下载文档原格式
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
三、单位冲激偶信号冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。
t t t d )(d )(δδ=' （1.3-16）式（1.3-16）可从极限的角度理解，)(ˆlim )(0t t δδτ'='→，由图1.3-6，)(ˆt δ的导数)(ˆt δ'如图1.3-11(a)所示，用公式表示为)2(1)2(1)(ˆτδττδτδ--+='t t t当0→τ时，)(ˆt δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。
故称它为冲激偶函数，用图1.3-11(b)表示。
（a ） （b ）图1.3-11 冲激偶函数设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分()()t t t t x t t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'--=-=-'⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-δδδδδ利用冲激函数的抽样性质，从上式得)(d )()(00t x t t t t x '-=-'⎰∞∞-δ（1.3-17）该式称为)(t δ'的抽样性质。
采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得)()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （1.3-18）注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。
再来考虑)(t δ'的对称性。
t ττt -==-'τδδd )(d )(由于)(t δ为偶对称函数，则有 )(d )(d )(t t t t δδδ'-=-=-'（1.3-19）可见，)(t δ'为奇对称函数。
冲激偶函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换是数学中一种非常重要的变换方法，它在信号与系统、控制理论、电路分析等领域广泛应用。
冲激偶函数是一种特殊的函数形式，在拉普拉斯变换中有着重要的作用。
本文将以冲激偶函数的拉普拉斯变换为主题，介绍其定义、性质以及在实际应用中的意义。
我们来了解一下什么是冲激偶函数。
冲激偶函数是一种理想化的函数形式，它在时间t=0时取无穷大，在其他时间上取0。
冲激偶函数的数学表示形式为δ(t)，其中δ表示冲激函数，t表示时间。
冲激偶函数在信号与系统分析中扮演着重要的角色，它可以用来描述信号的幅度、频率特性等。
接下来，我们来介绍冲激偶函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种对函数进行变换的方法，它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)。
冲激偶函数的拉普拉斯变换可以表示为L{δ(t)}=1。
这个变换表明，冲激偶函数在拉普拉斯域中的变换结果为常数1。
冲激偶函数的拉普拉斯变换具有一些重要的性质。
首先，拉普拉斯变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)，其中F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
其次，拉普拉斯变换具有时移性质，即L{f(t-t0)}=e^(-st0)F(s)，其中F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
此外，拉普拉斯变换还具有尺度变换性质、频移性质等。
冲激偶函数的拉普拉斯变换在实际应用中具有重要的意义。
首先，它可以用来求解微分方程。
通过将微分方程转化为拉普拉斯域中的代数方程，可以得到方程的解析解。
其次，冲激偶函数的拉普拉斯变换可以用来描述系统的频率特性。
通过对系统的冲激响应进行拉普拉斯变换，可以得到系统在不同频率下的响应特性，从而对系统进行分析和设计。
此外，在信号处理中，冲激偶函数的拉普拉斯变换还可以用来进行信号滤波、频谱分析等。
冲激偶函数的拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在信号与系统、控制理论、电路分析等领域具有广泛的应用。
t乘单位冲激函数的导数不对哦，正确答案应该为：\left\{\begin{align}\ [2h(t)]'=2\delta(t)\\\\[2\delta(t)]'=2\delta'(t) \end{align}\right.\\\delta'(t) 为冲激偶，其具有以下性质：(1) \delta'(t) 为奇函数：\int_{-\infty}^{+\infty}{\delta'(t)dt}=0(2) \delta'(t) 的采样性：\int_{-\infty}^{+\infty}{f(t)\delta'(t-t_0)dt}=-f'(t_0)(3) \delta'(t) 的伸缩性：\delta'(\alphat+\beta)=\frac{1}{\alpha|\alpha|}\delta'\left(t+\frac{ \beta}{\alpha}\right)冲激偶一般用 \delta'(t) 表达即可，无需求解出来。
单位阶跃函数的导数单位阶跃函数的定义h(t)=\left\{\begin{align}\ &0&t<0\\ &\frac{1}{2}&t=0\\ &1&t>0 \end{align}\right.\\可以用极限去模拟单位阶跃函数h(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\begin{align}\&0&t<-\frac{1}{n}\\ &\frac{n}{2}t+\frac{1}{2}&-\frac{1}{n}\le &t\le \frac{1}{n}\\ &1&t>\frac{1}{n}\end{align}\right.\\对t求导可得h'(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\begin{align}\ &0&t<-\frac{1}{n}\\ &\frac{n}{2}&-\frac{1}{n}\le &t\le \frac{1}{n}\\ &0&t>\frac{1}{n} \end{align}\right. \\于是我们可以得到h'(t)=\left\{\begin{align} &0&t\ne0\\\\ &\infty&t=0\end{align}\right. \ \ =\ \delta(t) \\即单位阶跃函数的导数即为冲激函数t乘单位冲激函数的导数 2冲激函数的定义\delta(t)=\left\{\begin{align} &0&t\ne0\\\\&\infty&t=0 \end{align}\right.\\同理可用极限去模拟冲激函数\delta(t)=\lim_{n\rightarrow0}\left\{\begin{align}&0&|t|>0\\\\ &\frac{1}{n}\left(1+\frac{t}{n}\right)&-n\le t\le0\\\\ &\frac{1}{n}\left(1-\frac{t}{n}\right)&0< t\le n \end{align}\right.\\画个图就明白了取导数\delta'(t)=\lim_{n\rightarrow0}\left\{\begin{align} &0&|t|>0\\\\ &\frac{1}{n^2}&-\infty\le t\le0\\\\ &-\frac{1}{n^2}&0< t\le +\infty \end{align}\right.\\取极限\delta'(t)=\left\{\begin{align} &0&t&\ne0\\\\&+\infty&t&=0^-\\\\ &-\infty&t&=0^+\end{align}\right.\\即 \delta'(t) 在 t\in(-\infty,0] 处为正冲激函数，在t\in[0,+\infty) 处为负冲激函数故 \delta'(t) 被称为冲激偶。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
