弹簧类机械能守恒动量守恒
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高三总复习物理课件 动量守恒中的三类典型模型
动量守恒中的三类典型模型
01
着眼“四翼” 探考点
题型·规律·方法
பைடு நூலகம்
02
聚焦“素养” 提能力
巧学·妙解·应用
01
着眼“四翼” 探考点
题型·规律·方法
模型一 “滑块—弹簧”模型
模型 图示
模型 特点
(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的 矢量和为零，则系统动量守恒。 (2)在能量方面，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系 统机械能守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动 能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)。 (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模 型，相当于碰撞结束时)
[例 1] 如图甲所示，物块 A、B 的质量分别是 mA＝4.0 kg 和 mB＝3.0 kg。用轻弹 簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块 B 右侧与竖直墙相接触。另有一物块 C 从 t＝0 时以一定速度向右运动，在 t＝4 s 时与物块 A 相碰，并立即与 A 粘在一起不再分开， 物块 C 的 v-t 图像如图乙所示。求：
()
A．13mv02 C．112mv02
B．15mv02 D．145mv02
解析：当 C 与 A 发生弹性正碰时，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 mv0＝mv1＋ 2mv2，12mv02＝12mv12＋12(2m)v22，联立解得 v2＝23v0，当 A、B 速度相等时，弹簧的弹 性势能最大，设共同速度为 v，以 A 的初速度方向为正方向，则由动量守恒定律得 2mv2 ＝(2m＋3m)v，由机械能守恒定律可知，Ep＋12(5m)v2＝12(2m)v22，解得 Ep＝145mv02； 当 C 与 A 发生完全非弹性正碰时，根据动量守恒定律有 mv0＝3mv1′，当 A、B、C 速度相等时弹簧的弹性势能最大，设共同速度为 v′，则由动量守恒定律得 3mv1′＝ 6mv′，由机械能守恒定律可知，Ep′＝12(3m)v1′2－12(6m)v′2，解得 Ep′＝112mv02，由 此可知，碰后弹簧的最大弹性势能范围是112mv02≤Ep≤145mv02，故选 A。 答案：A
01
着眼“四翼” 探考点
题型·规律·方法
பைடு நூலகம்
02
聚焦“素养” 提能力
巧学·妙解·应用
01
着眼“四翼” 探考点
题型·规律·方法
模型一 “滑块—弹簧”模型
模型 图示
模型 特点
(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的 矢量和为零，则系统动量守恒。 (2)在能量方面，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系 统机械能守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动 能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)。 (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(完全弹性碰撞拓展模 型，相当于碰撞结束时)
[例 1] 如图甲所示，物块 A、B 的质量分别是 mA＝4.0 kg 和 mB＝3.0 kg。用轻弹 簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块 B 右侧与竖直墙相接触。另有一物块 C 从 t＝0 时以一定速度向右运动，在 t＝4 s 时与物块 A 相碰，并立即与 A 粘在一起不再分开， 物块 C 的 v-t 图像如图乙所示。求：
()
A．13mv02 C．112mv02
B．15mv02 D．145mv02
解析：当 C 与 A 发生弹性正碰时，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 mv0＝mv1＋ 2mv2，12mv02＝12mv12＋12(2m)v22，联立解得 v2＝23v0，当 A、B 速度相等时，弹簧的弹 性势能最大，设共同速度为 v，以 A 的初速度方向为正方向，则由动量守恒定律得 2mv2 ＝(2m＋3m)v，由机械能守恒定律可知，Ep＋12(5m)v2＝12(2m)v22，解得 Ep＝145mv02； 当 C 与 A 发生完全非弹性正碰时，根据动量守恒定律有 mv0＝3mv1′，当 A、B、C 速度相等时弹簧的弹性势能最大，设共同速度为 v′，则由动量守恒定律得 3mv1′＝ 6mv′，由机械能守恒定律可知，Ep′＝12(3m)v1′2－12(6m)v′2，解得 Ep′＝112mv02，由 此可知，碰后弹簧的最大弹性势能范围是112mv02≤Ep≤145mv02，故选 A。 答案：A
机械能守恒定律
机械能守恒定律：1、内容：只有重力（和弹簧弹力）做功的情形下，物体动能和重力势能（及弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变。
2、表达式：3．条件机械能守恒的条件是：只有重力或弹力做功。
