(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念

高考总复习·数学(理)第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算对应学生用书P1考点梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系为属于或不属于关系，分别用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N、正整数集N*(或N＋)、整数集Z、有理数集Q、实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(2)集合的运算性质①并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝A⇔B⊆A.②交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝A⇔A⊆B.③补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.【助学·微博】一个命题规律本节在高考中多为基础题、填空题形式，有时也会出现与其他知识(如函数、不等式)综合的解答题．从高考题中可以看出，集合的知识往往作为工具，来考查函数、数列、不等式等知识点，对集合的考查主要是集合之间的基本运算．三个防范(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．考点自测1．已知全集U＝R，Z是整数集，集合A＝{x|x2－x－6≥0，x∈R}，则Z∩∁U A 中元素的个数为________．解析∁U A＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，所以Z∩∁U A＝{－1,0,1,2}，共有4个元素．答案 42．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,5}，则∁U(A∩B)＝________.解析由A∩B＝{1,3}，得∁U(A∩B)＝{2,4,5,6}．答案{2,4,5,6}3．(2012·南京三模)设集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|－3≤x≤2}，则集合A＝{x|x ∈P且x∉Q}＝________(用列举法表示)．解析因为3,4∉Q，所以A＝{3,4}．答案{3,4}4．(2012·苏州二模)若集合M满足M⊆{0,1,2,3,4}，且M∩{0,1,2}＝{0,1}，则集合M 的个数是________．解析 由题意，求集合M 的个数，即求集合{3,4}的子集个数，共有22＝4个． 答案 45．(2012·无锡期末考试)已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，Q ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则P ∩Q ＝________.解析 P ∩Q 即为方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，x －y ＝2的解集，解这个方程组，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.答案 {(1，－1)}对应学生用书P1考向一 集合的基本概念【例1】 (2012·无锡一模)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析 ①是真命题，当a ，b 为整数时，对任意x ，y ∈S ，x ＋y ，x －y ，xy 的实部与虚部均为整数；②是真命题，当x ＝y 时，0∈S ；③是假命题．如S ＝{0}符合定义，但是S 为有限集．④是假命题．如S ＝Z ，T 为整数和虚数构成的集合，满足S ⊆T ⊆C ，但T 不是封闭集，如3＋2i ，3－2i 都在T 中，但(3＋2i)＋(3－2i)＝23∉T .答案 ①②[方法总结] 对于新定义高考题的准备，也需立足概念和基本运算，只要掌握了把不同问题转化为基础问题的技巧与方法，就会使看似复杂的问题变得简单．【训练1】 (1)(2012·江西卷改编)若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为________．(2)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P －Q ＝{a |a ∈P 但a ∉Q }，若P ＝{a |a 是小于10的自然数}，Q ＝{b |b 是不大于10的正偶数}，则P －Q 中元素的个数为________．解析 (1)因为x ＋y ＝－1＋0＝－1或－1＋2＝1或1＋0＝1或1＋2＝3，所以z ＝－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．(2)因为P ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，Q ＝{2,4,6,8,10}，所以P －Q ＝{0,1,3,5,7,9}，故P －Q 中元素个数为6.答案 (1)3 (2)6考向二 集合间的基本关系【例2】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．审题视点 若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论．解 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.[方法总结] (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．【训练2】 若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2，3的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为________．解析 根据元素个数，得这样的集合为{－1}，{1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，{－1,1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－1，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，2，共有7个．答案 7考向三 集合的基本运算【例3】 设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．审题视点 本题中的集合A ，B 均是一元二次方程的解集，其中集合B 中的一元二次方程含有不确定的参数m ，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A )∩B ＝∅对集合A ，B 的关系进行转化．解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}．①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2. 答案 1或2[方法总结] 本题的主要难点有两个：一是集合A ，B 之间关系的确定；二是对集合B 中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn 图进行直观的分析不难找出来，如A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，(∁U A )∩B ＝∅⇔B ⊆A 等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．【训练3】 (1)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，如图中阴影部分所表示的集合为________．(2)(2011·陕西卷改编)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2 x －sin 2 x |，x ∈R }，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i <2，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N ＝________.解析 (1)阴影部分表示的集合是由集合A 中元素去掉属于B 中元素构成的，即由A 中小于2的元素构成的，故所求集合为{1}．(2)y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |，∴0≤y ≤1.⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1i ＝|x ＋i|＝x 2＋1< 2.∴x 2<1，∴－1<x <1，∴M ∩N ＝[0,1)．答案 (1){1} (2)[0,1)对应学生用书P3热点突破1 集合问题的求解策略集合在高考中出一道填空题，集合间的关系及运算是考查的重点，同时集合也可能与函数、不等式、解析几何、向量等内容进行综合考查，另外，在新情境下对集合问题进行考查，也应值得我们关注．一、新定义下集合问题的解题策略【示例1】 (2012·新课标全国卷改编)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．[审题与转化] 第一步：集合B 中的元素是有序实数对(x ，y )，并且x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A .第二步：由于x －y ∈A ，所以x －y >0，即x >y ，所以可根据y ＝1，2,3,4,5确定x 的取值．[规范解答] 第三步：当y ＝1时，x ＝2,3,4,5；当y ＝2时，x ＝3,4,5；当y ＝3时，x ＝4,5；当y ＝4时，x ＝5；当y ＝5时，x 无解．实数对(x ，y )共有4＋3＋2＋1＝10个，即B 中所含元素个数为10.[反思与回顾] 第四步：本题考查集合中的元素个数问题，意在考查考生的分类讨论能力．二、集合与函数、方程的解题策略【示例2】 (2011·浙江卷改编)设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论：①|S |＝1且|T |＝0；②|S |＝1且|T |＝1，③|S |＝2且|T |＝2；④|S |＝2且|T |＝3，其中不可能成立的是________．[审题与转化] 第一步：集合S ，T 分别是方程f (x )＝0，g (x )＝0的实根构成的集合第二步：即在方程f(x)＝0有1个或2个实根时，讨论方程g(x)＝0实根个数是否可能为0,1,2,3[规范解答] 第三步：取a＝0，b＝0，c＝0，则S＝{x|f(x)＝x3＝0}，|S|＝1，T＝{x|g(x)＝1≠0}，|T|＝0.因此①可能成立．取a＝1，b＝0，c＝1，则S＝{x|f(x)＝(x＋1)(x2＋1)＝0}，|S|＝1，T＝{x|g(x)＝(x＋1)(x2＋1)＝0}，|T|＝1，因此②可能成立．取a＝－1，b＝0，c＝－1，则S＝{x|f(x)＝(x－1)(x2－1)＝0}，|S|＝2，T＝{x|g(x)＝(－x＋1)·(－x2＋1)＝0}，|T|＝2.因此③可能成立．对于④，若|T|＝3，则Δ＝b2－4c＞0，从而导致f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)也有3解，因此|S|＝2且|T|＝3不可能成立．故④不可能成立．[反思与回顾] 第四步：本题主要考查函数、零点、方程等内容，解题时要结合一次函数、二次函数、参数可能出现的情况进行分类讨论，采用排除法解题事半功倍．高考经典题组训练1．(2012·江苏卷)已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.解析A∪B＝{1,2,4,6}．答案{1,2,4,6}2．(2010·江苏卷)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．解析因为a2＋4≥4，所以由A∩B＝{3}，得3∈B，从而a＋2＝3，a＝1.答案 13．(2012·大纲全国卷改编)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.解析由A∪B＝A，得B⊆A，从而有m∈A，又m≠1，所以m＝m或m＝3，解得m＝0或m＝3.答案0或34．(2012·四川卷)设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.解析因为∁U A＝{c，d}，∁U B＝{a}，所以(∁U A)∪(∁U B)＝{a，c，d}．答案{a，c，d}5．(2012·天津卷)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析A＝{x|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，所以B＝{x|m<x<2}，所以m＝－1，n＝1.答案－11对应学生用书P243分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·镇江统考)已知集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}，且A∩B＝{2}，则A∪B ＝________.解析因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，又因为B＝{a，b}，所以b ＝2，所以A∪B＝{1,2,3}．答案{1,2,3}2．(2012·扬州调研)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|0<x<2}，则A∩B＝________. 解析A∩B＝{－1,0,1}∩{x|0<x<2}＝{1}．答案{1}3．(2012·南通调研)已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|1≤2x≤4}，则M∩N＝________.解析N＝{x|0≤x≤2}，M∩N＝{－1,1}∩{x|0≤x≤2}＝{1}．答案{1}4．(2012·山东卷改编)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则{∁U A}∪B＝________.解析因为∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,2,4}．答案{0,2,4}5．(2012·陕西卷改编)集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝________. 解析因为M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，所以M∩N＝{x|1<x≤2}．答案{x|1<x≤2}6．(2012·南京师大附中调研)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝sin n π3，n ∈Z ，则集合A 的子集的个数为________．解析 因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－32，0，32，所以A 的子集个数为23＝8. 答案 8二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·盐城调研)已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 1x ≥1，B ＝{y |y ＝x 2＋x ＋1，x ∈R }． (1)求A ，B ；(2)求A ∪B ，A ∩∁R B .解 (1)由1x ≥1，得1x －1＝1－x x ≥0， 即x (x －1)≤0且x ≠0，解得0<x ≤1，所以A ＝(0,1]．