,3B.π 2π3 D.4π36.如图，矩形ABCD 的边1,AB BE =平分ABC ∠交AD 于点E .若点E 是AD 的中点，以点B 为圆心，BE 长为半径画弧，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是( )A.π24-B.3π24-C.π28-D.3π28- 7.如图,AB 是O 的直径,CD 是弦，30,2BCD OA ∠==°,则阴影部分的面积是( )A.π3 B.2π3 C.π D.2π8.如图.从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形,则此扇形的面积为()A.2πm 2 2m C.2πm D.22πm9.如图,点,,A B C 在O 上,若45,2BAC OB ∠==则图中阴影部分的面积为( )A. π4-B. 2π13-C. π2-D. 2π23-二、填空题10.一个扇形的弧长是11πcm ，半径是18cm ，则此扇形的圆心角是 度。
11.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm ，则此弧所在圆的半径是 cm.12.已知扇形的圆心角为240︒,所对的弧长为16π3,则此扇形的面积是_______. 13.如图所示，在33⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O A B ,,均为格点，则扇形AOB 的面积是 。
解直角三角形能力提升1在△ABC中,∠B=30°,AC=1,BC=,AB=2,则∠A等于()A30°B45°C60°D无法确定2如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cos∠DCA=,BC=10,则AB的值是()A3 B6C8 D93如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于点E,∠EDC∶∠EDA=1∶3,且AC=10,则DE的长度是() A BC D(第2题图)(第3题图)4如图,在两面墙之间有一个底端在点A处的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在点B 处;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在点D处已知∠BAC=60°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE=3 ,点B到地面的垂直距离BC=(结果保留根号)5如图,一辆吊车的吊臂以63°的倾角倾斜于水平面,如果这辆吊车支点A距地面的高度AB 为2 ,吊臂AE=33 ,则吊臂的水平距离AC=,吊臂的最高点E到地面的高度ED的长为(结果精确到01 )(第4题图)(第5题图)6在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的边,请根据下列条件解直角三角形(1)a=5,c=5;(2)c=4,∠A=60°;(3)a=6,b=27如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1求:(1)BC的长;(2)tan∠DAE的值创新应用8(2014江苏南京中考)如图,梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上,当梯子位于AB位置时,它与地面所成的角∠ABO=60°;当梯子底端向右滑动1 (即BD=1 )到达CD位置时,它与地面所成的角∠CDO=51°18',求梯子的长(参考数据:sin 51°18'≈0780,cos 51°18'≈0625,tan 51°18'≈1248)参考答案1C∵12+()2=22,即AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,∴∠A=90°-∠B=60°2B∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∴∠BCA=∠DCA从而在Rt△ABC中,解得AB=63C由∠EDC∶∠EDA=1∶3,得∠EDC=225°,∴∠DAO=225°,∴∠DOE=45°又AC=10,∴OD=5,∴DE=OD·sin∠DOE=43 在Rt△DAE中,sin 45°=,∴AD=6 在Rt△ACB中,sin 60°=,∴BC=35150 3146解:在Rt△ABC中,∠C=90°(1)∵a=5,c=5,∴sin A=,∴∠A=45°,∴∠B=90°-∠A=45°,∴∠A=∠B=45°,∴b=a=5(2)∵∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=30°∵sin A=,c=4,∴a=c·sin A=4·sin 60°=4=6∴b==2(3)∵a=6,b=2,∴c==4∵tan A=,∴∠A=60°∵sin B=,∴∠B=30°7解:(1)∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC在Rt△ABD中,∵sin B=,AD=1,∴AB=3,∴BD==2在Rt△ADC中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1∴BC=2+1(2)∵AE是BC边上的中线,∴DE=-1=,∴tan∠DAE=8解:设梯子的长为x在Rt△ABO中,cos∠ABO=,∴OB=AB·cos∠ABO=x·cos 60°=05x()在Rt△CDO中,cos∠CDO=,∴OD=CD·cos∠CDO=x·cos 51°18'≈0625x()∵BD=OD-OB,∴0625x-05x=1,解得x=8答:梯子的长为8【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
初中数学试卷桑水出品九年级数学培优练习五一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分,每小题只有一个正确答案）1．已知关于x的方程|x-4|+a=0无实根，|x-3|+b=0有两个实根，|x-2|+c=0只有一个实根，则化简|a-b|+|b-c|-|a-c|的结果是（）A．0 B．2a C．2b D．－2b2．已知一次函数y=kx＋k＋2，则无论ｋ取何值时，它的图象一定经过的定点是（）A．(0，2) B. (－1，2) C. (1，2) D .(－1，－2)3．如图为由一些边长为1cm正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是（） cm2．A．11 B．15C．18 D．224．在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，OP与x轴正方向的夹角为α，我们规定用[ρ，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的直角坐标存在一一对应关系．例如：如点P的直角坐标为（－1，1），则其极坐标为2，135°]．若点Q的极坐标为[4，120°]，则点Q的直角坐标为（）A．（2，3 B．（－2，23 C．（32） D．（23－2）5．如果关于x的一元二次方程x2-kx+2=0中，k 是投掷骰子所得的数字1，2，3，4，5，6中的值，则该一元二次方程有两个不等实数根的概率P为（）A．23B．12C．13D．166.