第九讲+一元微积分的应用
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高等数学(一元微积分)02-7.10定积分应用之旋转体的体积
x2
2
dx
2b 2 a2
a
(a
2
x 2 )dx
0
2b 2 a2
a
2
x
x3 3
a
0
4 ab 2 ． 3
图 5.2.14
图 5.2.15
a 绕 y 轴旋转的椭球体，可看作右半椭圆 x
b2 y 2 与 y 轴围成的平面图
b
形绕 y 轴旋转而成(如图 5.2.15 所示)，取 y 为积分变量，y [b,b] ，由公式(5．2．7)
(5.2.6)
类似，由曲线 x g( y) ，直线 y c, y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，
所得旋转体(如图 5.2.13)的体积为
V d g 2 ( y)dy ． c(52.7)图 5.2.12
图 5.2.13
x2 y2 例 1 求由椭圆 1分别绕 x 轴及 y 轴旋转而成的椭球体的体积．
边梯形绕 x 轴旋转而成(如图 5.2.12)，我们来求它的体积V ．这是已知平行截面面 积求立体体积的特殊情况，这时截面面积 A(x) 是圆面积．
在区间 a,b 上点 x 处垂直 x 轴截面面积为 A(x) f 2 x ，在 x 的变化区间
a,b 内积分，得旋转体体积为
V b f 2 xdx ． a
所求椭球体体积为
b a
Vy
b b
b2
y2
2
dy
2a 2 b2
b (b 2 y 2 )dy
0
2a 2 b2
b
2
y
y3 3
b
0
4 a 2b ． 3
a2 b2
解 绕 x 轴 旋 转 的 椭 球 体 ( 如 图 5.2.14 所 示 ) ， 它 可 看 作 上 半 椭 圆
一元微积分应用 共62页
(3) 计算面积
A2A1 2 0 31 2(1 co )2d s 3 21 2(3 co )2d s
3(12co s1co 2s )d
0
2
2
3
9(1cos2)d
2
5
4
平面图形的面.积 由对,称 求性 出上半部 A1,则 分 A2 的 A1. 面积
r3co s (1)求积分区 联间 立方程组
3
O
r1co s
x
r3co s
r1co s
cos 1
2
3
(2) 微分元素
当 0 3 时 ,曲r 边 1 c为 o ,dsA11 2(1co)s2d. 当 3 2时 ,曲边 r 3 c为 o , sdA11 2(3co)s2d.
(3) 计算面积
A 1 ( 2 x x )d x 2 ( 2 x x 2 )d x 7 .
0
1
6
如 何 判 定 积 分 变 量
1.用平行与y轴的直线穿过所求区域[a,b]，若与边界线的 焦点有且仅有2个时，选择积分变量x，这时我们把该区域 称为x型区域，若超过两个时需要分区域进行求解.
A 2 O
(2 )微分 d A 元 [2 ( x ) 素 x 2 ]d x.
y x2 B xy2
1
x
(3) 计算面积
A 1 [2 (x ) x 2 ] d x [ 2 x x 2 x 3 ]1 4 1 .