由y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，得B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. (2)因为∁R B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34，所以A ∪B ＝(0，＋∞)， A ∩(∁R B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34. 8．已知A ＝{x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ＞－2}，求a ，b 的值．解 A ＝{x |x 3＋3x 2＋2x ＞0}＝{x |x (x ＋1)(x ＋2)＞0}＝(－2，－1)∪(0，＋∞)．因为A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝{x |x ＞－2}．所以B ＝[－1,2]，因此⎩⎨⎧ (－1)＋2＝－a ，(－1)×2＝b ，解得a ＝－1，b ＝－2. 分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·徐州二模)已知集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －b x ＋2<0，若A ∩B ≠∅，则实数b 的取值范围是________．解析 A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |(x －b )(x ＋2)<0}．如图，因为A ∩B ≠∅，所以b >－1.答案 (－1，＋∞)2．(2012·南通调研)设M ＝{a |a ＝(2,0)＋m (0,1)，m ∈R }和N ＝{b |b ＝(1,1)＋n (1，－1)，n ∈R }都是元素为向量的集合，则M ∩N ＝________.解析 设a ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝m ；设b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝1＋n ，y ＝1－n ，即x ＋y ＝2，将x ＝2代入，得y ＝0，所以M ∩N ＝{(2,0)}．答案 {(2,0)}3．已知集合S ＝{0,1,2,3,4,5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的4个元素的子集共有________个，其中的一个是________．解析 由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}这样的集合，故共有6个． 答案 6 {0,1,2,3}4．(2012·南京师大附中调研)若给定集合A ，对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合．给出如下四个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合；④若集合A 1，A 2为闭集合，且A 1⊆R ，A 2⊆R ，则存在c ∈R ，使得c ∉(A 1∪A 2)．其中正确结论的序号是________． 解析 ①4－(－4)＝8∉A ，所以①不正确；②设n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1±n 2＝3(k 1±k 2)，且k 1≠k 2∈Z ，所以②正确；③假设A 1＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝3k ，k ∈Z },2∈A 1,3∈A 2，但是2＋3∉A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确；④取③中的集合A 1、A 2，可得④正确．答案 ②④5．(2012·南昌模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2. (2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值范围是{m |m ＞5，或m ＜－3}．6．(2011·江苏卷改编)设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围． 解 ①若m <0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m <0矛盾； ②若m ＝0，代入验证，可知不符合题意；③若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，集合B 表示一个带形区域，从而当直线x ＋y ＝2m ＋1与x ＋y ＝2m 中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋2，由于12>2－22，所以12≤m ≤2＋ 2.综上所述，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2. 第2讲 命题及其关系、充要条件对应学生用书P4 考点梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．【助学·微博】一个考情解读本节内容是高考的必考内容，主要以本节知识为工具考查函数、立体几何、解析几何等有关内容，以填空形式出现，难度不大，属容易题．主要考查：①命题真假的判定；②四种命题的转化及真假之间的关系；③充分条件与必要条件的判断．从逆否命题谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．考点自测1．(2012·南通调研)命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．解析否命题为“若实数a满足a＞2，则a2≥4”，是真命题．答案真2．(2012·镇江调研)“x＞1”是“x2＞x”的________条件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分又不必要”)．解析由x2＞x，得x＜0或x＞1，因此由x2＞x推不出x＞1，但由x＞1可推出x2＞x，所以“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．答案充分不必要3．(2012·盐城调研)已知a，b，c是非零实数，则“a，b，c成等比数列”是“b ＝ac”的________条件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)．解析当a，b，c成等比数列时，b＝±ac，而对于非零实数，若b＝ac，则a，b，c成等比数列．答案必要不充分4．(2012·深圳调研)已知x，y，z∈R，则“lg y为lg x，lg z的等差中项”是“y 是x，z的等比中项”的________条件．解析由2lg y＝lg x＋lg z，可得y2＝xz，反之，若x＝－1，y＝2，z＝－4，则有y2＝xz，但lg x，lg z无意义．所以应填充分不必要条件．答案充分不必要5．(2012·衡阳模拟)已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的________条件．解析f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2为偶函数⇔a·b＝0⇔a⊥b.答案充要对应学生用书P4考向一四种命题及其真假判断【例1】(2012·南京三模)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，则m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确．反之，若m≤1，则f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故填④.答案④[方法总结] 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．【训练1】 (2013·广州联考)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析 对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，因此①是假命题，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的有②④. 答案 ②④考向二 充分、必要条件和充要条件的判断【例2】 (2012·南京二模)下列四个命题：①“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件；④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________．解析 “∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，①是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题是“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，②是真命题；在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件，③是假命题．函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数的充要条件是“φ＝k π2(k ∈Z )．”④是假命题，所以真命题是①②.答案①②[方法总结] 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.【训练2】(2013·宁波模拟)给出下列命题：①“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n a n＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，则A＝30°是B＝60°的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．解析对于①，当数列{a n}为等比数列时，易知数列{a n a n＋1}是等比数列，但当数列{a n a n＋1}为等比数列时，数列{a n}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；对于④，由题意得ba＝sin Bsin A＝3，若B＝60°，则sin A＝12，注意到b>a，故A＝30°，反之，当A＝30°时，有sinB＝32，由于b>a，所以B＝60°或B＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.答案①④考向三充要条件的应用【例3】(2012·无锡一中调研)已知函数f(x)＝ax－bx2(a>0)．(1)当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2b；(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立的充要条件是b－1≤a≤2b. 证明(1)由题意知bx2－ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，∴Δ＝a 2－4b ≤0，又a >0，b >0，∴a ≤2b .(2)①先证充分性：∵b >1，a ≥b －1，∴对任意x ∈[0,1]，有ax －bx 2≥(b －1)x －bx 2＝b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1；∵b >1，a ≤2b ，∴对任意x ∈[0,1]，有ax －bx 2≤2bx －bx 2＝－(bx －1)2＋1≤1，即ax －bx 2≤1，∴|f (x )|≤1成立，充分性得证；②再证必要性：∵对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1，∴f (1)≥－1，即a ≥b －1；∵对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1，而b >1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ≤1，即a ≤2b ，必要性得证． 由①②可知，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立的充要条件是b －1≤a ≤2b .[方法总结] (1)涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．(2)①p 的充分不必要条件为q ，等价于p ⇐q ，p ⇒/ q ；②p 的必要不充分条件为q ，等价于p ⇒q ，p ⇒/ q .【训练3】 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解 法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴A B ，∴⎩⎨⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎨⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10即m ≥9或m >9.∴m ≥9.故实数m 的取值范围是[9，＋∞)．法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎨⎧ m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧ m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9，∴m ≥9.故实数m 的取值范围是[9，＋∞)．对应学生用书P6热点突破2 充分条件与必要条件的判断方法高考对命题的考查，充要条件的判断是重点，至多出现一道填空题．判断充分条件与必要条件的方法有三种，即(1)定义法：即先对命题“若p ，则q ”与“若q ，则p ”进行真假判断，再下结论，其中p 是q 的什么条件，只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件．(2)集合法：当要判断的命题与方程的根、不等式的解答有关，或描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断．(3)等价法：在判断綈q 与綈p 之间的关系时，可由原命题与其逆否命题的等价性转化为判断p 与q 的关系．一、用定义法判断充要条件【示例1】 (2011·湖北卷改编)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的________条件．[审题与转化] 第一步：条件p ：φ(a ，b )＝0，即a 2＋b 2＝a ＋b ，结论q ：a 与b 互补．第二步：a 2＋b 2＝a ＋b ⇔a ≥0，b ≥0，且ab ＝0.[规范解答] 第三步：φ(a ，b )＝0⇔a 2＋b 2＝a ＋b ⇔a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab ⇔⎩⎨⎧ ab ＝0，a ＋b ≥0⇔⎩⎨⎧ab ＝0，a ≥0，b ≥0⇔a 与b 互补，故填充要条件． [反思与回顾] 第四步：常以方程、不等式、函数等代数知识及几何知识为载体考查；从能力上主要考查推理判断能力和论证能力．二、用集合法判断充要条件【示例2】 (2012·山东卷改编)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件．[审题与转化] 第一步：“a >0且a ≠1”是大前提．设f (x )＝a x 是R 上的减函数时a 的取值集合为A ，g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数时a 的取值集合为B ，下面只要判断集合A 与B 的包含关系即可．