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特殊与一般思想的概念特殊与一般思想的概念是指人们对待事物的思考方式和看待世界的角度。
特殊思想强调个体和事物的独特性和个性化，注重细节和个别特征，追求个体的独特性和独特体验。
而一般思想则强调整体和普遍性，注重整体和普遍规律，追求普遍性和普遍规律的普适性。
在日常生活和学术研究中，特殊与一般思想是两种不同的思维方式，在各自的领域中各司其职，共同构成了丰富多彩的思维世界。
首先，特殊思想的特点是强调个体与个性化。
在特殊思想中，人们将注意力集中在个体和事物的独特性上，关注每一个细节和个别特征，追求每一个个体的独特性和独特体验。
在生活中，特殊思想的人们更倾向于欣赏每一个人的不同之处，关注每一个事物的特殊之处，培养独特的兴趣爱好和个性化的品味。
在学术研究中，特殊思想的人们更注重个案研究和个体调查，挖掘每一个独特的案例和事实，探索每一个独特的事件和现象。
总之，特殊思想是以个体和个性化为中心的，强调个别特征和独特体验。
其次，一般思想的特点是强调整体与普遍性。
在一般思想中，人们将注意力集中在整体和普遍规律上，关注整体和普遍规律的普适性，追求整体和普遍规律的普适性。
在生活中，一般思想的人们更倾向于追求普遍规律和普遍价值，关注整个群体和普遍情况，培养普适的兴趣爱好和共同的品味。
在学术研究中，一般思想的人们更注重横向对比和纵向比较，挖掘整体规律和普遍规律，探索整体发展和普遍趋势。
总之，一般思想是以整体和普遍性为中心的，强调整体规律和普遍趋势。
特殊与一般思想之间既有区别又有联系。
首先，特殊与一般思想之间的区别在于视角的不同。
特殊思想关注个体和个性化，追求个别特征和独特体验，注重个体差异和个性差异；而一般思想关注整体和普遍规律，追求整体规律和普遍趋势，注重整体共性和普遍普适。
其次，特殊与一般思想之间的联系在于相辅相成。
特殊思想和一般思想相辅相成，互为补充，共同构成了丰富多彩的思维世界。
在生活中，特殊思想和一般思想各有其价值。
特殊思想能够使人们更注重个体和个性化，在人际交往中更加关心他人的感受和需求，增进人际关系的和谐；在学习工作中更加注重个人特长和个性发展，提高工作学习的效率。
特殊化数学思想及其应用研究作者：赵晓花来源：《山东工业技术》2018年第11期摘要：特殊化思想是数学领域的重要思想之一。
运用特殊化思想解决实际的数学问题，完全遵守了从特殊到一般的认知规律，是数学发现最为关键的渠道。
尤其是在运用特殊化思想解答部分数学题目的时候，能够快速的求解出答案。
本文就特殊化数学思想及其应用进行深入地研究。
关键词：特殊化；数学思想；应用价值DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2018.11.1951 特殊化数学思想简介特殊化思想是一种非常关键的数学思想，其同时还是辩证的认知规律的重要体现。
历史中部分重要额科学发现往往是由一些特殊的案例所引起的。
华罗庚曾经指出：善于“退”，直至“退”到最初而不缺乏重要性的区域，是数学学习的重要秘诀。
波利亚曾经说过：特殊化是以考虑某一限定的目标集合转向考虑此集合相对偏小的子集，又或是仅仅是一个目标对象。
希尔伯曾指出：在对数学问题进行分析的时候，我坚信特殊化与一般化相比有着更加重要的作用。
我们之所以不能成功的寻找到某一个答案，便在于如此事实，虽然有部分比手头的问题更加容易、更为简单的问题并未全面解决。
寻找到相对容易的问题，同时以尽量完美的方式与能够存在的概念以处理它们，是科学探究的一般规律。
以上均表明了特殊化思想具有非常重要的作用。
将问题特殊化，往往在解决问题中起到出其不意的效果。
2 特殊化的准则与策略运用特殊化思想的解决数学问题，往往需要遵守下述准则：（1）合理性准则。
所选择的特殊值需要满足题设的所有条件，将集合I特殊化成集合A 的时候，需要符合，同时。
（2）最简性准则。
在正常状况下，特殊化集合A是一种单元素集，选择的特殊元素可以使得推理又或是运算更加的简单。
（3）功能性准则。
也就是所选择的特殊值具备对于备选答案的选取功能，应用所选择的选特殊元素可以快速进行正确的选择。
3 特殊化数学思想的应用以下简单分析特殊化思想在一些具体环境中的运用：3.1 运用特殊化思想解答选择题部分选择题以普通的思路很难解决又或是计算复杂，如果运用特殊化思想进行解决便极为便利。
用,调动学生的主动性和积极性,使数学教学成为数学活动过程的教学,激发学生学习数学的兴趣.本节课从特殊直角三角形中边角关系入手,提出猜想,再让学生通过数学实验验证,深入探究,归纳总结实验结果,完善猜想,得出定理.然后,由易到难,由直观到抽象,通过化难为易,化陌生为熟悉,使学生掌握正弦定理的证明方法.最后,结合正弦定理解决实际问题,感知正弦定理的价值.解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧中学教研・中学教研・特殊化解题思想的功能分析●徐元根 (浙江师范大学数理与信息工程学院 321004)中学教研・中学教研・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧・・解题方法与技巧 特殊化思想是一种重要的数学解题思想,其在数学解题中的作用历来受到数学解题研究者及数学教学工作者的高度重视.有许多文章探讨了特殊化思想在数学解题中的重要意义,但目前对特殊化解题思想的功能、类型、实现方式等较细微、深入的研究还比较缺乏.