2
23 2 2
例1 求曲y 线 x2与直x线 y2所围成的平积 面 . 图
于是, 所求面积为
b
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
一元微积分学中的构造辅助函数法
一、什么是构造辅助函数法？
构造辅助函数法是一元微积分学的简易方法。
它的作用是帮助学生快速找出一元微积分的原函数。
构造辅助函数法把几何形状分解成可以快速被积分的函数，从而实现快速求微积分的目的。
二、构造辅助函数法的运用
构造辅助函数法在一元微积分学中被广泛应用。
一般来说，不论曲线形状是什么，都可以用构造辅助函数法来积分。
具体来说，学习者要做的就是观察图形，分解出可以被分解处理的函数，由此能够获得较为准确的结果。
例如，当内接圆的半径是a的时候，可以把它分解为一个关于y的抛物线，然后通过微积分的方法计算出半径为a的内接圆的面积。
三、构造辅助函数法的优势
1.构造辅助函数法相比其它方法较快。
构造辅助函数法可以让学生在计算微积分的过程中少把精力花在一般的函数上，而多放在观察函数的几何形状上，从而更快的获得结果。
2.构造辅助函数法能够更好的理解函数的几何形状。
构造辅助函数法是一个抽象的概念，
但是它可以让学生用简单的描述来更好的理解一元函数的几何形状。
3.构造辅助函数法可以更快的求出极限。
用构造辅助函数法可以更加有效的求出一元微积分变量x进行极限求法，而且更容易理解。
总结
以上就是构造辅助函数法在一元微积分学中的用法，该方法的优势是方便、高效，可以辅助学生们解决许多一元微积分的问题。
定积分微元法及其应用
定积分微元法及其应用摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用一、定积分的微元法适用的所求量定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如果所求量满足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分为3步，1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
一元微积分及微分方程讲义
r'ay=!(x+.i+~)+~(!~ x)+C;(!~-.i),
4 2 2
7
!1P
1 1 1 1 1 ' C)r +(-+-C +-C)x' Y =(-- C)x+(1 2 4 4 42122
7'l Y +J:rX)Y' + 0x)y= f(x) i¥JilRftW.
[ff 3] itilltf(x),g(x)1$=M'lf,., Jl/(x) =f(x) + g(x),
•••
_
M
.i + Cx ".
y,
'.JCD4t- p
JJ!IJy' = p', mxp' = p, tip = dx; lnp= Inx+ In~, :. p
p
X
~x,
my=.i, ~p ./(x) =.i.
®xy-y
.i,
1 p-dt- S -p-dty--y=x, y=e x [ xe x dx+CJ
,ttl 2JttYt (X)'Y2 (X)'Y3 (X)'Y4 (x) ~~~~~.~fj.y" + p(x)y + ~x)y= ./(x) fJ
1l9-+IJ,
!l})(x)=x, Y2(X)=.i, Y3(X)+Y4(X)=~' JlII..I:.J!fJ"~
1 4 1 1 1 1 1 14 42122 1 1 1 1 ~)x+(-- C;).i +(-+ ~ + C;)~ 3 3 2 2
微元法与定积分的应用
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y
4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的 平均速度．
解 因为自由落体的速度为 v = gt， 所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解 因为图形关于 x 轴、y
一元函数积分的基本概念及解析方法
一元函数积分的基本概念及解析方法积分是微积分学中的重要概念之一，它广泛应用于各个领域中的计算和解决问题。
而其中一元函数积分是最基础也是最常见的类型之一。
在本篇回答中，我们将介绍一元函数积分的基本概念和解析方法。
一、一元函数积分的基本概念1. 定义：一元函数的积分是对给定函数在某一区间上进行求和的一种运算。
通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx表示自变量。
2. 不定积分与定积分：一元函数积分可以分为不定积分和定积分两种形式。
- 不定积分：表示对被积函数进行积分得到的一类函数。
不定积分的结果常常带有一个不确定的常数C，称为积分常数。
不定积分通常表示为F(x) + C的形式。
- 定积分：表示对被积函数在某一区间上进行积分得到的一个具体的数值。
定积分的结果是一个确定的数值。
3. 基本性质：一元函数积分具有以下基本性质：- 线性性质：若f(x)和g(x)是连续函数，a和b是常数，则有∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 区间可加性：若f(x)在区间[a, b]上连续，则有∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx。
