数值分析考试复习总结

期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。

数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。

1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。

通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。

其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。

多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。

2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。

常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。

牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。

插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。

3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。

通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。

最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。

第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。

数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。

1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。

通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。

常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。

迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。

2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。

常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。

常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。

3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。

数值分析考试复习总结 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念 例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差选用数值方法产生:截断误差计算过程产生:舍入误差 传播误差6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.解 a 的相对误差：由于31021|)(|-⋅≤-≤a x x E . x ax x E r -=)(,221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.|11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □2有效数字基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题:4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x xxx 对（2）;1,11>>--+x xx xx 对（3）1||,0,cos 1<<≠-x x xx对.解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））插值基函数（因子）可简洁表示为其中: ()∏∏≠==-='-=nij j j i i nnj jn x x x xx x 0)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=， 例2 n=2时，抛物插值公式 牛顿（Newton ）插值公式由差商的引入，知（1） 过点10,x x 的一次插值多项式为其中（2） 过点210,,x x x 的二次插值多项式为其中重点是分段插值:例题:1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1） （2） 解(2)：方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则：误差估计： ))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤. □第三章最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：1. 连续意义下在空间],[2b a L 中讨论2. 离散意义下在n 维欧氏空间n R 中讨论，只要求提供f 的样本值1. 最佳逼近多项式的法方程组设],[2b a L 的1+n 维子空间 n P =span },,,1{2n x x x , 其中 n x x x ,,,12 是],[2b a L 的线性无关多项式系.对],[2b a L f ∈∀，设其最佳逼近多项式*φ可表示为: ∑==ni i i x a 0**φ由 n P f ∈∀=-φφφ ,0),(*即 ∑===nj ij j i n i x f a x x 0*)1(0),,(),(（*2） 其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由n i i x 0}{=的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 .11、 求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。

(1)(2)(3) 解⑴(3)对I X卜：：：：1 ；对XMO,|X|« 1.2x2；(1 x)(1 2x). (2)1 -cosx _ sin2 xx x(1 cosx)si nx1 cosx第一章1误差相对误差和绝对误差得概念例题：当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时，一般要经历哪几个阶段？在哪些阶段将有哪些误差产生？答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差：建立数学模型过程中产生：模型误差参数误差选用数值方法产生：截断误差计算过程产生：舍入误差传播误差6 •设a =0.937关于精确数x有3位有效数字，估计a的相对误差.对于f (x) = .1 —x，估计f(a)对于f(x)的误差和相对误差•解a的相对误差: 由于1 _3l , 、 x — a|E(x) |<x—a<-10 .E r(x)-2XE r(x) <1 2 1 _210 =— 10 .(Th1)2汉18f(a)对于f(x)的误差和相对误差|E⑴冃"―心日^^卜鑒=1。

」| E r(f )^10^ 1-a=4 10‘.□2有效数字基本原则：1两个很接近的数字不做减法：2：不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题：4 •改变下列表达式使计算结果比较精确：1x1 - COSxX 1 X . X - 1 X )二P 2(x)二 P i (x) f[X o ，X i ，X 2](X-X °)(X- xj第二章拉格朗日插值公式(即公式(1))nP n (X )二' y 」i (X )插值基函数(因子)可简洁表示为I / \ :(X - X j )® n(x)l i (X):j卫(X i - X j ) (X- X i ) n (X i )jT ：nn其中：n (X )「「(X - X j ),'nX i = /(\ - X j ).j =0j =0例1 n=1时，线性插值公式 例2 n=2时，抛物插值公式(X -X o )(X -Xj% -X o )(X 2 - Xj牛顿(Newton )插值公式由差商的引入，知(i )过点x o , x i 的一次插值多项式 为P i (x) = f (X o ) C i (x -X o )其中C iL^^fix o ’X i]=P i (x)二 f(X o ) f[X o ,X i ](X-X o )X i _Xo(2)过点x o , x i , x 2的二次插值多项式 为P 2(X )二 P i (x) C 2(X-X o )(X-X i )其中(x - xj R (x) = y o 疋 ------ + y i 汉 (X o —X i )(x _X o )(X i - X o )P 2(x)(X -X i )(X -X 2)(X o -旨)％ 讥)y i(X -X o )(X -X 2)(X i -X o )(X i 乜)f(X2) - f (X i) f (X i) - f (X o)C2x2 - x i X i X oX2 _ Xo二 f [X o,X i,X2]二P 2(x)二 P i (x) f[X o ，X i ，X 2](X-X °)(X- xj=f (X 。

