专题1 直线的方程-2019年高考数学一轮复习题型总结与巩固练习

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同样形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0 ，这个方程 (其中 A 、B 不全为零 )叫做直线方程的一般式．要点讲解：1．A 、 B 不全为零才能表示一条直线，若 A 、 B 全为零则不能够表示一条直线 .当 B ≠0时，方程可变形为 yA x C ，它表示过点 0,C，斜率为A的直线．B BBB当 B=0 ， A ≠0时，方程可变形为Ax+C=0 ，即 xCx 轴垂直的直线．，它表示一条与A由上可知，关于 x 、 y 的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于 x 、y 的一次方程 （如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程能够是 2x ―y+1=0 ，也能够是 x 1 y 1 0 ，还可以够是 4x ― 2y+2=0等．）2 2要点二：直线方程的不同样形式间的关系 直线方程的五种形式的比较以下表：名称方程的形式 常数的几何意义适用范围 点斜式y ―y（ x 1， y 1）是直线上必然点， k 是斜率 不垂直于 x 轴1=k(x ―x 1)斜截式y=kx+bk 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距不垂直于 x 轴 两点式y y 1 x x 1 （ x 1， y 1 ），（x 2 ，y 2）是直线上两定点不垂直于 x 轴和 y 轴y 2 y 1x 2x 1截距式x y a 是直线在 x 轴上的非零截距，b 是直不垂直于 x 轴和 y 轴，a1线在 y 轴上的非零截距b且但是原点 一般式Ax+By+C=0 （ A 2+B 2≠0） A 、B 、 C 为系数任何地址的直线要点讲解：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求 直 线 存 在 斜 率 ， 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 ， 其 限 制 条 件 更 多 （ x 1≠x 2， y 1 ≠y 2）， 应 用 时 若 采 用 (y 2―y 1)(x ―x 1) ― (x 2―x 1)(y ―y 1)=0 的形式，即可除掉限制性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，第一要判断可否满足 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同样，获取的 方程也不同样．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．依照题目所给条件，选择合适的直线方程的形式，求出直线方程．关于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同样，考虑的方向也不同样．（ 1）从斜截式考虑已知直线 l 1 : y k 1 x b 1 , l 2: y k 2 x b 2 ,l 1 // l 2 1 2k 1 k 2 (b 1 b 2 ) ；l 1 l 2tancot1 k 1k 211212k 12k 2于是与直线 y kx b 平行的直线能够设为 ykx b 1 ；垂直的直线能够设为y1 x b2 ． （ 2）从一般式考虑：kl 1 : A 1x B 1 y C 1 0, l 2 : A 2 x B 2 y C 2l 1 l 2 A 1 A 2 B 1B 2l 1 // l 2A 1B 2 A 2B 1 0且 A 1C 2 A 2C 1 0 或 B 1C 2 B 2C 1 0 ，记忆式（ A 1 B 1C1 ）A 2B 2C 2l 1 与 l 2 重合， A 1B 2 A 2 B 1 0 ， A 1C 2 A 2C 1 0 ， B 1C 2 B 2C 1 0于 是 与 直 线 Ax By C 0 平 行 的 直 线 可 以 设 为 AxBy D 0 ； 垂 直 的 直 线 可 以 设 为Bx Ay D0 .【典型例题】种类一：直线的一般式方程例 1．依照以下条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．1 （1）斜率是，经过点 A （ 8， ―2）；2（2）经过点 B （ 4， 2），平行于 x 轴；（3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3，―3；2（4）经过两点 P 1（ 3，―2）， P 2（ 5， ―4）．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 （ 2） y ―2=0 （ 3） 2x ―y ―3=0 （ 4） x y 1 0【剖析】（ 1）由点斜式方程得 y( 2)1( x 8) ，化成一般式得 x+2y ― 4=0．2（2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y ―2=0 ．（3）由截距式得xy1 ，化成一般式得 2x ―y ―3=0 ．3 32（4）由两点式得y 2x3，化成一般式方程为x y 1 0 ．4 ( 2)5 3【总结升华】本题主若是让学生领悟直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转变，关于直线方程的一般式，一般作以下约定： x 的系数为正， x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、 y 项、常数项序次排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 经过点 B(3, 1) ，且倾斜角是 30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程.【答案】 y 13(x3) 3x 3y3 3 3 03【剖析】由于直线倾斜角是30 ，所以直线的斜率 ktantan 303 ，所以直线的点斜式方程3为： y 13(x 3) ，化成一般式方程为：3x 3 y 3 3 30 .3例 2． ABC 的一个极点为 A( 1, 4) ， B 、 C 的均分线在直线y 1 0和 x y 10 上，求直线 BC 的方程 .【答案】 x 2 y3 0【剖析】由角均分线的性质知，角均分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得 A 点关于B 的均分线的对称点 A ' 在 BC 上， B 点关于C 的均分线的对称点 B ' 也在 BC 上．写出直线 A ' B ' 的方程，即为直线 BC 的方程 .例 3．求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点（ 1， 2）的直线 l 的方程．【答案】 3x+4y ―11=0 【剖析】解法一：设直线l 的斜率为 k ，∵ l 与直线 3x+4y+1=0 平行，∴ k3 ．4又∵ l 经过点（ 1， 2），可得所求直线方程为 y 23(x 1) ，即 3x+4y ― 11=0．4解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0 ，∵ l 经过点（ 1， 2），∴ 3×1+4×2+m=0 ，解得 m=―11 ．∴所求直线方程为 3x+4y ―11=0 ．【总结升华】（ 1）一般地， 直线 Ax+By+C=0 中系数 A 、B 确定直线的斜率， 所以，与直线 Ax+By+C=0平行的直线可设为 Ax+By+m=0 ，这是常采用的解题技巧．我们称 Ax+By+m=0 是与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程．参数m 能够取 m ≠C 的任意实数，这样就获取无数条与直线Ax+By+C=0平行的直线．当m=C 时， Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合．（2）一般地，经过点 A （x 0 ，y 0），且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x ―x )+B(y ―y )=0 ．（3）近似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx ―Ay+m=0 （ A ， B 不同样时为零） ．贯穿交融：【变式 1】已知直线 l 1 ： 3mx+8y+3m-10=0 和 l 2 ：x+6my-4=0 . 问 m 为何值时 :（1） l 1 与 l 2 平行（ 2） l 1 与 l 2 垂直 . 