2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)(解析版).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）3．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变4．在复平面内，复数z=（a﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第三象限的充要条件是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，2]，则输出的s属于（）A．[0，1]B．[，]C．[0，]D．[1，）7．过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则△MON 的面积的最小值为（）A．2 B．2C．4 D．88．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]9．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=5，则a6+a7的最小值为（）A．32 B．10+10C．20 D．2810．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：lg25﹣2lg=．12．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是．13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g 计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为元．14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，求[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：T n=b n﹣（n∈N*）．（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与T n a n的大小，并说明理由．19．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过椭圆C的左焦点F且不与x轴重合的直线m，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，与椭圆C交于点Q，使得四边形MPNQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=xlnx﹣mx2．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若＞1对任意的x∈[，e2]恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，求证：x1x2＜（x1+x2）4．（参考数据：e=2.71828…）2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0，180°）．∴tanθ=．∴θ=60°．故选：B．2．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C3．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．4．在复平面内，复数z=（a﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第三象限的充要条件是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：a∈R，复数z=（a﹣1）+（a+1）i对应的点（a﹣1，a+1）位于第三象限的充要条件是，解得a＜﹣1．故选：D．5．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴=，则离心率e=====．故选：B6．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，2]，则输出的s属于（）A．[0，1]B．[，]C．[0，]D．[1，）【考点】程序框图．【分析】该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式，从而确定S的区间．【解答】解：执行程序框图，有输入的t∈[﹣1，2]，S=，输出S的值，由﹣1时，S=2t∈[，）；时，S=2t﹣t2=1﹣（t﹣1）2∈[0，1]，此分段函数在t∈[﹣1，2]时，输出的s属于[0，]．故选：C．7．过抛物线x2=4y的焦点任作一直线l交抛物线于M，N两点，O为坐标原点，则△MON 的面积的最小值为（）A．2 B．2C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），则S=|OF|•|x1﹣x2|，直线l方程为y=kx+1代入x2=4y得：x2﹣4kx﹣4=0，由此能求出△OAB的面积．【解答】解：抛物线焦点为（0，1），直线l方程为y=kx+1，代入x2=4y得：x2﹣4kx﹣4=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∴|x1﹣x2|=≥4，∴S=|OF|•|x1﹣x2|≥2，∴△MON的面积的最小值为2．故选：A．8．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得•=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）A（0，0），B（2，0）．∴•=（﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，∴•∈[﹣1，3]，故选：C．9．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=5，则a6+a7的最小值为（）A．32 B．10+10C．20 D．28【考点】等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞1，由于a5+a4﹣a3﹣a2=5，可得（q2﹣1）（a3+a2）=5．因此a6+a7=q4（a3+a2）==，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞1，∵a5+a4﹣a3﹣a2=5，∴（q2﹣1）（a3+a2）=5．则a6+a7=q4（a3+a2）===≥+10=20，当且仅当q2=2，即q=时取等号．故选：C．10．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由基本不等式可得g（x）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f′（x）=x﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．【解答】解：∵g（x）=x+≥2=1，（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），∴f（2）=2++c=g（2）=1，∴c=﹣1﹣，∴f（x）=x2+=x2+﹣1﹣，∴f′（x）=x﹣=，∵f（x）在x=2处有最小值，∴f′（2）=0，即b=8，故c=﹣5，故f（x）=x2+﹣5，f′（x）=，故f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，而f（1）=+8﹣5=，f（4）=8+2﹣5=5，故f（x）的最大值为5，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．计算：lg25﹣2lg=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg25﹣2lg=lg25+lg4=lg100=2．故答案为：2．12．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，所以中位数是=127．故答案为：127．13．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准被：100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g 计）0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费为 2.3元．【考点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用．【分析】根据邮资标准进行求解即可．【解答】解：邮寄一本重420g的书，其中100克付费0.7元，剩余420﹣100=320，每增加100g（不足100g按100g计）0.4元，则需要付0.4×4=1.6元，则共付费0.7+1.6=2.3元，故答案为：2.314．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是5﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u ﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，则实数k的取值范围是[﹣2，﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法；函数的图象．【分析】利用定义比较的大小，从而化简f（x）的解析式，作其图象，结合图象解得．【解答】解：∵x2﹣2x﹣（x+3）﹣1=x2﹣3x﹣4=（x﹣4）（x+1），∴f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3）=，作函数y=f（x）的图象如下，结合图象可知，当﹣1＜﹣k≤2时，函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点，故答案为：[﹣2，﹣1）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，求[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（II）由频率分布直方图求出不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．