北师大高中数学必修四精练：第一章三角函数第4节第1-2课时Word版含答案

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课时过关·能力提升1.角α的终边与单位圆相交于点P(-√32,12),则cos α=()A.−√32B.−12C.12D.√32答案:A2.假设1 140°角的终边上有一点(4,a),那么a的值是()A.4√3B.−4√3C.±4√3D.√3解析:∵x =4,y =a,r=√16+a2,∴sin 1 140° =sin(3×360° +60°) =sin 60°=√32=√16+a2解得a=4√3.答案:A3.以下函数是周期函数的有()①y =sin x;②y =cos x;③y =x2.A.①③B.②③C.①②D.①②③解析:y =sin x和y =cos x都是周期函数.函数y =x2的图像不是重复出现的,故函数y =x2不是周期函数.答案:C4.假设α为象限角,那么式子|sinα|sinα+|cosα|cosα有()个不同值.A.1B.2C.3D.4解析:假设α为第|一象限角,原式 =1 +1 =2;假设α为第二象限角,原式 =1 -1 =0;假设α为第三象限角,原式 = -1 -1 = -2;假设α为第四象限角,原式 = -1 +1 =0.答案:C5.假设sin αcos α<0,那么α的终边在()A.第|一或第二象限B.第|一或第三象限C.第|一或第四象限D.第二或第四象限解析:∵sin αcos α<0,∴sin α与cos α异号,∴α的终边在第二或第四象限.答案:D6.在△ABC 中,假设sin A ·cos B<0,那么此三角形必为 三角形.解析:在△ABC 中,∵0<∠A<π,∴sin A>0.又sin A ·cos B<0,∴cos B<0,∴∠B 为钝角.故△ABC 为钝角三角形.答案:钝角7.角θ的终边过点P (sin 2π3,cos 2π3),则角θ可以是 .(只填一个满足条件的即可) 解析:si n 2π3=√32,cos 2π3=−12,即点P (√32,-12),从而点P 在第四象限.因此,只需找到一个第四象限的角θ使得sin θ =−12,cos θ=√32即可,显然θ =−π6满足条件,故填−π6. 答案:−π6(答案不唯一)8.角α的终边经过点(3a -9,a +2),且sin α>0,cos α≤0,那么a 的取值范围是 .解析:∵sin α>0,cos α≤0,∴{a +2>0,3a -9≤0,解得 -2<a ≤3. 答案: -2<a ≤3★9.cos α<0,且sin α<0.(1)求角α的集合;(2)求角α2终边所在的象限;(3)试判断si n α2·co s α2的符号.解(1)由cos α<0,得角α的终边在第二或第三象限或在x 轴的非正半轴上;由sin α<0,得角α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上.故满足cos α<0,且sin α<0的角α在第三象限.所以角α的集合为{α|2kπ+π<α<2kπ+32π,k ∈Z}.(2)由2k π +π<α<2k π+32π(k ∈Z ),得k π+π2<α2<kπ+34π(k ∈Z ), 所以角α2的终边在第二或第四象限.(3)当角α2的终边在第二象限时,si n α2>0,cos α2<0,所以si n α2·co s α2<0;当角α2的终边在第四象限时,si n α2<0,cos α2>0,所以si n α2·co s α2<0.综上所述,si n α2·co s α2的符号为负.10.角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴.假设P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ =−2√55,求y 的值.解根据题意,sin θ =−2√55<0及P (4,y )是角θ终边上一点,可知θ为第四象限角,所以y<0.由三角函数的定义,√4+y 2=−2√55,解得y = -8.11.角α的终边经过点P ( -3cos θ,4cos θ),其中θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解∵θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),∴cos θ<0.又x = -3cos θ,y =4cos θ, ∴r =√x 2+y 2=√(-3cosθ)2+(4cosθ)2=−5cos θ.∴sin α =−45,cos α=35.★12.α是第三象限角,试判断sin(cos α)·cos(sin α)的符号.解∵α是第三象限角,∴ -1<sin α<0, -1<cos α<0.∴sin(cos α)<0,cos(sin α)>0.∴sin(cos α)·cos(sin α)<0.。

一、选择题1．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π32．已知实数a ，b 满足0<2a <b <3-2a ，则下列不等关系一定成立的是（ ） A ．sin sin2b a < B ．()2cos >cos 3a b -C ．()2sin sin3a b +<D ．23cos >sin 2b a ⎛⎫-⎪⎝⎭3．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()()23f f ππ=，则ω=（ ） A ．6 B ．3 C ．2D ．14．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比51510.61822⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BCAC．试根据以上信息，计算sin18︒=（ ）A 51- B 51- C ．514D 355．若函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（ ） A ．34B ．14C ．32D ．126．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减7．对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法错误的是（ ） A ．3π是函数()f x 的一个周期 B ．函数()f x 的图象关于,13π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数的一条对称轴为712x π= D ．函数图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称 9．675︒用弧度制表示为（ ） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 10．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4B ．5C ．12D ．1312．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3二、填空题13．某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n 个月的月平均最高气温()G n 可近似地用函数()()cos G n A n k ωϕ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，n 和k 是正整数，0>ω，()0,πϕ∈.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温有以下规律：①该地区月平均最高气温最高的7月份与最低的1月份相差30摄氏度； ②1月份该地区月平均最高气温为3摄氏度，随后逐月递增直到7月份达到最高； ③每年相同的月份，该地区月平均最高气温基本相同. 根据已知信息，得到()G n 的表达式是______.14．已知函数()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3，最小值为1，则函数(2)2()([,]3y f x f xx ππ=-∈的值域为_________.15．sin 75=______．16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5(,0)12π成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2(,3)3π-，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②函数()3y f x π=-为偶函数；③函数1y =与35()()1212y f x x ππ=-≤≤的图象的所有交点的横坐标之和为7π.其中正确的判断是__________________．（写出所有正确判断的序号）17．已知函数f （x ）＝A sin （3πx +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝23π，则sin ∠PQR ＝_____．18．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的序号是______.19．实数x ，y 满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 24x y +的值为________.20．如图所示为函数()sin 2y A x ωϕ=++，()ϕπ<的图像的一部分，它的解析式为________.三、解答题21．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，02πϕ<<)的部分图象如图所示，其中最高点以及与x 轴的一个交点的坐标分别为,16π⎛⎫⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）设M ，N 为函数y t =的图象与()f x 的图象的两个交点(点M 在点N 左侧)，且3MN π=，求t 的值.22．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4个单位长度，所得图象的函数为()g x ，若不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.23．下图是函数()()sin()0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象.（1）求ϕ的值及()f x 单调递增区间.（2）若()f x 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移3π个单位，最后向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点，求b 的取值范围.24．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中π0,(0,)2ωϕ>∈．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求： （Ⅰ）()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）()f x 在区间[0,]2π的最大值和最小值．条件①：函数()f x 最小正周期为π； 条件②：函数()f x 图象关于点π(,0)6-对称； 条件③： 函数()f x 图象关于π12x =对称． 25．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x 的图象.又()14g θ=求2114sin sin 63ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 26．