【答案】（ 1） m2 （ 2） m3【剖析】当 m0 时， l 1 ： 8y-10=0 ； l 2 ： x-4=0 ， l 1 l 2当 m 0 时， l 1 ： y3m 10 3m： y 1x4x 8 ； l 2 6m86m由 3m1 ，得 m2 ，由 10 3m 4 得 m 2 或 886m38 6m 3 3 而 (3m ) ( 1 ) 1无解8 6m2综上所述（ 1） m， l 1 与 l 2 平行．（ 2） m 0 ， l 1 与 l 2 垂直．3【变式 2】 求经过点 A （ 2， 1），且与直线 2x+y ―10=0 垂直的直线 l 的方程． 【答案】 x － 2y=0【剖析】由于直线 l 与直线 2x+y ―10=0 垂直，可设直线 l 的方程为 x 2y m 0 ，把点 A （2，1）代入直线 l 的方程得： m0 ，所以直线 l 的方程为： x －2y=0 ．种类二：直线与坐标轴形成三角形问题例 4．已知直线 l 的倾斜角的正弦值为3，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线 l 的方程．5【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数—— 直线在 y 轴上的截距 b ，再依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，即可求出 b ．也能够依照直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，进而得出1| ab | 6 ，再依照它的斜率已知，进而获取关于a ，b 的方程组，解之即可．3 x23 x【答案】 y3 或 y 344【剖析】解法一：设 l 的倾斜角为，由 sin33，得 tan．3544设 l 的方程为yx b ，令 y=0，得 x4 b ．3∴直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 4 ，（ 0，b ）．b,03∴ S1 4b | b | 2b 2 6 ，即 b 2=9，∴ b=±3．23 3故所求的直线方程分别为y 3 x 3 或 y3 x 3 ．44解法二：设直线l 的方程为xy 1，倾斜角为，由 sin3 ，得 tan3 ．a b541| a | | b |6a 4∴2b3 ，解得．b 3a4故所求的直线方程为x y 1或 xy 1．4 3 4 3【总结升华】（ 1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关） ，所以可选择斜截式直线方程，也可采用截距式直线方程，故有“题目决定解法 ”之说．（2）在求直线方程时，要合适地选择方程的形式，每种形式都拥有特定的结论，所以依照已知条件恰 当地选择方程的种类经常有助于问题的解决．比方：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，平时采用点 斜式，再由其他条件确定该直线在y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的种类后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特别情况的谈论，省得遗漏．贯穿交融：【变式 1】（ 2015 春 启东市期中）已知直线m ： 2x ― y ―3=0 ， n ：x+y ―3=0 ．（ 1）求过两直线 m ，n 交点且与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程； （2）求过两直线 m ， n 交点且与两坐标轴围成面积为4 的直线方程．【思路点拨】（ 1）求过两直线 m ， n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l ： x+2y ―1=0平行的直线方程；（ 2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 ；（ 2）2x y 3 0 x 2 【剖析】（ 1）由y3 ，解得y，x 01即两直线 m ， n 交点坐标为（ 2， 1），设与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0 ，则 2+2×1+c=0，解得 c=―4， 则对应的直线方程为 x+2y ―4=0 ；（2）设过（ 2， 1）的直线斜率为 k ，（ k ≠0），则对应的直线方程为 y ―1= k(x ―2) ，令 x=0， y=1―2k ，即与 y 轴的交点坐标为 A （ 0， 1―2k ） 令 y=0，则 x2 1 2k 1 ，即与 x 轴的交点坐标为 B(2k 1,0) ，k kk 则△AOB 的面积 S1 | 2k 1||1 2k | 4 ，2 k即 (2k 1)2 8 k ，即 4k 24k 8 k1 0 ，若 k ＞ 0，则方程等价为 4k 212k1 0 ，解得 k3 2 2或 k 3 2 2 ，22若 k ＜ 0，则方程等价为 4k 24k1 0 ，解得 k1 ．2综上直线的方程为y 11( x 2) ，或 y 13 2 2 ( x 2) ，或 y 13 2 2( x 2)222即 y1 x2 ，或 y3 2 23 2 2x 2 2 22 x 2 2 2 ，或 y22种类三：直线方程的本质应用例 6．（ 2015 春 湖北期末）光辉从点 A （ 2，3）射出，若镜面的地址在直线 l ： x+y+1=0 上，反射光辉经过 B （ 1， 1），求入射光辉和反射光辉所在直线的方程，并求光辉从 A 到 B 所走过的路线长．【思路点拨】求出点 A 关于 l 的对称点，就可以求出反射光辉的方程，进一步求得入射点的坐标，从而可求入射光辉方程，可求光辉从A 到B 所走过的路线长．【答案】 41【剖析】设点 A 关于 l 的对称点 A ＇（ x 0， y 0），x 0 2 y 0 3 1 0 x 04∵AA ＇被 l 垂直均分，∴2 2 ，解得y 0 3y 03x 0 12∵点 A ＇（―4， ―3）， B （1， 1）在反射光辉所在直线上， ∴反射光辉的方程为y 3 x4，即 4x ―5y+1=0，1 3 1 44x 5y 1 0( 2 ,1) ． 解方程组x y 10 得入射点的坐标为3 3y 1x 2由入射点及点 A 的坐标得入射光辉方程为3 3，即 5x ―4y+2=0 ，31 2 233光辉从 A 到 B 所走过的路线长为 | A' B |( 4 1)2 ( 3 1)241 ．【总结升华】本题要点观察点关于直线的对称问题，观察入射光辉和反射光辉，解题的要点是利用对称点的连结被对称轴垂直均分．线 贯穿交融：【变式 1】（ 2016 春 福建厦门期中）一条光辉从点 A （－ 4，－ 2）射出，到直线y=x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光辉恰好过点 D （－ 1，6）．求 【答案】 10x － 3y+8=0【剖析】如图， A （－ 4，－ 2）， D （－ 1，6），y=x 上的 B 点后被直BC 所在直线的方程．由对称性求得 A （－ 4，－ 2）关于直线 y=x 的对称点 A ＇（－ 2，－ 4）， D 关于 y 轴的对称点 D ＇（ 1， 6），则由入射光辉和反射光辉的性质可得：过 A ＇ D ＇的直线方程即为 BC 所在直线的方程．由直线方程的两点式得： y 4 x 2 ． 整理得： 10x － 3y+8=0 ．64 1 2例 7．如图，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建筑一幢8 层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．（精确到 1 m 2）【答案】 6017【剖析】建立坐标系，则 B （ 30， 0）， A （ 0， 20）．∴由直线的截距方程获取线段AB 的方程为x y 1 （0≤ x ≤ ）30．30 202x ． 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则有 y203∴公寓的占地面积为S (100 x) (80y) (100 x) (80 20 2x)2 x 2 20 x 6000 （0≤ x ≤ ）30．3 3 3 ∴当 x=5 ， y50 时， S 取最大值，最大值为 S2 52 20 5 6000 6017(m 2 ) ．333即当点 P 的坐标为 (5,50) 时，公寓占地面积最大，最大面积为6017 m 2．3P 的地址由两个条件确定，一是 A 、 P 、 B 三点共线，【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点 二是矩形的面积最大．借三点共线追求x 与 y 的关系，利用二次函数知识研究最大值是办理这类问题常用的方法．。

