概率论与数理统计复习笔记

= min (g (a),g (b))
= max (g (a),g (b)) .
第三章二维随机变量及其概率分布
一.二维随机变量与联合分布函数
1.定义若X和Y是定义在样本空间S上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为
二维随机向量或二维随机变量.
对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}称为(X,Y)的(X和Y的联合)分布函数.
(2)公式法
若g(x)处处可导,且恒有g/(x)>0 (或g/(x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其
概率密度为
fX
h y h y
y
fYy
0
其它
其中h(y)是g(x)的反函数,
= min (g (- ),g (
)) = max (g (- ),g (
)) .
如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则
1
x2
1
t2
( x )
e
2
,标准正态分布函数
( x )
x
e
2dt
,
(-x)=1-Φ(x) .
2
2
若X～N ((
,
2
),则Z=
X
~N (0,1),
P{x1<X≤x2
}=Φ(
x2
x
1
).
)-Φ(
若P{Z>z
}= P{Z<-z }= P{|Z|>z/2}=
,则点z
,- z ,
z
/ 2分别称为标准正态分布的上,下,
,6
P { Yyj}pj
P{X=xi|Y=yj}
为在Y= yj条件下随机变量X的条件分布律.
同样,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称
P{Y=yj|X=xi}
P{ X xi,Y
yj}
pi
j
,
P{ X xi
}
pi
为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.
第四章 随机变量的数字特征
2.性质(1)非负性0≤pi j≤1 .(2)归一性pij1.
ij
3. (X,Y)的(X和Y的联合)分布函数F(x,y)=pij
xix yjy
5
三.二维连续型随机变量及其联合概率密度
定义
如果存在非负的函数
f (x,y),
使对任意的
x
和
有
F(x,y)=
yx
f ( u , v ) dudv
1.
y,
则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X和Y的联合)概率密度.
P{X=k}=
e
(k=0,1,2,
) (>0)
kБайду номын сангаас!
三.连续型随机变量
1.定 义 如果随 机变 量X的分布 函 数F(x)可 以表示 成某 一非 负函 数f(x)的 积分
F(x)=xft dt,-∞< x <∞,则称X为连续型随机变量,其中f (x)称为X的概率密度(函数).
3
2.概率密度的性质
非负性
(2)若A与B, A与B,A与B, ,A与B中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.
2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事
件两两相互独立.
若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立.
P(A1∪A2∪⋯∪An)=P(A1)+P(A2)+⋯+P(An)(有限可加性与可列可加性合称加法定理)
(3)若AB,则P(A)≤P(B), P(B- A)=P(B) - P(A) .
(4)对于任一事件A, P(A)≤1,
P(A)=1- P(A) .
(5)广义加法定理
对于任意二事件A,B ,P(A∪B)=P(A)+P(B) - P(AB) .
2.计算公式P(A)=k / n其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数.
五.条件概率
1.定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A)( P(A)>0).
2.乘法定理P(AB)=P(A) P (B|A)(P(A)>0);P(AB)=P(B) P (A|B)(P(B)>0).
i 1
P ABi
P BiP A Bi
.
当P(A)>0, P(Bi)>0时,有贝叶斯公式P (Bi|A)=
n
P A
P BiP A Bi
i1
六.事件的独立性
1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件.
(1)两个事件A,B相互独立P(B)= P (B|A) .
2
必然事件(S):每次试验中一定发生的事件.不可能事件():每次试验中一定不会发生的事件.
二.事件间的关系和运算
1.A B(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生.
2.A∪B(和事件)事件A与B至少有一个发生.
3.A∩B=AB(积事件)事件A与B同时发生.
4.A- B(差事件)事件A发生而B不发生.
f(x)
≥
0 ;
(2)
归一性
f ( x ) dx
=1 ;
(1)
≤
x2f ( x )dx
若
在点
处连续 则
/
(3) P{x1<X
x2}=
x1
;
(4)
f (x)
x
, f (x)=F
(x) .
注意：连续型随机变量
X取任一指定实数值a的概率为零,即P{X= a}=0 .
3.三种重要的连续型随机变量的分布
1
a
x
4
若X的概率密度为fX(x),则求其函数Y=g(X)的概率密度fY(y)常用两种方法：
(1)分布函数法先求Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=yfXx dx
k
k
其中k(y)是与g(X)≤y对应的X的可能值x所在的区间(可能不只一个),然后对y求导即得
fY(y)=FY/(y) .
对于任意n个事件A1,A2,⋯,An
n
PA1A2
An
P Ai
P AiAj
P AiAjAk
i 1
1 i j n
1 i j k n
⋯+(-1)n-1P(A1A2⋯An)
四.等可能(古典)概型
1.定义 如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,⋯,en};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=⋯= P(en).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型.
5. AB=(A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生.
6. AB=且A∪B=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅
有一个发生.B=A,A=B .
运算规则交换律结合律分配律德?摩根律ABABABAB
三.概率的定义与性质
1.定义对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.
P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)⋯P(An|A1A2⋯An-1)(n≥2, P(A1A2⋯An-1) > 0)
3. B1,B2,⋯,Bn是样本空间S的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,⋯,n, B1∪B2∪⋯∪Bn=S) ,则
n
当P(Bi)>0时,有全概率公式P(A)=P BiP A Bi
X=X (e)称为随机变量.
2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x} , x是任意实数.
其性质为:
(1)0≤F(x)≤1-∞,F()=0,F(
∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x1<x2
,则F(x1
)≤F(x
2).
(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x).(4)P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1).
(X,Y)关于Y的边缘分布函数FY(y) = P{X<, Y≤y}= F (,y)
2.二维离散型随机变量(X,Y)
关于X的边缘分布律P{X= xi}=
pij= pi·( i =1,2,⋯)归一性
j 1
关于Y的边缘分布律P{Y= yj}=
pij= p·j( j =1,2,⋯)归一性
i 1
pi
1.
i1
pj1.
P{x1<X≤x2, y1<Y≤y2}= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1)
二.二维离散型随机变量及其联合分布律
1.定义若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(xi,yj) (i ,j =1,2,⋯)称(X,Y)为二
维离散型随机变量.并称P{X= xi,Y= yj}= pi j为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.
b
(1)X
～
U (a,b)
区间
上的均匀分布
f ( x )
b a
.
(a,b)
0
其它
1
x /
若x
0
(2)X服从参数为
的指数分布.f x
e
(
>0).
0
若x
0
2
1
( x
)2
(3)X~N (
,
)参数为,
的正态分布
f ( x )
e
2
2
- <x< ,