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】 解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C.求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.2．D解析：D 【分析】对各个选项一一验证：对于A.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出2ba <，借助于正弦函数的单调性判断； 对于B.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b <-，借助于余弦函数的单调性判断； 对于C.由0<2a <b <3-2a ，可以判断出23a b +<，借助于正弦函数的单调性判断； 对于D.先用诱导公式转化为同名三角函数，借助于余弦函数的单调性判断； 【详解】 因为0<2a <b <3-2a 对于A. 有0<2b a <， 若22b a π<<，有sin sin 2b a <；若22b a π<<，有sin sin 2ba >，故A 错； 对于B.有 23ab <-，若232a b π<<-，有()2cos >cos 3a b -，故B 错；对于C. 23a b +<，若232a b π<+<，有()2sin sin 3a b +>，故C 错；对于D. 222333sin cos cos 2222a a a ππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为b <3-2a <3，所以2cos >cos(3)b a - ∵22332a a π+-<-∴()223cos 3cos 2a a π+⎛⎫->-⎪⎝⎭∴()22233cos cos 3cos sin 22a a b a π+⎛⎫⎛⎫>->-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 对. 故选：D. 【点睛】利用函数单调性比较大小，需要在同一个单调区间内．3．B解析：B由2()()23f f ππ=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()()23f f ππ=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．【详解】解：由2()()23f f ππ=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212x πππ+==， 则2x π=离最近对称轴距离为712212πππ-=． 又()()23f f ππ=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭， 由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性， 则1232T ππ-，所以3T π≥，从而7512124Tππ-=，所以23T π=，因为2T πω=，所以3ω=．故选：B 【点睛】本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．4．B解析：B 【分析】先由ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用sin18sin DAC ︒=∠，结合腰和底之比求其结果即可.【详解】依题意可知，黄金ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，51,2BC AB AC AC -==，36BAC ∠=︒，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 也是三角形的中线和角平分线，故11112sin18sin 224BCDC DAC AC AC ︒=∠===⋅=. 故选：B. 【点睛】本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.5．C解析：C 【分析】由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出x ω的取值范围，可得出0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，再由函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可得出关于ω的等式，由此可解得实数ω的值. 【详解】0ω>，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0,3x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 由于函数()()sin 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则0,0,32πωπ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，032πωπ<≤，由于函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，函数()f x 在3x π=处取得最大值，则()232k k N πωππ=+∈，又032πωπ<≤，所以，32πωπ=，解得32ω=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题通过正弦型函数在区间上的单调性求参数值，解题的就是将函数在区间上的单调性转化为两个区间的包含关系，并且分析出函数()f x 的一个最大值点，进而列出关于ω的等式求解.6．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+， 向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误； 对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD.【点睛】 本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.7．B解析：B【分析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误． 【详解】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭， 当3=42x ππ+时，即=12x π，函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-，故①正确； 当342x k πππ+=+时，即=,123k x k Z ππ+∈，函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈，故②错误；当34x k ππ+=时，即,123k x k Z ππ=-+∈，函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故③错误； 当3232242k x k πππππ+≤+≤+，即252,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈，函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当1k =-时，()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故④正确. 故选：B【点睛】 关键点点睛：函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭的递增区间转化为sin 34y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间. 8．D解析：D【分析】根据正弦函数性质周期，对称性，图象变换判断各选项．【详解】函数()f x 的最小正周期为π，故3π是函数()f x 的一个周期，A 正确； 当3x π=时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确； 当712x π=时，函数()f x 取得最小值，712x π=为对称轴，C 正确； 函数图象向左平移6π个单位后函数解析式为sin 2163y x ππ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，不是偶函数，图象不关于y 轴对称，D 错误． 故选：D.【点睛】 本题考查正弦型函数的性质，考查周期的概念，对称轴与对称中心、奇偶性等性质，属于基础题．9．C解析：C【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可.【详解】因为180π︒=弧度， 所以156756751804ππ︒=⨯=， 故选：C 10．A解析：A【分析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()fπ，可排除B ，即可得到答案.【详解】 因为()()()1331cos 3cos31331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ， 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11．A解析：A【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解.【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4，故选：A【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.12．C解析：C【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果.【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=，所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+． 将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确． 故选：C ．【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目. 二、填空题13．是正整数且【分析】根据最值列出等式求再根据最高点和最低点对应的月份求周期并求以及利用最高点求【详解】由题意可知解得：解得：当时得：所以的表达式是是正整数且故答案为：是正整数且【点睛】方法点睛：形如一解析：()π5π15cos 1866G n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈ 【分析】根据最值列出等式求,A k ，再根据最高点和最低点对应的月份求周期，并求ω，以及利用最高点求ϕ.【详解】由题意可知()()330A k A k A k -+=⎧⎨+--+=⎩，解得：1518A k =⎧⎨=⎩， 12712πω-=⋅，解得：6π=ω， 当7x =时，72,6k k Z πϕπ⨯+=∈， 得：726k ϕππ=-+ ()0,ϕπ∈，56ϕπ∴=，所以()G n 的表达式是()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈. 故答案为：()515cos 1866G n n ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，n 是正整数且[]1,12n ∈ 【点睛】 方法点睛：形如()sin y A x k ωϕ=++ ()0,0A ω>>，一般根据最值求,A k ，利用最值，零点对应的自变量的距离求周期和ω，以及“五点法”中的一个点求ϕ.14．