可以从以下三个方面理解：(1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒。
(2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功。
例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒。
(3)其他力做功，但做功的代数和为零。
∙∙判定机械能守恒的方法：∙(1)条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析。
分析物体或系统的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力(或弹力)做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒。
(2)能量转化分析法：从能量转化的角度进行分析：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒。
(3)增减情况分析法：直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行分析。
若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统的动能不变，而势能发生了变化，或系统的势能不变，而动能发生了变化，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒。
(4)对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
∙竖直平面内圆周运动与机械能守恒问题的解法：∙在自然界中，违背能量守恒的过程肯定是不能够发生的，而不违背能量守恒的过程也不一定能够发生，因为一个过程的进行要受到多种因素的制约，能量守恒只是这个过程发生的一个必要条件。
如在竖直平面内的变速圆周运动模型中，无支撑物的情况下，物体要到达圆周的最高点，从能量角度来看，要求物体在最低点动能不小于最高点与最低点的重力势能差值。
16弹簧类问题
弹簧类问题考点规律分析1．弹簧类问题特点(1)对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒。
(2)整个过程往往涉及到多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题。
由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
2．弹簧类问题的注意事项光滑水平面上的两物块通过弹簧作用时，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，两物体的速度一定相等，弹簧具有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，两物体的速度相差最大，弹簧对两物体的作用力为零。
典型例题两物块A 、B 用轻弹簧相连，质量均为2 kg ，初始时弹簧处于原长，A 、B 两物块都以v ＝6 m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg 的物块C 静止在前方，如图所示。
B 与C 碰撞后二者会粘在一起运动。
则在以后的运动中：(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A 的速度为多大？(2)系统中弹性势能的最大值是多少？[规范解答] (1)当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大。
由A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒得(m A ＋m B )v ＝(m A ＋m B ＋m C )v 1解得v 1＝(2＋2)×62＋2＋4m/s ＝3 m/s 。
(2)B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为v 2，则m B v ＝(m B ＋m C )v 2，解得v 2＝2×62＋4m/s ＝2 m/s ， 物块A 、B 、C 速度相同时弹簧的弹性势能最大，设为E p ，根据机械能守恒定律有E p ＝12(m B ＋m C )v 22＋12m A v 2－12(m A ＋m B ＋m C )v 21 解得E p ＝12 J 。
[完美答案] (1)3 m/s (2)12 J弹簧类问题的解题思路(1)对系统应用动量守恒定律。
动量守恒典型模型
动量守恒定律的典型模型及其应用
一、碰撞类。 二、子弹打木块类。 三、弹簧类。 四、人船模型类。
一、碰撞类（区分弹性碰撞和非弹性碰撞）
V1
' 1 1
V2=0 弹性碰撞
' 2 2
m1v1 m v m v
(m1 m2 ) v v1 m1 m2
' 1
1 1 1 2 '2 '2 m1v1 m1v1 m2v2 2 2 2
动能损失为
1 1 1 2 2 2 E＝ m1v10 m2 v 20 m1 m2 v 2 2 2 m1m1 2 v10 v20 2m1 m2
例1
如图所示，车厢长度L，质量为M，静止于光滑水平 面上，车厢内有一质量为m的物体以速度v向右运动， 与车厢壁来回碰撞n次后，静止于车厢中，这时车厢 的速度为：学.科.网 A v，水平向右 B 0 v C mv/（m+M），水平向右 D mv/（m-M），水平向右
学.科.网
θ
斜面和小物块组成的 系统在整个运动过程中都不受 水平方向外力，故系统在 水平方向上动量守恒。