- 基本运算法则：常见函数的不定积分有一些基本的运算法则，如幂函数积分、三角函数积分等，可以通过表格或特定的公式进行求解。
二、一元函数积分的解析方法1. 基本积分公式：一些基本的不定积分可以通过积分表格中的基本积分公式进行求解。
例如：- ∫x^ndx = x^(n+1)/(n+1) + C，其中n≠-1。
- ∫1/xdx = ln|x| + C。
2. 埃尔米特法则：该方法适用于只有有限个特殊点的函数。
根据积分的线性性质和区间可加性，将被积函数划分为若干个小区间，然后对每个小区间使用基本积分公式求解。
3. 分部积分法：对于两个函数相乘，可以通过分部积分法求解。
该方法得到的结果通常需要通过多次应用分部积分法得到。
一元微积分
一元微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学等领域。
在微积分中，学生学习如何利用极限、导数、积分等概念来解决许多与连续变量相关的问题。
本篇文章将重点介绍一元微积分的基本概念和应用。
一、导数导数是微积分中最基础的概念之一。
在数学中，导数可以理解为函数在某点处的斜率。
更准确地说，函数f(x)在点x_0处的导数定义为：f'(x_0) = lim_(h->0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h.其中，"lim"是取极限的符号，"h"是一个趋近于零的数，表示x_0点向左或向右的距离。
当h足够小的时候，我们可以近似地认为f(x_0+h)和f(x_0)之间的差值和f'(x_0)之间的比率相等。
这个比率称为斜率，它在概念上等于函数f(x)在x_0处的导数。
导数有许多有用的性质，其中最常见的是导数的求导法则。
其中包括：常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则。
这些规则使得求导变得更加容易和直观化。
二、微分微分是导数的一种表达方式。
函数f(x)的微分df(x)定义为：df(x) = f'(x) dx,其中dx是一个无穷小的微小量，它表示x轴上的一个非常小的增量。
微分可以用来求解函数的局部变化和线性逼近等问题。
三、积分积分是微积分中的另一个核心概念。
在数学中，积分可以看作是导数的反运算。
给定一条导数，我们可以通过积分来求出原函数。
也就是说，积分可以通过对导数反复求积来追溯函数的起源。
积分的符号表示为∫，读作“积分”。
它的基本形式为：∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
函数f(x)的积分可以看作是将函数曲线下面的面积求和。
这个面积可以通过求和近似，也可以通过解析方法解决。
四、微积分的应用微积分是一门广泛应用的数学科目。
它可以用来解决许多与连续变量相关的问题。
以下是微积分的一些常见应用：1. 切线和曲率微积分可以用来计算给定点上曲线的切线和曲率。
一元微积分几何应用
积分区间:
x [a, a].
y
h
微分元素:
d V h a 2 x 2 d x.
y
a
O
x
a a
a
a2 x2 d x
x
计算体积:
令 x a cos
V h
正劈锥的体积等于 同底、同高的圆柱 体体积的一半.
1 h a 2 sin 2 d h a 2 . 0 2
绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的体积 . 类似于上面的作法可得 :
积分区间:
y [c, d ] .
微分元素: d V x 2 d y. d V ( ( y )) 2 d y. 计算体积:
V d V y 2 d x.
a a b b
例8 解
x2 y2 求椭圆 2 2 1 绕 x 轴, 绕 y 轴旋转一周所生成的 a b
a
(1 2 cos t cos 2 t ) d t 3 a 2 .
二、旋转体的体积
y A
O
1
计算连续曲线 y f ( x) 在区间
[a, b] 上的一段弧 AB 与直线 x a,
y f ( x)
B
x b 以及 x 轴所围成的平面图形 绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的
6.4 一元微积分的几何应用
----面积、体积、弧长
一、平面图形的面积
二、旋转体的体积
三、平行截面面积为已知的几何体的体积 四、弧长及其计算方法
五、旋转体的侧面积
注意 在应用微分元素法时 , 要求所计算的量 A 具有可加性 :
即在区间 [a , b] 上, 量 A 总等于它在该区间的各 个子区间上部 分量 A 的和 .
x [a, a].
y
h
微分元素:
d V h a 2 x 2 d x.
y
a
O
x
a a
a
a2 x2 d x
x
计算体积:
令 x a cos
V h
正劈锥的体积等于 同底、同高的圆柱 体体积的一半.
1 h a 2 sin 2 d h a 2 . 0 2
绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的体积 . 类似于上面的作法可得 :
积分区间:
y [c, d ] .
