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7.弹塑性力学--塑性本构关系

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弹塑性本构关系简介

弹塑性本构关系简介

松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历 史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广 泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl

弹塑性本构模型理论课件

弹塑性本构模型理论课件

。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模

弹塑性本构关系简介

弹塑性本构关系简介

2） 势能原理的数学表达
应变能
总势能
Ve=Vε+VP =1/2∫VσijεijdV 外力势能
-∫VFbiuidV- ∫SσFsiuidS = min
2 虚力原理
1）虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对 一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成 立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T [u ]0dS
收敛准则
1、位移模式必须包含单元的刚体位移
2、位移模式必须能包含单元的常应变
3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调
满足条件1、2的单元为完备单元
满足条件3的单元为协调单元 多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选
几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关
多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总
变间关系为 octσoct
GKtt
oct 3K s oct oct Gs oct
并有
Gs G
1
a
oct
B c
m
KGss
εoct
oct
K G e s
s (c oct ) p
KG
其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，
B c
为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验
确定的常数。
POCT
弹性张量Dijkl
ij
Dijkl kl
( 2G 1 2
ij kl
2Giklj ) kl
i 1, j 2, k 1,l 2
12
D1212 12
( 2G 1 2
1212
2G1122 )12
11 1 12 0 22 1

弹塑性力学-弹塑性本构关系

弹塑性力学-弹塑性本构关系
此式限制了屈服面的形状： 对于任意应力状态，应力增量方向
与塑性应变向量之间所成的夹角不应 该大于90°
稳定材料的屈服面必须是凸的.
(a)满足稳定材 料的屈服面
ij
0 ij
(b) 不满足稳定 材料的屈服面
/2
2 塑性应变增量向量与屈服面法向平行
d 必p 与加载面的外法线
重合，否则总可以找到A0 使A0A·dεp≥0不成立(如右 图)。
的真实功与ij0起点无关；
Ñ d ipj ij ij 0
(2)附加应力功不符合功的 定义，并非真实功
i0j ij i0jdij0
-
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
d
p ij
d
ij
由应力空间中的屈服与应变空间中屈服面的转换关系，可得：
结合
-
D
ij
ij
dipj Ddipj
d
p ij
d
ij
可得：
d d
3.1.4 塑性位势理论与流动法则
与弹性位势理论相类似，Mises于1928年提出塑性
位势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有
一塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势
残余应力增量与塑性 应变增量存在关系：
dipj Ddipj
式中，D为弹性矩阵。 根据依留申公设，在 完成上述应变循环中， 外部功不为负，即
Ñ WI ijdij 0 i0j
只有在弹性应变时，上述WI=0。
根据Druker塑性公设
当 i0 jij时 (iji0 j)dijp 0

07 塑性本构关系

07 塑性本构关系
哈工大 土木工程学院
3 / 66
07 塑性本构关系
几种简化模型
哈工大 土木工程学院
4 / 66
07 塑性本构关系
第1节 弹性本构关系
当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态, 当应力状态处于屈服曲面内部时,材料处于弹性状态,本 构关系就是广义虎克(Hooke)定律 构关系就是广义虎克 定律 在直角坐标系里,对各向同性材料, 在直角坐标系里,对各向同性材料,有:
e xx e yy ezz e xy e yz e zx 1 = = = = = = s xx s yy szz s xy s yz szx 2G
εx εy ε y εz γ xy γ yz εz εx γ zx 1 = = = = = = σ x σ y σ y σ z σ z σ x 2τ xy 2τ yz 2τ zx 2G
1 ′ 2G I 2
2
哈工大 土木工程学院
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07 塑性本构关系
也可通过偏张量关系式代入第二不变量得到该关系式
1 ′ I 2 = (σ 1 σ 2 )2 + (σ 2 σ 3 )2 + (σ 3 σ 1 )2 6 2 1 = ( 2G ) [(ε 1 ε 2 )2 + (ε 2 ε 3 )2 + (ε 3 ε 1 )2 ] 6
1 ε x = [σ x v (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y v (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z v (σ x + σ y )] E
γ xy = γ yz = γ zx =
τ xy
G
E:弹性模量 :
τ yz
G
ν:泊松比