【分析】根据三角函数性质列方程求出得到进而得到利用换元法即可求出的值域【详解】根据三角函数性质的最大值为最小值为解得则函数则函数令则令由得所以的值域为故答案为：【点睛】关键点睛：解题关键在于求出后利 解析：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数性质，列方程求出,a b ，得到()cos 2f x x =+，进而得到22cos 2cos 3(2)2()y x f x f x x =-=--，利用换元法， 即可求出(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域 【详解】根据三角函数性质，()cos (0)f x a x b a =+>的最大值为3a b +=，最小值为1b a -=，解得2,1b a ==，则函数()cos 2f x x =+，则函数(2)2()cos 222cos 4y f x f x x x =-=+--cos22cos 2x x =--22cos 2cos 3x x =--，3x ππ≤≤，令cos t x =，则112t -≤≤， 令2()223g t t t =--，由112t -≤≤得，7(),12g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以，(2)2()([,]3y f x f x x ππ=-∈的值域为7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】 关键点睛：解题关键在于求出()cos 2f x x =+后，利用换元法得出2()223g t t t =--，112t -≤≤，进而求出()g t 的范围，即可求出所求函数的值域，难度属于中档题 15．【解析】试题分析：将非特殊角化为特殊角的和与差是求三角函数值的一个有效方法考点：两角和的正弦解析：【解析】试题分析：232162sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302︒︒︒︒︒︒︒+=+=+==将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.考点：两角和的正弦 16．②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程对称中心及各个交点的特点进一步确定答案【详解】函数（其中）的图象关于点成中心对称且与点相邻的一个最低点为则：所以进一步解解析：②③【分析】根据已知条件确定函数的解析式，进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程，对称中心及各个交点的特点，进一步确定答案．【详解】函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称,且与点M 相邻的一个最低点为2,33π⎛⎫-⎪⎝⎭，， 则：2543124T πππ-＝＝ ， 所以T π=： ，326f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）． 进一步解得：223A πωπ=＝＝， 由于()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0,0ωϕπ><<）的图象关于点M 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称,，所以：5212k k Z πϕπ⋅+∈＝（），解得：5,6k k Z πϕπ-∈＝ ，由于0ϕπ<<， 所以：当1k = 时，6πϕ＝． 所以：①当2x π=时，33262f sin πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（）．故错误． ②3232633f x sin x cos x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝． 则3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭为偶函数，故正确． ③由于：351212x ππ-≤≤， 则：0266x ππ≤+≤，所以函数()f x 的图象与1y =有6个交点．根据函数的交点设横坐标为123456x x x x x x 、、、、、，根据函数的图象所有交点的横标和为7π．故正确．故答案为②③【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式的求法，主要确定A ，ω、φ的值，三角函数诱导公式的变换，及相关性质得应用，属于基础题型．17．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应解析：14【分析】 根据周期求出32T DQ ==，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠. 【详解】过点Q 作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示263T ππ==，则32T DQ ==6xRQ RQD π∠=∠=3tan 336DR DQ π∴=⋅=⨯= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=由正弦定理可知sin sin PQ PR PRQ PQR=∠∠ 则33sin 212sin 21PR PRQ PQR PQ ⋅⋅∠∠===21 【点睛】 本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题. 18．①③【分析】利用诱导公式化简函数判断①正误；求出函数周期判断②；求出函数的对称中心判断③；求出函数的对称轴判断④【详解】解：对于①所以①正确；对于②最小正周期所以②不正确；对于③因为所以为的对称中心解析：①③【分析】利用诱导公式化简函数()f x ,判断①正误；求出函数()f x 周期判断②；求出函数()f x 的对称中心判断③；求出函数()f x 的对称轴判断④.【详解】解：对于①，()4sin 24cos 2323f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos 24cos 2326x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以①正确； 对于②，最小正周期222T πππω===，所以②不正确； 对于③，因为4sin 4sin 00633f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心，故③正确；对于④，()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的对称直线满足2,32x k k Z πππ+=+∈，6x π=-不满足条件，所以④不正确.故答案为：①③.【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查基本概念、基本知识的理解掌握程度，属于基础题. 19．【分析】由实数满足可得从而求出结果【详解】实数xy 满足且故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的关系属于基础题 解析：54【分析】 由实数满足121log sin 303yx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭可得sin 1,1x y ==-，从而求出结果 【详解】 实数x ，y 满足121log sin 303y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 且120sin 1,log sin 0x x <≤∴≥， 121log sin 0,303yx ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭ ∴sin 1,1x y ==-，cos 0x ∴=， 0cos 1421524414x y -=++=+= 故答案为：54【点睛】 本题考查函数与方程的关系，属于基础题20．【分析】由两最值点对应横坐标可求周期由波峰波谷可求将代入可求【详解】由图可知即将得即又当时故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式属于中档题解析：33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】由两最值点对应横坐标可求周期，由波峰波谷可求,A 将,16π⎛⎫⎪⎝⎭代入可求ϕ【详解】 由图可知，522663T ππππ=-=，即43T π=，24332ππωω=⇒=， 3112A -==，将,16π⎛⎫⎪⎝⎭3sin 22y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭得2,42k k Z ππϕπ+=-+∈，即32,4k k Z πϕπ=-+∈，又ϕπ<，当0k =时，34πϕ=-，故33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 故答案为：33sin 224y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解具体解析式，属于中档题三、解答题21．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12±. 【分析】（1）由周期求出ω，取点,16π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ，进而得出()f x 的解析式； （2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，解方程005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出0()2k x k π=∈Z ，再由0sin 26t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出t 的值.【详解】解：（1）由题意易知1A =，周期524126T πππω⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()sin(2)f x x ϕ=+.将最高点,16π⎛⎫⎪⎝⎭代入()sin(2)f x x ϕ=+中可得1sin 3πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得2()32k k ππϕπ+=+∈Z ，即2()6k k πϕπ=+∈Z .又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）设()0,M x t ，0,3N x t π⎛⎫+⎪⎝⎭，则005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以001sin 2cos 222x x ⋅+⋅001sin 2cos 222x x ⎛=⋅-+⋅ ⎝⎭所以0sin 20x =，所以02()x k k π=∈Z ，即0()2k x k π=∈Z 所以1sin 62t k ππ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：由图象求函数()sin y A x ωϕ=+的解析式时，有如下步骤： 1、由最值得出A 的值； 2、由周期结合2T πω=得出ω；3、取点求出ϕ. 22．（1）()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）[)2,+∞.