1.如图所示：质量为m长为a的汽车由静止开始从 质量为M、长为b的平板车一端行至另一端时， 汽车和平板车的位移大小各为多少？（水平地面 光滑） M(b-a)/M+m; m(b-a)/M+m 2.质量为m半径为R的小球，放在半径2R、质 量相 同的大空心球壳内，小球开始静止在光滑 水平面上，当小球从图示位置无初速地沿内壁 滚到最低点时，大球移动的距离多大？ R/3
v’2
m 2 (v0 2 gH ) 2 h 2 gM 2
二、滑块类
【例2】长木板质量为M, 有一质量为m的物块 （可以看作是质点）以水平速度v0从木板的左端 滑上。他们间的动摩擦因素为μ，当相对静止时， 物快仍在木板上. (M>m)
一、碰撞类。 二、子弹打木块类。 三、弹簧类。 四、人船模型类。
一、碰撞类（区分弹性碰撞和非弹性碰撞）
V1
' 1 1
V2=0 弹性碰撞
' 2 2
m1v1 m v m v
(m1 m2 ) v v1 m1 m2
' 1
1 1 1 2 '2 '2 m1v1 m1v1 m2v2 2 2 2
动能损失为
1 1 1 2 2 2 E＝ m1v10 m2 v 20 m1 m2 v 2 2 2 m1m1 2 v10 v20 2m1 m2
例1
如图所示，车厢长度L，质量为M，静止于光滑水平 面上，车厢内有一质量为m的物体以速度v向右运动， 与车厢壁来回碰撞n次后，静止于车厢中，这时车厢 的速度为：学.科.网 A v，水平向右 B 0 v C mv/（m+M），水平向右 D mv/（m-M），水平向右
学.科.网
θ
斜面和小物块组成的 系统在整个运动过程中都不受 水平方向外力，故系统在 水平方向上动量守恒。
1.如图所示：质量为m长为a的汽车由静止开始从 质量为M、长为b的平板车一端行至另一端时， 汽车和平板车的位移大小各为多少？（水平地面 光滑） M(b-a)/M+m; m(b-a)/M+m 2.质量为m半径为R的小球，放在半径2R、质 量相 同的大空心球壳内，小球开始静止在光滑 水平面上，当小球从图示位置无初速地沿内壁 滚到最低点时，大球移动的距离多大？ R/3
v’2
m 2 (v0 2 gH ) 2 h 2 gM 2
二、滑块类
【例2】长木板质量为M, 有一质量为m的物块 （可以看作是质点）以水平速度v0从木板的左端 滑上。他们间的动摩擦因素为μ，当相对静止时， 物快仍在木板上. (M>m)
第4课时木块弹簧类
A.撤去F后，系统动量守恒，机械能守恒
B.撤去F后，A离开竖直墙前，系统动量不守恒，机械能守恒
C.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E
D.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E/3
例1、如图所示，一个质量为2m、上连着轻质弹簧的物体A静止于光滑的水平面上，有一个质量为m的物体B沿光滑水平面以速度v向A运动，两物体通过弹簧发生碰撞然后分开。在此过程中，弹簧的弹性势能的最大值为（）
（1）整个过程中系统克服摩擦力做的功？
（2）若铁块与木板之间的滑动摩擦系数为μ，则m对M相对位移的最大值是多少？
（3）系统最大弹性势能是多少？
5、如图所示，A、B、C三个物体的质量均为m，置于光滑的水平台面上，B、C之间夹着原已完全压紧的弹簧，两物体用细绳相连，使弹簧不能伸展。物体A以速度v0向B运动，相碰后A和B、C粘和在一起，然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断裂，弹簧伸展，从而使C与A、B分开，脱离弹簧后C的速度为v0。求
(1)弹簧释放的势能？
(2)若更换B、C间的弹簧，当物体A以速度v0向B运动，物体C的速度为2 v0，则弹簧释放的势能？
（1）撤去力F后，木块B何时出现最大速度？最大速度是多大？此时木块A的速度如何？
（2）从撤掉力F到木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统动量是否守恒？机械能是否守恒？为什么？
（3）从撤掉力F到木块A离开墙壁前，墙壁对木块A是否做功？墙壁对A的冲量多大？
（4）从弹簧第一次恢复原长时开始一段，A做什么运动？B做什么运动？二者间距离怎么变化？A、B及弹簧组成的系统动量是否守恒？机械能是否守恒？为什么？能量是如何转化的？弹簧的弹性势能何时最大？最大值为多少？
A．mv2/2B．mv2/3C．mv2/6 D．无法确定
B.撤去F后，A离开竖直墙前，系统动量不守恒，机械能守恒
C.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E
D.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E/3
例1、如图所示，一个质量为2m、上连着轻质弹簧的物体A静止于光滑的水平面上，有一个质量为m的物体B沿光滑水平面以速度v向A运动，两物体通过弹簧发生碰撞然后分开。在此过程中，弹簧的弹性势能的最大值为（）
（1）整个过程中系统克服摩擦力做的功？
（2）若铁块与木板之间的滑动摩擦系数为μ，则m对M相对位移的最大值是多少？
（3）系统最大弹性势能是多少？
5、如图所示，A、B、C三个物体的质量均为m，置于光滑的水平台面上，B、C之间夹着原已完全压紧的弹簧，两物体用细绳相连，使弹簧不能伸展。物体A以速度v0向B运动，相碰后A和B、C粘和在一起，然后连接B、C的细绳因受扰动而突然断裂，弹簧伸展，从而使C与A、B分开，脱离弹簧后C的速度为v0。求
(1)弹簧释放的势能？
(2)若更换B、C间的弹簧，当物体A以速度v0向B运动，物体C的速度为2 v0，则弹簧释放的势能？
（1）撤去力F后，木块B何时出现最大速度？最大速度是多大？此时木块A的速度如何？