数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。

它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。

在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。

本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。

二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。

插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。

常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。

2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。

微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。

数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。

3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。

原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。

数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。

4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。

在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。

数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。

三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。

这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。

因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。

第一章1 误差相对误差和绝对误差得概念 例题:当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差:建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差选用数值方法产生:截断误差 计算过程产生:舍入误差 传播误差6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.解 a 的相对误差：由于31021|)(|-⋅≤-≤a x x E . x ax x E r -=)(,221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.|11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310-33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □2有效数字基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题:4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x xxx 对（2）;1,11>>--+x xx xx 对（3）1||,0,cos 1<<≠-x x xx对.解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □第二章拉格朗日插值公式（即公式（1））插值基函数（因子）可简洁表示为其中: ()∏∏≠==-='-=nij j j i i nnj jn x x x xx x 0)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )()()()()(010110101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=， 例2 n=2时，抛物插值公式 牛顿（Newton ）插值公式由差商的引入，知（1） 过点10,x x 的一次插值多项式为其中（2） 过点210,,x x x 的二次插值多项式为其中重点是分段插值:例题:1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1） （2） 解(2)：方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等距节点，且10/1=h .解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0Λ=i ， 101=h设 1+≤≤i i x x x ，则： 误差估计： ))1(()(!2|)()(|max)1(h i x ih x f x f x f hi x ix h +--''≤-+≤≤. □第三章最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：1. 连续意义下在空间],[2b a L 中讨论2. 离散意义下在n 维欧氏空间n R 中讨论，只要求提供f 的样本值1. 最佳逼近多项式的法方程组设],[2b a L 的1+n 维子空间 n P =span },,,1{2n x x x Λ, 其中 n x x x ,,,12Λ是],[2b a L 的线性无关多项式系.对],[2b a L f ∈∀，设其最佳逼近多项式*φ可表示为: ∑==ni i i x a 0**φ由 n P f ∈∀=-φφφ ,0),(*即 ∑===nj ij j i n i x f a x x 0*)1(0),,(),(（*2） 其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由n i i x 0}{=的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 .11、 求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。

第一章1误差相对误差和绝对误差得概念 例题：当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时 哪些阶段将有哪些误差产生？ 答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差： 建立数学模型过程中产生：模型误差 参数误差 选用数值方法产生：截断误差 计算过程产生：舍入误差传播误差 6 •设a 0.937关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 计f(a)对于f(x)的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于1 |E(x)| x a 10 32-^10 2 2 9f(a)对于f(x)的误差和相对误差.E r (x)—1018|E(f)| | -.1 x 、1 a| =般要经历哪几个阶段？在对于f (x) .J x ，估x aE r (x)(Th1)| E r (f)| 10 3. 1 a 4 10 34=102 0.252有效数字基本原则:1两个很接近的数字不做减法：2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题：4 •改变下列表达式使计算结果比较精确：1 1 2xx 1x1 cosx(1)| 1;1;(3)0,|x|解(1)2X 2(1x)(1 2x).1 cosxsin 2 xsin x,x 1 x)■x(1 cosx) 1 cosx第二章拉格朗日插值公式(即公式(1))插值基函数(因子)可简洁表示为n其中：n(X)(X X j),j 0 n X i (X i X j).j 0例1 n=1时，线性插值公式P(x) yo (x X i) (x X o) (X o X i) y1(X i X o)例2 n=2时，抛物插值公式牛顿(Newton)插值公式由差商的引入，知(1) 过点X o , X1的一次插值多项式为其中(2) 过点X o,X1,X2的二次插值多项式为其中重点是分段插值：例题：1.利用)：解⑵：方法一.由Lagrange 插值公式可得：L3(X) X2(X 12)方法二•令3 1由L a( 1) 3，L S(1)-，定A, B (称之为待定系数法) □2 215.设f(x) x2，求f(x)在区间［0,1］上的分段线性插值函数f h(x)，并估计误差，取等距节点，且h 1/10.解f(x) X2，X i ih ，i 0,1, ,10，h 110第三章最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：1. 连续意义下在空间L 2[a,b]中讨论2. 离散意义下在n 维欧氏空间R n 中讨论，只要求提供f 的样本值1. 最佳逼近多项式的法方程组设 L 2[a,b]的 n 1 维子空间 P n =span {1,x,x 2 , x n }, 其中1, x,x 2 , x n 是L 2[a, b]的线性无关多项式系.n 对f L 2[a,b]，设其最佳逼近多项式可表示为： a i x ii 0由(f *，) 0,P nn*即 (x —xHa j (f,x i ), i 0(1) n(*2)j 0其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组) .由{x i }i n 0的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一.11、求f (x) cos x ， x [0,1]的一次和二次最佳平方逼近多项式 解： 设P 1*(x) a 0 a 1x ， P ； (x) b 0 b 1x b 2x 2分别为f(x)的一次、二次最佳平方逼近多项式。