第二步：函数f (x )＝a x 在R 上是减函数的充要条件是p ：0<a <1，记为A ＝(0,1)，函数g (x )＝(2－a )x 3是R 上增函数的充要条件是q ：2－a >0且a >0，a ≠1，即0<a <2且a ≠1，记为B ＝(0,1)∪(1,2)．[规范解答] 第三步：因为A B ，所以p 是q 充分不必要的条件．[反思与回顾] 第四步：用集合法判断充要条件较为直观，但适用范围有一定的限制．高考经典题组训练1．(2012·北京卷改编)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”________条件．解析 a ＝0时，a ＋b i 可能为实数0；若a ＋b i 是纯虚数，则必有a ＝0.所以“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”必要不充分的条件．答案 必要不充分2．(2012·陕西卷改编)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的________条件．解析由ab＝0，得a＝0或b＝0，推不出a＋bi＝a－b i是纯虚数，反之成立．所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分的条件．答案必要不充分3．(2012·天津卷改编)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的________条件．解析若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．所以“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件．答案充分不必要4．(2012·安徽卷改编)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．解析由α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，可得b⊥α.又b⊂α，所以b⊥a.反之，举反例可知不成立．所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．答案充分不必要5．(2012·重庆卷改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期的周期函数．则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件．解析由条件可得f(x)在[－1,0]上为减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，f(x)＝f(x－4)，所以f(x)在[3,4]上是减函数．反之，当x∈[3,4]时，f(x)是减函数，由x－4∈[－1,0]，f(x)＝f(x－4)，所以f(x)在[－1,0]上是减函数．于是由f(x)是偶函数知f(x)在[0,1]上是增函数．答案充要对应学生用书P245分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．命题“若x 2<2，则|x |<2”的逆否命题是________．解析 “若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”．答案 若|x |≥ 2，则x 2≥22．(2012·南通、扬州、泰州三市调研)对于定义在R 上的函数f (x )，给出三个命题：①若f (－2)＝f (2)，则f (x )为偶函数；②若f (－2)≠f (2)，则f (x )不是偶函数；③若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________． 解析 ①设f (x )＝x (x 2－4)，则f (－2)＝f (2)，但f (x )是奇函数；②正确；③设f (x )＝0(x ∈R )，则f (－2)＝f (2)＝0，f (x )是奇函数．所以②正确．答案 ②3．(2012·南京二模)下列命题是假命题的是________(填序号)．①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若0<x <π2，且x sin x <1，则x sin 2x <1；③互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线； ④“x >2”是“3x ＋1－1≤0”的充分不必要条件． 解析 ①正确；②由0<x <π2，得0<sin x <1，又x sin x <1，则x sin 2x <sin x <1，②正确；③射影可能是点，③不正确；④由3x ＋1－1≤0，得x <－1或x ≥2，所以④正确．答案 ③4．(2013·菏泽市测试)已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ”的________条件．解析 log 3a >log 3b ⇒a >b >0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ， 但⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ⇒a >b ，不一定有a >b >0. 答案 充分不必要5．(2013·莱芜市检测)在锐角△ABC 中，“A ＝π3”是“sin A ＝32”成立的________条件．解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝π3⇔sin A ＝32. 答案 充要6．(2013·山东省实验中学测试)设p ：x 2－x －20＞0，q ：1－x2|x |－2＜0，则p 是q的________条件．解析 p ：x 2－x －20＞0⇒x ＜－4或x ＞5.q ：1－x 2|x |－2＜0⇒⎩⎨⎧ 1－x 2＜0，|x |－2＞0或⎩⎨⎧1－x 2＞0，|x |－2＜0⇒x ＜－2或－1＜x ＜1或x ＞2，则p ⇒q ，q /⇒p ，p 是q 的充分不必要的条件． 答案 充分不必要二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·南京第一次调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列．证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3.证明 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1. 因为a n ＝⎩⎨⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，所以a n ＝⎩⎨⎧a 1，n ＝1，3(a 1＋1)·4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列．②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4，即3(a 1＋1)a 1＝4，解得a 1＝3.8．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．问：这个命题的逆命题是否成立，并给出证明．解 逆命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”． 该命题是真命题，证明如下：法一 (利用原命题的逆命题与否命题等价证明)： 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， 因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， 因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，因为原命题的逆命题与它的否命题等价，所以该命题正确． 法二 (用反证法给出证明)： 假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， 因此f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，该命题正确．分层训练B 级 创新能力提升1．设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x －1x －2<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a x －a 2－1<0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 解析 A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |a <x <a 2＋1}， 因为q 是p 的必要条件，所以p ⇒q ，A ⊆B ， 从而有a ≤1且a 2＋1≥2，解得a ≤－1或a ＝1， 所以a 的取值范围是{1}∪{a |a ≤－1}． 答案 {1}∪{a |a ≤－1}2．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的a 的取值范围是________．解析 设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，⎩⎨⎧Δ＝(2a －1)2－4(a 2－2)≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0，x 1x 2＝a 2－2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤9，a ＞12，a ≤－2或a ≥2.即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，94 3．(2012·盐城三模)若三条抛物线y ＝x 2＋4ax －4a ＋3，y ＝x 2＋(a －1)x ＋a 2，y ＝x 2＋2ax －2a 中至少有一条与x 轴有公共点，则a 的取值范围是________________．解析 假设这三条抛物线与x 轴均无公共点，则⎩⎨⎧Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得－32<a <－1.记A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，则所求a 的范围是∁R A ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)4．使得关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件的a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，原方程变形为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根，当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1， 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a ， 当有一负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a＜0⇔a ＜0，有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a＜0，⇔0＜a ≤1.1a ＞0综上所述，a ≤1.答案 (－∞，1]5．已知a ＞0，设p ：不等式x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为∅，q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围． 解 “x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为∅”等价于“x 2＋2ax ＋a ≥0的解集为R ”，所以当p 成立，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤1. 又a ＞0，∴0＜a ≤1“不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ”等价于： 法一 函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值大于1. ∵x ＋|x －2a |＝⎩⎨⎧2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ，∴函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为2a ， 于是由2a ＞1，得a ＞12.法二 |x －2a |＞1－x 恒成立，即y ＝|x －2a |的图象恒在y ＝1－x 图象的上方，如图所示，得 2a ＞1，所以a ＞12.如果p 正确且q 不正确，则0＜a ≤12；如果p 不正确且q 正确，则a ＞1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．6．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －(3a ＋1)<0，B ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时， A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <52， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <94，∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤12或x ≥94. ∴(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}． ∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B . ∴⎩⎨⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意； ③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}， 由A ⊆B 得⎩⎨⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词对应学生用书P6考点梳理1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”、“且”、“非”称为逻辑联结词．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断2.(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀x”表示“对任意x”，含有全称量词的命题，称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(2)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词．用符号“∃x”表示“存在x”，含有存在量词的命题称为存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可以用符号简记为：∃x∈M，p(x)．3．含有一个量词的命题的否定【助学·微博】一个命题规律本节内容是高考考查的重点，尤其是全称命题与存在性命题的真假判断及其否定更是高考考查的热点，题型以填空形式出现，难度较小，属低档题．正确区分命题的否定与否命题命题的否定与否命题不同，否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论，而不否定条件．正确理解一般命题的否定与含有一个量词的命题的否定，含有一个量词的命题的否定与一般命题的否定是不同的．全称命题的否定是存在性命题，存在性命。