（2）从撤掉力F到木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统动量是否守恒？机械能是否守恒？为什么？
（3）从撤掉力F到木块A离开墙壁前，墙壁对木块A是否做功？墙壁对A的冲量多大？
（4）从弹簧第一次恢复原长时开始一段，A做什么运动？B做什么运动？二者间距离怎么变化？A、B及弹簧组成的系统动量是否守恒？机械能是否守恒？为什么？能量是如何转化的？弹簧的弹性势能何时最大？最大值为多少？
A．mv2/2B．mv2/3C．mv2/6 D．无法确定
高中物理 高三二轮专题复习：动量守恒定律应用(二)综合计算
v0 gt 6 m/s
细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B相互作用， 总动量守恒： mBv0 (mA mB )v
绳子绷直瞬间，A、B系统获得的速度：v=2m/s
之后A做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v即为最大速度，A 的最大速度为2 m/s
mg
H
h
mg
H h tan
mB
gS
设改变后的摩擦因数为μ′ ，然后将A从P点释放，A恰好能与B再次碰上， 即A恰好滑到物块B位置时，速度减为零，以A为研究对象，根据能量守恒定律得：
mgh mg h mgS tan
又据（2）的结论可知：
Wf
2 mgH 15
mg
H h
tan
，得： tan 9
W
1 2
mv22
1 2
mv12
末状态动能 初状态动能
题型一：动量守恒定律与能量的综合应用模型（碰撞类）
（利用动能定理、机械能守恒定律、功能关系或能量守恒定律解题）
2.(2014·北京卷)如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相 切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点．现将A无初速释放，A与B 碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动．已知圆弧轨道光滑，半径R＝0.2 m；A和 B的质量相等；A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ＝0.2.重力加速度g取10 m/s2. 求：
解析
(3)t 时刻后 A 将继续向左运动，假设它能与静止的 B 碰撞，碰撞前速度的大小 为 vA′，由动能定理有
21mAvA′2－12mAv2A＝－μmAg(2l＋sB)⑩ 联立③⑧⑩式并代入题给数据得 vA′＝ 7 m/s⑪ 故 A 与 B 将发生碰撞。设碰撞后 A、B 的速度分别为 vA″和 vB″，由动量守 恒定律与机械能守恒定律有 mA(－vA′)＝mAvA″＋mBvB″⑫ 21mAvA′2＝12mAvA″2＋12mBvB″2⑬
2014高考物理二轮专题：弹簧问题
弹簧的特点和规律
4.对于只有一端有关联物体，另一端固定的弹簧， 其运动过程可结合弹簧振子的运动规律去认识， 突出过程的周期性、对称性及特殊点的应用。如 当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物体的速度 最小（为零），弹簧的弹性势能最大，此时，也 是关联物的速度方向发生改变的时刻。若关联物 与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度 最大，弹性势能为零。若关联物与接触面间粗糙， 物体速度最大时弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并 没有恢复原长，弹性势能也不为零。若关联物同 时处在电磁场中，要注重过程分析。
四、弹簧类问题中的图像
〖例7〗 （2010福建理综第17题）如图（甲）所示，质量不计的弹 簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某 一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又 被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装 在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的 图像如图（乙）所示，则 ( )【答案】C。 A．t1时刻小球动能最大 B．t2时刻小球动能最大
的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接， 两侧用细绳固定于墙壁。开始时a、b均静止。弹簧处于伸 长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力Ffa≠0，b所受摩 答案AD 擦力Ffb=0，现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间 （ ） A．Ffa大小不变 B．Ffa方向改变 a b C．Ffb仍然为零 D．Ffb方向向右
[点评] 要注意两物体“刚性接触” 和“弹性接触” 的区别。对于吊篮A和物块B，由于它们是刚性接触， 它们之间的相互作用力可发生突变，因此在轻绳烧断 的瞬间A和B的加速度相等。
二、轻弹簧相关联的物体平衡
〖例3〗S1和S2表示劲度系数分别为k1和k2的两根弹簧，k1＞k2。 a和b表示质量分别为ma和mb的两个物块，ma＞mb，将弹簧与物 块按如图所示方式悬挂起来。现要求两根弹簧的总长度最大， 则应使：（ ） [答案]D A．S1在上，a在上 B．S1在上，b在上 C．S2在上，a在上 D．S2在上，b在上 [解析]上面弹簧弹力是确定的，等于ab两物体的 重力，要使上面的伸长 量大，应使劲度系数小的在上，即S2在上面；要使下面伸长量 大，应让质 量大的物体在下面，即a物体在下面。 [点评]本题是据胡克定律解题的，由F=kx知要使形变量x最大， 则必有F最大或k最小。