数值分析考试知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它的研究对象是计算机数值计算和数值模拟方法的理论和技术。

一、误差分析数值计算是以实际问题为基础的分析过程，其目的是研究数值计算误差和误差的影响，以确保数值计算的准确性和可靠性。

数值计算误差主要包括截断误差和舍入误差两个部分。

1. 截断误差截断误差是由于在数值计算过程中，使用了近似代替精确值而引起的误差。

例如，在对连续函数的微分或积分进行数值计算时，所采用的近似公式都会引起截断误差。

截断误差可以通过增加计算步骤或者采用更加精确的计算方法来减小。

2. 舍入误差舍入误差是由于计算机对于无限小数进行截断或者舍入时引起的误差。

由于计算机是以有限的二进制数进行存储和运算，因此对于很小的数字或者非常大的数字，都会存在舍入误差。

舍入误差的大小与计算精度有关，可以通过提高计算精度来减小舍入误差。

二、插值和逼近插值和逼近是数值分析中常见的计算技术，用于利用已知的数据点来估计未知函数的值。

1. 插值插值是通过已知的数据点来估计未知函数在这些数据点之间的取值。

插值方法的目标是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与已知数据点的取值一致。

常见的插值方法包括拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。

2. 逼近逼近是通过已知的数据点来估计未知函数的近似值，与插值不同的是，逼近方法不要求逼近函数必须在已知数据点上取特定的值。

常用的逼近方法包括最小二乘法逼近和样条逼近。

三、数值积分数值积分是通过数值计算来近似求解定积分的值，它是数值分析中的一个重要内容。

1. 复化数值积分复化数值积分是通过将积分区间划分成若干子区间，然后在每个子区间上进行数值积分来近似求解定积分的值。

复化数值积分方法包括复化梯形公式、复化辛普森公式以及复化辛普森三分法等。

2. 数值积分的误差分析在数值积分中，由于使用了近似方法，所以会引入数值积分误差。

要保证数值积分的准确性，需要对数值积分误差进行分析和评价。

第一章引论1、数值分析研究对象：数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

2、数值分析特点：①面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法②有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性③要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。

④要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。

3、数值分析实质：是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及理论。

4、用计算机解决科学计算问题通常经历以下过程实际问题--数学模型（应用数学）--数值计算方法--程序设计--上机计算结果（计算数学）5、误差来源及分类1.模型误差——从实际问题中抽象出数学模型2.观测误差——通过测量得到模型中参数的值（通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。

）生的误差称为（截断误差）或（方法误差）生误差，这样产生的误差称为舍入误差5.有效数字（1）定义：若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字，或说x*精确到该位。

注意：近似值后面的零不能随便省去！（3）性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小(2)有效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的精确度！10、算法的数值稳定性概念及运算（1）定义：初始数据的误差或计算中的舍入误差在计算过程中的传播，因算法不同而异。

一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称该算法具有较好的数值稳定性11、设计算法的五个原则(一) 要避免相近两数相减(二) 要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要数据(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）(四) 要避免绝对值小的数作除数 (五) 设法控制误差的传播第二章 逼近问题1，函数逼近1、插值问题： 求一条曲线严格通过数据点2、曲线拟合问题： 求一条曲线在一定意义下靠近数据点 2，插值问题1、定义：求一个简单函数φ(x )作为f (x )我们称这样的问题为插值问题； 并称φ(x )为 f (x )的插值函数； f (x )为被插函数， x 0 , x 1, x 2, …,x n 是插值节(基)点；(),0,1,,i i x y i n ϕ==是插值原则.3，插值多项式1、定义：求一个次数不超过n (条件)(),0,1,,n i i P x y i n ==称Pn (x )为 f (x )的n 次插值多项式2、定理：在n+1个互异节点处满足插值原则且次数不超过n 的多项式Pn(x)存在并且唯一。