（III）所抽5人中有3人是在[40，50）年龄段，有2人是在[50，60）年龄段，由此利用列举法能求出从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，[50，60）年龄段仅1人获奖的概率．【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，∴随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…（III）由（II）知，所抽5人中有3人是在[40，50）年龄段中取得，记为A1，A2，A3；有2人是在[50，60）年龄段中取得，记为B1，B2，∴从5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者的可能有（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共10种，其中[50，60）年龄段仅1人获奖的情况有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）共6种，∴[50，60）年龄段仅1人获奖的概率为P=．…17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos（2x+），∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，∴x=或．（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．18．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：T n=b n﹣（n∈N*）．（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与T n a n的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出差数列{a n}的前n项和S n；由，能求出数列{b n}的通项公式．（2）推导出S n b n=（n2+n）•3n﹣1，T n a n=n•（3n﹣1），利用作差法能比较S n b n与T n a n的大小．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，∴，解得，∴a n=2+（n﹣1）×2=2n，S n==n2+n．…∵数列{b n}的前n项和T n满足：T n=b n﹣（n∈N*），∴，解得b1=1，又，n∈N*，﹣T n==，n∈N*，∴T n+1即，n∈N*，=3b n，即=3（常数），整理得b n+1∴数列{b n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴b n=3n﹣1．…（2）∵T n=b n﹣=，∴S n b n=（n2+n）•3n﹣1，T n a n=n•（3n﹣1），于是S n b n﹣T n a n=（n2+n）•3n﹣1﹣n•（3n﹣1）=n[3n﹣1（n﹣2）+1]，…当n=1时，S n b n﹣T n a n=0，即S n b n=T n a n；当n≥2（n∈N*）时，S n b n﹣T n a n＞0，即S n b n＞T n a n．∴综上，当n=1时，S n b n=T n a n；当n≥2（n∈N*）时，S n b n＞T n a n．…19．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m的范围；（Ⅱ）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=m代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程，进而可求圆C经过定点．【解答】解：（I）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，m）；令f（x）=x2+4x+m=0，由题意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16﹣4m＞0解得：m＜4且m≠0；（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得：x2+Dx+F=0这与x2+4x+m=0=是同一个方程，故D=4，F=m；令x=0得：y2+Ey+F=0，此方程有一个根为m，代入得出E=﹣m﹣1，∴圆C的方程为x2+y2+4x﹣（m+1）y+m=0．∴x2+y2+4x﹣y+（﹣y+1）m=0∴，∴或，∴圆C经过定点（0，1）和（﹣4，1）．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过椭圆C的左焦点F且不与x轴重合的直线m，与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，与椭圆C交于点Q，使得四边形MPNQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，短轴的一个端点到焦点的距离为，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）假设存在直线m，依题意可设为x=ky﹣1，与椭圆联立，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、椭圆性质能求出m的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F（c，0），则由题意有e==，=，即a=，c=1，b=1，∴椭圆C的方程为．…（Ⅱ）假设存在直线m，依题意可设为x=ky﹣1，于是，消去x，可得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，令M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），于是y 1+y 2=，x 1+x 2=k （y 1+y 2）﹣2=﹣，…∴MN 的中点A 的坐标为（﹣，）．∵PQ ⊥l ，∴直线PQ 的方程为y ﹣=﹣k （x +），令y=0，解得x=﹣，即P （﹣，0）． …∵P 、Q 关于A 点对称，设Q （x 0，y 0），∴﹣=（ x 0﹣），=（ y 0+0），解得x 0=﹣，y 0=，即Q （﹣，）．…∵点Q 在椭圆上，∴（﹣）2+2（）2=2，解得k 2=，于是，即，∴m 的方程为y=x +或y=﹣x ﹣． …21．已知函数f （x ）=xlnx ﹣mx 2．（Ⅰ）当m=0时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若＞1对任意的x ∈[，e 2]恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若x 1，x 2∈（，1），x 1+x 2＜1，求证：x 1x 2＜（x 1+x 2）4．（参考数据：e=2.71828…） 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）m=0时，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题整理得＜m ＜，令g （x ）=，令h （x ）=，根据函数的单调性求出m 的范围即可；（Ⅲ）根据基本不等式的解法即可证明不等式． 【解答】解：（I ）当m=0时，f （x ）=xlnx ，x ＞0，得f ′（x ）=lnx +1，由lnx +1＞0，解得x ＞，即f （x ）在（，+∞）上单调递增；由lnx +1＜0，解得0＜x ＜，即f （x ）在（0，）上单调递减．∴综上，f （x ）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，）．…（II）已知x∈[，e2]，于是＞1变形为＞1，从而＞，即0＜lnx﹣mx＜x﹣1，整理得＜m＜…令g（x）=，则g′（x）=＜0，即g（x）在[，e2]上是减函数，∴g（x）max=g（）=﹣1，令h（x）=，则h′（x）=，当＜x＜e时，h′（x）＞0，即此时h（x）单调递增；当e＜x＜e2时，h′（x）＜0，即此时h（x）单调递减，而h（）=＞h（e2）=，∴h（x）min=∴﹣1＜m＜…（III）由（I）知当m=0时，f（x）=xlnx在（，+∞）上是增函数，∵＜x1＜x1+x2＜1，∴f（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞f（x1）=x1lnx1，即lnx1＜ln（x1+x2），同理lnx2＜ln（x1+x2），所以lnx1+lnx2＜（+）ln（x1+x2）=（2++）ln（x1+x2），又因为）2++≥4，当且仅当x1=x2时，取等号．又x1，x2∈（，1），x1+x2＜1，ln（x1+x2），∴（2++）ln（x1+x2）≤4，∴lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2），∴x1x2＜（x1+x2）4．…2016年10月16日。