、考点、热点回顾已知条件图示方程形式适用条件 局限 点斜式点 P （x 0， y 0）和斜不能表示斜率不y －y 0＝k （x －x ）斜率存在存在的直线率k斜率 k 和直线在不能表示斜率不斜截式y ＝ kx ＋b斜率存在y 轴上的截距 b存在的直线x 1≠x 2 ，y 1≠y 2 即P 1（x 1，y 1），P （x ，y － y 1 x － x 1斜率存在且两点式能表示与坐标轴y 2），其中 x 1y 2－ y 1 x 2－ x 1不为 0平行的直线y 1≠y 2在 x ，y 轴上的截斜率存在且不能表示与坐标截距式距分别为 a ， bx＋y ＝1不为 0，不过原轴平行及过原点ab的直线且 a ≠0，b ≠0点一般形式Ax ＋ By ＋C ＝ 0A ，B 不同时为 0无知识点二、线段的中点坐标公式若点 P 1， P 2的坐标分别为 （x 1，y 1），（x 2，y 2），设 P （x ，y ）是线段 P 1P 2 的中点，则知识点三、直线的一般式求直线平行或垂直设直线 l 1与 l 2的方程分别为 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（A 1，B 1 不同时为 0），A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0（A 2，B 2不同时为0），A1B2－ A2B1＝ 0，A1 B1 C1 则 l 1∥l 2?或 A1 B1 C1（A 、B 、C 均不为零 ）B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－ A 2C 1≠ 0. A 2B 2C 2直线的方程x ＝x 1＋ x 2 y 1＋y 2l1⊥ l2? A1A2＋B1B2＝ 0.二、典型例题考点一、直线的点斜式方程例 1、写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点 A(2,5)，且与直线 y＝2x＋ 7 平行；(2)经过点 C(－1，－ 1)，且与 x轴平行；(3)经过点 D(1,2)，且与 x 轴垂直．变式训练 1、(1)经过点 (－3,1)且平行于 y 轴的直线方程是__ ．(2) ________________________________________________________________________ 直线 y＝2x ＋1绕着其上一点 P(1,3)逆时针旋转 90°后得到直线 l，则直线 l 的点斜式方程是_________________ ．(3) ______________________________________________________________________________ 一直线 l1过点 A(－1，－2)，其倾斜角等于直线 l2：y＝33x的倾斜角的 2 倍，则 l1的点斜式方程为_________ ．考点二、直线的斜截式方程例 2、 (1) 倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3 的直线的斜截式方程是 ___ __．(2)已知直线 l1的方程为 y＝－ 2x＋ 3， l 2的方程为 y＝4x－2，直线 l与 l 1平行且与 l2在y轴上的截距相同，求直线 l 的方程．变式训练 2、已知直线 l 的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，求 l 的斜截式方程．6考点三、直线过定点问题例 3、求证：不论 m 为何值时，直线 l：y＝(m－1)x＋2m＋1 总过第二象限 .变式训练 3、已知直线 l：5ax－5y－ a＋ 3＝ 0.求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限考点四、直线的两点式方程例4、已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，(1)求 BC 边的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．变式训练 4、若点 P(3，m)在过点 A(2，－ 1)，B(－ 3,4)的直线上，则 m＝_考点五、直线的截距式方程6 的直线方程是 ( )例 5、过点 P(1,3) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于A．3x＋y－6＝0 B．x＋ 3y－ 10＝ 0C．3x－ y＝0 D．x－3y＋8＝ 0变式训练 5、直线 l 过点 P(34， 2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为 12，求直线 l 的方程．3A．2 条 B．3 条 C．4 条 D ．无数多条变式训练 6、过点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有 ( )A．1 条 B．2 条 C．3条 D．无数多条考点六、直线的一般式方程(1)斜率是 3，且经过点 A(5,3) ；(2)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－ 2；(3)经过点 A(－ 1,5)，B(2，－ 1)两点；(4)在 x轴，y 轴上的截距分别为－ 3，－1.变式训练 7、根据条件写出下列直线的一般式方程：1(1)斜率是－21，且经过点 A(8，－ 6)的直线方程为 ____________ ；(2)经过点 B(4,2)，且平行于 x 轴的直线方程为 ______________ ；3(3) __________________________________________________ 在 x轴和 y轴上的截距分别是2和－3 的直线方程为 ________________________________________________________________(4) ____________________________________________ 经过点 P1(3，－ 2)，P2(5，－ 4)的直线方程为 _____________________________________________________________________ ．例 8、设直线 l 的方程为（m2－ 2m－ 3）x－（2m2＋m－ 1）y＋ 6－2m＝ 0.（1）若直线 l 在 x 轴上的截距为－ 3，则 m＝；（2）若直线 l 的斜率为 1，则 m＝ __ .变式训练 8、若方程（a2＋5a＋6）x＋（a2＋2a）y＋ 1＝0 表示一条直线，则实数 a 满足．考点七、由直线的一般式研究直线的平行与垂直命题角度 1 利用两直线的位置关系求参数例 9、（1）已知直线 l 1： 2x＋（m＋ 1）y＋4＝ 0与直线 l2：mx＋3y－2＝0 平行，求 m的值；（2）当 a 为何值时，直线 l1：（a＋2）x＋（1－a）y－1＝0 与直线 l2：（a－1）x＋（2a＋3）y＋2＝0互相垂直？变式训练 9、已知直线 l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－a＝0，求满足下列条件的 a 的值．（1）l1∥ l2；（2）l1⊥l2.例 10、已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝ 0，求满足下列条件的直线 l′的方程：（1）过点（－1,3），且与 l 平行；（2）过点（－1,3），且与 l 垂直．变式训练 10、已知点 A（2,2）和直线 l：3x＋ 4y－20＝0. 求：（1）过点 A 和直线 l 平行的直线方程；（2）过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．三、课后练习一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．不论 m为何值，直线（m－ 1）x＋（2m－ 1）y＝ m－ 5 恒过定点（）1A. 1,B. （－ 2,0）C. （2,3）D. （9 ，－ 4）范围为（）A. B. C. D.3．若直线 l1：x＋ay＋6＝0与 l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则 l1与 l2之间的距离为（）A. B. C. D.4．若点A 1,1 关于直线y kx b 的对称点是B 3,3 ，则直线y kx b 在y 轴上的截距是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 5．已知直线l1 :x y 1 0，动直线l2 : k 1 x ky k 0 k R ，则下列结论错误．．的是（）A. 存在k，l1使得l2的倾斜角为 90° B. 对任意的k，l1与l2都有公共点C. 对任意的k，l1与l2都不．重合D. 对任意的k，l1与l2都不．垂．直．6．设点A 2, 3 ，B 3, 2 ，直线 l 过点P 1,1 ，且与线段AB 相交，则 l 的斜率k 的取值范围（）33A. k 或k 4B. 4 k 44C. 3k 4D. 以上都不对47．图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3 ，则有（）A. k1 k2 k3 B. k3k1k2 C. k3k2k1 D. k2k3k18．直线x 3y1 0 的倾斜角为（）.A. B. C. D.9．直线的斜率和在轴上的截距分别是（)A. B. C. D.10 ．过点，且平行于向量的直线方程为（）2．已知不等式组表示的平面区域为18．已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．11．过点 A （3，3） 且垂直于直线 的直线方程为二、填空题13．已知 a,b, c 为直角三角形的三边长， c 为斜边长，若点 M m,n 在直线 l :ax by 2c 0上，则 m 2 n 2的 最小值为 __________ ．14．m R ，动直线 l 1:x my 1 0过定点 A ，动直线 l 2:mx y 2m 3 0过定点 B ，若直线 l 与l 2相交于 点 P （异于点 A,B ），则 PAB 周长的最大值为 ________15．过点 （2，－ 3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 _________ ．16．定义点 到直线 的有向距离为 .已知点 到直线 的有向距离分别是 ，给出以下命题： ① 若 ，则直线 与直线 平行； ② 若 ，则直线 与直线 平行； ③若，则直线与直线 垂直；④若 ，则直线 与直线 相交；其中正确命题的序号是 _______________ . 三、解答题17．求符合下列条件的直线方程： （ 1）过点 ，且与直线 平行； （ 2）过点 ，且与直线垂直；（ 3）过点， 且在两坐标轴上的截距相等．1）求边 上的高所在直线的一般式方程；A. B. C. D.12．在平面直角坐标系中，已知 A 1,2， 3,0 ，那么线段 AB 中点的坐标为（）．A. 2, 1B. 2,1C. 4,D.1,22）求边上的中线所在直线的一般式方程19．已知直线l :3x y 2 2 x 4y 2 0（ 1）求证：直线 l 过定点。