本文仅就特殊化解题思想的功能作一简要分析,并举例加以说明.1 特殊情形的分析直接揭示了原命题的解题思路通过减少变量个数、降低维数等方式将一般问题化为特殊问题加以考察,在特殊情形下获得了命题的解决方法后,再将这种方法直接进行移植用来解决原命题.也就是特殊情形的分析直接揭示了原命题的解题思路,这是特殊化解题思想的主要功能之一.例1 设n(n≥3)为整数,t1,t2,…,t n为正实数,且满足n2+1>(t1+t2+…+t n)1t1+1t2+…+1t n.(2004年第45届I M O第4题)证明:对满足1≤i<j<k≤n的所有整数i,j,k,正实数ti,t j,t k总能构成三角形的三边长.分析 进行特殊化处理,考察n=3的情形.原命题简化为:当10>(t1+t2+t3)1t1+1t2+1t3时,正实数t1,t2,t3必能构成三角形的三边长.由命题的特点易想到使用反证法.假设t1,t2,t3不能构成三角形的三边长,不妨设t1+t2≤t3,我们试图说明由上述不等式必然引出矛盾.实际上10>(t1+t2+t3)1t1+1t2+1t3=3+t1t2+t2t1+t1t3+t3t1+t2t3+t3t2≥5+t1+t2t3+1t1+1t2t3≥5+t1+t2t3+4t3t1+t2=5+x+4x,其中x=t1+t2t3∈(0,1],又易知函数y=5+x+4x在区间(0,1]上是减函数,于是得10>5+x+4x≥5+1+4=10,得出矛盾.上述方法可直接应用于一般情形下的原命题.实际上,假设存在正实际ti,tj,tk不能构成三角形的三边长,不妨设ti+tj≤tk.将条件中不等式的右边展开,除了t it k+t kt i和t jt k+t kt j这两对倒数和式外,其余C2n-2对倒数和均使用平均值不等式得t pt q+t qt p≥2,于是仿照n=3时的推理易得n2+1>(t1+t2+…+t n)1t1+1t2+…+1tn≥n+(C2n-2)・2+t i+t jt k+1ti+1tjt k≥n2-4+t i+t jt k+4tkt i+t j≥n2+1,得出矛盾.2 特殊情形的分析形成明确方向的猜想结论有时,命题的结论因不够明确而使解题无从下手,这时可通过对特殊情形的分析得到有关的猜想,使结论明确化,然后加以证明.这是特殊化解题思想・7・2006年第12期 中学教研(数学)的主要功能之二.例2 课间休息时,n(n≥2)个学生围着老师坐成一圈做游戏,老师按逆时针方向并按下列规则给学生发糖:先选择一个学生并给一块糖,隔1个学生给下一个学生一块,再隔2个学生给下一个学生一块,再隔3个学生给下一个学生一块,……如此继续下去.试确定n的值,使最后(也许绕许多圈)所有学生每人至少有一块糖.(1991年亚太地区赛题)分析 问题等价于确定正整数n,使同余式1+2+3+…+x≡a(mod n)(1)对a=0,1,2,…,n-1均有解(实际上等价于对任意整数a均有解).取n的特殊值进行尝试,考察1+2+3+…+x 对模n的余数能否取遍模n的一个完全剩余系.当n=2时,1≡1(mod2),1+2≡1(mod2),1+ 2+3≡0(mod2),所以n=2满足要求.当n=3时,1≡1(mod3),1+2≡0(mod3),1+ 2+3≡0(mod3),容易看出当自然数x增大时,1+ 2+3+…+x对模3的余数是以1,0,0为一个周期的周期数列,所以n=3不满足要求.当n=4时,1≡1(mod4),1+2≡3(mod4),1+ 2+3≡2(mod4),1+2+3+4≡2(mod4),1+2+3+ 4+5≡3(mod4),1+2+3+4+5+6≡1(mod4),1+ 2+3+4+5+6+7≡0(mod4),至此可看出1+2+ 3+…+x对模4的余数取遍一个完全剩余系0,1, 2,3,所以n=4满足要求.当n=5时,1≡1(mod5),1+2≡3(mod5),1+ 2+3≡1(mod5),1+2+3+4≡0(mod5),1+2+3+ 4+5≡0(mod5),接下去的余数必然又是循环出现,所以n=5不满足要求.类似地可得n=6,7,9,10不满足要求,而n=8满足要求.于是猜想当且仅当n为2的方幂,即n=2k(k∈N+)时,n个学生每人都能发到糖.接下来的问题是:如何证明这一猜想成立呢?重新考察特殊情形的分析过程,不难发现n=3, 5,7时,1+2+3+…+x对模n的余数是一个十分简单的循环.于是可得如下的一个辅助猜想.猜想 当n为奇质数p时,必存在整数a使(1)式无解.下面证明这一辅助猜想成立.考虑1+2+3+…+x的前p个取值1,1+2,1+2+3,…,1+2+…+(p-1),1+ 2+3…+(p-1)+p,(2)由于p是奇质数,可得1+2+…+(p-1)+p=p(p+1)2≡0(mod p),所以1+2+…+(p-1)≡1+2+…+(p-1)+p≡0(mod p).所以(2)式中的p个数对模p的余数最多只有p-1个不同的值,且1+2+3+…+x对模p的余数均是上述余数的循环,故必存在整数a使(1)式无解.又当n含有奇质因数p时,如果同余式(1)对任一整数a均有解,则同余式1+2+3+…+x≡a(mod p),也必对任一整数a均有解,而由辅助猜想知这是不可能的.故而,当n含有奇质因数p时,同余式(1)必存在无解的情况.因此,为使同余式(1)对任一整数a均有解,n只可能是2的方幂.下面需要证明当n=2k(k∈N+)时,同余式(1)确实对任一整数a均有解.为此只须构造2k个两两对模2k不同余的整数,使1+2+3+ (x)x(x+1)2能通过其中的每一个整数.实际上,如下的2k个整数便符合要求(证明略).0×12,1×22,2×32,…,(2k-1)・2k2.3 特殊情形的分析给出了更具有可操作性的等价命题与上节所述情形相似,原命题的结论因过于抽象、笼统等而让人感到难以着手,这时仍进行特殊化,但不是通过特殊情形的分析获得猜想结论,而是通过特殊情形的分析将原结论改造成一个更便于证明的等价结论.