专题一 集合与简易逻辑1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}|lg |lg (,)|lg A x y x B y y x C x y y x A B C ======如：集合，，，、、中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅注重借助于数轴和文氏图解集合问题空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}2|230|1A x x x B x ax =--===如：集合，B A a ⊂若，则实数的值构成的集合为3. 注意下列性质：{}12(1)n a a a 集合，，……，的所有子集的个数是（2）A B A B A A B B ⊆⇔==若，；（3）()()U U A B AB C C ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）25035ax x M M M a x a-<∈∉-如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数的取值范围。

5. ()()∨∧可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”().⌝p q ∧⇔若为真， ；p q ∨⇔若为真， ；p ⌝⇔若为真，6.①命题的四种形式及其相互关系是什么？②若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件 ③你了解全称命题与特称命题吗？知道如何写出它们的否定形式吗？例如：1.若命题p 为：011>-x ，则p ⌝： ； 2. 、若p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的 条件专题二 函数与导数1. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。

）2. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）3. 求函数的定义域有哪些常见类型？ lg 3y x =-例：函数4.求复合函数的解析式的方法是什么？(特别要注明有时要注明函数的定义域)().xfex f x =+如：，求5.了解指数函数与对数函数互为反函数 （这两个函数的图象关于 对称）6. 如何用证明函数的单调性？(①用定义：取值、作差、判正负；②求导） [)30()1a f x x a x a >=-+∞如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大值是7. 函数f (x )具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f (x )定义域关于原点对称） ()()()f x f x f x -=-⇔⇔若总成立为奇函数函数图象关于原点对称 ()()()f x f x f x y-=⇔⇔若总成立为偶函数函数图象关于轴对称 注意：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合[知识能否忆起]一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2．集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. 3．常见集合的符号表示：4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．二、集合间的基本关系三、集合的基本运算[小题能否全取]1．(2012·大纲全国卷)已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选B 选项A 错，应当是B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D 错，应当是D ⊆A .2．(2012·浙江高考)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：选B 因为∁R B ＝{x |x ＞3，或x ＜－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}． 3．(教材习题改编)A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时a 的值是( )A ．2B ．2或3C ．1或3D ．1或2解析：选D 验证a ＝1时B ＝∅满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件． 4.(2012·盐城模拟)如图，已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．解析：阴影部分表示的集合为A ∩C ∩(∁U B )＝{2,8}． 答案：{2,8}5．(教材习题改编)已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________.解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意； n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1； n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1； n ≤－2时，x ∉Z . 故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅和A ≠∅两种可能的情况．典题导入[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2013＝________. [自主解答] (1)∵B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，A ＝{1,2,3,4,5}， ∴x ＝2，y ＝1；x ＝3，y ＝1,2；x ＝4，y ＝1,2,3；x ＝5，y ＝1,2,3,4.∴B ＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}， ∴B 中所含元素的个数为10. (2)由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2，故(m －n )2 013＝－1或0. [答案] (1)D (2)－1或0由题悟法1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．以题试法1．(1)(2012·北京东城区模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝________.解析：(1)∵P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，∴当a ＝0时，a ＋b 的值为1,2,6；当a ＝2时，a ＋b 的值为3,4,8；当a ＝5时，a ＋b 的值为6,7,11，∴P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P ＋Q 中有8个元素． (2)∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3， 与元素互异性矛盾，应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3.∴a ＝－32满足条件．答案：(1)B (2)－32典题导入[例2] (1)(2012·湖北高考)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.[自主解答] (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. [答案] (1)D (2)4由题悟法1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、V enn 图帮助分析．以题试法2．(文)(2012·郑州模拟)已知集合A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若B ⊆A ，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．2或3D ．0或2或3解析：选D 当m ＝0时，B ＝∅⊆A ；当m ≠0时，由B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6m ⊆{2,3}可得6m ＝2或6m ＝3， 解得m ＝3或m ＝2， 综上可得实数m ＝0或2或3.(理)已知集合A ＝{y |y ＝－x 2＋2x }，B ＝{x ||x －m |<2 013}，若A ∩B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．[－2 012,2 013]B ．(－2 012,2 013)C ．[－2 013,2 011]D ．(－2 013,2 011)解析：选B 集合A 表示函数y ＝－x 2＋2x 的值域，由t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，可得0≤y ≤1，故A ＝[0,1]．集合B 是不等式|x －m |<2 013的解集，解之得m －2 013<x <m ＋2 013，所以B ＝(m －2 013，m ＋2 013)．因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .如图，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧m －2 013<0，m ＋2 013>1， 解得－2 012<m <2 013.典题导入[例3] (1)(2011·江西高考)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )(2)(2012·安徽合肥质检)设集合A ＝{x |x 2＋2x －8<0}，B ＝{x |x <1}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |－4<x <2}C ．{x |－8<x <1}D ．{x |1≤x <2}[自主解答] (1)∵M ∪N ＝{1,2,3,4}， ∴(∁U M )∩(∁U N )＝∁U (M ∪N )＝{5,6}． (2)∵x 2＋2x －8<0， ∴－4<x <2， ∴A ＝{x |－4<x <2}， 又∵B ＝{x |x <1}，∴图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}． [答案] (1)D (2)D将例3(1)中的条件“M ＝{2,3}”改为“M ∩N ＝N ”，试求满足条件的集合M 的个数． 解：由M ∩N ＝N 得M ⊇N .含有2个元素的集合M 有1个，含有3个元素的集合M 有4个， 含有4个元素的集合M 有6个，含有5个元素的集合M 有4个， 含有6个元素的集合M 有1个．因此，满足条件的集合M 有1＋4＋6＋4＋1＝16个．由题悟法1．在进行集合的运算时要尽可能地借助V enn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用V enn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．2．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，一定先考虑A或B是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．以题试法3．(2012·锦州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁UA)∩B等于()A．{x|x>2，或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：选C A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2，或x<0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，∁U A＝{x|0≤x≤2}．∴(∁U A)∩B＝{x|1<x≤2}．以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，常见的命题形式有新定义、新运算、新性质，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．1．创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．[典例1]若x∈A，则1x ∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是() A．1B．3C．7 D．31[解析] 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.[答案] B[题后悟道] 该题是集合新定义的问题，定义了集合中元素的性质，此类题目只需准确提取信息并加工利用，便可顺利解决．2．创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．[典例2] 设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}[解析] 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．[答案] B[题后悟道] 解决创新集合新运算问题常分为三步： (1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向； (2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．3．创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．[典例3] 对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i[解析] ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.[答案] B[题后悟道]此题是属于创新集合新性质的题目，通过非空集合S中的元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，确定集合的元素．1．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅解析：选B A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B A.2．(2012·山西四校联考)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是()A．2 B．3C．4 D．8解析：选C依题意得，满足M∪N＝{0,1,2}的集合N有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4个．3．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝()A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}解析：选B因为P∩Q＝{0}，所以0∈P，log2a＝0，a＝1，而0∈Q，所以b＝0.所以P∪Q＝{3,0,1}．4．(2012·辽宁高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝()A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析：选B因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．5．(2013·合肥质检)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{x∈Z||x|≤a}，则满足A B 的实数a的一个值为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选D当a＝0时，B＝{0}；当a ＝1时，B ＝{－1,0,1}； 当a ＝2时，B ＝{－2，－1,0,1,2}； 当a ＝3时，B ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}， 显然只有a ＝3时满足条件．6．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．(－∞，3)∪(5，＋∞) B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．(－∞，3)∪[5，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)解析：选C x 2－7x ＋10<0⇔(x －2)·(x －5)<0⇒2<x <5，A ∩B ＝{x |3≤x <5}， 故∁U (A ∩B )＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．7．(2012·大纲全国卷)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或3B ．0或3C ．1或 3D ．1或3解析：选B 法一：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，∴m ＝3或m ＝m .由m ＝m 得m ＝0或m ＝1.但m ＝1不符合集合中元素的互异性，故舍去，故m ＝0或m ＝3.法二：∵B ＝{1，m }，∴m ≠1，∴可排除选项C 、D.又当m ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足A ∪B ＝{1,3，3}＝A ，故选B. 8．设S ＝{x |x <－1，或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1) B ．[－3，－1]C ．(－∞，－3]∪(－1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1，＋∞) 解析：选A 在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，由图可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.9．若集合U ＝R ，A ＝{x |x ＋2>0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝________. 解析：由题意得∁U B ＝(－∞，1)， 又因为A ＝{x |x ＋2>0}＝{x |x >－2}， 于是A ∩(∁U B )＝(－2,1)． 答案：(－2,1)10．(2012·武汉适应性训练)已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝________.解析：依题意及韦恩图得，B ∩(∁U A )＝{5,6}． 答案：{5,6}11．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2x <1，N ＝{y |y ＝x －1}，则N ∩(∁R M )＝________.解析：M ＝{x |x <0，或x >2}，所以∁R M ＝[0,2]， 又N ＝[0，＋∞)，所以N ∩(∁R M )＝[0,2]． 答案：[0,2]12．(2012·吉林模拟)已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12.答案：0,1，－1213．(2012·苏北四市调研)已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋a ≤(a ＋1)x 可化为(x －a )(x －1)≤0，由题意知不等式的解集为{x |1≤x ≤a }．A 中所有整数元素构成以1为首项，1为公差的等差数列，其前7项和为7×(1＋7)228，所以7≤a <8，即实数a 的取值范围是[7,8)． 答案：[7,8)14．(2012·安徽名校模拟)设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：71．(2012·杭州十四中月考)若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝lg x ，110≤x ≤10，B ＝{－2，－1,1,2}，全集U ＝R ，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1,1} B ．(∁U A )∪B ＝[－1,1]C ．A ∪B ＝(－2,2)D ．(∁U A )∩B ＝[－2,2]解析：选A ∵x ∈⎣⎡⎦⎤110，10，∴y ∈[－1,1]，∴A ∩B ＝{－1,1}．2．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C由36－x2>0，解得－6<x<6.又因为x∈N，所以S＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k是集合M的“酷元”是指k2与k都不属于集合M.显然k＝0,1都不是“酷元”．若k＝2，则k2＝4；若k＝4，则k＝2.所以2与4不同时在集合M中，才能成为“酷元”．显然3与5都是集合S中的“酷元”．综上，若集合M中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．3．(2013·河北质检)已知全集U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2(x－1)<1}，若M∩(∁N)＝{x|x＝1，或x≥3}，那么()UA．a＝－1 B．a≤1C．a＝1 D．a≥1解析：选A由题意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1<x<3}，所以∁U N＝{x|x≤1，或x≥3}，又M∩(∁U N)＝{x|x＝1，或x≥3}，因此－a＝1，a＝－1.4．