非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件

非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件
单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变

工程弹塑性力学题库及答案


(2)如将该曲线表示成
解：（1）由 在
处连续，有
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
解：1） OD 边：
GD 边：
沿
线，
，
2）
沿 OB 线，
，
8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ 试导出用表示的强化规律和本构关系。
解：当 时，在弹性阶段有
）和泊松比 条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时
。由上式导出
。因此进入塑性
后还满足
（2）当 = 时，继续加载，使 解：1）开始屈服时
，求此时的 、 、 。 ，代入 Mises 屈服准则
得
；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由 及屈服条件的微分形式
， 式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。
（1）单向拉伸应力状态，
；
，联列可得 ，代入
（2）纯剪力状态，
。
解：（1）单向拉伸应力状态
在
中：
沿
线，
中： ，
中：
,
，
，
, 情况二见图（1），与①一样
所以
8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。

弹塑性力学塑性本构关系


德鲁克－普拉格屈服条件是对Mises屈服条件的改进，该 条件中增加了应力张量的第一不变量，屈服条件表达式为
f (I1, J2 ) = α I1 + J2 = k
( ) 其中 α=
2 sin ϕ
3 3 − sin 2 ϕ
( ) k = 6c cosϕ 3 3 − sin 2 ϕ
c, φ 分别为材料的粘性系数和内摩擦角。
= k2
其中 σ0 为拉伸屈服应力，所以
k=
1 3
σ
0
5.2 常用的屈服条件
5.2.2 Mises屈服条件
MIses屈服条件的一般形式为
σ Mises − σ 0 = 0
其中 σ Mises =
3J2 =
1 2
⎡⎣(σ1
−
σ2
)2
+
(σ
2
−
σ3
)2
+
(σ 3
−
σ1 )2
⎤ ⎦
在主应力空间中，Mises屈服条
3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
内变量
描述连续介质的力学量可以分为外变量和内变量，外变 量是可以从外部直接量测的量，例如总应变、总变形、应 力，温度等；内变量则是不能直接量测的，表征材料内部变 化的量，例如塑性应变、塑性功（塑性变形消耗的功）等。
塑性应变
εp ij
塑性功
= εij
−
ε
e ij
=
ε ij
− ⎜⎜⎝⎛
σ
′
0
σ

弹塑性力学-弹塑性本构关系


(ij , H ) F(I1, J2, J3) K 0
初始屈服面 硬化系数
tresca、von mises、M－C K H( dW p )或H( d p )
dW p
ij
d
p ij
d p
2 3
deipj deipj
mises : q s H ( dW p )[或H ( d p )] 0 tresca : max s H ( dW p )[或H ( d p )] 0
d ij
0
应力循环中外载所作真实功 与附加应力功
（3）非真实物理功不能引用热力学定律；
（4）德鲁克公设的适用条件：
①ij0在塑性势面与屈服面
之内时，德鲁克公设成立；
②ij0在塑性势面与屈服面
之间时，德鲁克公设不成立；
屈服面 势面线
（5）金属材料的塑性势面与 屈服面基本一致。
附加应力功为非负的条件
3.1.3 依留申塑性公设的表述
弹塑性力学本构关系
(1) 稳定材料与非稳定材料
德鲁克公设和依留申公设是传统塑性力学的基础，它把塑性势函 数与屈服函数紧密联系在一起。德鲁克公设只适用于稳定材料， 而依留申既适用于稳定材料，又适用于不稳定材料。
稳定材料
非稳定材料
附加应力对附加应变做功 附加应力对附加应变负做
为非负，即有 0
功，即 0
依留申塑性公设：在弹塑性材料的一个应变循环内， 外部作用做功是非负的，如果做功是正的，表示有塑性变 形，如果做功为零，只有弹性变形发生。
设材料单元体经历任意应力
历即史初后始，的在应应变力εσij0ij在0下加处载于面平内衡，，然
后在单元体上缓慢地施加荷载，使
ε应变原i变d先j达ε点的到ijp应ε屈。变ij+服然状d面后ε态，卸ij，ε再载此ij继0使，时续应并产加变产生载又生塑达回了性到到与应