2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣15．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．36．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]8．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A．4 B．16 C．24 D．329．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．810．已知抛物线x2=4py（p＞0）的焦点F，直线y=x+2与该抛物线交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若•+（+）•=﹣1﹣5p2，则p的值为（）A．B．C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是______．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是______（用数字作答）．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有______个．（用数字作答）14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是______．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．19．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：b1=1，b n﹣2T n=1．+1（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与2T n a n的大小，并说明理由．20．在平面直角坐标系中，动点M到定点F（﹣1，0）的距离和它到直线l：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M的轨迹为T．（1）求轨迹T的方程；（2）过点F且不与x轴重合的直线m，与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，与轨迹T是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．2016年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选型中，只有一个是符合题目要求的.1．若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C2．为了得到函数y=3sin（2x+），x∈R的图象，只需把函数y=3sin（x+），x∈R的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解：由函数图象变换的规则函数的图象，可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到故选B．3．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程，得出=，再利用离心率e==计算．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：y=±x，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴=，则离心率e=====．故选：B4．在复平面内，复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i（a∈R，i为虚数单位）对应的点位于第四象限的充要条件是（）A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数z的实部大于0，且虚部小于0联立不等式组求得答案．【解答】解：由z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限，得，即a＜﹣1．∴复数z=（|a|﹣1）+（a+1）i对应的点位于第四象限的充要条件是a＜﹣1．故选：D．5．已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．D．3【考点】同角三角函数基本关系的运用；直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系可得tanθ=﹣2，要求的式子可化为，代入计算可得．【解答】解：∵直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，∴tanθ=﹣2，∴===．故选：C．6．在闭区间[﹣4，6]上随机取出﹣个数x，执行如右图所示的程序框图，则输出的x不小于39的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型；程序框图．【分析】根据程序框图求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由程序框图知，第一次循环，n=1，满足条件n≤3，y=2x+1，n=2，第二次循环，n=2，满足条件n≤3，y=2（2x+1）+1=4x+3，n=3，第三次循环，n=3，满足条件n≤3，y=2（4x+3）+1=8x+7，n=4，此时不满足条件n≤3输出y=8x+7，由8x+7≥39得x≥4，即4≤x≤6，则对应的概率P==，故选：A7．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则•的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，2] C．[﹣1，3] D．[﹣1，4]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）可得•=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可得：点M所在的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1（0≤x≤2，0≤y≤2）．可设点M（x，y）A（0，0），B（2，0）．∴•=（﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=﹣x（2﹣x）+y2=（x﹣1）2+y2﹣1，由∈[0，2]，∴•∈[﹣1，3]，故选：C．8．已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8，则a6+a7的最小值为（）A．4 B．16 C．24 D．32【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；等比数列的性质；数列与函数的综合．【分析】可判数列{a n+a n+1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n+a n+1}的公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a4+a5=ax，结合已知可得a=，代入可得y=a6+a7的表达式，x∈（1，+∞），由导数求函数的最值即可．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正的等比数列，∴数列{a n+a n+1}也是各项均为正的等比数列，设数列{a n+a n+1}的公比为x，a2+a3=a，则x∈（1，+∞），a5+a4=ax，∴有a5+a4﹣a3﹣a2=ax﹣a=8，即a=，∴y=a6+a7=ax2=，x∈（1，+∞），求导数可得y′==，令y′＞0可得x＞2，故函数在（1，2）单调递减，（2，+∞）单调递增，∴当x=2时，y=a6+a7取最小值：32．故选：D．9．已知f（x）=x2++c（b，c为常数）和g（x）=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数，对任意的x∈M，存在x0∈M使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g （x0），则f（x）在集合M上的最大值为（）A．B．5 C．6 D．8【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由基本不等式可得g （x ）≥1（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），从而可得c=﹣1﹣，求导f ′（x ）=x ﹣=，从而可得b=8，c=﹣5，从而解得．【解答】解：∵g （x ）=x +≥2=1，（当且仅当x=，即x=2时，等号成立），∴f （2）=2++c=g （2）=1，∴c=﹣1﹣，∴f （x ）=x 2+=x 2+﹣1﹣，∴f ′（x ）=x ﹣=，∵f （x ）在x=2处有最小值，∴f ′（2）=0，即b=8，故c=﹣5，故f （x ）=x 2+﹣5，f ′（x ）=，故f （x ）在[1，2]上是减函数，在[2，4]上是增函数，而f （1）=+8﹣5=，f （4）=8+2﹣5=5，故f （x ）的最大值为5，故选：B ．10．已知抛物线x 2=4py （p ＞0）的焦点F ，直线y=x +2与该抛物线交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若•+（+）•=﹣1﹣5p 2，则p 的值为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把y=x +2代入x 2=4py 得x 2﹣4px ﹣8p=0．利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得出结论．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把y=x +2代入x 2=4py 得x 2﹣4px ﹣8p=0． 由韦达定理得x 1+x 2=4p ，x 1x 2=﹣8p ，所以M （2p ，2p +2），所以N 点（2p ，0）．同理y 1+y 2=4p +4，y 1y 2=4∵•+（+）•=﹣1﹣5p 2，∴（﹣x 1，p ﹣y 1）•（﹣x 2，p ﹣y 2）+（﹣x 1﹣x 2，2p ﹣y 1﹣y 2）•（2p ，﹣p ）=﹣1﹣5p 2， 代入整理可得4p 2+4p ﹣3=0，∴p=．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图，则该组同学的成绩的中位数是127．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数即可．【解答】解：根据茎叶图，得到4位同学的成绩为：114，126，128，132，所以中位数是=127．故答案为：127．12．在x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数是﹣10（用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5 按照二项式定理展开，可得x（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．