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确；②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③令A1＝{－4,0,4}，A2＝{－2,0,2}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．答案：②5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1. ∴m ＞5或m ＜－3.即m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6．(2012·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}， N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}， ∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}， ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}， 当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．1．现有含三个元素的集合，既可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，则a 2 013＋b 2 013＝________.解析：由已知得ba ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.答案：－12．集合S ＝{a ，b ，c ，d ，e }，包含{a ，b }的S 的子集共有( ) A ．2个 B ．3个 C ．5个D ．8个解析：选D 包含{a ，b }的S 的子集有：{a ，b }；{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，e }；{a ，b ，c ，d }，{a ，b ，c ，e }，{a ，b ，d ，e }；{a ，b ，c ，d ，e }共8个．3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为0，设同时参加数学和化学小组的人数为x ，V enn 图如图所示，∴(20－x )＋6＋5＋4＋(9－x )＋x ＝36，解得x ＝8. 答案：84．已知集合A ＝{x |x 2＋2x ＋a ≤0}，B ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，若A ，B 中至少有一个不是空集，则a 的取值范围是________．解析：若A ，B 全为空集，则实数a 满足4－4a <0且a >4a －9，即1<a <3，则满足题意的a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)5．(2012·重庆高考)设平面点集A ＝(x ，y )(y －x )·⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34π B.35π C.47πD.π2解析：选D A ∩B 表示的平面图形为图中阴影部分，由对称性可知，S C ＝S F ，S D ＝S E .因此A ∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的一半，即为π2.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[知识能否忆起]一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．二、四种命题及其关系 1．四种命题2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 三、充分条件与必要条件1．如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 2．如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选A 由1x ＝1y 得x ＝y ，A 正确，易知B 、C 、D 错误．2．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 3．(2012·温州适应性测试)设集合A ，B ，则A ⊆B 是A ∩B ＝A 成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B.因此，A⊆B是A∩B＝A成立的充要条件．4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”5．下列命题中所有真命题的序号是________．①“a>b”是“a2>b2”的充分条件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．解析：①由2>－3⇒/ 22>(－3)2知，该命题为假；②由a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|知，该命题为真；③a>b⇒a＋c>b＋c，又a＋c>b＋c⇒a>b，∴“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件为真命题．答案：②③1.充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．典题导入[例1]下列命题中正确的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－312是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④[自主解答]①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．[答案] B由题悟法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．以题试法1．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b ∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④典题导入[例2](1)(2012·福州质检)“x<2”是“x2－2x<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2012·北京高考)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答](1)取x＝0，则x2－2x＝0，故由x<2不能推出x2－2x<0；由x2－2x<0得0<x<2，故由x2－2x<0可以推出x<2.所以“x<2”是“x2－2x<0”的必要而不充分条件．(2)当a＝0，且b＝0时，a＋b i不是纯虚数；若a＋b i是纯虚数，则a＝0.故“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．[答案](1)B(2)B由题悟法充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．以题试法2．下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.解：(1)若A＝B，则sin A＝sin B，即p⇒q.又若sin A＝sin B，则2R sin A＝2R sin B，即a＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．(2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．典题导入[例3]已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，且q是p的充分而不必要条件，则a 的取值范围为________．[自主解答]设q，p表示的范围为集合A，B，则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．由于q 是p 的充分而不必要条件，则有A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4>3或⎩⎪⎨⎪⎧a －4<2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6. [答案] [－1,6]由题悟法利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，则p ⇒/ q ，且q ⇒p ； (3)若p 是q 的充要条件，则p ⇔q .以题试法3．(2013·兰州调研)“x ∈{3，a }”是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[)3，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－12D.⎝⎛－∞，－12∪()3，＋∞ 解析：选D 由2x 2－5x －3≥0得x ≤－12或x ≥3.∵x ∈{3，a }是不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性a ≠3，∴a ≤－12或a >3.[典例] (2012·山东高考)设a >0且a ≠1，则 “函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝ (2－a )x 3在R 上是增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[常规解法]“函数f(x)＝a x在R上是减函数”的充要条件是p：0<a<1.因为g′(x)＝3(2－a)x2，而x2≥0，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是2－a>0，即a<2.又因为a>0且a≠1，所以“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充要条件是q：0<a<2且a≠1.显然p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件，即“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．[答案] A——————[高手支招]———————————————————————————1．充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法．2．三种不同的方法各适用于不同的类型，定义法适用于定义、定理判断性问题，而集合法多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．[巧思妙解]p：“函数f(x)＝a x在R上是减函数”等价于0<a<1.q：“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”等价于2－a>0，即a<2.而{a|0<a<1}是{a|a<2}的真子集，故答案为A.针对训练命题p：|x＋2|>2；命题q：13－x>1，则綈q是綈p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B解|x＋2|>2，即x＋2<－2或x＋2>2，得x<－4或x>0，所以p：x<－4或x>0，故綈p：－4≤x≤0；解13－x>1，得2<x<3，所以q：2<x<3，綈q：x≤2或x≥3.显然{x|－4≤x≤0} {x|x≤2，或x≥3}，所以綈q是綈p的必要不充分条件．1．(2012·福建高考)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( ) A ．x ＝－12 B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析：选D a ⊥b ⇔2(x －1)＋2＝0，得x ＝0.2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数． 3．(2013·武汉适应性训练)设a ，b ∈R ，则“a >0，b >0”是“a ＋b2>ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 由a >0，b >0不能得知a ＋b 2>ab ，如取a ＝b ＝1时，a ＋b 2＝ab ；由a ＋b2>ab不能得知a >0，b >0，如取a ＝4，b ＝0时，满足a ＋b2>ab ，但b ＝0.综上所述，“a >0，b >0”是“a ＋b2>ab ”的既不充分也不必要条件． 4．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切得，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即有|a |2＝1，a ＝± 2.因此，p 是q 的充分不必要条件．5．(2012·广州模拟)命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D x 2<1的否定为：x 2≥1；－1<x <1的否定为x ≥1或x ≤－1，故原命题的逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.6．(2011·天津高考)设集合A ＝{x ∈R |x －2＞0}，B ＝{x ∈R |x ＜0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C A ∪B ＝{x ∈R |x ＜0，或x ＞2}，C ＝{x ∈R |x ＜0，或x ＞2}， ∵A ∪B ＝C ，∴x ∈A ∪B 是x ∈C 的充分必要条件． 7．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题解析：选A 对于A ，其逆命题是：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |≥y ，必有x >y ；对于B ，否命题是：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题是：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，由于x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．8．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )， ∴|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，∴y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，如y ＝f (x )＝x 2，而它不是奇函数．9．命题“若x >0，则x 2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”) 解析：其否命题为“若x ≤0，则x 2≤0”，它是假命题． 答案：假10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由题意得A B 结合数轴易得a >4. 答案：(4，＋∞)11．(2013·绍兴模拟)“－3<a <1”是“方程x 2a ＋3＋y 21－a ＝1表示椭圆”的____________条件．解析：方程表示椭圆时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3>0，1－a >0，a ＋3≠1－a解得－3<a <1且a ≠－1，故“－3<a <1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 答案：必要不充分12．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．解析：由x 2>1，得x <－1或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1 13．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ； ②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2⇒/ A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝⎛12x 2－x －6<1，B ＝{x |log 4(x ＋a )<1}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由⎝⎛⎭⎫12x 2－x －6<1，即x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3，故A ＝{x |x <－2，或x >3}；由log 4(x ＋a )<1，即0<x ＋a <4，解得－a <x <4－a ，故B ＝{x |－a <x <4－a }，由题意，可知B A ，所以4－a ≤－2或－a ≥3，解得a ≥6或a ≤－3.答案：(－∞，－3]∪[6，＋∞)1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，则“A <B ”是“cos 2A >cos 2B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由大边对大角可知，A <B ⇔a <b . 由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，故a <b ⇔sin A <sin B .而cos 2A ＝1－2sin 2A ，cos 2B ＝1－2sin 2B ，又sin A >0，sin B >0，所以sin A <sin B ⇔cos 2A >cos 2B .所以a <b ⇔cos 2A >cos 2B ，即“A <B ”是“cos 2A >cos 2B ”的充要条件．2．设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：选B 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”． 若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2. 对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1. 对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，故不能推出x >1或y >1. 对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1，故选B.3．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由题意知：“13x <12”是“不等式|x －m |<1”成立的充分不必要条件．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12是{x ||x －m |<1}的真子集． 而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }，所以有⎩⎨⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12，解得－12≤m ≤43.所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，43. 答案：⎣⎡⎦⎤－12，434．在“a ，b 是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集； ③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0； ④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0； ⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集； ⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.答案：①③②④5．设条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：条件p 为：12≤x ≤1，条件q 为：a ≤x ≤a ＋1.綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >1，或x <12，綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1，或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴B A ，∴a ＋1>1且a ≤12或a ＋1≥1且a <12.∴0≤a ≤12.故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12.6．已知集合M ＝{x |x <－3，或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件． 解：(1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是－3≤a ≤5；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．1．(2012·济南模拟)在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则必有a 1b 2－a 2b 1＝0，但当a 1b 2－a 2b 1＝0时，直线l 1与l 2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f (p )＝2.2．条件p ：π4<α<π2，条件q ：f (x )＝log tan αx 在(0，＋∞)内是增函数，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件。

