21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质

21.2 二次函数y ＝a(x+h)2+k 的图象与性质【教案】一．知识要点：1．如图①，将抛物线y ＝221x -沿y 轴向下平移1个单位，就得到抛物线y ＝221x -－1． 由图象可知，抛物线y ＝ax 2+k 与y ＝ax 2的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同．抛物线y ＝ax 2+k 可由抛物线y ＝ax 2沿y 轴方向平移 k 个单位得到．当k >0时，向上平移；当k <0时，向下平移．2．如图②，将抛物线y ＝221x -沿x 轴向左平移1个单位，就得到y ＝2121）（+-x ；向右平移1个单位就 得到y ＝2121）（--x ．由图象可知，抛物线y ＝a (x +h )2与y ＝ax 2的形状、开口大小和开口方向相同，只 是位置不同．抛物线y ＝a (x +h )2可由抛物线y ＝ax 2沿x 轴方向平移h 个单位得到，当h >0时，向左平 移；当h <0时，向右平移． 3．如图③，将抛物线y ＝221x -先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，就得到y ＝11212-x -）（+ 由图象可知，抛物线y ＝a (x +h )2与y ＝ ax 2形状相同，位置不同．抛物线y ＝a (x +h )2+k 有如下特点： （1）a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下； （2）对称轴是直线x ＝－h ； （3）顶点坐标是（－h ，k ）． 4．抛物线平移法则：（1）平移不改变开口大小和方向，即a 不变； （2）顶点坐标与对称轴发生改变．二．重难点分析：重点是抛物线的平移法则．难点是通过平移掌握抛物线y ＝a (x +h )2+k 的图象和性质．突破难点的方法， 就是反复画图象作比较，培养动手能力．三．精选例题：1．在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝221x 和y ＝3212-x 的图象． 【解】列表2．在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝221x 和y ＝32212--x ）（的图象． 【解】列表3．填表．根据图象回答：（1）观察函数y ＝x 2、y ＝(x －1)2和y ＝(x +1)2的图象，它们的开口方向如何？ 顶点坐标、对称轴分别是什么？（2）对于同一个y 值，这三个函数对应的x 值之间有什么关系？这三个 函数的图象在位置上有什么关系？（3）当x 分别取何值时，函数y ＝x 2、y ＝(x －1)2和y ＝(x +1)2取得最小值？最小值分别是多少？【解】（1）开口向上、顶点分别为（0，0）、（1，0）、（－1，0）；对称轴分别为：y 轴、x ＝1、x ＝－1．（2）x 的值依次大1．把抛物线y ＝ (x+1)2向右平移1个单位得到y ＝x 2；把y ＝x 2向右平移1个单 位得到y ＝(x －1)2．（3）当x 分别取0，1，－1时，最小值均为0． 5．抛物线y ＝2(x +1)2 －3的顶点坐标是（ D ）A ．（1，－3）B ．(－1，3)C ．（－2，－3）D ．(－1，－3) 6．由抛物线y ＝5x 2 +1平移得到抛物线y ＝5(x +3)2+1，需把抛物线y ＝5x 2 +1（ C ） A ．向上平移3个单位 B ．向下平移3个单位 C ．向左平移3个单位 D ．向左平移3个单位7．将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ A ） A ．y ＝3(x +2)2 +3 B ．y ＝3(x －2)2+3 C ．y ＝3(x +2)2 －3 D ．y ＝3(x －2)2 －3．把抛物线把抛物线y ＝12212--）（-x 经平移得y ＝221x -，则它是（ C ）． A ．向右平移2个单位，向下平移1个单位 B ．向右平移2个单位，向上平移1个单位 C ．向左平移2个单位，向上平移1个单位 D ．向左平移2个单位，向下平移1个单位．将抛物线y ＝x 2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ B ） A ．y ＝(x +2)2 +2 B ．y ＝(x +2)2 －2 C ．y ＝(x －2)2 +2 D ．y ＝(x －2)2 －2．已知二次函数y ＝2(x －3)2 +1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－3；③ 其图象顶点坐标为(3，－1)；④当x < 3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个。