【分析】（1）由图象得出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点()1,0的坐标代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，由此可得出函数()f x 的解析式；（2）利用三角函数图象变换求得()2cos 84g x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由已知可得()max m g x ≥，利用余弦函数的基本性质求出函数()g x 在区间[]0,6上的最大值，进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）()f x 的周期为()2518T =⨯-=，所以284ππω==， 又因为函数()f x 的图象过点()1,0，则有2cos 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且函数()f x 在1x =附近单调递减， 所以()242k k Z ππϕπ+=+∈，所以()24k k Z πϕπ=+∈，又因为0ϕπ<<，所以4πϕ=，所以()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）将函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得函数2cos 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将2cos 84y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移4个单位长度， 得()()2cos 42cos 8484g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 不等式()0g x m -≤在[]0,6x ∈恒成立，即()max g x m ≤， 因为[]0,6x ∈，所以,8442x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当084x ππ-=，即2x =时，()g x 取最大值，最大值为2，即2m ≥.综上可得，实数m s 的取值范围实数[)2,+∞. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++或()()cos f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 23．（1）23ϕπ=，7[,],1212k k k Z ππππ--∈；（2）59671212b ππ≤<. 【分析】（1）依题意求出函数的周期T ，再根据2Tπω=，求出ω，再根据函数过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，即可求出函数解析式，再令222+2,232k x k k Z πππππ-≤≤+∈，求出x 的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，令()0g x =即可求出函数的零点，要使()g x 在[0,](0)b b >上恰有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，小于第11个零点的横坐标即可，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：（1）由图易知22362T πππ=-=，则T π=，22T πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+ 因为函数过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭所以sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2,6k k Z πϕπ⨯+=∈，又0ϕπ<<，故23ϕπ=， 则()2sin(2)3f x x π=+ 令：222+2,232k x k k Z πππππ-≤≤+∈，整理得7,1212k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 所以()f x 的单调增区间是7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）若()f x 的图象横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移3π个单位，最后向上平移1个单位，得到函数()2sin 21g x x =+ 令()0g x =，得712x k ππ=+或11()12x k k Z ππ=+∈. 所以在[0,]π上恰好有两个零点，若()g x 在[0,]b 上恰有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标，小于第11个零点的横坐标即可，即b 的范围为：115941212b πππ≥+=.且1111767412121212b ππππππ<++-+= 即59671212b ππ≤< 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.24．答案见解析. 【分析】若选择条件①②，（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称中心求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果. 若选择条件①③，（Ⅰ）根据最小正周期求出ω，根据对称轴求出ϕ，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果.若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式． 【详解】若选择条件①②，（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=.因为()f x 图象关于点π(,0)6-对称，所以πsin[2()]06ϕ⨯-+=， 所以3k πϕπ-=，k Z ∈，所以3k πϕπ=+，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=． 因此π()sin(2)3f x x =+． πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ． （Ⅱ）因为02x π≤≤，所以ππ4π2333x ≤+≤．当ππ2=32x +，即π12x =时，()f x 取得最大值1；当π4π2=33x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．若选择条件①③，（Ⅰ）由函数()f x 最小正周期2π=πT ω=，得2ω=. 又函数()f x 图象关于π12x =对称，所以有πsin(2)112ϕ⨯+=±，所以62k ππϕπ+=+，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又已知π(0,)2ϕ∈，故π3ϕ=．因此π()sin(2)3f x x =+．πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z 由，解得5,1212k x k ππππ-+≤≤+k Z ∈. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -++∈Z ． （Ⅱ）因为02x π≤≤，所以ππ4π2333x ≤+≤．当ππ2=32x +，即π12x =时，()f x 取得最大值1；当π4π2=33x +，即π2x =时，()f x 取得最小值．若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定ω，所以无法确定函数解析式．【点睛】关键点点睛：根据函数性质确定函数解析式是解题关键. 25．（1）()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（2）1116. 【分析】（1）由顶点及周期可得1A =，2ω=，再由sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得6π=ϕ，从而得解；（2）根据条件得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再结合诱导公式和同角三角函数关系可得解. 【详解】（1）由图可知1A =， 由311341264T πππ=-=，得2T ππω==，所以2ω=， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈，则2,6k k Z πϕπ=+∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ， ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（2）由题意，()sin 6g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()14g θ=，得1sin 64πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，221143sin sin sin[2()]sin [()]63662πππππθθπθθ⎛⎫⎛⎫-+-=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111sin()cos ()sin()1sin ()1666641616ππππθθθθ=-+++=-++-+=-+-=.【点睛】方法点睛：确定()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤： (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA ，2M mB +=； (2)求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=； (3)求ϕ，常用方法有以下2种方法：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.26．(1)65π；(2)1222⎡⎤---⎣⎦, . 【解析】 试题分析：(1)整理函数的解析式可得：56ω=，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为65π ； (2)化简三角函数的解析式()52sin 236f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .试题(1)因为f(x)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋2sinωx·cosωx ＋λ＝－cos2ωx ＋sin2ωx ＋λ ＝2sin＋λ.由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin ＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋ (k ∈Z)，即ω＝＋ (k ∈Z)． 又ω∈，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是. (2)由y ＝f(x)的图象过点，得f ＝0， 即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin －，由0≤x≤，有－≤x －≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin x－－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．。