高中数学直线与方程知识点归纳与常考题型专题练习(附解析)　知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

tan k α=当时，； 当时，； 当时，不存[) 90,0∈α0≥k () 180,90∈α0<k 90=αk 在。

②过两点的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；21x x =(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：直线斜率k ，且过点)(11x x k y y -=-()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为bb kx y +=③两点式：（）直线两点，112121y y x x y y x x --=--1212,x x y y ≠≠()11,y x ()22,y x ④截矩式：1x y a b+=其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

l x (,0)a y (0,)b l x y ,a b ⑤一般式：（A ，B 不全为0）0=++C By Ax 注意：各式的适用范围 特殊的方程如：○1○2平行于x 轴的直线：（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：（a 为常数）；b y =a x =（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：0000=++C y B x A 00,B A （C 为常数）000=++C y B x A （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：，直线过定点；()00x x k y y -=-()00,y x （ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 为（为参数），其中直线不在直线系中。

题型一 直线的倾斜角与斜率例1(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3【答案】 B(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 ．【答案】 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 【解析】 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．引申探究1．若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．【解析】 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－ －1 ＝13，k BP ＝3－00－ －1＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围． 【解析】 如图，直线PA 的倾斜角为45°，点评 直线倾斜角的范围是[0，π)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．巩固1已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A ． 150° B ．135° C ．120° D ．不存在题型二 求直线的方程例2：(1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程．(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解析得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解析得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.点评： 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．巩固2根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.题型三 直线方程的综合应用 1 与基本不等式相结合求最值问题例3 (2018·济南模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程．【解析】 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为x a ＋y b＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2a b≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 2 由直线方程解决参数问题已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．点评 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．巩固3已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．答案与解析巩固1【解析】 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k2×22－2k 21＋k 2≤（2k ）2＋2－2k22（1＋k 2）＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为 150°. 【答案】A(2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过(0,0)及(4,1)两点， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解析得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.。