第二十二章 二次函数22.1.3 二次函数y =a (x －h )2+k 的图象和性质第2课时 二次函数y =a (x －h )2的图象和性质学习目标：1.会画二次函数y =a (x －h )2的图象.2.掌握二次函数y =a (x －h )2的性质.3.比较函数y =ax 2与y =a (x －h )2的联系.重点：会画二次函数y =a (x －h )2的图象.难点：掌握二次函数y =a (x －h )2的性质并会应用其解决问题.自主学习一、知识链接1.说说二次函数y =ax 2+c (a ≠0)的图象的特征.2.二次函数 y =ax 2+k (a ≠0)与y =ax 2(a ≠0)的图象有何关系？3.函数21(2)2y x 的图象，能否也可以由函数212y x 平移得到？课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数y =a (x －h )2的图象和性质 引例 在同一直角坐标系中，画出二次函数212y x 与21(2)2y x 的图象．根据所画图象，填写下表：试一试 画出二次函数2112yx ，2112y x 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.想一想 通过上述例子，函数y =a (x －h )2的性质是什么？要点归纳：二次函数y =a (x －h )2(a ≠0)的性质当a ＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最小值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；x ＞h 时，y 随x 的增大而增大.当a ＞0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最大值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；x ＞h 时，y 随x 的增大而减小.典例精析例1 已知二次函数y ＝（x ﹣1）2（1）完成下表； x … … y……（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（4）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大．（5）若3≤x ≤5，求y 的取值范围；想一想：若-1≤x ≤5，求y 的取值范围；（6）若抛物线上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＜x 2＜1，试比较y 1与y 2的大小．变式：若点A (m ，y 1)，B (m +1，y 2)在抛物线的图象上，且m ＞1，试比较y 1，y 2的大小，并说明理由．探究点2：二次函数y =ax 2与y =a (x －h )2的关系想一想 抛物线2112y x ， 2112y x 与抛物线212y x 有什么关系？要点归纳：二次函数y =a (x －h )2与y =ax 2的图象的关系 y =ax 2向右平移︱h ︱得到y =a (x －h )2； y =ax 2向左平移︱h ︱得到y =a (x +h )2.左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.例2 抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 练一练将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位当堂检测22(3)x 22(2)x 23(1)4x 2.如果二次函数y ＝a （x ﹣1）2（a ≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是_____．3.把抛物线y =－x 2沿着x 轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .4.若（－134，y 1）（－54，y 2）（14，y 3）为二次函数y =(x －2)2图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为___________.5.在同一坐标系中，画出函数y ＝2x 2与y ＝2(x －2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．能力提升已知二次函数y ＝（x ﹣h ）2（h 为常数），当自变量x 的值满足﹣1≤x ≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为4，求h 的值.。