高考数学(理科)基础知识归纳集合与简易逻辑知识回顾：(一) 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性 3⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真 .否命题 逆命题.② 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.(二) 含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1. 整式不等式的解法 根轴法(零点分段法)① 将不等式化为a o (x-x i )(x-x 2)…(x-x ">0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“ +” ；(为了统一方便)② 求根，并在数轴上表示出来；③ 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；④ 若不等式(x 的系数化“ +”后)是“ >0” ,则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“<0” ,则找“线”在 x 轴下方的区间.— _C 口 - 七_______ g+u+ 、x1x2X 3m-3_[xm-2 x m-1- 卜 --------------------------x ym(自右向左正负相间)则不等式 a 0x na 1xn 1a 2xn 2确定•3.含绝对值不等式的解法(1) 公式法：ax b c ,与|ax b| c(c 0)型的不等式的解法 (2) 定义法：用“零点分区间法”分类讨论.(3)几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.a n 0( O)(a o 0)的解可以根据各区间的符号特例①一元一次不等式ax>b 解的讨论;一兀二次方程ax 2 bx c 0 a 0的根有两相异实根X l ,X 2(X i X 2)有两相等实根bX [ x ?—2a无实根ax 2 bx c 0 (a 0)的解集xx 為或x x 2b XX ——2aRax 2 bx c 0 (a 0)的解集xx 1 x x 22.分式不等式的解法(1)标准化：移项通分化为f(x)>0(或 f (x) c\ <0)f(x)>0(或 f(x)W 0)的形式，g(x ) g(x)g(x) g(x)(2)转化为整式不等式(组)f (X)0 f(x)g(x)f (x) 0; 0 f(x)g(x) 0g(x)g(x)g(x) 04. 一兀二次方程根的分布2一兀二次方程 ax +bx+c-0(a 丰0)(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之 •(三)简易逻辑1命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

2014高考数学大纲——知识点总结(一)必考内容与要求1. 集合(1) 集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的属于关系。

②能用自然语言、图形语言、几何语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题。

(2) 集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

②在具体情境中，了解全集与空集的含义。

(3) 集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会要求给定及子集的补集。

③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系与运算。

2. 函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数。

幂函数)(1) 函数①了解构成函数的要素，会简单求一些简调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。

③知道对数函数是一类重要的函数模型。

④了解指数函数与对数函数互为反函数(a﹥0，且a≠1)(4) 幂函数①了解幂函数的概念。

②结合函数的图像，了解它们的变化情况。

(5) 函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

③根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。

(6) 函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升，指数增长，对数增长等不同函数类型增长的含义。

②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。

3.立体几何初步(1)认识空间几何①认识柱、锥、台、球极其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物理的结构。

②能画出简单空间图形(长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的指示图。

③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同形式。

④会画某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)。

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－4 坐标系与参数方程第1课时 坐 标 系1. (选修44P 17习题第7题改编)已知点M 的直角坐标是(－1，3)，求点M 的极坐标．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋2π3(k∈Z )都是极坐标． 2. (选修44P 32习题第4题改编)求直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程． 解：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos(θ－α)＝0，取θ－α＝π2.3. (选修44P 32习题第5题改编)化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程． 解：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝x ＝1.∴ 直角坐标系方程为x 2＋y 2＝0或x ＝1.4. 求极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线．解：ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，则θ＝k π＋π2，或x 2＋y 2＝4y.∴ 表示的曲线为一条直线和一个圆．5. (选修44P 33习题第14题改编)求极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距．解：圆心分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故圆心距为22.1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来．2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M(ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2n π)(n∈Z )．3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(n∈Z )．4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可为任意角．5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M(ρ，θ)，建立等式，化简即得．6. 常用曲线的极坐标方程(1) 经过点A(a ，0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a. (2) 经过点A(0，a)与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. (3) 圆心在A(a ，0)，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.7. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．平面内任一点P 的直角坐标(x ，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 和⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x . [备课札记]题型1 求极坐标方程例1 如图，AB 是半径为1的圆的一条直径，C 是此圆上任意一点，作射线AC ，在AC 上存在点P ，使得AP²AC＝1，以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系．(1) 求以AB 为直径的圆的极坐标方程； (2) 求动点P 的轨迹的极坐标方程； (3) 求点P 的轨迹在圆内部分的长度．解：(1) 易得圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2) 设C(ρ0，θ)，P(ρ，θ)，则ρ0＝2cos θ，ρ0ρ＝1.∴ 动点P 的轨迹的极坐标方程为ρcos θ＝12.(3) 所求长度为 3. 备选变式（教师专享）求以点A(2，0)为圆心，且过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6的圆的极坐标方程． 解：由已知圆的半径为 AB ＝22＋（2 3）2－2³2³2 3cos π6＝2.又圆的圆心坐标为A(2，0)，所以圆过极点， 所以圆的极坐标方程是ρ＝4cos θ.题型2 极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d.求d 的最大值．解：将极坐标方程ρ＝3化为普通方程，得圆：x 2＋y 2＝9.极坐标方程ρ(cos θ＋3sin θ)＝2化为普通方程，得直线：x ＋3y ＝2.在x 2＋y 2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)． 则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin （α＋30°）－2|2，∴ 所求d 的最大值为4. 变式训练在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的方程为y ＝2x ＋1，判断直线l 和圆C 的位置关系．解：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和圆C 相交． 题型3 极坐标的应用例3 若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．解：(解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，得交点坐标为A(1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2π3(注意坐标形式不唯一)．在△OAB 中，根据余弦定理，得AB 2＝1＋1－2³1³1³cos 2π3＝3，所以AB ＝ 3.(解法2)由ρ＝1，得x 2＋y 2＝1.∵ ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos θ－3sin θ，∴ ρ2＝ρcos θ－3²ρsin θ，∴ x 2＋y 2－x ＋3y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，得A(1，0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，∴AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋322＝ 3. 备选变式（教师专享）在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0) 的一个交点在极轴上，求a 的值．解：曲线C 1的直角坐标方程是2x ＋y ＝1，曲线C 2的普通方程是直角坐标方程x 2＋y 2＝a 2，因为曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，所以C 1与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y ＝0，x ＝22，知a ＝22.1. (2013²安徽)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程． 解：在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1，所以左切线方程为θ＝π2，右切线满足cos θ＝2ρ，即ρcos θ＝2.2. (2013²天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，求|CP|. 解：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，所以(x －2)2＋y 2＝4，圆心C(2，0)．点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，即ρ＝4，θ＝π3，所以x ＝ρcos θ＝4cos π3＝2，y ＝ρsinθ＝4sin π3＝23，即P(2，23)，所以|CP|＝2 3.3. (2013²上海)在极坐标系中，求曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离．解：联立方程组得ρ(ρ－1)＝1 ρ＝1±52.又ρ≥0，故所求为1＋52.4. 在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵ 圆C 的圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点， ∴ 在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴ 圆C 的圆心坐标为(1，0)． ∵ 圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， ∴ 圆C 的半径为PC ＝（2）2＋12－2³1³2cos π4＝1.∴ 圆C 经过极点．∴ 圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1. (2013²北京)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．解：在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin θ＝2化为直角坐标方程为y ＝2.(3，1)到y ＝2的距离1，即为点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离1.2. (2013²福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上．(1) 求a 的值及直线的直角坐标方程；(2) 圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α，(α为参数)，试判断直线与圆的位置关系．解：(1) 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2) 由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆心为(1，0)，半径r ＝1， 因为圆心到直线的距离d ＝22<1，所以直线与圆相交． 3. 在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝12sin θ，曲线C 2：ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1) 求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2) 若P 、Q 分别是曲线C 1和C 2上的动点，求PQ 的最大值．解：(1) 因为ρ＝12sin θ，所以ρ2＝12ρsin θ，所以x 2＋y 2－12y ＝0，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36.又ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝12ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，所以x 2＋y 2－63x －6y ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36.(2) PQ max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18.4. 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1) 把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过圆O 1、圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点、极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1) x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x.即圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，同理圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2，即圆O 1、圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)，都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4＋2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4－2π或⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