已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点 M (x ，y)是线段 AB 的中点，则 x ＝ 1 y ＋y 2 y ＝ 1 (2)计算公式：若由 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k ＝ 2直线的倾斜角为 θ (θ≠ )，则 k ＝tan_θ.§9.1 直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 d (A ，B)＝|AB|＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：x ＋x 2 2，2 .2.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：[0°，180°). 3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线 y ＝kx ＋b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于 x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；y －y 1x 2－x 1π24.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围(x 1≠x 2).若y－y1x－x1y2－y1x2－x1＋＝1(5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示.(×)y P y解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直点斜式斜截式两点式截距式y－y＝k(x－x)y＝kx＋b＝x ya b不含直线x＝x0不含垂直于x轴的直线不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线Ax＋By＋C＝0一般式平面直角坐标系内的直线都适用(A2＋B2≠0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(×)x ya b(6)经过任意两个不同的点P1(x1，1)，2(x2，2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(√)1.直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A.30°C.150°B.60°D.120°答案B解析化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限答案CC CA B线经过一、二、四象限，不经过第三象限.当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，m－12答案⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭.例1(1)直线2xcosα－y－3＝0⎝α∈⎣6，3⎦⎭的倾斜角的取值范围是(A.⎣6，3⎦B.⎣4，3⎦C.⎣4，2⎦D.⎣4，3⎦3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；x ya a23a a所以直线方程为x＋y－5＝0.综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4.(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行，则m的值为________.答案34－m1解析＝，∴m＝3.5.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________.⎡π⎤⎛π⎫m2－1解析直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.1－2若l的倾斜角为α，则tanα≤1.⎡π⎤⎛π⎫题型一直线的倾斜角与斜率⎛⎡ππ⎤⎫)⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡π2π⎤(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取因为 α∈⎣6，3⎦，所以 ≤cos α≤ 2 2 则有 tan θ∈[1， 3 ].又 θ∈[0，π)，所以 θ∈⎣4，3⎦， 即倾斜角的取值范围是⎣4，3⎦.(2)如图，∵k AP ＝＝1， k BP ＝ ＝－ 3，1－02－(－1) 3 k BP ＝ ＝ 3.如图可知，直线 l 斜率的取值范围为⎣3， 3⎦.值范围为__________________.答案 (1)B (2)(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)解析 (1)直线 2xcos α－y －3＝0 的斜率 k ＝2cos α，⎡π π⎤ 1 3 ，因此 k ＝2·cos α∈[1， 3 ].设直线的倾斜角为 θ，⎡π π⎤⎡π π⎤1－02－13－00－1∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞).引申探究1.若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围.解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，∴k AP ＝ 1＝ ，3－00－(－1)⎡1 ⎤2.将本例(2)中的 B 点坐标改为 B(2，－1)，求直线 l 倾斜角的范围.解 如图：直线 PA 的倾斜角为 45°， 直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).率求倾斜角的范围时，要分⎣0，2⎭与⎝2，π⎭两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎡⎣0，2⎫⎭时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈⎛⎝2，π⎫⎭时，斜率k∈(－A.⎣6，2⎭∪⎝2，6⎦B.⎣0，6⎦∪⎣6，π⎭C.⎣0，6⎦D.⎣6，6⎦(2)已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；最小值为________.∵－1≤cosα≤1，∴－3≤k≤.≤tanθ≤.结合正切函数在⎣0，2⎭∪⎝2，π⎭上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.(2)本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把看成过点(x，y)和y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是(2,4)，(3,2).因为的几何意义是直线OP y y(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜⎡π⎫⎛π⎫πππ2∞，0).(1)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()⎡ππ⎫⎛π5π⎤⎡π⎤⎡5π⎫⎡5π⎤⎡π5π⎤yx答案(1)B(2)22 3解析(1)由xcosα＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－33cosα.3 33设直线的倾斜角为θ，则－33 33⎡π⎫⎛π⎫π5π66yx原点的直线的斜率进行求解.如图，设点P(x，)，因为x，满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，yx2y2的斜率，且k OA＝2，k OB＝3，所以x的最大值为2，最小值为3.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：10；故所求直线方程为 y ＝± (x ＋4).a 12－a－3 12－a |10－5k| k 2＋1 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 10(0<α<π)，从而 cos α＝±，则 k ＝tan α＝± .从而 ＋＝1，解得 a ＝－4 或 a ＝9.由点线距离公式，得 ＝5，解得 k ＝ ..(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.103 10 110 313即 x ＋3y ＋4＝0 或 x －3y ＋4＝0.x y(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为 ＋ ＝1， 又直线过点(－3,4)，4 a故所求直线方程为 4x －y ＋16＝0 或 x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x －5＝0； 当斜率存在时，设其为 k ，则所求直线方程为 y －10＝k(x －5)， 即 kx －y ＋(10－5k)＝0.34故所求直线方程为 3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为 x －5＝0 或 3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件. 用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距 式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论， 判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程：∴l 的方程为 y ＝ x ，即 x －4y ＝0.若 a ≠0，则设 l 的方程为 ＋ ＝1，∴ ＋ ＝1，因此所求直线方程为 y ＋3＝－ (x ＋1)，解 方法一 设直线方程为 ＋ ＝1 (a >0，b >0)，点 P(3,2)代入得 ＋ ＝1≥2∴tan 2α＝ 2tan α ab ，得 ab ≥24，(1)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y ＝3x 的倾斜角的 2 倍.解 (1)设直线 l 在 x ，y 轴上的截距均为 a.若 a ＝0，即 l 过点(0,0)及(4,1)，14x ya a∵l 过点(4,1)，4 1a a∴a ＝5，∴l 的方程为 x ＋y －5＝0.综上可知，直线 l 的方程为 x －4y ＝0 或 x ＋y －5＝0. (2)由已知：设直线 y ＝3x 的倾斜角为 α， 则所求直线的倾斜角为 2α. ∵tan α＝3，31－tan 2 α＝－4.又直线经过点 A(－1，－3)，34即 3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点 1 与均值不等式相结合求最值问题例 3 已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.x ya b3 26a b⎛⎫ ∴△S ABO ＝ (2－3k)⎝3－k ⎭2 ⎢ ⎥⎢ ＝ ×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝ ，即 k ＝－ 时，等号成立.－k＋2，所以四边形的面积 S ＝ ×2×(2－a)＋ ×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝a －2⎭2＋ .1 32 b 2从而 △S AOB ＝2ab ≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，这时 k ＝－a ＝－3，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y －2＝k(x －3) (k<0)，2 且有 A ⎝3－k ，0⎭，B(0,2－3k)，1 ⎛ 2⎫＝1⎡12＋(－9k )＋ 4 ⎤2⎣ (－k )⎦≥1⎡12＋22⎣4 ⎤(－9k )· ⎥(－k )⎦1 242 3△即 ABO 的面积的最小值为 12.故所求直线的方程为 2x ＋3y －12＝0.命题点 2 由直线方程解决参数问题例 4 已知直线 l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当 0＜a ＜2 时，直线 l 1，l 2 与两 坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值.解 由题意知直线 l 1，l 2 恒过定点 P(2,2)，直线 l 1 的纵截距为 2－a ，直线 l 2 的横截距为 a 2221 1 ⎛ 1⎫ 15 4，当 a ＝12时，面积最小.思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式 求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或答案(1)5 (2)－∴|P A |·|PB|≤ ＝ ＝5，当且仅当|P A|＝|PB|时，上式等号成立.＝－ .均值不等式求解.