【解答】解：在x（x﹣1）5=x•[x5﹣5x4+10x3﹣10x2+5x﹣1]的开式中，含x3项的系数是﹣10，故答案为：﹣10．13．从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有52个．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】分两类，第一类，个位为0，第二类，个位是2或4，再利用分步计数原理求出每一类有多少个，然后相加．【解答】解：分两类，第一类，个位为0，有A52=20个；第二类，个位是2或4，有C21×C41×C41=32个，∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个，故答案为：52．14．已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，则d1+d2的最小值是5﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（cosu，sinu），求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2，即可求出d1+d2的最小值．【解答】解：设点P（cosu，sinu），P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=（10﹣3cosu+4sinu），d2=3﹣cosu，∴d1+d2=（10﹣3cosu+4sinu）+3﹣cosu=5+（4sinu﹣8cosu）=5+sin（u ﹣t），∴它的最小值=5﹣．故答案为：5﹣．15．现定义一种运算“⊕”：对任意实数a，b，a⊕b=，设f（x）=（x2﹣2x）⊕（x+3），若函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1} ．【考点】函数的图象；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由条件根据新定义求得f（x）的解析式，由题意可得f（x）的图象和直线y=﹣k 有2个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：令（x2﹣2x）﹣（x+3）=1，求得x=﹣1，或x=4，故当x≤﹣1或x≥4时，（x2﹣2x）﹣（x+3）≥1，f（x）=x+3；当x∈（﹣1，4）时，（x2﹣2x）﹣（x+3）＜1，f（x）=x2﹣2x．函数g（x）=f（x）+k的图象与x轴恰有两个公共点，则f（x）的图象和直线y=﹣k有2个交点，如图所示：故有﹣k=﹣1，或2＜﹣k＜3，或7≤﹣k＜8，求得实数k的取值范围为：（﹣3，﹣2）∪（﹣8，﹣7]∪{1}．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，原理毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段性在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从（Ⅱ）中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率，由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数．（II）由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人，由此能求出在[50，60）年龄段抽取的人数．（III）由已知X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（I）由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的频率为：1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.010）=0.3，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为100×0.3=30人．…（II）由（I）知，年龄段在[40，50），[50，60）的人数分别为100×0.15=15人，100×0.1=10人，即不小于40岁的人的频数是25人，∴在[50，60）年龄段抽取的人数为10×=2人．…（III）由已知X=0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，∴X的分布列为X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=．…17．已知函数f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x．（1）若x是某三角形的一个内角，且f（x）=﹣，求角x的大小；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最小值及取得最小值时x的集合．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式，由题意可得cos（2x+）=﹣，根据x∈（0，π），利用余弦函数的性质即可得解．（2）由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质可得f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．【解答】解：（1）∵f（x）=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos（2x+），∴f（x）=cos（2x+）=﹣，可得：cos（2x+）=﹣．∵由题意可得：x∈（0，π），可得：2x+∈（，），可得：2x+=或，∴x=或．（2）∵x∈[0，]，2x+∈[，]，∴cos（2x+）∈[﹣1，]，∴f（x）=cos（2x+）∈[﹣，1]．∴f（x）的最小值为﹣，此时2x+=π，即x=．18．已知二次函数f（x）=x2+4x+m（m∈R，m为常数）的图象与坐标轴有三个交点，记过这三个交点的圆为圆C．（I）求m的取值范围；（Ⅱ）试证明圆C过定点（与m的取值无关），并求出该定点的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）由二次函数图象与两坐标轴有三个交点，得到抛物线不过原点，再令y=0，得到关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可得到m的范围；（Ⅱ）设所求圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得到关于x的方程，与已知方程为同一方程，确定出D与F，令x=0得到关于y的方程，将y=m代入表示出E，将D、E、F代入即可确定出圆C的方程，进而可求圆C经过定点．【解答】解：（I）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，m）；令f（x）=x2+4x+m=0，由题意得：m≠0且△＞0，即m≠0且16﹣4m＞0解得：m＜4且m≠0；（Ⅱ）证明：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得：x2+Dx+F=0这与x2+4x+m=0=是同一个方程，故D=4，F=m；令x=0得：y2+Ey+F=0，此方程有一个根为m，代入得出E=﹣m﹣1，∴圆C的方程为x2+y2+4x﹣（m+1）y+m=0．∴x2+y2+4x﹣y+（﹣y+1）m=0∴，∴或，∴圆C经过定点（0，1）和（﹣4，1）．19．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=30，S10=110，数列{b n}的前n项和T n满足：b1=1，b n﹣2T n=1．+1（1）求S n与b n；（2）比较S n b n与2T n a n的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由等差数列前n项和公式列出方程组求出首项与公差，由此能求出S n与b n；由，能求出数列{b n}的通项公式．（2）推导出S n b n=（n2+n）•3n﹣1，2T n a n=2n•（3n﹣1），由此利用作差法能比较S n b n与2T n a n 的大小．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵S5=30，S10=110，∴，解得∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n ，S n ==n 2+n ．…对数列{b n }，由已知有b 2﹣2T 1=1，即b 2=2b 1+1=3， ∴b 2=3b 1，（*）又由已知b n +1﹣2T n =1，可得b n ﹣2T n ﹣1=1（n ≥2，n ∈N*），两式相减得b n +1﹣b n ﹣2（T n ﹣T n ﹣1）=0，即b n +1﹣b n ﹣2b n =0（n ≥2，n ∈N*）， 整理得b n +1=3b n （n ≥2，n ∈N*），结合（*）得（常数），n ∈N*，∴数列{b n }是以b 1=1为首项1，3为公比的等比数列， ∴b n =3n ﹣1．…（2）2T n =b n +1﹣1=3n ﹣1，∴S n b n =（n 2+n ）•3n ﹣1，2T n a n =2n •（3n ﹣1），于是S n b n ﹣2T n a n =（n 2+n ）•3n ﹣1﹣2n •（3n ﹣1）=n [3n ﹣1（n ﹣5）+2]，… 当n ≤4（n ∈N *）时，S n b n ﹣2T n a n ＜0，即S n b n ＜2T n a n ； 当n ≥5（n ∈N *）时，S n b n ﹣2T n a n ＞0，即S n b n ＞2T n a n ．∴当n ≤4（n ∈N *）时，S n b n ＜2T n a n ；当n ≥5（n ∈N *）时，S n b n ＞2T n a n ．…20．在平面直角坐标系中，动点M 到定点F （﹣1，0）的距离和它到直线l ：x=﹣2的距离之比是常数，记动点M 的轨迹为T ．（1）求轨迹T 的方程；（2）过点F 且不与x 轴重合的直线m ，与轨迹T 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，与轨迹T 是否存在点Q ，使得四边形APBQ 为菱形？