第一讲 集合与常用逻辑用语集合元素与集合的关系集合的概念集合的表示方法集合与集合的关系包含关系子集真子集相等集合的运算交集补集并集常用逻辑用语四种命题及其相互关系逻辑联结词充分、必要条件全称量词与存在量词1．(集合的运算)设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)【解析】 由x 2－2x －3≤0，得－1≤x ≤3. ∴B ＝[－1,3]，则∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 因此A ∩(∁R B )＝(3,4)． 【答案】 B2．(四种命题)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________．【解析】 互换条件与结论，并进行否定． 逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π4.【答案】 若tan α≠1，则α≠π43．(充要条件)已知p ：x 2>9，q ：x 2－56x ＋16>0，则p 是q 的__________条件．【解析】 ∵x 2>9⇒x >3或x <－3，x 2－56x ＋16>0⇒x <13或x >12.∴p ⇒q ，而q p ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】 充分不必要4．(逻辑联结词)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则命题p ∨(綈q )是________命题(填“真”、“假”)【解析】 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，p 假．又x ＝π2不是函数y ＝cos x 的图象的对称轴，q 假，从而綈q 为真，故p ∨(綈q )是真命题．【答案】 真5．(命题的否定)已知命题p：∃n∈N*,2n＞1 000，则綈p为________．【解析】由于特称命题的否定是全称命题，因而綈p为∀n∈N*,2n≤1 000.【答案】∀n∈N*,2n≤1 000(1)(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)(2013·宝鸡模拟)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－1i|<2，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为() A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]【思路点拨】 1.弄清集合B中元素的构成，用列举法把集合B中的元素一一列举出来．2．求函数y＝|cos2x－sin2x|的值域得集合M，解不等式|x－1i|＜2，得集合N.【自主解答】(1)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0；y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(2)∵y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x |，则M ＝[0,1]． 又|x －1i |<2，得x 2＋1<2，∴－1<x <1，则N ＝(－1,1)， 因此 M ∩N ＝[0,1)． 【答案】 (1)C (2)C1．解答第(1)题一定要注意集合元素的互异性．2．进行集合运算，判定集合间关系，一定要重视数形结合思想方法的应用：(1)若给定集合涉及不等式的解集，要借助数轴；(2)若涉及抽象集合，要充分利用Venn 图；(3)若给定集合是点集，要注意借助函数图象．变式训练1 (1)(2013·济南模拟) 已知集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x |log 2x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．(－1,3)B ．(0,4)C ．(0,3)D ．(－1,4)(2)(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)【解析】 (1)由|x －1|＜2得－1＜x ＜3，∴A ＝(－1,3)． 由log 2x ＜2得0＜x ＜4，∴B ＝(0,4) ∴A ∩B ＝(0,3)．(2)因为S ＝{x |x ＞－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}．而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．【答案】 (1)C (2)C错误!(1)(2013·武汉模拟)设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是( ) A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件(2)(2013·安徽高考)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【思路点拨】(1)利用线面、面面平行与垂直的判定、性质定理逐一判定p⇒q与q⇒p 是否成立．(2)利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断．【自主解答】(1)对于选项A，当m⊂α时，n∥αm∥n，且m∥n n∥α.故A 错；对于选项B，当m⊂α时，m⊥β⇒α⊥β，但α⊥βm⊥β.故B正确；对于选项C，当n⊥α时，n⊥β⇒α∥β，且α∥β⇒n⊥β.故C正确；对于选项D，当m⊂α时，n⊥α⇒m⊥n，但m⊥n n⊥α.故D正确．(2)当a＝0时，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；当a＜0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示：当a＞0时，结合函数f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0.即“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．【答案】(1)A(2)C1．判定充要条件应注意：(1)首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后再判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；(2)要善于举反例．2．判定p⇔q常用的方法：(1)定义；(2)等价的逆否命题的判定；(3)运用集合的包含关系．变式训练2 若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】 若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方整理，得ab ＝0，且a ≥0，b ≥0，∴a ，b 互补．若a ，b 互补，则a ≥0，b ≥0，且ab ＝0， 即a ＝0，b ≥0或b ＝0，a ≥0， 此时都有φ(a ，b )＝0，∴φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件． 【答案】 C(1)(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q(2)(2013·济宁模拟)已知命题“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【思路点拨】 (1)根据逻辑联结词“或”“且”“非”的含义判断． (2)命题的否定是真命题，由此可求a 的取值范围．【自主解答】 (1)依题意得綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．(2)由题意知命题“∃x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是真命题．从而Δ＝(a －1)2－4≥0，∴a ≥3或a ≤－1. 【答案】 (1)A (2)(－∞，－1]∪[3，＋∞)1．命题真假的判断主要有以下几种方法：(1)涉及一个命题p 的真假，可根据命题特征进行判断．(2)关于四种命题真假的判断，可根据互为逆否命题的两个命题同真同假判断． (3)形如p ∧q ，p ∨q ，綈p 命题真假用真值表判断．(4)判断一个全称命题和特称命题的真假，要注意举特例方法的应用．2．利用命题的真假求参数的取值范围的方法： (1)对命题进行合理转化，求出命题为真时参数的范围． (2)根据真值表确定命题的真假，从而确定相应参数的范围．变式训练3 (2013·四川高考)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B【解析】 命题p 是全称命题： ∀x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是特称命题：∃x ∈A,2x ∉B .故选D.【答案】 D全称命题和特称命题是新课标新增内容，其命题的否定和真假判断，体现了数学的两种思维方式，是高考重点考查的内容，2013年，山东、辽宁、安徽等省份对此作了考查，预测2014年高考，根据命题的真假求参数的取值范围，是命题的一个方向，应引起高度重视．用等价转化的方法求参数的取值范围(12分)已知函数f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.求m 的取值范围．【规范解答】 由g (x )＝2x －2<0，得x <1， 在条件①中，∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， 当x ≥1时，必有f (x )<0恒成立，则m <0.3分 因此⎩⎪⎨⎪⎧2m <0，－(m ＋3)<1.解之得－4<m <0(*).5分在条件②中，∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0. ∵g (x )＝2x －2<0恒成立，因此，问题转化为∃x ∈(－∞，－4)时，f (x )>0， ∴f (x )＝0的最小实根小于－4.8分(i)当－1<m <0时，有－m －3<2m ，∴－m－3<－4，m>1与m<0矛盾，舍去．(ii)当m<－1时，有2m<－m－3，∴应有2m<－4，∴m<－2.(iii)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，不满足条件②，所以由(i)、(ii)、(iii)知，满足条件②，应有m<－2(**).11分根据(*)、(**)知－4<m<－2.故实数m的取值范围为(－4，－2). 12分【阅卷心语】易错提示(1)全称命题，特称命题理解不清，难以把条件转化为判定f(x)与0大小关系．(2)数形结合与化归能力差．不能判定m<0，将条件①化为f(x)＝0的较大根小于1，条件②中的较小根小于－4.防范措施(1)全称命题强调的是“任意性”，从而可把问题转化为恒成立问题解决；特称命题强调的是“存在性”，从而可把问题转化为方程f(x)＝0在(－∞，－4)上有一个实根．(2)结合二次函数的图象，形象直观进行不等式与方程之间相互转化；对于f(x)＝0的最小实根小于－4，一定要根据m的取值范围，确定2m与－m－3的大小．1．下列有关命题的说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得：x2＋x＋1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2＋x＋1＜0”D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解析】对于选项A，命题的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；对于选项B，x＝－1⇒x2－5x－6＝0但x2－5x－6＝0x＝－1，故B错；对于选项C，命题的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，故C错；对于选项D，命题“若x＝y，则sin x＝sin y”是真命题，从而其逆否命题也是真命题，故D正确．【答案】 D2．设集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.【解析】由A∩B＝{2}知，log2(a＋3)＝2，∴a＝1，b＝2.从而A＝{2,5}，B＝{1,2}，∴A∪B＝{1,2,5}．【答案】{1,2,5}。