(1)(2014·四川)设 m ∈R ，过定点 A 的动直线 x ＋my ＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y －m ＋3＝0 交于点 P(x ，y)，则|P A |·|PB|的最大值是________.(2)(2015· 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y ＝2a 与函数 y ＝|x －a|－1 的图象只有一个交点，则 a 的值为________.12解析 (1)∵直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 分别过定点 A ，B ，∴A(0,0)，B(1,3).当点 P 与点 A(或 B)重合时，|P A |·|PB|为零； 当点 P 与点 A ，B 均不重合时，∵P 为直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 的交点， 且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，|P A|2＋|PB|2 102 2(2)∵|x －a|≥0 恒成立，∴要使 y ＝2a 与 y ＝|x －a|－1 只有一个交点，必有 2a ＝－1，解得 a1213.求直线方程忽视零截距致误典例 (12 分)设直线 l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围.易错分析 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.规范解答⎪⎪⎩⎩.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a－2∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分]a＋1∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分](2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，⎧－(a＋1)>0，⎧－(a＋1)＝0，∴⎨或⎨⎪a－2≤0⎪a－2≤0，∴a≤－1.[10分]综上可知a的取值范围是a≤－1.[12分]温馨提醒(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用[方法与技巧]直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：αk0°0°<α<90°k>090°不存在90°<α<180°k<0[失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.A.m ≠－ A.⎝0，3⎦B.⎣3，2⎭C.⎝2， 3 ⎦D.⎣3，π⎭ 切线的倾斜角的取值范围是⎣3，2⎭.A 组 专项基础训练(时间：35 分钟)1.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0 表示一条直线，则参数 m 满足的条件是()32C.m ≠0 且 m ≠1B.m ≠0D.m ≠1答案 D⎧⎪2m 2＋m －3＝0，解析 由⎨解得 m ＝1，⎪⎩m 2－m ＝0，故 m ≠1 时方程表示一条直线.2.(2015· 山东枣庄第八中学第二次阶段性检测)如果 f ′(x)是二次函数，且 f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1， 3)，那么曲线 y ＝f(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是()⎛ π⎤⎛π 2π⎤ ⎡π π⎫⎡π ⎫答案 B解析 f ′(x)＝a(x －1)2＋ 3 (a>0)，∴k ≥ 3.⎡π π⎫3.如图中的直线 l 1，l 2，l 3 的斜率分别为 k 1，k 2，k 3，则 ( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1＜0，直线 l 2 与 l 3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角，且 α2＞α3，所以 0＜k 3＜k 2，因此 k 1＜k 3＜k 2，故选 D.4.设直线 ax ＋by ＋c ＝0 的倾斜角为 α，且 sin α＋cos α＝0，则 a ，b 满足 ( )A.a ＋b ＝1B.a －b ＝1解析 由 sin α＋cos α＝0，得 ＝－1，即 tan α＝－1.又因为 tan α＝－ ，所以－ ＝－1.6.若直线 l 的斜率为 k ，倾斜角为 α，而 α∈⎣6，4⎭∪⎣ 3 ，π⎭，则 k 的取值范围是__________. 答案[－ 3，0)∪⎣ 3 ，1⎭ 解析 当 ≤α< 时， ≤tan α<1，∴ 3≤k<1.当 ≤α<π 时，－ 3≤tan α<0.∴k ∈⎣ 3，1⎭∪[－ 3，0). 解析 设所求直线的方程为 ＋ ＝1.a b ①2②C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0答案 Dsin αcos αa ab b即 a ＝b ，故应选 D.5.已知直线 PQ 的斜率为－ 3，将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为( )A. 3C.0 B.－ 3D.1＋ 3答案 A解析 直线 PQ 的斜率为－ 3，则直线 PQ 的倾斜角为 120°，所求直线的倾斜角为 60°，tan60°＝ 3.⎡π π⎫ ⎡2π ⎫⎡ 3 ⎫π π 36 4 332π3 ⎡ 3 ⎫7.一条直线经过点 A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为________________________________________________________________________. 答案 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0x ya b∵A(－2,2)在此直线上，2 2 ∴－ ＋ ＝1.又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为 1，1 ∴ |a |·|b |＝1.故所求的直线方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1，－1 －2－2 解析 根据 A(a,0)、B(0，b )确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，故＋ ＝1，⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 解得 m ＝－ .⎧a －b ＝1， ⎧a －b ＝－1，由①②可得(1)⎨ 或(2)⎨⎪ab ＝2 ⎪ab ＝－2.⎧a ＝2， ⎧a ＝－1，由(1)解得⎨ 或⎨ 方程组(2)无解.⎪b ＝1 ⎪b ＝－2，x y x y2 1即 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0 为所求直线的方程.8.若 ab >0，且 A(a,0)、B(0，b )、C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为________.答案 16x ya b a－2b所以－2(a ＋b )＝ab.又 ab >0，故 a <0，b <0.根据均值不等式 ab ＝－2(a ＋b )≥4 ab ，从而 ab ≤0(舍去)或 ab ≥4，故 ab ≥16，当且仅当 a ＝b ＝－4 时取等号.即 ab 的最小值为 16.9.设直线 l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0 (m ≠－1)，根据下列条件分别确定 m的值：(1)直线 l 在 x 轴上的截距为－3； (2)直线 l 的斜率为 1.解 (1)∵l 在 x 轴上的截距为－3，∴－2m ＋6≠0，即 m ≠3，又 m ≠－1， ∴m 2－2m －3≠0.2m －6令 y ＝0，得 x ＝ ，m 2－2m －3由题意知， m 2m－6 ＝－3，2－2m －353(2)由题意知 2m 2＋m －1≠0，m 2－2m －3 且－ ＝1，解得 m ＝ .2m 2＋m －1解得 k ＝ .所以 k l ＝－ ＝2.4 310.已知点 P(2，－1).(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，－1)，显然，过点 P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x ＝2.若斜率存在，设 l 的方程为 y ＋1＝k(x －2)， 即 kx －y －2k －1＝0.|－2k －1|由已知得 ＝2，k 2＋134此时 l 的方程为 3x －4y －10＝0.综上，可得直线 l 的方程为 x ＝2 或 3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示.由 l ⊥OP ，得 k l k OP ＝－1，1 kOP由直线方程的点斜式，得 y ＋1＝2(x －2)，即 2x －y －5＝0.∴a＋b＝ab，即＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)⎝a＋b⎭＝2＋＋≥2＋2ba＝4，解析直线AB的方程为＋＝1，∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－y－22＋4]≤3.即当P点坐标为⎝2，2⎭时，xy取最大值3.|－5|所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝ 5.5(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.B组专项能力提升(时间：25分钟)11.若直线ax＋b y＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A.1 C.4B.2 D.8答案C解析∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，11a b⎛11⎫b aa bab当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.答案3x y3434334434⎛3⎫13.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.答案[－2,2]直线y＝x上时，求直线AB的方程.3⎝2，2⎭由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得3＋3213n所以l AB：y＝(x－1)，解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[－2,2].14.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在12解由题意可得k OA＝tan45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－3所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝－x.设A(m，m)，B(－3n，n)，⎛m－3n m＋n⎫所以AB的中点C ⎪，12⎧m＋n＝1·m－3n，⎨222解得m＝3，所以A(3，3).⎩m－0＝－n－－1，3又P(1,0)，所以k AB＝k AP＝＝，3－133，3＋32即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.15.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于△B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，(2)解 由方程知，当 k ≠0 时直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1＋2k ，要⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ，0⎪⎭，B(0,1＋2k). (3)解 由 l 的方程，得 A － 依题意得⎨k<0，∵S ＝ ·|OA |·|OB|＝ · ⎪ ⎪·|1＋2k|k ＝ ⎝4k ＋k ＋4⎭≥ ×(2×2＋4)＝ · “＝”成立的条件是 k >0 且 4k ＝ ，即 k ＝ ，＝⎧x ＋2＝0， ⎧x ＝－2， 令⎨ 解得⎨⎪1－y ＝0， ⎪y ＝1，∴无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1).1＋2kk⎧1＋2k使直线不经过第四象限，则必须有⎨－ k ≤－2，⎩1＋2k ≥1，当 k ＝0 时，直线为 y ＝1，符合题意，故 k ≥0.⎛ 1＋2k ⎫ ⎝ k⎧1＋2k－⎩1＋2k >0，解得 k>0.1 1 ⎪1＋2k ⎪2 2 ⎪ k ⎪1 (1＋2k )2 1⎛1 ⎫ 12 2 2＝4，1 1 k 2∴S min 4，此时直线 l 的方程为 x －2y ＋4＝0.解得 k >0；。