塑性力学-塑性本构关系

第三章塑性本构关系全量和增量理论•全量理论（形变理论）：在塑性状态下仍有应力和应变之间的关系。

Il’yushin(伊柳辛)理论。

•增量理论（流动理论）：在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间的关系。

Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论。

3-5 全量理论的适用范围简单加载定律变形：小变形加载：简单加载适用范围：物体内每一点应力的各个应力分量，在加载过程中成比例增长简单加载：()0ij ijt σασ=0ijσ非零的参考应力状态()t α随着加载单调增长加载时物体内应力和应变特点：应力和应变的主方向都保持不变应力和应变的主分量成比例增长应力Lode参数和应力Lode角保持常数应力点的轨迹在应力空间是直线小变形前提下，判断简单加载的条件：荷载按比例增长（包括体力）；零位移边界材料不可压缩应力强度和应变强度幂函数关系m i iA σε=实际应用：满足荷载比例增长和零位移边界条件3-6 卸载定律卸载：按照单一曲线假设，应力强度减小•外载荷减小，应力水平降低•塑性变形发展，应力重分布，局部应力强度降低简单卸载定律：•各点的应力分量按比例减少•不发生新的塑性变形¾以卸载时的荷载改变量为假想荷载，按弹性计算得到应力和应变的改变量¾卸载前的应力和应变减去卸载过程中的改变量塑性本构关系的基本要素•初始屈服条件–判断弹性或者塑性区•后继屈服条件–描述材料硬化特性，内变量演化•流动法则–应变增量和应力以及应力增量之间的关系，包括方向和分配关系Saint-Venant(1870):应变增量和应力张量主轴重合•继承这个方向关系•提出分配关系()0ij ij d d S d ελλ=≥应变增量分量和应力偏量分量成比例Levy-Mises 流动法则(M. Levy,1871 & Von Mises,1913)适用范围：刚塑性材料3-7 流动法则－－Levy-Mises & Prandtl-Reuss。