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课时过关·能力提升1.已知角α的终边与单位圆相交于点-则A.答案:A2.若1 140°角的终边上有一点(4,a),则a的值是()A.解析:∵x=4,y=a,r 1 140°=sin(3×360°+60°)=sin 60°解得a=答案:A3.下列函数是周期函数的有()①y=sin x;②y=cos x;③y=x2.A.①③B.②③C.①②D.①②③解析:y=sin x和y=cos x都是周期函数.函数y=x2的图像不是重复出现的,故函数y=x2不是周期函数.答案:C4.若α为象限角,则式子有个不同值A.1B.2C.3D.4解析:若α为第一象限角,原式=1+1=2;若α为第二象限角,原式=1-1=0;若α为第三象限角,原式=-1-1=-2;若α为第四象限角,原式=-1+1=0.答案:C5.若sin αcos α<0,则α的终边在()A.第一或第二象限B.第一或第三象限C.第一或第四象限D.第二或第四象限解析:∵sin αcos α<0,∴sin α与cos α异号,∴α的终边在第二或第四象限.答案:D6.在△ABC中,若sin A·cos B<0,则此三角形必为三角形.解析:在△ABC中,∵0<∠A<π,∴sin A>0.又sin A·cos B<0,∴cos B<0,∴∠B为钝角.故△ABC为钝角三角形.答案:钝角7.已知角θ的终边过点则角可以是只填一个满足条件的即可解析:si即点-从而点P在第四象限.因此,只需找到一个第四象限的角θ使得sin θ=即可,显然θ=满足条件,故填答案:答案不唯一8.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0 则a的取值范围是.解析:∵sin α>0,cos α≤0-解得-2<a≤3.答案:-2<a≤3★9.已知cos α<0,且sin α<0.(1)求角α的集合;(2)求角终边所在的象限(3)试判断si·co的符号解(1)由cos α<0,得角α的终边在第二或第三象限或在x轴的非正半轴上;由sin α<0,得角α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.故满足cos α<0,且sin α<0的角α在第三象限.所以角α的集合为∈(2)由2kπ+π<α<2kπ∈Z),得kπ∈Z),所以角的终边在第二或第四象限.(3)当角的终边在第二象限时,si所以si·co当角的终边在第四象限时,si所以si·co综上所述,si·co的符号为负.10.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=求的值解根据题意,sin θ=及P(4,y)是角θ终边上一点,可知θ为第四象限角,所以y<0.由三角函数的定义,解得y=-8.11.已知角α的终边经过点P(-3cos θ,4cos θ),其中θ∈∈Z),求角α的正弦函数值和余弦函数值.解∵θ∈∈Z),∴cos θ<0.又x=-3cos θ,y=4cos θ,∴r-θ.∴sin α=★12.已知α是第三象限角,试判断sin(cos α)·cos(sin α)的符号.解∵α是第三象限角,∴-1<sin α<0,-1<cos α<0.∴sin(cos α)<0,cos(sin α)>0.∴sin(cos α)·cos(sin α)<0.。

§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课后篇巩固探究A组基础巩固1.已知sin α=,则角α所在的象限是()A.第一象限B.第一或第二象限C.第一或第三象限D.第四象限解析因为sin α=>0,所以α在第一或第二象限.2.已知角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=-,则b的值为()A.3B.-3C.±3D.5解析因为角α的终边经过点P(-b,4),且cos α=-,所以r=,cos α==-,解得b=±3.由题意得b>0,所以b=3.3.设角α的终边与单位圆相交于点P,则sin α-cos α的值是()A.B.-C.-D.解析由三角函数的定义,得sin α=-,cos α=,∴sin α-cos α=-=-.故答案为C.4.如图所示,直线l的倾斜角为,且与单位圆交于P,Q两点,则点P的横坐标是()A.B.-C.D.-解析因为cos=-,故选B.答案B5.已知P(-,y)为角β的终边上的一点,且sin β=,则y的值为()A.±B.C.-D.±2解析r=,sin β=>0,解得y=或y=-(舍去).答案B6.已知锐角α的终边交单位圆于点P,则sin α=,cos α=.解析由题意得cos α=.又角α为锐角,∴α=60°,∴sin α=.答案7.当α为第二象限角时,的值是.α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0.∴=2.8.导学号93774009若f(x)是周期为4的函数,当-2<x≤2时,f(x)=x.则f(2 019)+f(2 020)=.解析f(2 019)=f(2 020-1)=f(-1)=×(-1)=-,f(2 020)=f(0)=×0=0,故f(2 019)+f(2 020)=-.答案-9.函数y=的定义域为.解析要使函数式有意义,需由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].答案[-4,-π]∪[0,π]10.利用定义求的正弦值与余弦值.解在平面直角坐标系中,作∠AOB=,如图所示.易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为.故sin=-,cos .11.已知角α的终边上一点P(-,m),且sin α=m,求sin α与cos α的值.解由已知,得m=,解得m=0或m=±.①当m=0时,cos α=-1,sin α=0;②当m=时,cos α=-,sin α=;③当m=-时,cos α=-,sin α=-.B组能力提升1.sin 1·sin 2·sin 3·sin 4的符号为()A.正B.负C.0D.无法确定1是第一象限角,2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,所以sin 1>0,sin>0,sin 4<0,于是sin 1·sin 2·sin 3·sin 4<0.2.点A(x,y)是-300°角终边与单位圆的交点,则的值为()A.B.-C.D.-解析根据三角函数的定义得,x=cos(-300°)=cos(-360°+60°)=cos 60°=, y=sin(-300°)=sin(-360°+60°)=sin 60°=,故.3.若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f=1,则f的值为()A.-1B.1C.0D.-2解析f=f=f=f=1.4.已知角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为()A.B.C.D.解析由题意得角α的终边上一点的坐标为,则角α的最小正值为,故选D.5.导学号93774010已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),若,则cos α的值为()A.B.-C.±D.解析∵角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),,∴b=-a,r=b,∴cos α==-.故选B.答案B6.若f(x)是定义域为R的函数,且满足f(x+4)=,则f(x)的周期是.解析由f(x+4)=,可得f(x+8)=,因此,f(x+8)==f(x).故f(x)的周期是8.α的终边在直线y=-2x上,求sin α,cos α的值.α终边上一点P(a,-2a)(a≠0),则r=|a|.当a>0时,a终边在第四象限,r= a.∴sin α==-,cos α=.当a<0时,α终边在第二象限,r=- a.∴sin α=,cos α==-.8.导学号93774011已知函数f(x)的定义域是R,对任意实数x,满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,4)时,f(x)=x2+2x.(1)求证:函数f(x)是周期函数;.x,有f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x).∴函数f(x)是周期函数.知,函数f(x)的周期为4,∴f(-7)=f(-7+2×4)=f(1).∵当x∈[0,4)时,f(x)=x2+2x,∴f(-7)=f(1)=3.。

§8函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换课时过关·能力提升1.将函数y=sin 2x的图像向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图像的函数解析式是()A.y=cos 2xB.y=2cos 2xC.y=1+si n(2x+π4)D.y=1+cos 2x解析:将函数y=sin 2x的图像向左平移π4个单位长度,得到函数y=sin 2(x+π4),即y=si n(2x+π2)=cos 2x的图像,再向上平移1个单位长度,所得图像的函数解析式为y=1+cos 2x.答案:D2.用五点法画y=2sin 2x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是()A.0,π2,π,32π,2πB.0,π4,π2,34π,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,π6,π3,π2,23π解析:∵五点法作图的五个点的横坐标是当2x=0,π2,π,32π,2π时相应的x值,∴此时x=0,π4,π2,3π4,π.答案:B3.要得到函数y=si n(4x-π3)的图像,只需将函数y=sin 4x的图像()A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度解析:∵y=si n(4x-π3)=sin[4(x-π12)],∴只需将函数y=sin 4x的图像向右平移π12个单位长度即可.答案:B4.将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移π个单位长度后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C.0D.−π4答案:B5.为了得到函数y=co s(x2-π4)的图像,可以将函数y=sin x2的图像()A.向左平移π2个单位长度B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π2个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析:y=co s(x2-π4)=sin[π2+(x2-π4)]=si n(x2+π4)=si n[12(x+π2)],故选A.答案:A6.将函数f(x)=sin(2x+θ),θ∈(-π2,π2)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像.若f(x),g(x)的图像都经过点P(0,√3),则φ的值可以是()A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析:g(x)=f(x-φ)=sin[2(x-φ)+θ],由sin θ=√32,−π2<θ<π2,得θ=π3,而sin(θ-2φ)=√32,结合选项,知φ的一个值为5π6,故选B.答案:B★7.将余弦函数y=cos x的图像向右至少平移m个单位长度,可以得到函数y=-sin x的图像,则m=()A.π2B.πC.3π2D.3π4解析:根据诱导公式得,y=-sin x=co s(3π2-x)=cos(x-3π2),故欲得到y=-sin x的图像,需将y=cos x的图像向右至少平移3π2个单位长度.答案:C8.将函数y=cos x的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=co s(x-π6)的图像,则φ=.解析:由题易得φ=2kπ−π6(k∈Z).