21.2.2 第2课时 二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象和性质知识点 1 抛物线y ＝a (x ＋h )2与y ＝ax 2的关系1．抛物线y ＝12(x ＋5)2与抛物线y ＝12x 2的形状、开口大小和开口方向相同，只是位置不同．抛物线y ＝12(x＋5)2可由抛物线y ＝12x 2向________平移________个单位得到．2．如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位，那么所得抛物线的表达式是( )A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝(x ＋1)23．［教材练习第4题变式］将抛物线y ＝4(x －1)2平移得到抛物线y ＝4x 2，下列平移方法正确的是( ) A ．向上平移1个单位 B ．向下平移1个单位 C ．向左平移1个单位 D ．向右平移1个单位4．已知抛物线y ＝a (x －h )2向右平移3个单位后得到的抛物线是y ＝2(x ＋1)2，则a ＝________，h ＝________．5．(1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2与函数y ＝(x ＋3)2，y ＝(x －3)2的图象； (2)比较(1)中的三个图象之间的位置关系．知识点 2 二次函数y ＝a (x ＋h )2的图象与性质 6．抛物线y ＝12(x ＋2)2的顶点坐标是( )A ．(2，1)B ．(2，－1)C ．(－2，0)D ．(－2，－1) 7．对称轴是直线x ＝3的抛物线是( )A ．y ＝－3x 2－3B ．y ＝3x 2－3 C ．y ＝－12(x ＋3)2 D ．y ＝3(x －3)28．关于二次函数y ＝2(x ＋1)2的说法正确的是( )A ．抛物线y ＝2(x ＋1)2的开口向下 B ．当x ＝－1时，函数有最大值C ．当x >1时，函数值y 随x 的增大而减小D ．当x <－1时，函数值y 随x 的增大而减小9．已知抛物线y ＝a (x ＋h )2与抛物线y ＝2x 2的开口方向相反，形状相同，且抛物线y ＝a (x ＋h )2的顶点坐标为(3，0)．(1)求抛物线y ＝a (x ＋h )2的函数表达式；(2)求抛物线y ＝a (x ＋h )2与y 轴的交点坐标．10．已知抛物线y ＝a (x ＋b )2的对称轴为直线x ＝－2，形状与y ＝5x 2相同，但开口方向相反． (1)求抛物线对应的函数表达式；(2)求抛物线的顶点坐标、函数的最大值或最小值； (3)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？11．如图21－2－11是二次函数y ＝a (x －h )2的图象，则直线y ＝ax ＋h 不经过的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图21－2－1112．若A (－134，y 1)，B (－54，y 2)，C (14，y 3)为二次函数y ＝(x －2)2的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为____________．13．如图21－2－12，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在抛物线y ＝ax 2上，C ，D 在x 轴上，AB 的中点E 在y 轴上，AB ＝4AD .已知矩形ABCD 的周长为10，若将抛物线的顶点平移到点C ，则点E ________(填“在”或“不在”)抛物线上．图21－2－1214．已知二次函数y＝3(x－m2)2(m为常数)，当x>2时，y随x的增大而增大，求m的取值范围．15．在平面直角坐标系中画出函数y＝(x－2)2的图象，观察图象回答下列问题：(1)当3＜x≤5时，写出y的取值范围；(2)当y＜4时，写出x的取值范围．16．将抛物线y＝－2(x＋3)2分别按下列方式进行变换，直接写出变换后抛物线的函数表达式．(1)将抛物线y＝－2(x＋3)2沿x轴翻折；(2)将抛物线y＝－2(x＋3)2沿y轴翻折.17．如图21－2－13，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y＝x＋m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为(3，4)，点B在y轴上．(1)求m的值及此二次函数的表达式；(2)P为线段AB上的一个动点(点P与点A，B不重合)，过点P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)．图21－2－13教师详答1．左 52．C [解析] 将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位所得抛物线的表达式是y ＝(x －1)2.故选C . 3．C4． 2 －4 [解析] 平移不改变抛物线的开口大小与方向，所以a ＝2.抛物线y ＝a(x －h)2的顶点坐标是(h ，0)，向右平移3个单位后，顶点坐标是(h ＋3，0)，而抛物线y ＝2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)，所以h ＋3＝－1，即h ＝－4.5．解：(1)略．(2)三条抛物线的形状、开口方向和开口大小都相同．抛物线y ＝(x ＋3)2是由抛物线y ＝x 2向左平移3个单位得到的；抛物线y ＝(x －3)2是由抛物线y ＝x 2向右平移3个单位得到的．6．C 7. D 8. D9．[解析] 两条抛物线的形状相同，则对应函数表达式的二次项系数的绝对值相等．解：(1)根据题意，可知抛物线y ＝a(x ＋h)2中 a ＝－2，h ＝－3，∴抛物线的函数表达式为y ＝－2(x －3)2. (2)由x ＝0，得y ＝－18，∴抛物线y ＝－2(x －3)2与y 轴的交点坐标为(0，－18)．10．解：(1)∵抛物线y ＝a(x ＋b)2的对称轴为直线x ＝－2，∴b ＝2.∵抛物线y ＝a(x ＋b)2与抛物线y ＝5x2的形状相同，开口方向相反，∴a ＝－5，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－5(x ＋2)2.(2)抛物线y ＝－5(x ＋2)2的顶点坐标为(－2，0)，顶点为抛物线的最高点，故函数有最大值0. (3)当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大． 11． B[解析] 由题图可知a>0，h<0，所以直线y ＝ax ＋h 不经过第二象限． 12．y 1＞y 2＞y 3[解析] ∵二次函数y ＝(x －2)2的图象开口向上，对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．又∵－134＜－54＜14＜2，∴y 1＞y 2＞y 3.13．在 [解析] 根据矩形ABCD 的周长为10，得AB ＋AD ＝5.又∵AB＝4AD ，∴AB ＝4，AD ＝1.故点A(2，－1)，点C(－2，0)，点E(0，－1)．把点A 的坐标(2，－1)代入y ＝ax 2，得－1＝22·a ，解得a ＝－14，则平移后的抛物线的表达式为y ＝－14(x ＋2)2.当x ＝0时，y ＝－1，∴点E 在抛物线上．14．解：∵二次函数y ＝3(x －m 2)2的图象的对称轴为直线x ＝m2，且开口向上，∴当x>m2时，y 随x 的增大而增大，∴m2≤2，即m≤4. 15．解：画函数图象略，观察图象可得： (1)1＜y≤9. (2)0＜x ＜4.16．[解析] 确定关于对称轴对称的抛物线的函数表达式时，可以分两步走： (1)确定抛物线的开口方向及开口大小：沿x 轴翻折，抛物线开口相反；沿y 轴翻折，抛物线开口方向不变．抛物线的开口大小没有发生改变．(2)确定抛物线的顶点坐标：根据原抛物线的顶点坐标，写出其关于x 轴或y 轴对称的坐标．解：(1)两条抛物线关于x 轴对称，开口方向相反，顶点坐标的对称点的坐标：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即y＝2(x＋3)2.(2)两条抛物线关于y轴对称，开口方向相同，顶点坐标的对称点的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等，即y＝－2(x－3)2.17．解：(1)∵点A(3，4)在直线y＝x＋m上，∴4＝3＋m，∴m＝1.设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2.∵点A(3，4)在二次函数y＝a(x－1)2的图象上，∴4＝a×(3－1)2，∴a＝1，∴所求二次函数的表达式为y＝(x－1)2，即y＝x2－2x＋1.(2)设P，E两点的纵坐标分别为y P和y E.则PE＝h＝y P－y E＝(x＋1)－(x2－2x＋1)＝－x2＋3x，即h＝－x2＋3x(0＜x＜3)．。

沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是沪教版数学九年级上册第21章第2节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。

本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。

教材中提供了丰富的例题和练习题，以及一些探究活动，帮助学生逐步深入理解二次函数的图象和性质。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。

但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。

同时，学生对于数学的兴趣和积极性也需要教师的激发和引导。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。

2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。

3.激发学生对数学的兴趣和积极性，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。

2.二次函数的图象和性质的推导和证明。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。

2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质的实例，帮助学生直观地理解和掌握。

3.学生进行小组讨论和探究活动，培养学生的合作意识和探究精神。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.相关的教学PPT或投影片。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象和性质的概念。

2.呈现（10分钟）利用多媒体展示一些二次函数的图象和性质的实例，让学生直观地感受和理解二次函数的图象和性质。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析，找出二次函数的图象和性质的特点，并进行推理和证明。