若存在，请求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设动点M （x ，y ），由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程，能求出轨迹T 的方程．（2）假设存在Q （x 0，y 0）满足条件．设依题意设直线m 为x=ky ﹣1，联立，消去x ，得（k 2+2）y 2﹣2ky ﹣1=0，由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程，结合已知条件能求出直线m 的方程． 【解答】解：（1）设动点M （x ，y ），∵动点M 到定点F （﹣1，0）的距离和它到直线l ：x=﹣2的距离之比是常数，∴由题意，得，化简整理得C的方程为．∴轨迹T的方程为=1．…（2）假设存在Q（x0，y0）满足条件．设依题意设直线m为x=ky﹣1，联立，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky﹣1=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，x1+x2=k（y1+y2）﹣2=，…∴AB的中点N的坐标为（，）．∵PQ⊥l，∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k（x+），令y=0，解得x=，即P（，0）．…∵P、Q关于N点对称，∴=（x0），=（y0+0），解得x0=，y0=，即Q（，）．…∵点Q在椭圆上，∴（）2+2（）2=2，解得k2=，∴，∴=±，∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣．…21．已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m≥时，设g（x）=2f（x）+x2的两个极值点x1，x2（x1＜x2）恰为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，求y=（x1﹣x2）h′（）的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数f（x）的导数，讨论m的取值，利用导数判断函数f（x）的单调性与单调区间；（II）对函数g（x）求导数，利用极值的定义得出g'（x）=0时存在两正根x1，x2；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数y 的最小值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=lnx﹣mx，∴，x＞0；当m＞0时，由1﹣mx＞0解得x＜，即当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；由1﹣mx＜0解得x＞，即当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当m=0时，f'（x）=＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＜0时，1﹣mx＞0，故f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；∴当m＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）；当m≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（II）g（x）=2f（x）+x2=2lnx﹣2mx+x2，则，∴g'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根；又∵m≥，∴△=m2﹣4＞0，x1+x2=m，x1x2=1；…又∵x1，x2为h（x）=lnx﹣cx2﹣bx的零点，∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0，lnx2﹣cx22﹣bx2=0，两式相减得﹣c（x1﹣x2）（x1+x2）﹣b（x1﹣x2）=0，得b=，而，∴y==]==，…令（0＜t＜1），由（x1+x2）2=m2得x12+x22+2x1x2=m2，因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得t++2=m2，∵m≥，故t+≥，解得t≤或t≥2，∴0＜t≤；…设G（t）=，∴G'（t）=，则y=G（t）在（0，]上是减函数，∴G（t）min=G（）=﹣+ln2，即的最小值为﹣+ln2．…2016年10月6日。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网 (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i 为虚数单位，则复数(1+i)2= (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i2.设集合A={x11≤x ≤5},Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是 (A)6 (B) 5 (C)4 (D)33.抛物线y 2=4x 的焦点坐标是(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 4.为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度5.设p:实数x ，y 满足x>1且y>1，q: 实数x ，y 满足x+y>2，则p 是q 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6.已知a 函数f(x)=x 3-12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)27.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为(A)35 (B) 20 (C)18 (D)99.已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是 (A)443 (B) 449(C) 43637+ (D) 433237+10. 设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

绵阳市高中2016届高三第一次（11月）诊断性考试数学文试题满分150分．考试时间120分钟． 第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的．1．集合S={3，4, 5｝，T ＝｛4，7，8｝，则S U T ＝ (A){4} (B){3，5，7，8} (C) {3，4, 5，7，8} (D) {3，4, 4, 5, 7, 8}2．命题“2000,23x N x x ∃∈+≥”的否定为(A) 2000,23x N x x ∃∈+< (B) 2,23x N x x ∀∈+<(C) 2000,23x N x x ∃∈+≤ (D) 2,23x N x x ∀∈+≤3．己知幂函数过点（2），则当x=8时的函数值是 （A ）±（B ）2 （C ）（D ）644.若,,a b c ∈R,且0abc ≠，己知P ：,,a b c 成等比数列；Q:P 是Q 的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5.下列四个函数中，最小正周期为π，且关于直线x ＝一512π对称的函数是 （A ）sin()23x y π=+（B ）sin()23x y π=- （C ）sin(2)3y x π=-（D ）sin(2)3y x π=+6．在等差数列｛n a ｝中，若a 4＋a 9＋a l4＝36，则10112a a -＝（A ）6 （B ）12 （C ）24 （D ）367．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c，若22,sin c b A B =+=，则cosC ＝ （A）2 （B）4 （C）一2 （D）一48．若实数x ，y 满足不等式组024010x y x y x y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则x y +的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．设函数y ＝f （x ），x ∈R 满足f （x ＋l ）＝f （x 一l ），且当x ∈（－1，1］时，f （x ）＝1一x 2， 函数g （x ）＝lg ||,01,0x x x ≠⎧⎨=⎩，则h （x ）＝f （x ）一g （x ）在区间［－6，9］内的零点个数是（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）1510．直角△ABC 的三个顶点都在单位圆221x y +=上，点M （12，12），则｜MA MB MC ++｜的最大值是（A＋l （B＋2 （C）2＋1 （D）2＋2第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分， 11．·函数()f x =的定义域为12．式子0tan 20tan 4020tan 40++的值是 ．13．已知函数266,2(),2x x x x f x a a x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩其中a ＞0，1a ≠，若对任意的1212,,x x R x x ∈≠，恒有1212[()()]()f x f x x x --＞0，则实数a 的取值范围 ．14．已知,a b 满足212log log 1a b -=，则(12)(1)a b ++的最小值为 ．15．设集合M 是实数集R 的一个子集，如果点0x ∈R 满足：对任意ε＞0，都存在x ∈M ， 使得0＜0||x x ε-<；，称x 0为集合M 的一个“聚点”．若有集合：①有理数集； ②无理数 ③sin|*1n N n π⎧⎫∈⎨⎬+⎩⎭ ④|*1n N n π⎧⎫∈⎨⎬+⎩⎭其中以0为“聚点”的集合是 ．（写出所有符合题意的结论序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量(cos ,1sin ),(cos ,sin )()m n R ααααα=-=-∈ （1)若m n ⊥，求角α的值； （2）若||3m n -=，求cos2α的值．17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的首项a 1＝1，且a n+1＝2a n ＋1(*)n N ∈（1)证明数列{n a ＋1}是等比数列，并求数列{n a }的通项公式； (2)记1n n nb a =+，求数列{n b }的前n 项和Sn18．（本小题满分12分）某民营企业家去年为西部山区80名贫困大学生捐资奖学金共50万元妥该企业家计划 从今年起（今年为第一年）10年内每年捐资总金额都比上一年增加10万元，资助的 贫困大学生每年净增a 人。