已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z=5，x+y-z=2，若S=2x+y-z，则S的最大值与最小值的和为（）A．5 B．6 C．7 D．87．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB=y（单位:度），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）图28．已知函数y20112012２＝x－x+与x轴的交点坐标是（ｍ，0）、(n，0)，则2220122012)(20122012)m m n n-+-+（的值为( )A．2011 B．20122 C．2011×2012 D． 20129．观察下列等式：111(1)13231111()242241111()352351111()462461111112++++++=13243546200920112010201211111+20122200920101111C1+D12201120123201020B=-⨯=-⨯=-⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯…………计算：（……）（）１A．－ ． －－１１． －－ ． －＋－1210. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；由此推测：7位的回文数总共有( )个.A．90 B．900 C．9000 D．90000二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）图3图 4 11．已知如图3，圆锥的底面圆的半径为r （r ＞0），母线长OA 为4r ，C 为母线OB 的中点，在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A 爬行到点C 的最短线路长为 ．12. 已知ab 1ac 1bc 1237a b a c b c ===+++，，，则a b c ++= ． 13. 50名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳3人和4人的两种帐篷，使帐篷恰好能容纳所有同学，则有效搭建方案共有 种.14. 设x 为实数，[x]表示不大于x 的最大整数，[][]1=3 1.3=2=02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦如，－－，，则使[|x-1|]=1成立的x 的取值范围是 ．15.如图4，已知正方形ABCD ，其边长为2，以AB 为边在正方形内作正三角形ABE ，则△ACE 的面积为 ．16．已知：实常数m 、ｎ同时满足下列两个等式：①msin cos 10n θθ+-=；②mcos sin 20n θθ-+=（其中θ为任意锐角），则ｍ、ｎ之间的关系式是 .三．解答题：（本大题共6小题，共70分）17.(本小题共8分)在学习“轴对称现象”内容时，张老师让同学们构造身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器（如图5所示）．（1）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，在答题卡的指定位置画出草图（请用尺子和圆规作图，不写过程,只须画出一种）；（2）小红也有同样的一副三角尺和一个量角器．若他们分别从自己这三件文具中随机取出一件，则可以拼成一个轴对称图案的概率是多少（请画树状图或列表计算）．18．(本小题共12分)某种产品的年产量不超过10吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用（单位：万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图6）；该产品的年销售量（单位：吨）与销售单价（单位：万元/吨）之间函数的图象是线段（如图7），若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是多少吨时，所获毛利润最大，最大利润是多少?（毛利润=销售额-费用）19. (本小题共12分)宁化一中高一数学研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线图82y 45(0)ax x a =++≠ 中，当实数a 变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a 变化时，若把抛物线2y 45ax x =++的顶点的横坐标减少1a ，纵坐标增加1a ，得到A 点的坐标；若把顶点的横坐标增加1a ，纵坐标增加1a，得到B 点的坐标，则A 、B 两点一定仍在抛物线2y 45ax x =++上． （1）请你协助探求出当实数a 变化时，抛物线2y 45ax x =++的顶点所在直线的解析式；（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；（3）在他们第二个发现的启发下，运用“特殊--一般”的思想，你能对函数2y (0)ax bx c a =++≠ 发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．20、(本小题共12分)如图8，四边形ABCD 内接于圆，AB=AD ，对角线AC 与BD 相交于点E ，点F 在AC 上，∠BFC=∠BAD=2∠DFC ．（1）判断线段CD 与线段DF 是否垂直，若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；（2）求证：BC=2CD ．21. (本小题共12分)通过观察:对任意实数a b 、 ,都有仅当=a b 时取()22220a b ab a b +-=-≥ 可知：222a b ab +≥（当且等号）．(1)和你观察得到的结论类比，当0,0a b ≥≥时，a b +≥________________(只要求填写)；(2)你探讨得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的最大值或者最小值中非常有用.请你运用上述不等式解决下列问题：① 求证：当2x >时，142x x +≥-； ② 求函数2232y 21x x =++的最小值. 22. (本小题共14分)阅读:我们知道,在数轴上=1x 表示一个点,而平面直角坐标系中, =1x 表示一条直线;我们还知道,以二元一次方程2y 10x +=－的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y 21x =+的图像,它也是一条直线,如图9.观察图9可以得出:直线=1x 与直线y 21x =+的交点P 的坐标(1,3)就是方程组 12y 10x x =+=－的解,所以这个方程组的解是 1y 3x ==.在直角坐标系中, 1x ≤表示一个平面区域,即直线=1x 以及它的左侧部分,如图10; y 21x ≤+也表示一个平面区域,即直线y 21x =+以及它的右下方的部分,如图11.根据以上信息，回答下列问题:22x y x =-=-+ 的解; (1)在直角坐标系(图12)中,用作图象的方法求出方程组220x y x y ≥-≤-+≥所围成的平面区域,并求围成区域的面积;(2)在图12中用阴影部分表示不等式组 (3)现有一直角三角形小车(其中090,3,3A AB AC ∠===)沿x 轴自左向右运动,当点A 到达何位置时,小车被阴影部分挡住的面积最大?最大面积是多少?。