微分元素: d V x 2 d y. d V ( ( y )) 2 d y. 计算体积:
V d V y 2 d x.
a a b b
例8 解
x2 y2 求椭圆 2 2 1 绕 x 轴, 绕 y 轴旋转一周所生成的 a b
a
(1 2 cos t cos 2 t ) d t 3 a 2 .
二、旋转体的体积
y A
O
1
计算连续曲线 y f ( x) 在区间
[a, b] 上的一段弧 AB 与直线 x a,
y f ( x)
B
x b 以及 x 轴所围成的平面图形 绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的
6.4 一元微积分的几何应用
----面积、体积、弧长
一、平面图形的面积
二、旋转体的体积
三、平行截面面积为已知的几何体的体积 四、弧长及其计算方法
五、旋转体的侧面积
注意 在应用微分元素法时 , 要求所计算的量 A 具有可加性 :
即在区间 [a , b] 上, 量 A 总等于它在该区间的各 个子区间上部 分量 A 的和 .
一元微积分物理应用
y
x (a, b], x 0.
当x 很小时, 可视物体在区间
f (x)
O
[ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值
x x x b x
f ( x) 按常力 作功, 其值为
a
W f ( x)x.
于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: d W f ( x) d x.
1 b a f ( x) d x. ba
[ xi 1 , xi ] 的长度 ba xi n
f ( x) R([a, b]), 则 f ( x) 在[a, b] 上的平均值为
y
b a
f ( x) d x ba .
若 f ( x) C ([a, b]), 则
y
b a
?
O
取 x 0, 在 [ x, x x] 上, 视压
1
x 0 .5 x x
x
力 F ( x) 不变, 则在该小区间上压缩气
体作的功为 W F ( x)x .
由已知条件, 当 x 0 时, 气体的压强 P(0) 9.8 105 , 故
k PV
x 0
9.8 10 5 (0.1) 2 9800 .
由于功对区间具有可加性, 故变力 f ( x) 沿直线移动物体所做
y
y f (x)
的功为:
积分区间: x [a, b].
微分元素: d W f ( x) d x.
b b
W
O a
b x
变力作功的几何表示
功的计算 : W d W f ( x) d x.
a a
例1
直径为0.20 (m), 长为1 (m) 的气缸内 充满了压强 ,
x (a, b], x 0.
当x 很小时, 可视物体在区间
f (x)
O
[ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值
x x x b x
f ( x) 按常力 作功, 其值为
a
W f ( x)x.
于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: d W f ( x) d x.
1 b a f ( x) d x. ba
[ xi 1 , xi ] 的长度 ba xi n
f ( x) R([a, b]), 则 f ( x) 在[a, b] 上的平均值为
y
b a
f ( x) d x ba .
若 f ( x) C ([a, b]), 则
y
b a
?
O
取 x 0, 在 [ x, x x] 上, 视压
1
x 0 .5 x x
x
力 F ( x) 不变, 则在该小区间上压缩气
体作的功为 W F ( x)x .
由已知条件, 当 x 0 时, 气体的压强 P(0) 9.8 105 , 故
k PV
x 0
9.8 10 5 (0.1) 2 9800 .
由于功对区间具有可加性, 故变力 f ( x) 沿直线移动物体所做
y
y f (x)
的功为:
积分区间: x [a, b].
微分元素: d W f ( x) d x.
b b
W
O a
b x
变力作功的几何表示
功的计算 : W d W f ( x) d x.