因为0≤φ<2π,所以φ=11π6.答案:11π69.将函数y=f(x)的图像上每一点的纵坐标缩短为原来的12,横坐标不变,再将横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,最后将整个图像向左平移π3个单位长度,可得y=sin x的图像,则f(x)=.解析:将y=sin x的图像向右平移π3个单位长度得到y=si n(x-π3)的图像,把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到y=si n(12x-π3)的图像,再把y=si n(12x-π3)的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)得到y=2si n(12x-π3)的图像.∴f(x)的解析式为f(x)=2si n(12x-π3).答案:2si n(12x-π3)10.利用五点法画出函数y=3si n(12x-π4),x∈[0,4π]的简图.解列表:在x∈[0,4π]上确定关键点列表如下:描点:以上表中x,y的值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出以上各点;连线:用平滑的曲线连接各点,得y=3si n(12x-π4)在[0,4π]上的图像如图所示.★11.如何由函数y=sin x的图像得到函数y=3si n(2x+π3) (x∈R)的图像?解(方法一)(先平移变换再伸缩变换)y=sin x的图像y=si n(x+π3)的图像y=si n(2x+π3)的图像y=3si n(2x+π3)的图像.(方法二)(先伸缩变换再平移变换)y=sin x的图像y=sin 2x的图像y=si n[2(x+π6)]=sin(2x+π3)的图像y=3si n(2x+π3)的图像.。

高中数学《必修四》三角函数训练题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.集合M ={x |x =42ππ±k ,k ∈Z }与N ={x |x =4πk ,k ∈Z }之间的关系是( ) A.M N B.N MC.M =ND.M ∩N=∅4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( )A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)5.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.-52C.51D.-51 6.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23 B.23 C.21 D.±237.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( )A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB.若α、β是第二象限角，则tan α>tan βC.若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin2 9.如果sin x +cos x =51,且0<x <π,那么cot x 的值是( )A.-34 B.-34或-43 C.-43 D.34或-43 10.已知①1+cos α-sin β+sin αsin β=0,②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.则sinα的值为( )A.3101- B.351- C.212- D.221-二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.tan300°+cot765°的值是_______.12.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.13.若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______. 14.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______.三、解答题(本题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)设一扇形的周长为C (C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x , 求sin α与tan α的值.17.(本小题满分12分)已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )2cos()2cos()2(tan )23sin()23sin(22απαπαπαπαππα-⋅+⋅--⋅-⋅--的值.已知sin α+cos α=-553,且|sin α|>|cos α|,求cos 3α-sin 3α的值.19.(本小题满分12分) 已知sin(5π-α)=2 cos(27π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β), 且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：“钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为{α|k ²360°+90°<α<k ²360°+180°,k ∈Z },令集合为B .显然A B . 答案：B 2．解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.∴α在第二象限.答案：B3．解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断.解法二：∵M ={x |x =4π²(2k ±1),k ∈Z },而2k ±1为奇数，∴M N . 答案：A4．解析：787°=2³360°+67°,-957°=-3³360°+123°. -289°=-1³360°+71°,1711°=4³360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案：C5．解析：∵r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限.∴53cos ,54sin ==-==r x r y αα.故sin α+2cos α=52. 答案：A6．解析：∵cos(π+α)=-21,∴cos α=21,又∵23π<α<2π. ∴sin α=-23cos 12-=-α.故sin(2π-α)=-sin α=23. 答案：B7．答案：D8．解析：∵圆的半径r =1sin 2,α=2 ∴弧度l=r ²α=1sin 2. 答案：B9．分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =51是不够的，还要利用sin 2x +cos 2x =1这一恒等式.解析：∵0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1=-2524. ∴cos x <0.故sin x -cos x =57cos sin 4)cos (sin 2=-+x x x x ,结合sin x +cos x =51,可得sin x =54,cos x =-53,故co t x =-43. 答案：C10．分析：已知条件复杂，但所求很简单，由方程思想，只要由①、②中消去β即可.解析：由已知可得：sin β=ααsin 1cos 1-+,cos β=ααsin 1cos 1--.以上两式平方相加得：2(1+cos 2α)=1-2sin α+sin 2α. 即：3sin 2α-2sin α-3=0.故sin α=3101-或sin α=3101+ (舍). 答案：A11．解析：原式=tan(360°-60°)+cot (2³360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-3.答案：1-312．分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子.解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2α=9cos 2α.∴cos 2α=101. 故原式=(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2α=52. 解法二：∵sin 2α+cos 2α=1.∴原式=52194991tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=++-=++-ααααααααα 答案：5213．分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆. 解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为3π知：2r +r =R ,即R =3r .∴S 扇=21αR 2=6πR 2,S 圆=9πR 2.故S 扇∶S 圆=23. 答案：23 14．分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法.其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式.解析：先作出余弦线OM =-21，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边.要cos θ>-21,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的关键.当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }. 答案：{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }15．解：设扇形的中心角为α，半径为r ,面积为S ，弧长为l,则：l+2r =C ,即l=C -2r .∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C 时，S max =162C ,此时：α=.2422=-=-=CCC rrC r l∴当α=2时，S max =162C .16．解：由三角函数的定义得：cos α=52+x x ,又cos α=42x , ∴34252±=⇒=+x x x x . 由已知可得：x <0,∴x =-3.故cos α=-46,sin α=410,ta n α=-315. 17．解：∵sin α是方程5x 2-7x -6=0的根. ∴sin α=-53或sin α=2(舍).故sin 2α=259,cos 2α=⇒2516tan 2α=169. ∴原式=169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 222==⋅-⋅⋅-⋅ααααααα.18．分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.解：∵sin α+cos α=-553, ∴两边平方得：1+2sin αcos α=⇒59sin αcos α=52. 故(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=51.由sin α+cos α<0及sin αcos α>0知sin α<0,cos α<0. 又∵|sin α|>|cos α|,∴-sin α>-cos αcos α-sin α>0. ∴cos α-sin α=55. 因此，cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=55³(1+52)=2557.评注：本题也可将已知式与sin 2α+cos 2α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算.19．分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元.解：由已知得sin α=2sin β ①3cos α=2cos β ②由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2.即：sin 2α+3(1-sin 2α)=2. ∴sin 2α=⇒21sin α=±22,由于0<α<π,所以sin α=22. 故α=4π或43π.当α=4π时，cos β=23,又0<β<π,∴β=6π, 当α=43π时，cos β=-23,又0<β<π,∴β=65π.综上可得：α=4π,β=6π或α=43π,β=65π.。