这是特殊化解题思想的主要功能之三.例3 在平面上给定一直线、半径为n厘米(n 是正整数)的圆以及该圆内的4n条长为1厘米的线段.试证在给定的圆内可以作一条和给定直线平行图1或垂直的弦,它至少与两条给定的线段相交.(1968年匈牙利赛题)分析 取n=1,作一个半径为1的圆,在圆内作4条长・8・中学教研(数学) 2006年第12期度为1的线段,再作一条与已知直线l垂直的直线l′.现从结论入手,设弦AB平行于直线l并与两条线段相交,则交点在l′上的投影重合.反之,如果4条线段中的某两条在l或l′上的投影有重合点,则从重合点出发作相应直线(l或l′)的垂线便得能与两条给定线段相交且与给定直线l平行或垂直的弦.上述结论显然适合于一般情形,于是我们得到了原命题的一个等价命题:满足条件的4n条线段中至少存在两条线段,它们在l或l′上的投影有重合点.但是这个等价命题该如何证明呢?为此再分析当n=1时的特殊情形,我们怎样才能肯定圆内的4条线段在l或l′上的投影必有重合点呢?设4条线段在l上的投影线段长分别为a1,a2, a3,a4;在l′上的投影线段长相应地为b1,b2,b3,b4.显然这些投影线段均分布在平行于l或l′的直径在l 或l′上的投影线段上.由于给定圆的直径为2,假如这些投影线段中的任何两条都没有重合点,则应有a1+a2+a3+a4<2,且b1+b2+b3+b4<2.如果我们能证明a1+a2+a3+a4+b1+b2+b3 +b4≥4,那么就可说明这些投影线段中至少有两条存在重合点.而这一结论由ai +bi=(ai+bi)2≥a2i+b2i=1(1为给定线段长度,i=1,2,3,4)不难证得.上述结论显然也适合于一般情形,于是我们进一步得到了原命题的一个等价命题:若满足题设条件的4n条线段中第i条线段在l和l′上的投影线段长分别为ai 和bi,则∑4ni=1ai+∑4ni=1bi≥4n. 由上面的分析,该结论不难获得证明.4 特殊情形的分析提供了较为熟悉的关联命题特殊情形的分析提供了较为熟悉的关联命题,从而为原命题提供了可供借鉴的解题思路,这是特殊化解题思想的主要功能之四.例4 从△ABC的内心I出发分别作三边BC, CA和AB的垂线,并在这3条垂线上分别取点D,E 和F,使得I D=IE=IF.求证:AD,B E,CF三直线相交于一点.分析 考察特殊情形,设D,E和F恰在相应的三条边上,这时D,E,F为△ABC的内切圆与三边相切的切点,于是原命题成了一个我们较为熟悉而又相对简单的命题.事实上,由切线性质易得BD=B F,CD=CE, A E=A F,于是BDDC・CEEA・A FFB=1,又AD,B E,CF显然不平行,故由塞瓦定理知,它们交于一点.图2图3推广到一般情形后,上述证明能起借鉴作用吗?若设AD交BC于P,B E交CA于Q,CF交AB于R,能证明B PPC・CQQA・AQRB=1吗?事实上,能证明上述等式成立.下面是一个简略的证明.证明 设I D交BC于L,IE交CA于M,IF交AB 于N,由BL=BN,LD=N F知R t△BLD≌R t△BN F,于是BD=B F.同理有CD=CE,A E=A F. B PPC・CQQA・ARRB=S△ABDS△ACD・S△B CES△BA E・S△CA FS△CB F=AB・BD・sin∠ABDAC・CD・sin∠ACD・BC・CE・sin∠BCEBA・A E・sin∠BA E ・CA・A F・sin∠CA FCB・B F・sin∠CB F=sin∠ABD・sin∠BCE・sin∠CA Fsin∠ACD・sin∠BA E・sin∠CB F,又由R t△BLD≌R t△BN F,知∠DBL=∠FBN,于是得∠ABD=∠CB F,因而有sin∠ABD=sin∠CB F.同理可得sin∠BCE=sin∠ACD,sin∠CA F=sin∠BA E.由此便得B PPC・CQQA・ARRB=1.参 考 文 献1 罗增儒.数学竞赛导论[M].西安:陕西师范大学出版社,2001.2 陈传理,张同君主编.竞赛数学教程[M].北京:高等教育出版社,2005.・9・2006年第12期 中学教研(数学)。
第五讲 特殊与一般的思想1、由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一. 数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程就是数学研究中特殊与一般的思想.2、由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置. 在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，突出体现了特殊化方法的意义与作用. 如通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题等等. 