动量守恒之弹簧物块连接模型 高三物理一轮复习专题
图3
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
答案(1)3 m/s(2)12 J
解析(1)弹簧压缩至最短时，弹性势能最大，
由动量守恒定律得：(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vA
解得vA＝3 m/s
(2)B、C碰撞过程系统动量守恒
mBv＝(mB＋mC)vC
5（2021湖南卷8，5分）.如图（a），质量分别为mA、mB的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为 。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的 图像如图（b）所示， 表示0到 时间内 的 图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内A、B的 图线与坐标轴所围面积大小。A在 时刻的速度为 。下列说法正确的是（ ）
故vC＝2 m/s
碰后弹簧压缩到最短时弹性势能最大，
故Ep＝ mAv2＋ (mB＋mC)v － (mA＋mB＋mC)v ＝12 J
三.举一反三，巩固练习
1.（2021全国乙卷14，6分）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（ ）
C．小车C先向左运动后向右运动
D．小车C一直向右运动直到静止
答案D
解析A、B两物体和弹簧、小车C组成的系统所受合外力为零，所以系统的动量守恒．在弹簧释放的过程中，因mA∶mB＝1∶2，由摩擦力公式Ff＝μFN＝μmg知，A、B两物体所受的摩擦力大小不等，所以A、B两物体组成的系统合外力不为零，A、B两物体组成的系统动量不守恒，A物体对小车向左的滑动摩擦力小于B对小车向右的滑动摩擦力，在A、B两物体相对小车停止运动之前，小车所受的合外力向右，会向右运动，因滑动摩擦力做负功，则系统的机械能不守恒，最终整个系统将静止，故A、B、C错误，D正确．
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
答案(1)3 m/s(2)12 J
解析(1)弹簧压缩至最短时，弹性势能最大，
由动量守恒定律得：(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vA
解得vA＝3 m/s
(2)B、C碰撞过程系统动量守恒
mBv＝(mB＋mC)vC
5（2021湖南卷8，5分）.如图（a），质量分别为mA、mB的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为 。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的 图像如图（b）所示， 表示0到 时间内 的 图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内A、B的 图线与坐标轴所围面积大小。A在 时刻的速度为 。下列说法正确的是（ ）
故vC＝2 m/s
碰后弹簧压缩到最短时弹性势能最大，
故Ep＝ mAv2＋ (mB＋mC)v － (mA＋mB＋mC)v ＝12 J
三.举一反三，巩固练习
1.（2021全国乙卷14，6分）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（ ）
C．小车C先向左运动后向右运动
D．小车C一直向右运动直到静止
答案D
解析A、B两物体和弹簧、小车C组成的系统所受合外力为零，所以系统的动量守恒．在弹簧释放的过程中，因mA∶mB＝1∶2，由摩擦力公式Ff＝μFN＝μmg知，A、B两物体所受的摩擦力大小不等，所以A、B两物体组成的系统合外力不为零，A、B两物体组成的系统动量不守恒，A物体对小车向左的滑动摩擦力小于B对小车向右的滑动摩擦力，在A、B两物体相对小车停止运动之前，小车所受的合外力向右，会向右运动，因滑动摩擦力做负功，则系统的机械能不守恒，最终整个系统将静止，故A、B、C错误，D正确．
动量小专题7—动量守恒中的临界问题
动量小专题7—动量守恒中的临界问题动量守恒定律是力学中的一个重要规律。
在运用动量守恒定律解题时，常会遇到相互作用的几个物体间的临界问题，求解这类问题要注意分析临界状态，把握相关的临界条件。
现将与动量守恒定律相关的临界问题作一初步的分析和讨论。
一. 涉及弹簧的临界问题对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短（或拉伸到最长）时，弹簧两端的两个物体的速度必相等。
例1.如图（1）所示，在光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物体以6m/s的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方。
A与C碰撞后将粘在一起运动，在以后的运动中，弹簧达到最大弹性势能时，C的速度为多少？图（1）二. 涉及最大高度的临界问题在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。
物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零。