高考总复习·数学理(新课标A)第一篇集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算【2014年高考会这样考】1．考查集合的交、并、补的基本运算，常与一次不等式、一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的求解或函数定义域相结合．2．利用集合运算的结果确定某个集合，主要是有限数集的基本运算，可用韦恩图解决，多以选择题的形式进行考查．考点梳理1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B(或B A)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，U为全集，∁U A表示A相对于全集U的补集．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.【助学·微博】常用一条性质若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．关注两个“易错点”(1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B中A＝∅的情况需特别注意；(2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．考点自测1．(2012·湖南)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝()．A．{0} B．{0,1}C．{－1,1} D．{－1,0,1}解析由x2≤x，解得0≤x≤1，∴M∩N＝{0,1}．答案 B2．(2012·广东)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M＝()．A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}解析根据补集的定义，由于U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，从而∁U M＝{3,5,6}．答案 C3．(2012·江西)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B }中的元素的个数为( )． A ．5 B ．4C ．3D ．2解析 涉及集合中元素个数的问题，常用枚举法求解．本题可用枚举法求解：当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素． 答案 C4．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C ．{1,2}D ．{3,5}解析 由题图可知阴影部分为集合(∁U A )∩B ，∵∁U A ＝{3,5,6}，∴(∁U A )∩B ＝{3,5}． 答案 D5．(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析 A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }，B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1. 答案－11考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.[审题视点] 结合元素的互异性与集合相等入手．解析 由已知得ba ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 014＋b 2 014＝1. 答案 1(1)利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但仍然要检验，看所得结果是否符合集合中元素的互异性的特征．(2)此类问题还可以根据两集合中元素的和相等，元素的积相等，列出方程组求解，但仍然要检验． 【训练1】集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N *⎪⎪⎪12x ∈Z中含有的元素个数为( )．A ．4B ．6C ．8D ．12解析 令x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12代入验证得x ＝1,2,3,4,6,12时，12x ∈Z ，故集合中有6个元素．答案 B 考向二 集合间的基本关系【例2】►已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．[审题视点] 若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论． 解 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m的取值范围为m≤4.(1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．【训练2】已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析A＝{x|log2x≤2}＝{x|0<x≤4}，即A＝(0,4]，由A⊆B，B＝(－∞，a)，且a的取值范围是(c，＋∞)，可以结合数轴分析得c＝4.答案 4 考向三集合的基本运算【例3】►设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B ＝∅，则m的值是________．[审题视点] 本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁U A)∩B＝∅对集合A，B的关系进行转化．解析A＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.答案1或2本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁U A)∩B＝∅⇔B⊆A等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．【训练3】(1)(2012·陕西)集合M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝()．A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2](2)(2012·山东)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()．A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析(1)由题意得M＝(1，＋∞)，N＝[－2,2]，故M∩N＝(1,2]．(2)∵∁U A＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁U A)∪B＝{0,2,4}．答案(1)C(2)C热点突破1——集合问题的求解策略【命题研究】集合是数学中最基本的概念，高考对集合的考查内容主要有：集合的基本概念、集合间的基本关系和集合的基本运算，并且以集合的运算为主，与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等内容相互交汇，涉及的知识面较广，但难度不大．高考对集合的考查有两种形式：一种是直接考查集合间的包含关系或交、并、补的基本运算；另一种是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用．一、集合与不等式交汇问题的解题策略【真题探究1】► (2012·北京)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)>0}，则A ∩B ＝( )． A ．(－∞，－1)B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3 D ．(3，＋∞) [教你解题] 第1步 解出A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－23；第2步 解出B ＝{x |x >3或x <－1}；第3步 结合数轴取交集，得A ∩B ＝(3，＋∞)． [答案] D[反思] 应牢固掌握一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的解法． ]【试一试1】 已知全集U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝1x ，x >3，则∁U P ＝( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞解析 因为函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，所以当x >1时，y >log 21＝0，故U ＝(0，＋∞)；因为函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，故当x >3时，0<y <13，故P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.显然P ⊆U ，故∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，所以选A.答案 A二、集合中新定义问题的求解策略【真题探究2】► (2012·新课标全国)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．10[教你审题] 解决本题的关键是准确理解集合B .集合B 中的元素是符合x ∈A ，y∈A，x－y∈A的有序数对(x，y)．[解法] 可用列表法也可用直接法([答案] D[反思] 解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．如本例中的集合B就是一个由集合A中的元素通过附加条件“x∈A，y∈A，x－y∈A”演变而来的，所以要判断集合B中元素的个数，需要根据x－y是否是集合A中的元素来进行判断．【试一试2】定义集合运算：A B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{－2 014,0,20 14}，B＝{ln a，e a}，则集合A B的所有元素之和为()．A．2 014 B．0C．－2 014 D．ln 2 014＋e2 014解析因为A B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，所以当x＝0时，无论y取何值，都有z＝0；当x＝－2 014，y＝ln a时，z＝(－2 014)×ln a＝－2 014ln a；当x＝2 014，y＝ln a时，z＝2 014×ln a＝2 014ln a；当x＝－2 014，y＝e a时，z＝(－2 014)×e a＝－2 014e a；当x＝2 014，y＝e a时，z＝2 014×e a＝2 014e a；故A B＝{0,2 014ln a，－2 014ln a,2 014e a，－2 014e a}．所以A B的所有元素之和为0.答案 BA级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·浙江)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝()．A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析因为∁R B＝{x|x>3或x<－1}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}．答案 B2．(2012·辽宁)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)等于()．A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}解析根据集合运算的性质求解．因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．U答案 B3．(2012·郑州三模)设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M ＝()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}解析U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U M ＝{1,4}． 答案 A4．(2012·长春名校联考)若集合A ＝{x ||x |>1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝2x 2，x ∈R }，则(∁R A )∩B ＝( )．A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析 ∁R A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |0≤x ≤1}． 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·湘潭模拟)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 答案 16．(2012·四川)设全集U ＝{a ，b ，c ，d }，集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则(∁U A )∪(∁U B )＝________.解析 依题意得知，∁U A ＝{c ，d }，∁U B ＝{a }，(∁U A )∪(∁U B )＝{a ，c ，d }． 答案 {a ，c ，d }三、解答题(共25分) ]7．(12分)若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b .解 ∵A ＝B ，∴B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}． ∴⎩⎨⎧－a ＝－1＋3＝2，b ＝(－1)×3＝－3，∴a ＝－2，b ＝－3. 8．(13分)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解 (1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3，经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}，当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．∴a ＝－3.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 是实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 是实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析 集合A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点构成的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A ∩B 的元素个数为2.答案 C2．(2012·潍坊二模)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x 24＋3y 24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2,2] B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1,1)，(1,1)} 解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]． 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．解析 ①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确．②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确．③令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，3∈A 1,2∈A 2，但是，3＋2∉A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案 ②4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0， ∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.答案 8三、解答题(共25分)5．(12分)设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .解 由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A ＝{3,5}．(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5.∴B ＝{5}，∴B A .(2)∵A ＝{3,5}且B ⊆A ，∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0.若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a ，∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15，∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 6．(13分)(2012·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝ {x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵B ∪A ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎨⎧ a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3. 综上所述，所求a 的取值范围是{a |a ≥3}.。