高中2016级绵阳二诊模拟试题（2019年）一、选择题（共12小题；共60分）1. 若复数满足（为虚数单位），则A. B. C. D.2. 已知集合，，则A. B. C. D.3. 已知向量，，则向量与的夹角为A. B. C. D.4. " " 是直线和直线垂直的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为A. B. C. D.6. 已知，分别是双曲线的两个焦点，双曲线和圆的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为B. C. D.7. 在区间内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间内的概率是A. B. D.8. 光线通过一块某种玻璃，其强度要损失以下，则光线通过这种玻璃的块数至少为（参考数据：A. B. C. D.9. 已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，，为切点，若四边形面积的最小值是，则的值是A. B. C. D.10. 设函数的最小正周期为，且，则A. 在单调递减B. 在单调递减C. 在单调递增D. 在单调递增11. 设抛物线：的焦点为，倾斜角为钝角的直线过且与交于，两点，若，则的斜率为12. 定义在上的函数满足，为的导函数．已知的图象如图所示，若两个正数，满足，则的取值范围是二、填空题（共4小题；共20分）13. 如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为．14. 已知，的值如表所示，若与呈线性相关，则回归直线方程为，则．15. 函数的最大值与最小值的和为．16. 在中，已知，，则的最大值是．三、解答题（共7小题；共91分）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．18. 某单位名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在岁至岁之间，按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．下面是年龄的分布表附：．（1）求正整数，，的值；（2）现要从年龄低于岁的员工中用分层抽样的方法抽取人，则年龄在第，，组的员工人数分别是多少?（3）为了估计该单位员工的阅读习惯，对第，，组中抽出的人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果如表所示：（单位：人）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该单位员工“是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系”?19. 已知数列（）为等差数列，且，．（1）求数列的通项公式；（2）证明：．20. 若椭圆过点，离心率，的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，方程为，过圆上任一点作的切线，，且，为切点．（1）求椭圆方程；（2）若直线与的另一个交点为，当弦最大时，求的直线方程；（3）求的取值范围．21. 已知函数．（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）当时，若函数的最大值为，求的值．22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为，若以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任意一点，连接并延长到，使．（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）若直线与点的轨迹相交于，两点，点的直角坐标为，求的值．23.已知函数．（1）求函数的最小值；（2）若正实数，满足，求证：．答案第一部分1. C2. C3. C4. A5. C【解析】，，，满足条件，则，满足条件，则，，满足条件，则，，满足不条件，退出循环体，此时．6. D 【解析】由圆的方程可知为圆的直径．由知，在双曲线右支上，且，，．由双曲线定义知，即．7. D 【解析】提示：在区间上取两个数，，且满足，，，有几何概型得所求事件的概率为．8. D9. C 【解析】因为圆的方程为：，所以圆心，半径．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离最小时，切线长，最小，切线长为，所以，所以圆心到直线的距离为．直线方程为，所以，解得，因为，所以．10. A【解析】，所以．又因为为偶函数，所以，又，所以，所以．11. D 【解析】由，得，设所在直线方程为，联立，得．设，，则，因为，所以，因为倾斜角为钝角，所以．12. C 【解析】由的图象可知，当时，导函数，原函数单调递增．因为两正数，满足，所以．所以画出可行域如下图所示：表示点与点所成直线的斜率．当点在时，最小，最小值为当点在时，最大，最大值为．第二部分13.14.【解析】回归直线一定过点，由已知可得，由回归直线方程解得，故．15.16.【解析】因为，，由余弦定理可得：，，，因为，可得：，因为，可得为锐角，又因为在上单调递增，所以当时，取最大值，所以．第三部分17. （1）由已知得化简得故所以因为，所以．（2）因为由，，，所以，由余弦定理，得所以．18. （1）总人数：，；第组的频率是：，所以．（2）因为年龄低于岁的员工在第，，组，共有（人），利用分层抽样在人中抽取人，每组抽取的人数分别为：第组抽取的人数为（人），第组抽取的人数为（人），第组抽取的人数为（人），所以第，，组分别抽人、人、人．（3）假设：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得的观测值，查表得，从而能在犯错误的概率不超过的前提下，认为该单位的员工“是否喜欢看国学类书籍和性别有关系”．19. （1）设等差数列的公差为．由，得，所以．又，所以．所以．（2）因为，所以20. （1）由已知得，．因此过点，代入得，．故椭圆的方程为．（2）直线过的圆心最大，这时直线的斜率存在，设直线方程为，即．直线与相切，，从而或．因此直线方程为或．（3）设，则，其中，因此，从而可算得．21. （1）当时，，故，令，得，故的单调递增区间为．（2）方法，令，则，由，，故存在，，故当时，；当时，，故，故解得故的值为．方法：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，等价于的最大值为，因为，令，得，故的最大值为，即．22. （1）圆的直角坐标方程为，设，则，所以．所以，即为点的轨迹的直角坐标方程．（2）将代入，化简得，即．令，对应参数分别为，，则，，所以第11页（共11 页） 23. （1）； 所以的最小值 为 ． （2） 因为，，， 所以 ．所以，所以 ．．。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

）1．直线033=--y x 的倾斜角是（)（A)030 （B)060 （C ）0120 （D)0150 【答案】B考点:直线的斜率与倾斜角．2。

若集合}2|{A xy y ==，集合}|{B x y y ==，则=B A ( ）（A)),0[+∞ （B)),1(+∞ (C ）),0(+∞ （D)),(+∞-∞ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得A {|0}y y =>，B {|0}y =≥,所以{|0}A B y y =>，故选C ．考点:集合的运算．3.为了得到函数)52sin(3π+=x y 的图象，只需把函数)5sin(3π+=x y 图象上的所有点（ )（A)横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变 （B ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（C ）纵坐标缩短到原来的21倍，横坐标不变（D ）纵坐标缩短到原来的2倍,横坐标不变 【答案】A 【解析】试题分析:由题意得,将函数)5sin(3π+=x y 图象横坐标缩短到原来的21倍,纵坐标不变,得3sin(2)5y x π=+，故选A ．考点：三角函数的图象变换．4.在复平面内，复数i R a i a a z ,()1()1(∈++-=为虚数单位），对应的的点在第三象限的充要条 件是( ）（A ）1>a （B)1<a （C)1->a （D ）1-<a 【答案】D考点：复数的几何意义．5．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=,则双曲线的离心率是（ )(A)45 （B ）35 （C ）37 （D ）321 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 34=，即43b a =，又2222253c c a b e a a a +====,故选B ．考点:双曲线的几何性质．6．执行右图程序框图,若输入的[]2,1-∈t ,则输出S 属于（ ） （A ）[]1,0(B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,43 （C))2,0[ （D ）)2,1[【答案】C考点:程序框图及分段函数的性质． 7．过抛物线24xy=的焦点任作一直线l 交抛物线于N M ,两点，O 为坐标原点，则MON ∆的面积 的最小值为（ ）（A)2 （B)22（C ）4 （D)8 【答案】A 【解析】试题分析：抛物线的焦点为(0,1)，设直线的方程为1y kx =+,代入抛物线24x y=，整理得2440xkx --=,设1122(,),(,)M x y N x y ，则12124,4x xk x x +==-,所以21216164x x k -=+≥，所以面积12122S OF x x =⋅-≥，即MON ∆的面积最小值为2，故选A ．