高三数学双曲线2

高中高三数学双曲线方程知识点
高中高三数学双曲线方程知识点
广大高中生要想顺利通过高考，接受更好的教育，就要做好考试前的复习准备。

小编带来高三数学双曲线方程知识点，希望大家认真阅读。

1. 双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或
ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .
②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
长加短减原则：
构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
以上就是高三数学双曲线方程知识点的全部内容。

也祝愿大家都能愉快学习，愉快成长!。

高三数学知识点总结双曲线双曲线是高中数学中的重要内容之一，在数学中应用广泛，所以熟练掌握双曲线的性质和运用方法对于高三学生来说非常重要。

本文将对高三数学知识点中的双曲线进行总结和归纳，以便帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。

1. 双曲线的定义和性质双曲线是指平面上满足一定关系式的点的集合。

具体而言，设F1和F2是平面上两个固定点，且F1F2的距离是2a（a>0）。

对于平面上的任意点P，其到F1和F2的距离之差的绝对值等于常数c（c>0），即|PF1 - PF2| = 2a。

双曲线的主轴是连接两个焦点的直线段F1F2，在主轴上的点P到两个焦点的距离之差为0。

双曲线的离心率定义为e = c/a，离心率是表征双曲线形状的重要参数。

2. 双曲线的方程和图像双曲线的一般方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b都是正实数。

由于a和b的取值不同，双曲线可以表现出不同的形状。

当a > b时，双曲线的中心在原点O，焦点在x轴上，x轴称为双曲线的对称轴，y轴称为双曲线的渐近线。

这种双曲线的形状是开口向左右两侧的。

当b > a时，双曲线的中心在原点O，焦点在y轴上，y轴成为双曲线的对称轴，x轴称为双曲线的渐近线。

这种双曲线的形状是开口向上下两侧的。

3. 双曲线的性质和运用双曲线有许多重要的性质和应用，下面列举其中几个重要的：（1）双曲线的渐近线：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，当x 取绝对值较大的正值或负值时，方程右边的项趋近于0。

因此，当x趋近于正无穷或负无穷时，方程左边的项也趋近于0，即y趋近于±a/bx。

因此，双曲线的渐近线方程为y = ±a/bx。

（2）焦点和准线的坐标：对于双曲线 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1，焦点的坐标为(F1, 0)和(-F1, 0)，其中F1 = √(a^2 + b^2)；准线的方程为x = a/e，其中e为离心率。

高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。

（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。

说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。

2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。

其渐近线方程为y＝±x 。

等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。

5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。

双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（大于零且小于12||F F ）的点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距．12{|||2}M MF |MF a -=1202||a F F <<（）2．双曲线的标准方程（1）当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：2222100x y a b ab-=>>（，），（2）当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：2222100y x a b a b-=>>（，），其中222c a b =+． 3．双曲线22221x y a b -=与2222100y x a b a b-=>>（，）的简单几何性质4．弦长公式：若直线y kx b =+与双曲线相交于两点A 、B ，且12x x ，分别为A ，B的横坐标，则AB =，12AB x =-．若12y y ，分别为A ，B 的纵坐标，则12AB y -=．考点一 双曲线定义例1．到两定点1(30)F -，、2(30)F ，的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线例2．已知两点12(50)(50)F F -，，，，求与它们的距离差的绝对值等于6的动点的轨迹方程 ． 例3．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5，0)的距离为15，则P 到点(-5，0)的距离是（ ）A ．7B ．23C ．25或7D ．7或23例4．过双曲线221169xy -=左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）的周长是（ ）A ．28B ．22C ．14D ．12例5．椭圆22162xy +=和双曲线2213x y -=的公共焦点为12F F P ，，是两曲线的一个交点， 那么12cos F PF ∠的值是_____________．考点二 标准方程例6．曲线22832x y -=的焦点坐标为 ，虚轴长为 ． 例7．双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（） A ．4 B ．22C ．8D ．与m 有关例8．已知椭圆22219x y a +=（a > 0）与双曲线22143x y -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）A B ． C ．4D ．10例9．已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11k -<<B ．k > 1C ．k ≥0D ．k > 1或k < -1例10．θ是第三象限角，方程22sin cos x y θθ+=表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线例11．已知圆C ：x 2 + y 2 - 6x - 4y + 8 = 0．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为________．考点三 渐近线例12．双曲线3x 2 - y 2 = 3的渐近线方程是（ ）A ．y =3x ±B ．y =13x ±C ．y =D ．y =例13．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个________． 例14．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3A -，的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ） A ．8 B ．4 C ．2D ．1例15．已知直线y = kx + 2与双曲线x 2 - y 2 = 6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．⎛⎝⎭B ．03⎛⎝⎭，C ．1⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．0⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．若直线1y kx =+与曲线x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k <B ．1k <<-C ．1k <D ．k <k >考点四 离心率例17．，焦距为6，则双曲线离心率是（ ）AB C ．32D ．23例18．已知双曲线22212x ya a-=>（的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（ ）A BC ．D ．2例19．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，-2)，则它的离心率为（ ）A BC ．D 例20．设双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，那么这个双曲线的离心率e 等于（ ）A ．2B ．3C ．53D ．43例21．已知F 1，F 2是双曲线2222100x y a b a b-=>>（，）的两焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．4+B 1CD 1例22．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左，右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2 = 90°，且|AF 1| = 3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ）A BC ．D 例23．双曲线2222100x y a b ab-=>>（，）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．CD考点五 焦点三角形例24．设P 为双曲线22112yx -=上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若12||||32PF PF =::，则12PF F △的面积为（ ）A ．B ．12C ．D ．24例25．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a = 8，那么△ABF 2的周长是（ ） A ．16 B ．18 C ．21D ．26例26．设F 1和F 2为双曲线221169x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．例27．已知双曲线的方程是16x 2 - 9y 2 = 144．（1）求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，12||||32PF PF ⋅=，求∠F 1PF 2．。