例2.如图（2）所示，质量为M的槽体放在光滑水平面上，内有半径为R的半圆形轨道，其左端紧靠一个固定在地面上的挡板。
质量为m的小球从A点由静止释放。
若槽内光滑，求小球上升的最大高度。
图（2）三. 涉及追碰的临界问题两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度v甲必须大于乙物体的速度v乙，即v甲大于v乙，甲物体刚好追不上乙物体的临界条件是v甲＝v乙。
例3. 甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车的总质量共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为v0=2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相碰，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。
若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于冰面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。
四. 涉及子弹打木块的临界问题子弹打木块是一种常见的模型。
高考物理弹簧类问题的几种模型及其处理方法归纳
弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化，加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂。
其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。
还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。
根据近几年高考的命题特点和知识的考查，笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考。
一、弹簧类命题突破要点1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。
当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态。
2．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。
3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。
同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的负值。
弹性势能的公式，高考不作定量要求，可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。
二、弹簧类问题的几种模型1．平衡类问题例1．如图1所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块拴接，劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。
现施力将m1缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。
在此过程中，m2的重力势能增加了______，m1的重力势能增加了________。
分析：上提m1之前，两物块处于静止的平衡状态，所以有：，，其中，、分别是弹簧k1、k2的压缩量。
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弹簧类机械能守恒动量守恒1.质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，平衡时，弹簧的压缩量为x，如图所示，一物块从钢板正上方距离为3x的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达最高点O点的距离．2.如图所示，在光滑水平面上，质量为m的小球A和质量为m的小球B通过轻弹簧连接并处于静止状态，弹簧处于原长；质量为m的小球C以初速度v0沿AB连线向右匀速运动，并与小球A发生弹性碰撞.在小球B的右侧某位置固定一块弹性挡板(图中未画出)，当弹簧恢复原长时，小球B与挡板发生正碰并立刻将挡板撤走. 不计所有碰撞过程中的机械能损失，弹簧始终处于弹性限度内，小球B与挡板的碰撞时间极短，碰后小球B的速度大小不变，但方向相反。
在小球A 向右运动过程中，求：(1)小球B与挡板碰撞前，弹簧弹性势能最大值；(2)小球B与挡板碰撞时，小球A、B速度分别多大？(3)小球B与挡板碰撞后弹簧弹性势能最大值。
3..(10分)如图所示，三个可视为质点的滑块质量分别为m A=m，m B=2m，m C=3m，放在光滑水平面上，三滑块均在同一直线上．一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，B、C均静止。