a a
例1
直径为0.20 (m), 长为1 (m) 的气缸内 充满了压强 ,
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第九讲一元微积分的应用§1函数单调增减性的判别定理：设函数()f x 在(),a b 内恒有()'0fx >（()'0f x <），则()f x 在(),a b 内是单调增的（或单调减的），记为：↗（或↘）。
注意：个别点处()'0fx =不影响()f x 的单调性。
例：3'2,3,0y x y x x ===时'0y =，但是3y x =↗应用：一．判别单调性：例1：设函数()f x 在[]0,a 0a ≥连续，()0f x =。
在()0,a 内可导，()'fx 单调增，令()()f x F x x=。
证明：在()F x 在()0,a 内单增。
证明：()()()()'00f x f x f xf xξξ=− <<=拉氏定理()()()()()()()()'''''''220f x xf x f x xf x xf f x f F x x x x x ξξ−−−⎡⎤====≥⎢⎥⎣⎦（∵()'fx 单调增，0x >）；故在()F x 在()0,a 内单增。
二．求单调区间例2：设()()110xf x dt x ⎛⎞=− >⎜⎟⎝⎠∫，求()f x 的单减区间。
解：()'1fx=−，令()'0f x =1x ⇒=；∴当()0,1x ∈时，()'0f x <，所以()f x 单调减；当()1,x ∈∞时，()'0fx >，所以()f x 单调增；∴()f x 的单减区间为：()0,1或者(]0,1。
三．证明不等式例3：证明：1x >时，()()221ln 1x x x −>−证明：令：()()()221ln 1F x x x x =−−−，则：()()()'2112ln 1212ln 2F x x x x x x x x x x =+−−−=−−+；()''2112ln 210F x x x x x=+−+>∴()'F x ↗，()()''1lim 00x F x F x +→=⇒>；∴()F x ↗，()10F +=；故()()10F x F +>=；即：()()221ln 10x x x −−−>。
§2函数的极值与最值定义：设函数()y f x =在0x x =的临域内有定义，x 为该临域内异于0x 的任一点，若恒有()()0f x f x >（或()0f x <），则()0f x 称为()f x 的极小值（极大值）。
极大值与极小值统称为极值。
使函数取极值的点为极值点。
注意：极值的概念是局部性概念，极大值不一定是区间内的最大值；极大值不一定比极小值大。
定义：使()'0fx =的解，称为()f x 得驻点。
0x 为()f x 的驻点，不能⇒0x 为()f x 的极值点；同样，0x 为()f x 的极值点，不能⇒0x 为()f x 的驻点。
例如：0x =为3y x =的驻点，不能⇒0x =为3y x =的极值点；0x =为y x =的极小值点，不能⇒0x =为y x =的驻点。
1Th ：（取极值的必要条件）设()0f x 为()f x 的极值，又()f x 在0x x =处可导，则()'00fx =。
2Th ：（取极值的充分条件）设()f x 在0x x =的邻域内可导（在0x x =处()'f x 可以不存在，但必须()f x 在0x x =处连续），若：①x ：0x →→；()'fx ：−→()'00fx =或()'0f x 不存在+→⇒()0f x 为()f x 的极小值；②x ：0x →→；()'fx ：+→()'00f x =或()'0f x 不存在−→()0f x ⇒()0f x 为()f x 的极大值；③若()'fx 在0x x =的两侧不变号，则()0f x 不是()f x 的极值。
3Th ：设()f x 在0x x =的邻域内二阶可导，且()'00f x =，()''00f x ≠。
当()''00f x >时，()0f x 为()f x 的极小值；当()''00fx <时，()0f x 为()f x 的极大值。
极值的求法：1求()'fx ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ；2利用定理2或定理3判别i x 是否为极值点，并判别类型；3求出极值。
最值的求法：1求()'fx ：求出驻点及使()'f x 不存在的点，设为i x ；2求出()i f x ：若()f x 在[],a b 连续，也求出()(),f a f b ；3比较以上所得函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。