1 单调不“单调”，应用很“奇异”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以便利地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，期望能对同学们的学习有所挂念．一、信念体验——比较大小 例1 比较cos 5π14，sin 2π7，－cos 8π7的大小． 解 由于sin2π7＝cos(π2－2π7)＝cos 3π14，－cos 8π7＝ cos π7，又0<π7<3π14<5π14<π2，而y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，所以cos π7>cos 3π14>cos 5π14，即－cos 8π7>sin 2π7>cos 5π14.点评 比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：(1)将不同名的三角函数化为同名三角函数；(2)用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；(3)由单调性得出各值的大小关系．二、重拳出击——求解最值例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．解 由于当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )时，函数f (x )＝2sin(2x －π4)单调递增；当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )时，函数单调递减，所以f (x )＝2sin(2x －π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π4]上为减函数．又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝－1.故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.点评 求三角函数的最值是一类重要的三角函数问题，也是高考中经常毁灭的考点，解题过程中要留意将ωx ＋φ看作一个整体．利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础学问的综合运用． 三、触类旁通——解不等式 例3 若0≤α<2π，sin α>33cos α，求α的取值范围． 解 当α＝π2时，不等式成立，当α＝3π2时，不等式不成立．当α∈[0，π2)∪(3π2，2π]时，cos α>0，则原不等式可化为tan α>33，依据正切函数的单调性得，π6<α<π2；同理可得，当α∈(π2，3π2)时，π2<α<7π6.综上，α的取值范围是(π6，7π6)．点评 利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解．2 善用数学思想——巧解题 一、数形结合思想例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析 在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0,2π)的图像如图： 由图知，x ∈(π4，5π4)．答案 (π4，5π4)点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用三角函数的图像使问题变得更简洁． 二、分类争辩思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解 角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类争辩．(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要争辩． 三、函数与方程思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________．解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1 ＝(cos x ＋32)2－74，设cos x ＝t ，由于π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上单调递增，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值． 四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小．tan(－13 π4)与tan(－17 π5)． 解 tan(－13 π4)＝－tan π4，tan(－17 π5)＝－tan 2π5.由于0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5)．点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小．另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想.3 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够机敏地运用性质，必需在脑海中能准时地毁灭出三角函数的图像．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们认真体会． 一、定义域 例1 函数y ＝cos x －12的定义域为______________．解析 由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z .答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图像或者单位圆中三角函数线求解． 二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________．解析 由于0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图像如图可知：cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12)．答案 [－12，12)点评 解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图像对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值． 三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求：(1)函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3)．所以原函数的递减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的递增区间．(1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得：k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以f (x )＝sin(π3－2x )的递减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中，令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的递减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]．点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看作一个整体，依据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；假如要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间． 四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin(2x －π3)，由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，所以x ＝5π12为f (x )的一条对称轴，选C.答案 C点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是依据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决．同样地，求解对称中心也有两种方法． 五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析 函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称；由x ＋φ3＝π2＋k π可得函数的对称轴方程是x ＝3π2＋3k π－φ，k ∈Z ，令3π2＋3k π－φ＝0，解得：φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0,2π)，故φ＝3π2.答案 C点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图像关于y 轴对称；奇函数⇔函数图像关于原点对称．4 数形结合百般好，形象直观烦琐少 ——构建正弦、余弦函数图像解题正弦、余弦函数的图像是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能依据问题的题设特点机敏构造图像，往往能直观、精确 、快速解题． 一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－22，1 C.⎣⎡⎦⎤－1，22 D.⎣⎡⎦⎤－1，－22解析 依据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图像，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 C点评 有关三角函数的值域的确定，经常作出函数的图像，借助于图像直观、精确 求解． 二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．解析 在同始终角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 及y ＝sin x 的图像，由图像可观看出交点个数为2. 答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，经常作出函数的图像，借助于图像直观、精确 求解． 三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________________________. 