现滑块A以速度v0=与滑块B发生碰撞(碰撞时间极短)后粘在一起，并压缩弹簧推动滑块C向前运动，经一段时间，滑块C脱离弹簧，继续在水平面上匀速运动，求：①被压缩弹簧的最大弹性势能②滑块C脱离弹簧后A、B、C三者的速度4.如图所示，质量为m=1kg的滑块A从光滑圆弧h=处由静止开始下滑，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B相连，B静止在水平导轨上，B滑块与A滑块的质量相等，弹簧处在原长状态．滑块从P点进入水平导轨，滑行S=1m后与滑块B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B紧贴在一起运动，但互不粘连．已知最后A恰好返回水平导轨的左端P点并停止．滑块A和B与水平导轨的滑动摩擦因数都为μ=，g=10m/s求：(1)滑块A与滑块B碰撞前的速度(2)滑块A与滑块B碰撞过程的机械能损失(3)运动过程中弹簧最大形变量?x．5.如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，该整体静止放在离地面高为H=5m的光滑水平桌面上．现有一滑块A从光滑曲面上离桌面h=高处由静止开始滑下，与滑块B发生碰撞并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动，经一段时间，滑块C脱离弹簧，继续在水平桌面上匀速运动一段后从桌面边缘飞出．已知m A=1kg，m B=2kg，m C=3kg，g=10m/s2，求：(1)滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度；(2)被压缩弹簧的最大弹性势能；(3)滑块C落地点与桌面边缘的水平距离．6. (II)如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，该整体静置在光滑水平面上．现有一滑块A从光滑曲面上离水平面h高处由静止开始滑下，与滑块B发生碰撞(时间极短)并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动，经过一段时间，滑块C脱离弹簧，继续在水平面上做匀速运动．已知m A=m B=m，m C=2m，求：(1)滑块A与滑块B碰撞时的速度v1大小；(2)滑块A与滑块B碰撞结束瞬间它们的速度v2的大小；(3)滑块C在水平面上匀速运动的速度的大小．7.如图，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。
开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。
现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。
若将C换成另一个质量为(m1+m2)的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少已知重力加速度为g。
8. 如图所示,在一光滑的水平面上有两块相同的木板B和C.重物A（视为质点）位于B的右端,A、B、C的质量相等.现A和B以同一速度滑向静止的C,B与C发生正碰.碰后B和C粘在一起运动，A在C上滑行,A与C有摩擦力.已知A滑到C的右端而未掉下.试问：B、C发生正碰到A刚移动到C右端期间,C所走过的距离是C板长度的多少倍9..（2013高考山东理综第38（2）题）（2）如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为m A=2kg，m B=1kg，m C=2kg。
开始时C静止，A、B一起以v0=5m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。
求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小。
10.如图所示，光滑水平面轨道上有三个木块，A、B、C，质量分别为m B=m c=2m,m A=m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的弹簧 (弹簧与滑块不栓接)。
开始时A、B以共同速度v0运动，C静止。
某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三滑块速度恰好相同。
求B与C碰撞前B的速度。
11.图示为某探究活动小组设计的节能运动系统.斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为36.木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程.下列选项正确的是???? (???? )?＝M＝2MC.木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度小于下滑的加速度D.在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能12.如图所示，平直木板AB倾斜放置，板上的P点距A端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小，先让物块从A由静止开始滑到B．然后，将A着地，抬高B，使木板的倾角与前一过程相同，再让物块从B由静止开始滑到A．上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有( )A.物块经过P点的动能，前一过程较小B.物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少C.物块滑到底端的速度，前一过程较大D.物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较短13.如图所示，A、B两物体与一轻质弹簧相连，静止在地面上，有一小物体C从距物体A 高度为h处由静止释放，当下落至与A相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开，当A 与C运动到最低点后又向上运动，到最高点时物体B对地面刚好无压力．设A、B、C三物体的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，不计空气阻力且弹簧始终处于弹性限度内．