例1：设函数()f x 在0x =的邻域内连续，且()00f =，()0lim21cos x f x x→=−−，则在0x =处，()f x []：（A ）不可导（B ）可导但()'00f ≠（C ）取极大值（D ）取极小值解：()()()000lim lim 21cos 1cos x x f x f x f x x →→−==−−−()()()021cos f x f x xα−⇔=−+−，其中()0lim 0x x α→=()()()()()()021cos 00f x f x x f x f α⇒−=−+−≤⇒≤⎡⎤⎣⎦，故答案为C 。
例2：设()y f x =为微分方程'''sin 0x y y e +−=的解，()'00fx =，则在0x x =处()f x []：（A ）0x x =的邻域内单增（B ）0x x =的邻域内单减（C ）取极大值（D ）取极小值解：∵()()()()0sin '''sin '''0000xxfx f x e fx f x e +−=⇒+−=()()'000sin ''00f x x f x e ==>⇒。
故()0f x 为()f x 的极小值。
故选C 。
例3：()''f x 连续，且()'00f =，()''0lim 1x f x x→=，则在0x =处，()f x []：（A ）取极大值（B ）取极小值（C ）()()0,0f 为拐点（D ）()f x 不取极值也在()()0,0f 处不是拐点解：∵()''0lim 1x f x x→=∴当0x →时，()''f x x ∼∵0x >，∴在0x =的邻域内，()''0f x >∴()0f 为()f x 的极小值。
故选B 。
例4：设()()()000limnx x f x f x k x x →−=−，讨论()f x 在0x x =处的极值。
解：()()()()()()()0000limnnx x f x f x f x f x k k x x x x x α→−−=⇔=+−−()()()()00nf x f x k x x x α⇔−=+−⎡⎤⎣⎦，其中()0lim 0x x x α→=。
1当0k >时，n 为偶数时，()()00f x f x −≥，∴()0f x 为()f x 的极小值；2当0k <时，n 为偶数时，()()00f x f x −≤，∴()0f x 为()f x 的极大值；3当n 为奇数时，()()0f x f x −不保号，∴()0f x 不是()f x 的极值；例5：求抛物线24x y =到y 轴上的定点()0,P b 的最短距离。
解：d ==令：()()()()()'02'4422f y f y y y b f y y b y b ==+−⇒=+−=−⇒令1当2b ≥时，()()''''2,220fy f b = −=>2y b =−为()f y 的最小值点，也即d的最小值点。
∴min d ==2当2b <时，()()2''0,0,.y x fy f y ≤=≤+∞ ≥ ↗0y =为()f y 的最小值点，也即d 的最小值点。
∴min d b =。
§3函数图形的凹凸性及拐点定义：设函数()y f x =在[],a b 上有定义，[]12,,x x a b ∈，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎞>⎜⎟⎝⎠（或()()121222f x f x x x f ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠），则()f x 在[],a b 上为凸的（或凹的）。
1Th ：设函数()y f x =在[],a b 上二阶可导，若()''0f x >（或()''0f x <）。
则()f x 的图形在[],a b 上为凹的（或凸的）。
例：设()x ϕ为连续函数的正函数，令()()()0aaf x x t t dt a ϕ−=− >∫。
判别()f x 在[],a a −上的凹凸性。
解：()()()()()()axaaax f x x t t dt x t t dt t x t dt ϕϕϕ−−=− =− +−∫∫∫()()()()xx aaaaxx x t dt t t dt t t dt x t t dtϕϕϕϕ−−=− +−∫∫∫∫()()()()()()()'xaaxf x t dt x x x x x x t dt x x ϕϕϕϕϕϕ−−=+−−−+∫∫()()x aaxt dt t dtϕϕ−=−∫∫()()()()'20f x x x x ϕϕϕ=+=>（∵()x ϕ为正函数）故：()f x 的图形在[],a b 上为凹的。
定义：函数()y f x =的图形凹凸的分界点称为()y f x =的拐点。
2Th ：设函数()y f x =在0x x =的邻域内二阶可导，在0x x =处()''f x 可不存在，但必须()f x 连续。
若()''f x 在0x x =处的邻域内变号，则()()00,x f x 为拐点；若()''f x 在0x x =处的邻域内不变号，则()()00,x f x 不是拐点。
3Th ：设函数()y f x =在0x x =的邻域内三阶可导，且()''00f x =，()'''00f x ≠，则()()0,x f x 为拐点。