一、取特殊数值例1、若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈有()()()12121f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是（ ）A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数例2、若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12例3、已知)(x f 对一切实数y x ,都有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，)(x f ＜0（1）证明)(x f 为奇函数且是R 上的减函数；（2）若关于x 的不等式22[cos ()][sin ()]()66f x f x f m ππ+-+<对一切0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围；（3）如果(1)1f =-，()n a f n =-，记数列{}1n n a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和的前n 项和分别为T n n S 和，求证2n nn S T > (1)n >二、取特殊函数例4、定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)1f =，则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9例5、如果函数y ＝sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =8π-。
高中数学六大思想之五：特殊与一般1．什么是特殊化思想：对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想：当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.特殊与一般的思想方法主要表现在如下几方面:1.特殊问题一般化：在解决数学问题的过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围去思考比它更一般的问题，有时一般的问题比特殊的问题更易于解决或解决了一般的问题就得到了许多类似问题的结果.因此只要解决了一般性的问题，特殊性的问题也就迎刃而解了.esp1：求证：sin70°+sin10°>sin100°>sin70°-sin10°. 【分析】此题按照一般解法去做，要分别证明两个不等式.经观察发现，此题中涉及的三个角之和恰为１８０°，这提醒我们将问题放到三角形中研究，所证问题转化为：sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.而三角形中最常用的不等关系就是“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，实现边角关系相互转化的常用工具是“正弦定理”和“余弦定理”.解：在△ＡＢＣ中，设∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别是a、b、c，则得a+b>c>a-b.由正弦定理得=k，故ksinＡ＋ksinB>ksinC>ksinA-ksinB，所以sinA+sinB>sinC>sinA-sinB.特殊地：将Ａ＝７０°、Ｂ＝１０°、Ｃ＝１００°代入上面的不等式即得所求证的结论2. 一般问题特殊化：esp2: 如图１，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知面ＡＢＣＤ是边长３的正方形，ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ与面ＡＣ的距离为２，则该多面体的体积可能为（）.解：本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割.连ＥＢ、ＥＣ，得四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ和三棱锥Ｅ－ＢＣＦ，这当中，四棱锥Ｅ－ＡＢＣＤ的体积易求＝×３×３×２＝６，又因为一个几何体积的体积应大于它的部分体积，所得ＶＥ－ＡＢＣＤ以不必计算三棱锥Ｅ－ＢＣＦ的体积，就可以排除Ａ，Ｂ，Ｃ，故选Ｄ.３. 特殊问题特殊化：对具体的问题，给出另一种解释，其目的是为了使问题中的对象进入某一领域，以便利用此领域的知识及方法来解决给定的问题.esp3: 求函数的最大值与最小值.一般解法：∵对一切x∈R，２－sinx≠0都成立，∴函数的定义域为Ｒ.由∵函数的定义域为Ｒ，∴函数的最大值与最小值分别为：，-；特殊解法：把函数值看成由点Ａ（２，０）和点Ｐ（sinx，-cosx）构成直线的斜率（如图），由图易求函数的最大值与最小值分别为，－.4.取特殊数值：esp4：（2008重庆卷,理6）若定义在上的函数满足：对任意有,则下列说法一定正确的是（）(A) 为奇函数（B）为偶函数(C)为奇函数（D）为偶函数分析：判断函数的奇偶性需要用定义，即找与之间的关系，由于所以需要先求出的值，这时需要取特殊值解答。
