高一数学指数扩充及其运算性质1

想一想
1.
a
m n
是m个 n
a
相乘吗？
m
提示：分数指数幂 a n
不是mn 个
a
相乘，实质
上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
2．(n a)n 与n an(n∈N＋，n＞1)相同吗？ 提示：不同(n a)n＝a. 式子n an(n∈N＋，且 n＞1)对任意的 a∈R 都 有意义，当 n 是奇数时n an＝a；当 n 是偶数 时，n an＝|a|＝－a，a，a≥a＜0 0 .
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分 数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数 幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说 明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采 用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
• 达标拓展 • 导学案P40 1. 2. 3
1
1
法从整体寻求结果与条件 a2＋a－2＝3 的联系，
进而整体代入求值．
1
1
【解】 (1)将 a2＋a－2＝3 两边平方，得
a＋a－1＋2＝9.即 a＋a－1＝7. (2)将上式平方，有 a2＋a－2＋2＝49. ∴a2＋a－2＝47.
3分 6分
(3)设
1
a2＝t，则
a－12＝1t ，所以
t＋1t ＝3.
• 对应练习 • 导学案P40 变式2（3）
合作探究三
题型三 有关指数幂的条件求值
1
1
例3 (本题满分 12 分)已知 a2＋a－2＝3，求
下列各式的值，
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
3
3

注意：
当n是奇数时，实数a的n次方根用符号表n 示a ；
当n是偶数时，正数a的n次方根用符号±表n a示.
式子叫n a做根式，其中
n叫做根指数，a叫做被开方数
【练一练】
1、填空：
(1)27的3次方根表示为， 3 27
(2)－32的5次方根表示为, 5 32
(3)a6的3次方根表示为； 3 a6
(4)16的4次方根表示为， 4 16
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萍乡二中邢江海
温故知新
整数指数幂
an a a a
n个
a0 1a 0,
n N
an

1 an
a

0, n
N
.
根式的概念
如果一个数的n次方（n>1,n∈N*）等于a， 那么这个数叫做a的n次方根. 也就是说：
若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N*.
对于任意的实数α,有
1 1,
a

1 a
a
0.
练习：
1.下列各等式中成立的是（）A
2
A.a 3 3 a2
3
B.a 4 3 a4
2
C.a 5 5 a2
n
D.a m n am
练习：
1
2.将表 a示1n 成b1n根3式的形式是（）
C


1
1
3
A. a n bn
⒉方根的性质
奇次方根的性质： 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数； 负数的奇次方根是一个负数.
偶次方根的性质： 在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等 符号相反的数；负数的偶次方根没有意义.

（4） (m n)4 (m n)2
5
（5） p6q5 p3q 2 ( p 0)
（6） m3

m3

1
m2

5
m2
m
分数指数幂的运算性质：
整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂，进 而推广到有理数范围：
ar as ars (a 0, r, s Q) (ar )s ars (a 0, r, s Q) (ab)r arbr (a 0, b 0, r Q)
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
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谢谢欣赏！
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② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
例3
求值：8
2 3
、
1
100 2
、
(
1 )3、 4
(16
)

3 4
81
.
2
(1)8 3
2
(23 ) 3

3 2
23
22=4
1
(2)100 2
1
=1
100 2
1 1 (10 2 ) 2
1 10
(3)

2
6
2-3x=0,此时 x= ,y= .
3
4
8
5
6
-5
2
1
2
-
化简(a ·b ) ·
5
8
1
×(- )
5
2
【解析】原式=a
4 4
5 5
- +
=a
0
·b
5
4
a ÷
·b
b3 .
6
5
1
2
- ×(- )
3 3
5 5
0
=a ·b =1.
第十页，共20页。
4
5
·a ÷b
3
5
分数指数幂与根式
(gēnshì)
用分数指数幂表示(biǎoshì)下列各式:
6
3
1
3
x
故 B 错;C 是正确的;对 D, x 2 = |x|=(-x) (x<0),故
D 是错的.
第九页，共20页。
3
1
2
1
2
已知 y=(3x-2) +(2-3x) +
2 6
,
为
.
3
6
,则实数
2
x,y 依次
2
1
2
【解析】根据根式的性质知,要使(3x-2) 有意
1
2
义,则 3x-2≥0,要使(2-3x) 有意义,则 2-3x≥0,故
3
-3
-1
2
-2
【解析】x +x =(x+x )(x +x -1)
-1
-1 2
=(x+x )[(x+x ) -2-1]