高考数学第一轮总复习100讲1074直线的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一样式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划咨询题．曲线与方程的概念．由条件列出曲线方程．圆的标准方程和一样方程．圆的参数方程．椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：〔1〕明白得直线的倾斜角和斜率的概念，把握过两点的直线的斜率公式．把握直线方程的点斜式、两点式、一样式，并能依照条件熟练地求出直线方程．〔2〕把握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够依照直线的方程判定两条直线的位置关系．〔3〕了解二元一次不等式表示平面区域．〔4〕了解线性规划的意义，并会简单的应用．〔5〕了解解析几何的差不多思想，了解坐标法．〔6〕把握圆的标准方程和一样方程，了解参数方程的概念，明白得圆的参数方程．〔7〕把握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．〔8〕把握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．〔9〕把握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．〔10〕了解圆锥曲线的初步应用．g3.1074直线的方程一、知识要点1、倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范畴为[)π,0.斜率：当直线的倾斜角不是900时，那么称其正切值为该直线的斜率，即k=tan α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

2、过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=tan 1212x x y y --=α 假设x 1＝x 2，那么直线p 1p 2的斜率不存在，现在直线的倾斜角为900.明白得直线的倾斜角和直线的斜率的概念;把握过两点的直线的斜率公式;把握一点和斜率导出直线方程的方法;把握直线方程的点斜式、两点式和一样式;能灵活运用条件求出直线的方程. 三、差不多训练1、三点A 〔3，1〕B 〔－2，K 〕C 〔8，11〕共线，那么K 的取值是〔 〕 A 、－6 B 、－7 C 、－8 D 、－92、设,2παπ<<那么直线y ＝xcos α＋m 的倾斜角的取值范畴是〔 〕A 、(,2ππ) B 、)43,2(ππ C 、)43,4(ππ ),43(ππ3、A 〔－2，3〕B 〔3，0〕，直线L 过O 〔0，0〕且与线段AB 相交，那么直线L 的斜率的取值范畴是〔 〕A 、－23≤K ≤0B 、K ≤－23或K ≥0C 、K ≤0或K ≥23D 、0≤K ≤234、a 为非零实数，直线〔a ＋2〕x ＋(1－a)y －3＝0恒过 点。

（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即tankα=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[)οο90,∈α时，0≥k；当()οο180,90∈α时，0<k；当ο90=α时，k不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk≠--=所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率概念考查1、已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线1λ与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线2λ互相垂直，求实数a的值。

2、直线baxy+=与abxy+=在同一坐标系下可能的图是（）3、直线3)2(+-=xky必过定点，该定点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（2，–3）D．（–2，3）4、如果直线0=++cbyax（其中cba,,均不为0）不通过第一象限，那么cba,,应满足的关系是（）A．0>abc B．0>ac C．0<ab D．cba,,同号5、若点A（2，–3），B（–3，–2），直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则l的斜率k 的取值范围是（）A．43≥k或4-≤k B．43≥k或41-≤k C．434≤≤-k D．443≤≤k（3）两点间距离公式：设1122(,),A x yB x y，（）是平面直角坐标系中的两个点，则||AB=（4）点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200B A CBy Ax d +++=概念考查（1） 求两平行线1l ：3x+4y=10和2l ：3x+4y=15的距离。

（2） 求过点M （-2，1）且与A （-1，2），B （3，0）两点距离相等的直线方程。

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第1课时直线方程1．直线3x＋错误!y－1＝0的倾斜角是（)A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!答案C解析直线3x＋错误!y－1＝0的斜率k＝－错误!，倾斜角为错误!。

2．直线l过点M（－2，5），且斜率为直线y＝－3x＋2的斜率的14，则直线l的方程为（)A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0答案A解析因为直线l的斜率为直线y＝－3x＋2的斜率的错误!，则直线l的斜率为k＝－错误!，故y－5＝－错误!(x＋2)，得3x＋4y－14＝0，故选A.3．直线（2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则实数m的值为( ）A．2或错误!B．2或－错误!C．－2或－错误!D．－2或错误!答案A解析令y＝0，则（2m2－m＋3)x＝4m＋1，又2m2－m＋3≠0，所以错误!＝1，即2m2－5m＋2＝0,解得m＝2或m＝错误!.4．两直线错误!－错误!＝1与错误!－错误!＝1的图像可能是图中的哪一个( )答案B5．若直线l经过点A(1，2），且在x轴上的截距的取值范围是（－3,3),则其斜率的取值范围是( )A．－1〈k<错误!B．k〉1或k〈错误!C。

错误!<k〈1 D．k〉错误!或k<－1答案D解析设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），直线在x轴上的截距为1－错误!,令－3<1－错误!〈3，解不等式可得．也可以利用数形结合．6．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( ) A．ab〉0,bc<0 B．ab〉0，bc〉0C．ab〈0，bc〉0 D．ab<0，bc〈0答案A解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，∴直线存在斜率，将方程变形为y ＝－错误!x－错误!，易知－错误!〈0且－错误!>0，故ab>0，bc<0。