高三数学双曲线知识点总结归纳双曲线是高中数学中重要的一章，它不仅在数学理论体系中具有重要作用，还在实际生活中有广泛的应用。

下面是对高三数学双曲线知识点的总结与归纳。

一、双曲线的定义和基本形态双曲线是平面上各点到两个定点的距离之差等于常数的轨迹。

双曲线由两个分离的支线组成，其基本形态可以分为两种类型：横轴双曲线和纵轴双曲线。

横轴双曲线的中心在横轴上，纵轴双曲线的中心在纵轴上。

二、双曲线的方程1. 横轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{x^2-a^2}$2. 纵轴双曲线的方程（1）标准方程：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（2）近似方程：$x=\pm \frac{a}{b} \sqrt{y^2-a^2}$三、双曲线的性质1. 焦点和准线：横轴双曲线有两个焦点和两条准线，纵轴双曲线也有两个焦点和两条准线。

2. 对称性：双曲线关于横轴、纵轴和原点对称。

3. 渐近线：横轴双曲线有两条渐近线，纵轴双曲线也有两条渐近线。

4. 离心率：双曲线的离心率定义为焦距与准线之间的比值，离心率大于1。

5. 直径：双曲线的直径是通过焦点的直线段，并且双曲线上的每一点都在某条直径上。

四、双曲线的图像与应用1. 横轴双曲线的图像横轴双曲线的图像呈现出两个分离的支线，它在物理学、电子学和光学中有广泛的应用，例如抛物面反射器、双折式天线等。

2. 纵轴双曲线的图像纵轴双曲线的图像同样由两个分离的支线构成，它在物理学、力学、天文学等领域有广泛的应用，例如行星运动的轨道、卫星发射轨道等。

五、双曲线的解析几何应用1. 双曲线的切线双曲线的切线过双曲线上的一点$P(x_0, y_0)$，切线方程为$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$。

2. 双曲线的渐近线横轴双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{b}{a} x$，纵轴双曲线的渐近线方程为$x=\pm \frac{a}{b} y$。