已知弹簧的弹性势能由弹簧劲度系数和形变量大小决定，重力加速度为g，求：(1)当A与C运动到最高点时，它们的加速度大小；(2)物体C下落时的高度h．14. 一个质量m=200g的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径R=，弹簧的原长L0=，劲度系数为m，如图所示位置，若小球从图中所示位置B点由静止开始滑动到最低点C时，弹簧的弹性势能E p弹=．求：(1)小球到C点时的速度v C的大小；(2)小球在C点对环的作用力．(g=10m/s2)15.如图所示为某种弹射装置的示意图，光滑的水平导轨MN右端N处与水平传送带理想连接，传送带长度 L=，皮带轮沿顺时针方向转动，带动皮带以恒定速率v=s 匀速传动．三个质量均为m= 的滑块A、B、C置于水平导轨上，开始时滑块B、C之间用细绳相连，其间有一压缩的轻弹簧，处于静止状态．滑块A以初速度v=s 沿B、C连线方向向B运动，A与B碰撞后粘合在一起，碰撞时间极短．连接B、C的细绳受扰动而突然断开，弹簧伸展，从而使C 与A、B分离．滑块C脱离弹簧后以速度v C=s 滑上传送带，并从右端滑出落至地面上的P 点．已知滑块C与传送带之间的动摩擦因数μ=，重力加速度g取10m/s2．求：(1)滑块C从传送带右端滑出时的速度大小；(2)滑块B、C用细绳相连时弹簧的弹性势能E p；(3)若每次实验开始时弹簧的压缩情况相同，要使滑块C总能落至P点，则滑块A与滑块B 碰撞前速度的最大值v m是多少16.如图所示，光滑的水平导轨MN右端N处与水平传送带理想连接，传送带长度L=，皮带以恒定速率v=s向右匀速运动．传送带的右端处平滑连接着一个在竖直平面内、半径为R=的光滑半圆轨道PQ，两个质量均为m=的滑块A、B置于水平导轨MN上，开始时滑块A、B之间用细绳相连，其间有一压缩的轻弹簧，系统处于静止状态．现使细绳断开，弹簧伸展，滑块B脱离弹簧后滑上传送带，从右端滑出并沿半圆轨道运动到最高点Q 后水平飞出，又正好落回N点．已知滑块B与传送带之间的动摩擦因数μ=，取g=10m/s2．求：(1)滑块B到达Q点时速度的大小；(2)滑块B在半圆轨道P处对轨道的压力；(3)压缩的轻弹簧的弹性势能E p．18.如图所示，在足够长的光滑水平轨道上有三个小木块A、B、C，质量分别为m A、m B、m C，且m A=m B=，m C=，其中B与C用一个轻弹簧拴接在一起，开始时整个装置处于静止状态．A和B之间有少许塑胶炸药，A的左边有一个弹性挡板．现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量中有E=转化为A和B的动能，A和B分开后，A恰好在B、C之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B，并且与B发生碰撞后粘在一起．忽略小木块和弹性挡板碰撞过程中的能量损失．求：(1)塑胶炸药爆炸后瞬间A与B的速度各为多大？(2)在A追上B之前弹簧弹性势能的最大值；(3)A与B相碰以后弹簧弹性势能的最大值．19. (2)如图所示，质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上，其右端固定一根水平轻质弹簧，弹簧的自由端C互滑板左端的距离L=，这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数，而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑。
小木块A以速度v0=10m/s由滑板B左端开始沿滑板的水平面上表面向右运动。
已知木块A的质量m=1kg,g取10m/s2。
求：①弹簧被压缩到最短时木块A的速度；②木块A压缩弹簧过程中弹簧弹势能最大值。
20.质量均为m=的两个小物体A和B，静止放在足够长的水平面上，相距L=．它们跟水平面间的动摩擦因数均为μ=，其中A带电荷量为q=3×10-4C的正电荷，与水平面的接触是绝缘的，B不带电．现在水平面附近空间加一水平向右的匀强电场，场强E=103?N/C，A便开始向右运动，并与B发生多次对心碰撞，碰撞过程时间极短，碰撞过程中无机械能损失，A带电量不变，B始终不带电，重力加速度g取10m/s2．求：(1)A与B第1次碰撞后B的速度大小；(2)A与B从第2次碰撞到第3次碰撞过程中B运动的位移；(3)整个运动过程中A、B同水平面摩擦产生热量的总和．21.如图所示，在光滑的水平面上停放着一辆质量M=平板车，在车上左端放有一质量m B=木块B．车左边紧邻一个与平板车等高的光滑水平面，现有另一质量?m A=的木块A，从左侧光滑水平面上以v0=s向右运动，然后与B发生碰撞，设木块A、B碰撞时间很短且为弹性正碰．碰后木块B开始在平板车上滑行，并与固定在平板车上的水平轻质弹簧作用后与弹簧分离，已知木块B把弹簧压缩到最短时距离平板车左侧的距离为L=，重力加速度为g=10m/s2，木块B 与平板车之间的动摩擦因数为μ=．(结果保留两位有效数字)求：(1)木块A、B碰撞后的瞬间木块B速度的大小．(2)弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能．(3)最终木块B与平板车左端的距离．22.质量M=3kg的长木板静止在光滑水平面上，木板左侧放置一质量m=1kg的木块，右侧固定一轻弹簧，处于原长状态，弹簧正下方部分的木板上表面光滑，其他部分的木板上表面粗糙，如图所示现给木块v0=4m/s的初速度，使之向右运动，在木板与木块向右运动过程中，当木板和木块达到共速时，木板恰与墙壁相碰，碰撞过程时间极短，木板速度的方向改变，大小不变，最后木块恰好在木板的左端与木板相对静止。