2019年高考数学一轮复习：直线与方程直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝___________________． ②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ .2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l 在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：注：斜截式是________的特例；截距式是________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22 y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180° (2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3) y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋yb ＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0) 点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0直线3x ＋3y －2＝0的倾斜角是 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解：直线3x ＋3y －2＝0的斜率k ＝－33，倾斜角为5π6.故选D.若直线ax ＋by ＋c ＝0，经过第一、二、三象限，则( )A ．ab >0且bc >0B ．ab >0且bc <0C ．ab <0且bc <0D ．ab <0且bc >0 解：显然b ≠0，所以y ＝－a b x －cb ，因为直线过一、二、三象限，所以－a b >0，－cb >0，所以ab <0且bc <0.故选C.已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x－2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0解：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.故选D.斜率为2的直线经过A (3，5)，B (a ，7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为__________和__________．解：由已知得k AB ＝7－5a －3＝2，解得a ＝4；k AC ＝b －5－1－3＝2，解得b ＝－3.故填4；－3. 直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值为________．解：方程可化为x a ＋y1a ＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号，故a 的值为1.故填1.类型一 直线的倾斜角和斜率(1)设直线2x ＋my ＝1的倾斜角为α，若m ∈(－∞，－23)∪[2，＋∞)，则角α的取值范围是________．解：据题意知tan α＝－2m ，因为m <－23或m ≥2.所以0<tan α<33或－1≤tan α<0. 所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π6∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故填⎝⎛⎭⎫0，π6∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.(2)直线l 过点M (－1，2)且与以点P (－2，－3)、Q (4，0)为端点的线段恒相交，则l 的斜率范围是________．解：如图，过点M 作y 轴的平行线与线段PQ相交于点N .k MP ＝5，k MQ ＝－25.当直线l 从MP 开始绕M 逆时针方向旋转到MN 时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k ≥5，当直线l 从MN 开始逆时针旋转到MQ 时，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上仍为增函数，所以斜率从－∞开始增加，增大到k MQ ＝－25，故直线l 的斜率范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－25∪[5，＋∞)．故填⎝⎛⎦⎤－∞，－25∪[5，＋∞)．【点拨】(1)直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．(2)在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.(3)已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤：①求出斜率k 的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)；②利用正切函数的单调性，借助正切函数的图象或单位圆确定倾斜角的取值范围．(4)直线的斜率与倾斜角的关系：①当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大到＋∞；②当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由－∞增大并趋近于0(k ≠0)．已知两点A (－1，2)，B (m ，3)，求：(1)求直线AB 的斜率； (2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在； 当m ≠－1时，k ＝1m ＋1.(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，因为k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，所以α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知直线AB 的倾斜角α的范围为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.类型二 求直线方程根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在， 设倾斜角为α，则sin α＝1010(α∈[0，π))， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线的方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ±3y ＋4＝0.(2)若截距不为0，设直线的方程为x a ＋ya ＝1，因为直线过点(－3，4)，所以－3a ＋4a＝1，解得a ＝1.此时直线方程为x ＋y －1＝0.若截距为0，设直线方程为y ＝kx ，代入点(－3，4)，有4＝－3k ，解得k ＝－43，此时直线方程为4x ＋3y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －1＝0或4x ＋3y ＝0.(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x －5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得||10－5k 1＋k2＝5，解得k＝34. 此时直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.【点拨】本题考查应用直线方程的几种形式求直线方程，难度虽不大，但每小题都有陷阱．(1)给出了倾斜角的正弦值，求正切值时，应注意倾斜角的范围；(2)截距相等包括经过原点的直线，还要注意截距不是距离；(3)应用点斜式求直线方程时，注意点斜式的局限性，它不能表示平面内所有直线．(1)求过点A (1，3)，斜率是直线y ＝－4x的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设直线的斜率为k ，则k ＝－4×13＝－43，又直线经过点A (1，3)，故所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不经过原点时，设直线方程为x 2a ＋y a＝1(a ≠0)，将点A (－5，2)代入方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线经过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.综上可知，所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.类型三 直线方程的应用(1)已知点A (4，－1)，B (8，2)和直线 l ：x －y －1＝0，动点P (x ，y )在直线l 上，则|P A |＋|PB |的最小值为________．解：设点A 1(x 1，y 1)与A (4，－1)关于直线l 对称，P 0为A 1B 与直线l 的交点，所以|P 0A 1|＝|P 0A |，|P A 1|＝ |P A |.所以|P A |＋|PB |＝|P A 1| ＋|PB |≥|A 1B |＝|A 1P 0|＋|P 0B |＝|P 0A |＋|P 0B |.当P 点运动到P 0点时，|P A |＋|PB |取到最小值|A 1B |. 因为点A ，A 1关于直线l 对称，所以由对称的充要条件知， ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3， 即A 1(0，3)．所以(|P A |＋|PB |)min ＝|A 1B |＝82＋（－1）2＝65. 故填65.【点拨】平面内，两点间连线中直线段最短，这一最基本的公理是解决此类问题的理论基础．求A 关于l 的对称点是关键一步，而点关于直线对称的充要条件又是求对称点的依据．(2)直线l 过点P (1，4)，且分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．①当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程；②若|P A |·|PB |最小，求l 的方程．解：①依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫1－4k ，0； 令x ＝0，可得B (0，4－k )． |OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝⎛⎭⎫k ＋4k ＝5＋⎝⎛⎭⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9.所以当且仅当－k ＝4－k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值． 这时l 的方程为2x ＋y －6＝0. ②|P A |·|PB |＝⎝⎛⎭⎫4k 2＋16·1＋k 2 ＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－k ＋（－k ）≥8(k <0)，当且仅当1－k ＝－k 且k <0，即k ＝－1时，|P A |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.【点拨】直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．过点P (2，1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求：(1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程；(3)求|P A |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)方法一：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则可得A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )．因为与x 轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k >0，1－2k >0⇒k ＜0.于是S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·2k －1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2⎝⎛⎭⎫－1k ·（－4k ）＝4. 当且仅当－1k ＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 面积有最小值为4，此时，直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二：设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b＝1.又因为2a ＋1b≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1.(2)方法一：因为A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )(k ＜0)，所以截距之和为2k －1k ＋1－2k＝3－2k －1k≥3＋2（－2k ）·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋2 2. 此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－22.故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)．即x ＋2y －2－2＝0. 方法二：因为2a ＋1b＝1，所以截距之和a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·ab＝3＋2 2. 当b ＝2＋1，a ＝2＋2时取“＝”．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1.即x ＋2y －2－2＝0.(3)因为A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B (0，1－2k )(k ＜0)，所以|P A |·|PB |＝1k2＋1·4＋4k 2 ＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋（－k ）≥4. 当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时上式等号成立．故|P A |·|PB |的最小值为4，此时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈[0，π)，k 的范围是两个不连续的区间．这说明，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率，故在求直线方程时，若不能确定直线的斜率是否存在，则应对斜率存在或不存在分类进行讨论．2．直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交点的坐标，它不是距离，它可正、可负、可为0，在用截距式求直线方程时，不可忽视截距为0的情况．3．在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面积、周长等问题时，应用截距式方程比较简单．4．对于直线方程来说，要注意的是，除“一般式”外，每一种形式的二元一次方程表示的直线都是有限制的，具体可参看本节“考点梳理”栏目．在解决关于直线方程的问题中，要把握限制的条件，在求解时要细心处理，否则容易产生增解或漏解的情形．如利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止忽视斜率不存在而出现漏解；利用直线的截距式解题时，要注意防止忽视零截距而造成漏解；利用直线的一般式解题时，要注意防止忽视隐含条件A 2＋B 2≠0而出现增解．1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.故选B.2．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B. 3 C ．－ 3 D ．－33解：由题意得直线l 的斜率k ＝－sin30°cos150°＝tan30°＝33，所以直线l 的斜率为33.故选A. 3．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3解：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.故选B.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 解：依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.故选B.5．(2016·银川月考)在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0，0)，A (1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．3x ＋y －6＝0 解：因为AO ＝AB ，所以∠AOB ＝∠ABO ，即k AB＝－k OA ＝－3.所以直线AB 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0.故选D.6．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－4，34 C.⎣⎡⎦⎤34，4 D.⎣⎡⎦⎤－34，4 解：如图所示，因为k PN ＝1－（－2）1－（－3）＝34，k PM ＝1－（－3）1－2＝－4.所以要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4.故选A.7．过点(3，－2)的直线l 经过圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 倾斜角的大小为________． 解：依题意可知圆心坐标为(0，1)，则斜率k ＝tan α＝－2－13－0＝－3，所以倾斜角α＝120°.故填120°.8．(2016·郑州一模)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是____________．解：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)可知直线在x轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b ，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1，2)得1a ＋2b＝1.因此a ＋b＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2ab＝22(当且仅当b a ＝2ab 时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.故填3＋2 2.9．已知在第一象限的△ABC 中，A (1，1)，B (5，1)，∠A ＝π3，∠B ＝π4.求：(1)AB 边所在直线的方程； (2)AC 和BC 边所在直线的方程． 解：(1)AB 边所在直线的方程为y ＝1.(2)因为∠A ＝π3，AB ∥x 轴，所以直线AC 的倾斜角为π3，斜率为3，所以AC所在直线的方程为3x －y ＋1－3＝0，因为∠B ＝π4，所以直线BC 的倾斜角为3π4，所以斜率为－1，所以BC 所在直线的方程为x ＋y －6＝0.10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零．所以a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，a ≠2，由截距存在且均不为0，所以a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.所以a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0.所以a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 11．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解：(1)证明：将直线l 的方程变形得k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， 所以无论k 取何值，直线l 过定点(－2，1)． (2)当直线l 的倾斜角θ∈[0°，90°]时，直线l 不经过第四象限，所以k ≥0.(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k 且k >0，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，那么( )A ．b >0，d ＜0，a ＜cB ．b >0，d ＜0，a >cC ．b ＜0，d >0，a >cD ．b ＜0，d >0，a ＜c 解：由题意知l 1：y ＝－1a x －ba ，则⎩⎨⎧－1a >0，－ba<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0.由题意知l 2：y ＝－1c x －dc ，则⎩⎨⎧－1c >0，－d c>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧c <0，d >0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，得(a －c )y ＝d －b . 因为直线l 1与l 2的交点在第一象限，所以y ＝d －ba －c>0，又d －b >0，所以a －c >0，即a >c ，故选C.2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。