、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例1】设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为 （Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算.方法一 常规方法如图2-18,因为1PA QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的两个梯形，从而11B APQC B PA C Q V V --=.又1111133B A B C V V V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PA C Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQC V V -=. 方法二 特殊化的方法. 仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1PA QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10PA QC =→，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.A B C A 1B 1C 1P Q【例2】已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -= （Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法. 方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把,a b 看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由()f a b =，得1lg 1a b a-=+.又1()lg1a f a a+-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1a a +-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1a a-+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a a a a a -+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗？()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x x f x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-.方法三 特殊化方法考虑到是选择题，,a b 是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令12a =，则11112()lg lg lg312312fb -===-=+，那么1112()lg lg31212f b +-===--.比较四个选项后，便可得出，只有（Ｂ）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数()f x 是奇函数，无论其解析式是否为1lg 1a a-+，都有()()f a f a b -=-=-.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特殊 —— 一般 —— 特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中含有字母已知数，而方法三中则是将字母具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现出的恰是由一般到特殊的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究.不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的一般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般 —— 特殊 —— 一般的研究过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.二、特殊与一般的思想应用举例【例3】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）21 分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了一个条件，因此不能确定这个等差数列，也就不能求出它的各项，自然也就求不出95,S S 的值.可以另辟蹊径，构造一个符合条件的特殊数列解此问题.解：由已知条件9535=a a ，令9,535==a a ，得公差23595-=--=d ， 13)2(291=-⨯-=a ，求出45,4595==S S ，所以159=S S ，选（A ）. 评析：符合条件的等差数列有无穷多个，虽然95,S S 的值不确定，但是由选择项可知，59S S 的值是确定的，即不因95,S S 的变化而变化，因此可以通过构造符合条件的特殊数列得出结果，也就是一般性结果，体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想.【例4】定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5（提示：取()sin f x x =）【例5】在△OAB 中，O 为坐标原点，),1,(sin ),cos ,1(θθB A ]2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最大值时，=θ（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π 分析：由已知，1sin 0,1cos 0≤<<≤θθ， 可以把△OAB 放在平面直角坐标系中边长为1的 一个正方形的内部（如图），即构造一个特殊的正 方形，使它与△OAB 之间建立关于面积大小的一种关系，在此思路下寻求题目中所求的θ值.