高三数学知识点双曲线椭圆高三数学知识点：双曲线和椭圆双曲线和椭圆是高中数学中重要的曲线类别，它们在数学和实际应用中具有广泛的应用。

本文将详细介绍双曲线和椭圆的定义、性质、方程及其应用。

一、双曲线1. 定义及性质双曲线是由平面上满足一定条件的点构成的曲线。

它的定义是：平面内到两个给定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。

两个给定点叫做焦点，常数叫做离心率。

双曲线的形状与焦点和离心率有关。

2. 方程双曲线的标准方程有两种形式：独立变量在分子和分母上的方程和独立变量在一项上的方程。

常见的双曲线方程有：横轴双曲线方程、纵轴双曲线方程、一般方程等。

3. 性质和参数双曲线具有许多重要的性质和参数，如焦点、离心率、短轴、长轴、渐进线等，这些性质和参数在解决具体问题和计算曲线方程时非常重要。

4. 应用双曲线在物理学、工程学、天文学等领域中有广泛的应用。

例如，双曲线可以描述天体的轨迹、椭圆轨道上的行星运动等。

二、椭圆1. 定义及性质椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

两个定点称为焦点，常数称为离心率。

椭圆的形状与焦点和离心率有关。

2. 方程椭圆的标准方程也有两种形式：横轴椭圆方程和纵轴椭圆方程。

椭圆方程可以用于描述椭圆的形状和位置。

3. 性质和参数椭圆也具有一些重要的性质和参数，如焦点、离心率、长轴、短轴、焦距、半焦距等。

这些性质和参数对于解决问题和计算曲线方程非常有帮助。

4. 应用椭圆在物理学、天文学、力学、电磁学等领域中有广泛的应用。

例如，椭圆可以用于描述行星轨道、天体运动、电子轨道等。

三、双曲线与椭圆的区别与联系1. 区别双曲线和椭圆的最大区别在于它们到焦点的距离之和是否等于常数。

双曲线是距离之差的绝对值等于常数，而椭圆是距离之和等于常数。

2. 联系双曲线和椭圆具有一定的联系和相似之处。

它们都是由到焦点的距离之和或之差等于常数的点构成的曲线，因此它们在数学中有类似的性质和参数。

四、总结双曲线和椭圆是高三数学中重要的知识点，它们的定义、性质、方程和应用都需要我们深入理解。

高三双曲线的基本知识点高中数学是一个相对抽象而又具有一定难度的学科，对于许多同学来说，数学中的各种曲线方程是难点之一。

而双曲线则是其中一种常见的曲线类型。

在高三阶段，学习双曲线的基本知识点对于数学学习的深入和成功备考非常重要。

本文将结合几个方面，介绍高三双曲线的基本知识点。

1. 双曲线的定义和特点双曲线是平面解析几何中的一种曲线类型，其定义是指平面上到两个给定点F1和F2的距离之差为常数的点的轨迹。

根据这个定义，我们可以知道，双曲线是对称于直线l的图形。

在双曲线上，各点到两个焦点的距离之差不断增大，而且双曲线有两条渐近线，渐近线与双曲线的距离越来越近且不断接近于0。

2. 双曲线的标准方程和性质双曲线的标准方程可以表示为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b是正实数。

根据a和b的取值范围，双曲线可以分为四种情况：a>b，a=b，a<b以及a=0或b=0。

根据这些情况，双曲线的形状和性质也有所不同。

例如，当a>b时，双曲线的焦点在x轴上，且对称轴为y=0。

当a=b时，双曲线为特殊的双曲线x^2 - y^2 = 1，图形均为两支直线。

当a<b时，双曲线的焦点在y轴上，且对称轴为x=0。

3. 双曲线的参数方程除了标准方程外，双曲线还可以通过参数方程来表示。

双曲线的参数方程是由两个参数函数x(t)和y(t)组成。

通过适当选择参数函数，可以得到各种形态的双曲线。

例如，当选择参数函数x(t) = a·sec(t)和y(t) = b·tan(t)时，就可以得到标准方程x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1对应的双曲线。

4. 双曲线的经典问题在学习双曲线过程中，常常会遇到一些经典问题，例如焦点、顶点、渐近线等的求解问题。

焦点是指双曲线上离两个焦点F1和F2距离之差为常数的点，可以通过利用标准方程或参数方程来求解。

顶点是指双曲线的中点，可以通过求解双曲线的对称轴交点来得到。

双曲线•双曲线第一定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线，即||PF1|-|PF2||=2a（2a＜|F1F2|）。

若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点射线，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

双曲线的第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e（e＞1）的动点的轨迹叫双曲线。

•双曲线的理解：的轨迹为近的一支；的一支。

注：的延长线和反向延长线（两条射线）；则轨迹不存在；的垂直平分线。

双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）•双曲线的离心率的定义：(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率．(2)e的范围：e>l．(3)e的含义：e是表示双曲线开口大小的一个量，e越大开口越大．渐近线与实轴的夹角也增大。

•双曲线的性质：1、焦点在x轴上：顶点：（a，0），（-a，0）；焦点：（c，0），（-c，0）；渐近线方程：或。

2、焦点在y轴上：顶点：（0，-a），（0，a）；焦点：（0，c），（0，-c）；渐近线方程：或。

3、轴：x、y为对称轴，实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距2c。

4、离心率；5、中，取值范围：x≤-a或x≥a，y∈R，对称轴是坐标轴，对称中心是原点。

•双曲线的焦半径：双曲线上的点之间的线段长度称作焦半径，分别记作关于双曲线的几个重要结论：(1)弦长公式（与椭圆弦长公式相同）．(2)焦点三角形：已知的两个焦点，P为双曲线上一点（异于顶点），的面积为在解决与焦点三角形有关的问题时，应注意双曲线的两个定义、焦半径公式以及三角形的边角关系、正弦定理等知识的综合运用，还应注意灵活地运用平面几何、三角函数等知识来分析解决问题．(3)基础三角形：如图所示，△AOB中，(4)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长．(5)自双曲线的焦点作渐近线的垂线，垂足必在相应的准线上，即过焦点所作的渐近线的垂线，渐近线及相应准线三线共点．(6)以双曲线的焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆外切或内切．(7)双曲线上一点P(x0，y0)处的切线方程是(8)双曲线划分平面区域:对于双曲线,我们有：P(x0，y0)在双曲线内部（与焦点共区域) P(x0，y0)在双曲线外部（与焦点不其区域)。