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值， 画出函数大致图像，如图所示，∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值．∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )．∴ω＝8k －103(k ∈Z )． ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值．故ω＝143. 答案143点评 本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质的理解与应用，求解本题应留意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以挂念解题． 四、推断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是增函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是减函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数解析 作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像如图所示．由图像可知B 正确． 答案 B点评 形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图像，利用数形结合思想求解． 五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________． 解析 作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图像，如图所示． 当k ≤0时，明显成立； 当0<k ≤1时，由图像可知：sin πx2≥kx 在x ∈[0,1]上成立．综上所述，k ≤1. 答案 k ≤1点评 数形结合时，函数图像要依据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算推断．本题争辩y ＝kx 与y＝sinπx2的图像关系时，不要遗忘k ≤0的状况． 六、争辩方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在0≤x ≤π上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值． 解 在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图像，如图所示．当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评 本题通过函数图像的交点个数推断方程实数根的个数，应重视这种方法．。

§2角的概念的推广课后篇巩固探究1.与角-463°终边相同的角为()A.k·360°+463°,k∈ZB.k·360°+103°,k∈Z°+257°,k∈Z D.k·360°-257°,k∈Z463°=-2×360°+257°,所以257°与-463°终边相同,由此可得与角-463°终边相同的角可以写成k·360°+257°,k∈Z的形式.故选C.2.以下命题正确的是()A.若α是第一象限角,则2α是第二象限角B.A={α|α=k·180°,k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},则A⊆BC.若k·360°<α<k·360°+180°(k∈Z),则α为第一或第二象限角x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)3.已知角α是第四象限角,则角-是()A.第一或第三象限角B.第二或第三象限角D.第二或第四象限角角α是第四象限角,∴k×360°-90°<α<k×360°(k∈Z),∴k×180°-45°<<k×180°(k∈Z),∴-k×180°<-<-k×180°+45°(k∈Z),∴角-是第一或第三象限角.4.已知集合A={x|x=k×180°+(-1)k×90°,k∈Z},B={x|x=k×360°+90°,k∈Z},则A,B的关系为()A.B⫋AB.A⫋BC.A=BD.A⊆BA中,当k为奇数时,x=k×180°-90°,终边落在y轴的非负半轴上;当k为偶数时,x=k×180°+90°,终边落在y轴的非负半轴上.集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上.故A=B.5.导学号93774003如图,终边落在空白部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z}P(0,-1)在角α的终边上,则所有角α组成的集合S=.P在y轴的负半轴上.又270°角的终边在y轴的非正半轴上,则α=270°+k×360°,k∈Z}.α|α=270°+k×360°,k∈Z}α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.30°+k·360°,k∈Z8.已知α=-1 910°.(1)将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α所在象限;θ,使θ与α终边相同,且-720°≤θ<0°.-1 910°=-6×360°+250°,因为250°为第三象限角,所以-1 910°角为第三象限角.(2)θ为-110°或-470°.9.在一昼夜中,钟表的时针和分针有几次重合?几次形成直角?时针、分针和秒针何时重合?请写出理由.0.5°,分针每分钟走6°,秒针每分钟走360°,本题为追及问题.(1)一昼夜有24×60=1 440(分钟),时针和分针每重合一次间隔的时间为分钟,所以一昼夜时针和分针重合=22(次).(2)假设时针不动,分针转一圈与时针两次形成直角,但一昼夜时针转了两圈,则少了4次垂直,于是一共有24×2-4=44(次)时针与分针垂直.(3)秒针与分针每重合一次间隔时间为分,而由于的最小公倍数为720分钟,即12个小时,所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻三针重合.10.导学号93774005如图.(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;(包括边界)的角的集合.终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.(2)由题图可知,在-180°~180°范围内,终边落在阴影部分的角β满足-30°≤β≤135°,因此所求角的集合是所有与之终边相同的角组成的集合,故该集合可表示为{γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360°,k∈Z}.。

§8函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换课时过关·能力提升1.将函数y=sin 2x的图像向左平移π4个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得图像的函数解析式是()A.y=cos 2xB.y=2cos 2xC.y=1+si n(2x+π4)D.y=1+cos 2x解析:将函数y=sin 2x的图像向左平移π4个单位长度,得到函数y=sin 2(x+π4),即y=si n(2x+π2)=cos 2x的图像,再向上平移1个单位长度,所得图像的函数解析式为y=1+cos 2x.答案:D2.用五点法画y=2sin 2x的图像时,首先描出的五个点的横坐标是()A.0,π2,π,32π,2πB.0,π4,π2,34π,πC.0,π,2π,3π,4πD.0,π6,π3,π2,23π解析:∵五点法作图的五个点的横坐标是当2x=0,π2,π,32π,2π时相应的x值,∴此时x=0,π4,π2,3π4,π.答案:B3.要得到函数y=si n(4x-π3)的图像,只需将函数y=sin 4x的图像()A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度解析:∵y=si n(4x-π3)=sin[4(x-π12)],∴只需将函数y=sin 4x的图像向右平移π12个单位长度即可.答案:B4.将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移π个单位长度后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为()A.3π4B.π4C.0D.−π4答案:B5.为了得到函数y=co s(x2-π4)的图像,可以将函数y=sin x2的图像()A.向左平移π2个单位长度B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π2个单位长度D.向右平移π4个单位长度解析:y=co s(x2-π4)=sin[π2+(x2-π4)]=si n(x2+π4)=si n[12(x+π2)],故选A.答案:A6.将函数f(x)=sin(2x+θ),θ∈(-π2,π2)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像.若f(x),g(x)的图像都经过点P(0,√3),则φ的值可以是()A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析:g(x)=f(x-φ)=sin[2(x-φ)+θ],由sin θ=√32,−π2<θ<π2,得θ=π3,而sin(θ-2φ)=√32,结合选项,知φ的一个值为5π6,故选B.答案:B★7.将余弦函数y=cos x的图像向右至少平移m个单位长度,可以得到函数y=-sin x的图像,则m=()A.π2B.πC.3π2D.3π4解析:根据诱导公式得,y=-sin x=co s(3π2-x)=cos(x-3π2),故欲得到y=-sin x的图像,需将y=cos x的图像向右至少平移3π2个单位长度.答案:C8.将函数y=cos x的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=co s(x-π6)的图像,则φ=.解析:由题易得φ=2kπ−π6(k∈Z).因为0≤φ<2π,所以φ=11π6.答案:11π69.将函数y=f(x)的图像上每一点的纵坐标缩短为原来的12,横坐标不变,再将横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,最后将整个图像向左平移π3个单位长度,可得y=sin x的图像,则f(x)=.解析:将y=sin x的图像向右平移π3个单位长度得到y=si n(x-π3)的图像,把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到y=si n(12x-π3)的图像,再把y=si n(12x-π3)的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)得到y=2si n(12x-π3)的图像.∴f(x)的解析式为f(x)=2si n(12x-π3).答案:2si n(12x-π3)10.利用五点法画出函数y=3si n(12x-π4),x∈[0,4π]的简图.解列表:在x∈[0,4π]上确定关键点列表如下:描点:以上表中x,y的值为点的坐标,在平面直角坐标系中描出以上各点;连线:用平滑的曲线连接各点,得y=3si n(12x-π4)在[0,4π]上的图像如图所示.★11.如何由函数y=sin x的图像得到函数y=3si n(2x+π3) (x∈R)的图像?解(方法一)(先平移变换再伸缩变换)y=sin x的图像y=si n(x+π3)的图像y=si n(2x+π3)的图像y=3si n(2x+π3)的图像.(方法二)(先伸缩变换再平移变换)y=sin x的图像y=sin 2x的图像y=si n[2(x+π6)]=sin(2x+π3)的图像y=3si n(2x+π3)的图像.。