考点：抛物线的简单的几何性质．8．已知点M 是边长为2的正方形ABCD 内的一动点，则MB MA •的取值范围是( ） （A ）[]4,0 (B ）[]5,0（C ）[]5,1- (D ）[]4,1- 【答案】D考点:平面向量的坐标运算． 9．已知正项等比数列}na ｛满足52345=--+a a a a，则76a a +的最小值为（ ）（A ）32 （B ）21010+(C ）20 （D ）28 【答案】C 【解析】试题分析:因为数列}na ｛的各项均为正数，所以所以数列1}nn aa ++｛的各项也为正数的等比数列,设数列1}nn aa ++｛的公比为23,x a a a+=，则54(1,),x a a ax∈+∞+=,所以由52345=--+a a a a ,即81a x =-，所以67y a a =+=225,(1,)1x ax x x =∈+∞-,求导可得()22210(1)55(2)(1)1x x x x x y x x ---'==--，令02y x '>⇒>,所以函数在(1,2)上单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以当2x =时，76a a+有最小值，此时最小时为20，故选B ．考点：等比数列的性质;数列与函数的关系，导数的应用．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的性质及数列与函数之间的关系，涉及到导数在函数中的应用，着重考查了分析问题和解决问题的能力及数学中的转化的思想方法,属于中档试题，本题的解答中得到数列1}nn aa ++｛的各项也为正数的等比数列，设出数列1}n n a a ++｛的公比，得出关于公比x 的函数关系式，再利用导数求解函数的单调性与最值，其中整理关于变量x 的函数和求导要仔细运算，是个易错点． 10．已知函数),(21)(2是常数c b c x b xx f ++=和xx x 141)( g +=定义在M=}41|≤≤x x ｛上的函数,对于任意的x M ∈，存在0xM ∈使得()()00(),()f x f x g x g x ≥≥，且00()()f x g x =,则)(x f 在集合M 上的最大值为（ )（A ）27 （B ）5(C ）6 （D ）8 【答案】B考点：函数的最值及其几何意义．【方法点晴】本题主要考查了函数函数的最值及其性质的应用，同时考查了利用导数求解函数的单调性与最值的综合应用和基本不等式的应用,试题难度较大，属于难题，本题的解答中利用基本不等式可求求得()1g x ≥（当且仅当2x =时,等号是成立的),从而得到12b c =-，利用导数32()x bf x x -'=,从而得到8,5b c ==-,从而解得．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题(本大题共5小题，每题5分，满分25分．) 11．计算:=-21lg 225lg _______．【答案】2 【解析】试题分析:由题意得，21()21lg 252lg lg 25lg lg10022-=-==．考点：对数的运算．12．某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如右图，则该同学成绩的中位数是_______．【答案】127 【解析】试题分析：由题意得额，根据中位数的定义知，数据114,126,128,132的中位数为1261281272+=．考点：中位数的概念与计算．13．我国邮政寄印刷品国内邮资标准为:100g 以内0.7元，每增加100g(不足100g 按100g 计）0。

绵阳市高中第二次诊断性考试数 学（文科）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页．全卷满分150分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k knn P P C k P --⋅⋅=)1()(． 一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．设集合I = { x ︱︱x －2︱≤2，x ∈N * }，P = { 1，2，3 }，Q = { 2，3，4 }，则 I （P ∩Q ）=A ．{ 1，4 }B ．{ 2，3 }C ．{ 1 }D ．{ 4 } 2．若向量a 、b 、c 满足 a + b + c = 0，则a 、b 、cA ．一定能构成一个三角形B ．一定不能构成一个三角形C ．都是非零向量时一定能构成一个三角形D ．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 3．将直线x －3y －2 = 0绕其上一点逆时针方向旋转60︒得直线l ，则直线l 的斜率为A ．33 B ．3 C ．不存在 D ．不确定4．已知f (x ) = sin (x +2π)，g (x ) = cos (x －2π)，则下列命题中正确的是 A ．函数y = f (x ) · g (x ) 的最小正周期为2πB ．函数y = f (x ) · g (x ) 是偶函数C ．函数y = f (x ) + g (x ) 的最小值为－1D ．函数y = f (x ) + g (x ) 的一个单调增区间是]4,43[ππ-5．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y = cos 2x 的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度6．直线4x －3y －12 = 0与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为 A ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 1 B ．（x －1）2 +（y －1）2 = 1C ．（x －1）2 +（y + 1）2 =2D ．（x －1）2 +（y + 1）2 = 27．设双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），两条准线间的距离等于c ，则双曲线的离心率e 等于A ．2B ．3C ．2D ．38．已知焦点（设为F 1，F 2）在x 轴上的双曲线上有一点P (x 0，23)，直线x y 3= 是双曲线的一条渐近线，当021=⋅PF 时，该双曲线的一个顶点坐标是 A ．（2，0） B ．（3，0） C ．（2，0） D ．（1，0） 9．若不等式︱x －a ︱－︱x ︱＜ 2－a 2 当x ∈R 时总成立，则实数a 的取值范围是 A ．（－2，2） B ．（－2，1） C ．（－1，1） D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）10．若抛物线y 2 = x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，焦点为F ，O 是坐标原点，则△POF 的面积等于A ．162B ．322C ．161D ．32111．已知等腰三角形的面积为23，顶角的正弦值是底角正弦值的3倍，则该三角形一腰的长为A ．2B ．3 C ．2D ．612．设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数t ，使得对于任意x ∈C （C ⊆ A ），有x + t ∈A ，且f （x + t ）≤ f （x ），则称f （x ）为C 上的t 低调函数．如果定义域为 [ 0，+∞)的函数f （x ）=－︱x －m 2︱+ m 2，且 f （x ）为 [ 0，+∞)上的10低调函数，那么实数m 的取值范围是A ．[－5，5 ]B ．[－5，5]C ．[－10，10]D ．]25,25[-第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）注意事项：答第Ⅱ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔（蓝、黑色）写在答题卷密封线内相应的位置．答案写在答题卷上，请不要答在试题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．不等式13>x的解是 ． 14．已知函数f （x ）= sin x －cos (6-πx )，x ∈[ 0，2π)，则满足f （x ）＞0的x 值的集合为 ．15．设a ＞2b ＞0，则29()(2)a b b a b -+-的最小值是 ．16．给出下列命题：① “sin α－tan α＞0”是“α 是第二或第四象限角”的充要条件； ② 平面直角坐标系中有三个点A （4，5）、B （－2，2）、C （2，0），则直线AB 到直线BC的角为4arctan 3；③ 函数xx x f 22cos 3cos )(+=的最小值为32；④ 设 [m ] 表示不大于m 的最大整数，若x ，y ∈R ，那么[x + y ]≥[x ] + [y ] ． 其中所有正确命题的序号是 ．（将你认为正确的结论序号都写上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）设△ABC 三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)2,(b a =，)1,(sin A =，且//．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若△ABC 是锐角三角形，)tan cos sin ,1(),cos ,(cos B A A n B A m -==，求n m ⋅ 的取值范围． 18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 是半圆⊙O ：x 2 + y 2 = 1（y ≥0）的直径，C 是半圆O （除端点A 、B ）上的任意一点，在线段AC 的 延长线上取点P ，使︱PC ︱=︱BC ︱，试求动点P 的轨迹方程． 19．（本题满分12分）某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止的概率； （Ⅱ）求该幸运观众获得1000元奖金的概率． 本题满分12分）已知函数1)1(6)12(32)(23+--+-=x m m x m x x f ，x ∈R ．