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应力状态 多值关系、过程相关 应变状态
描述方法：过程跟踪 本构形式：增量型(应力增量、应变增量)
全量型(只在比例加载条件下可用)
5
1.理想塑性材料的增量本构关系
1)一般形式
d ij
d
e ij
d
p ij
d ij
Cijkl
d
e kl
d ij
Cijkl
d
kl
d
g
ij
df
f
ij
d ij
0
d
1 H
p ij
d
p ij
d
d
p ij
d
f k
k
p
d
d p
f
p
ij
0
3 ij ij
2 f f
3 ij ij
h
f
ij
ij
p ij
f
ij
f k
k
p
2 f f
3 ij 1ij8
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
如果以塑性功 dW p 作为内变量
hd
f
ij
d ij
f k
dk
0
k k W p k dW p
hd f ij
ij
p ij
sxy syz
s
2 yz
szx syz
sx szx sy szx
sz szx
sxy szx
s
yz
szx
sz2x
9
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
f g I1 J2 k
d ij
C ep ijkl
d
kl
Cep ijkl
K
Байду номын сангаас
2G 3
ij
kl
G
路德春 博士 副教授
13811035103
北京工业大学 岩土与地下工程研究所
1
1. 绪 论 2. 应力分析 3. 应变分析 4. 弹性本构关系 5. 塑性理论基础 6. 强度理论 7. 塑性本构关系 8. 简单弹塑性力学问题
2
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
f
ij
Cijkl d kl
H
f
ij
Cijkl
g
ikl
d ij
C ep ijkl
d
kl
C ep ijkl
Cijkl
1 H
H
ij
H
kl
H
ij
Cijmn
g
mn
H kl
f
pq
C pqkl
6
1.理想塑性材料的增量本构关系
2)Prandtl-Reuss模型(J2理论)
f g J2 k
Cep ijkl
对于强化材料
f
ij
d ij
0
d ij 在
f
ij
方向上的投影，反映了塑性应变增量的大小。
可假设：
d
1 h
f
ij
d ij
d
p ij
1 h
f
ij
f
kl
d kl
如何确定？
f
ij d ij
f ij k
17
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
f ij ,ij , k 0
df
f
ij
d ij
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
11
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
H121
Cp ijkl
1
9K 2
G
H11H 22
H
2 22
对称
H11 H 33
H 22H33
H
2 33
H11H12 H 22H12 H 33 H12
H122
H11H 23
K
K
4
3 2
G G
K 2G 3
K 4G
K 2G 3
K 2G
0 0
0 0
0
0
3
3
3
Ce ijkl
K
2G 3
K 2G 3
K 4G 3
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
0
0
0
0
0
0
G
8
1.理想塑性材料的增量本构关系
2)Prandtl-Reuss模型(J2理论)
sx2 sysx
3d
d
1
9K 2
G
3Kd
kk
G J2
skl
d
kl
d
p d
d
p ij
q
d
p v
0
p
13
1.理想塑性材料的增量本构关系
D
d ij 0
d
e ij
d
p ij
d ij
Dep
f 0 f 0
f ij
d ij
0
f ij
d ij
0
f 0
f ij
d ij
0
14
1.理想塑性材料的增量本构关系
D
d
p ij
0 d ij
f
ij
d ij
f k
dk
加载面的演化 内变量的演化
d
p ij
d
f
ij
dhijpdd
p
ij
fdijd2 ijf ijkfdf ikj
0
如果hd以kd累积pkf塑2ij d性p d32应ijdk变ijpddkfd2dijppkdpf作32p0为df内2变hd量f ij
f
fij ij
ij
3
1.理想塑性材料的增量本构关系
一、弹性理论
应力状态
一一对应关系
应变状态
描述方法：状态对应
本构形式：全量型(应力、应变) 增量型(应力增量、应变增量)
问题： 荷载超过弹性范围之后，材料的力学行为是变形过程和变 形历史相关的，如何描述？必须发展弹塑性理论！
4
1.理想塑性材料的增量本构关系
二、塑性理论
d
p ij
Dep
f 0
f ij
Cijkl d kl
0
f 0
f ij
Cijkl d kl
0
f 0
f ij
Cijkl d kl
0
15
1.理想塑性材料的增量本构关系 2.硬化材料的增量塑性本构关系 3.全量塑性本构关系
16
2. 硬化材料的增量塑性本构关系
d
p ij
d
f
ij
f g 相关联流动
塑性应变大小 塑性应变方向
H 22H 23
H 33 H12
H12H 23
H
2 23
H11 H 31 H 22H31
H
33
H
31
H12H31
H12
H
31
H
2 31
12
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
f g I1 J2 k
d
p ij
d g ij
ij
sij 2 J2
d
d
p kk
Cp ijkl
G k2
szsx
sxy sx
s
yz
sx
szxsx
sxsy
s
2 y
szsy
sxy sy
syz sy
szx sy
sxsz
sysz
s
2 z
sxy sz
syz sz
szx sz
sx sxy
sy sxy
sz sxy
s
2 xy
syz sxy
szx sxy
sx syz
sy syz
sz syz
ij kl
ik jl
il jk
k2
sij skl
d ij
C ep ijkl
d
kl
d x
d
y
d
d z d xy
d
yz
d zx
d x
d y
d
d d
z xy
d
yz
d zx
C ep ijkl
Ce ijkl
Cp ijkl
7
1.理想塑性材料的增量本构关系
2)Prandtl-Reuss模型(J2理论)
ik jl
il jk
1
9k 2
G
H ij H kl
Hij 3Kij
G J 2 sij
10
1.理想塑性材料的增量本构关系
3)Drucker-Prager模型
K
K
4
3 2
G G
K 2G 3
K 4G
K 2G 3
K 2G
0 0
0 0
0
0
3
3
3
Ce ijkl
K
2G 3
K 2G 3
K 4G 3