（1）当m =－1时，求函数y = f (x ) 在 [－1，5 ] 上的单调区间和最值；（2）设f ′(x ) 是函数y = f (x ) 的导数，当函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点时，求实数m 的取值范围．21．（本题满分12分）设椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为212，左焦点到左准线的距离为73．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 上有不同两点P 、Q ，且OP ⊥OQ ，过P 、Q 的直线为l ，求点O 到直线l 的距离． 22．（本题满分14分）已知{ a n }是等差数列，{ b n }是等比数列，S n 是{ a n }的前n 项和，a 1 = b 1 =1，2212b S =．（Ⅰ）若b 2是a 1，a 3的等差中项，求a n 与b n 的通项公式；（Ⅱ）若a n ∈N *，{n a b }是公比为9的等比数列，求证：471111321<++++n S S S S绵阳市高中第二次诊断性考试 数学（文科）参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． ADCD BACD CBAB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．{ x ︱0＜x ＜3 } 14．（34,3ππ）或 }343|{ππ<<x x 15．12 16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解 （Ⅰ）∵ )2,(b a =，)1,(sin A =，//，∴ a －2b sin A = 0，由正弦定理得 sin A －2sin B sin A = 0． …………………… 3分∵ 0＜A ，B ，C ＜π，∴ 21sin =B ，得 6π=B 或56B π=． …………………… 6分（Ⅱ）∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ 6π=B ，)cos 33sin ,1(),23,(cos A A A -==， 于是 )cos 33(sin 23cos A A A n m -+=⋅=A A sin 23cos 21+=)6sin(π+A ．…………………… 9分由 65ππ=-=+B C A 及 0＜C ＜2π，得 )65,3(65πππ∈-=C A ． 结合0＜A ＜2π，∴ 23ππ<<A ，得 3262πππ<+<A ，∴1)6sin(23<+<πA ，即123<⋅<n m ． …………………… 12分 18．解 连结BP ，由已知得∠APB=45︒． …………………… 2分设P （x ，y ），则 1+=x yk PA ，1-=x y k PB ，由PA 到PB 的角为45︒， 得1111145tan +⋅-++--=︒x y x y x y x y ，化简得 x 2 +（y －1）2 = 2． …………………… 10分由已知，y ＞0且1+=x yk PA ＞0，故点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）． …………………… 12分法二 连结BP ，由已知可得∠APB = 45︒，∴ 点P 在以AB 为弦，所对圆周角为45︒的圆上．设该圆的圆心为D ，则点D 在弦AB 的中垂线上，即y 轴上，且∠ADB = 90︒，∴ D （0，1），︱DA ︱=2，圆D 的方程为x 2 +（y －1）2 = 2．由已知，当点C 趋近于点B 时，点P 趋近于点B ；当点C 趋近于点A 时，点P 趋近于点（－1，2），所以点P 的轨迹方程为x 2 +（y －1）2 = 2（x ＞－1，y ＞0）．19．解 （Ⅰ）记“该幸运观众摸球三次就停止”为事件A ，则112232351()5C C A P A A ==．…………………… 6分（Ⅱ）该幸运观众获得1000元奖金的概率为314533121235221212=+=A A C C A A C C P ． …………………… 12分答：略．（1）当m =－1时，11232)(23+-+=x x x x f ， ∴ f ′(x ) = 2x 2 + 2x －12 = 2（x + 3）（x －2）的两个根为x =－3 或 x = 2， 只有x = 2在 [－1，5 ] 上，所以 f (x ) 在 [－1，2 ] 上单调递减，在 [ 2，5 ] 上单调递增．又340)1(=-f ，41)2(-=f ，148)5(=f ． …………………… 4分故函数y = f （x ）在 [－1，5 ] 上的最大值为3，最小值为3-． …………………… 6分（2）由已知有 f ′(x ) = 2x 2－2（2m + 1）x －6m （m －1），x ∈R ．函数y = f ′(x ) 的图象与x 轴的公共点的横坐标就是二次方程x 2－（2m + 1）x －3m （m －1）= 0 的实数根，解得 x 1 = 3m ，x 2 = 1－m ． ① 当x 1 = x 2 时，有 3m = 1－m ⇒ 41=m ，此时x 1 = x 2 =43∈（－1，5）为所求． …………………… 8分② 当x 1≠x 2 时，令H （x ）= x 2－（2m + 1）x －3m （m －1），则函数y = f ′(x ) 的图象在（－1，5）上与x 轴有唯一的公共点 ⇒ H （－1）· H （5）≤0，而 H （－1）=－3m 2 + 5m + 2，H （5）=－3m 2－7m + …………………… 9分所以（－3m 2 + 5m + 2）（－3m 2－7m + 0， 即（m －2）（3m + 1）（m + 4）（3m －5）≤0，解得－4≤m≤31-或35≤m ≤2． …………………… 10分经检验端点，当m =－4和m = 2时，不符合条件，舍去．综上所述，实数m 的取值范围是41=m 或－4＜m ≤31-或35≤m ＜2． …………………… 12分21．解 （1）设椭圆C 的方程为12222=+bb a x （a ＞b ＞0），则 2122=b ，21=b ．由 73)(2=---ca c ，即73222==-c b c c a ，得 7=c ． 于是 a 2= b 2+ c 2= 21 + 7 = 28，椭圆C 的方程为1212822=+y x ．………………… 5分（2）若直线l 的斜率不存在，即l ⊥x 轴时，不妨设l 与x 正半轴交于点M ，将x = y 代入1212822=+y x 中，得32±==y x ，则点P （32，32），Q （32，32-），于是点O 到l 的距离为32． (7)分若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y = kx + m （k ，m ∈R ），则点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的坐标是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1212822y x mkx y 的两个实数解， 消去y ，整理，得（3 + 4k 2）x 2 + 8kmx + 4m 2－84 = 0， ∴ △ =（8km ）2－4（3 + 4k 2）（4m 2－84）= 12（28k 2－m 2 + 21）＞0， ①221438k km x x +-=+，222143844km x x +-=． ② …………………… 9分∵ OP ⊥OQ ，∴ k OP · k OQ =－1，即12211-=⋅x y x y ，x 1x 2 + y 1y 2 = 0． 于是 x 1x 2 +（kx 1 + m ）（kx 2 + m ）=（1 + k 2）x 1x 2 + km （x 1 + x 2）+ m 2 = 0． ③将 x 1 + x 2，x 1x 2 代入上式，得 043843844)1(22222=++-+-⋅+m kkm km k m k ， ∴（k 2 + 1）（4m 2－84）－8k 2m 2 + m 2（4k 2 + 3）= 0， 化简，得 m 2 =12（k 2+1）．④④代入①满足，因此原点O 到直线l 的距离 32121||2==+-=k m d ．…………………… 12分22．解 设等差数列{ a n }的公差为d ，等比数列{ b n }公比为q ． （Ⅰ）∵ 2212b S =，∴ qb d a a 11112=++，而 a 1 = b 1 = 1，则 q （2 + d ）= 12．① 又 ∵ b 2是a 1，a 3的等差中项，∴ a 1 + a 3 = 2b 2，得 1 + 1 + 2d = 2q ，即 1 + d = q ． ②联立①，②，解得 ⎩⎨⎧==,3,2q d 或 ⎩⎨⎧-=-=.4,5q d …………………… 4分 所以 a n = 1 +（n －1）·2 = 2n －1，b n = 3n －1； 或 a n = 1 +（n －1）·（－5）= 6－5n ，b n =（－4）n －1． …………………… 6分（Ⅱ） ∵ a n ∈N *，d n d n a a q q qb b n n )1(1)1(111---+-===，∴ 9)1(1===-+d dn nd a a q q q b b nn ，即 q d = 32．① …………………… 8分由（Ⅰ）知 q ( 2 + d ) = 12，得 dq +=212． ② ∵ a 1 = 1，a n ∈N *，∴ d 为正整数，从而根据①②知q ＞1且q 也为正整数，∴ d 可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d = 2，q = 3， ∴a n=2n－1，22)121(n n n S n =-+=． …………………… 10分∴ )1111(21)1)(1(1112+--=+-<=n n n n n S n （n ≥2）． 当n ≥2时， )1111(21)5131(21)4121(21)3111(21111121+--++-+-+-+<+++n n S S S n )]1111()5131()4121()3111[(211+--++-+-+-+=n n)111211(211+--++=n n 11147+--=n n 47<．显然，当n = 1时，不等式成立．故n ∈N *，4711121<+++n S S S ． …………………… 14分思路2 或者利用nn n n n S n 111)1(1112--=-<=（n ≥2）从第三项开始放缩。