解：在正方形ODEC 中，得)1,1(),0,1(),1,0(E D C ，所以AEB ODA OBC OAB S S S S ∆∆∆∆---=1)cos 1)(sin 1(21cos 21sin 211θθθθ-----= θ2sin 4121-=， 由]2,0(πθ∈可知， 当θ2sin 取最小值0时，OAB S ∆取最大值21，此时2πθ=，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造，即通过条件，把△OAB 放在一个正方形的内部，在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解.【例6】若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3sin πx x > （提示：取4x π=，可排除A 、D ；取6x π=，可排除C ） 【例7】已知⎩⎨⎧+-=,log ,4)13()(x a x a x f a .1,1≥<x x 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）)1,0( （B ）)31,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[分析：已知函数)(x f 是一个分段函数，从形的方面看，)(x f 的图象由一条直线的一部分和对数曲线的一部分组成，由条件，图象从左到右应呈下降趋势，若采用由特殊到一般的思想求解，可以对a 赋特殊值，并检验是否符合题意. 解：取31=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=,log ,34)(31x x f .1,1≥<x x 如图，显然，)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（A ），（D ）； 再取91=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=,log ,9432)(91x x x f .1,1≥<x x 如图， 0)1()32(==f f ，即)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（B ），综上，选（C ）. 评析：求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解，根据选择项对参数赋予适当的特殊值，再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值，通常要结合参数所在的数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑，这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之有效的.【例8】在数列{}n a 中，2,121==a a ，且n n n a a )1(12-+=-+，*)(N n ∈，则=100S _____________.分析：可以考虑先求n S 或n S 2，再求100S ，这里采用先求n S 2的方法.解：由n n n a a )1(12-+=-+，得111)1(1--+-+=-n n n a a )2(≥n ，两式相加得2)()(121=+-+-++n n n n a a a a )2(≥n ，而2,121==a a ，得)()()(21243212n n n a a a a a a S ++++++=-)2(2)]12(3[)12(53+=++=++++=n n n n n ， 所以，26005250100=⨯=S . 评析：本题的解法采用的是一般化的思想，即把待求的100S 这一特殊值放在一般的n S 2中加以研究，正是因为一般性中蕴涵着特殊性，能使我们从该数列的本质特征入手，“先进后退”的解决了问题.【例9】．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 11…… ………………………………………【例10】若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥（提示：取1a =±）【例11】两个相同的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体图（2）内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个分析：由已知，图（1）所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定，根据该底面与正方体的位置关系，可考虑用一个特殊的平面衬托该底面，以此分析它与正方体的面的关系及该底面的面积情况.解：把图（1）所示的几何体放入棱长为1的正方体图（2）内，沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，截面如图（3）所示，由平面几何知识可知，一个正方形有无穷多个边长各不相等的内接小正方形，设其面积为S ，则图（1）所示的几何体体积等于S 31，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置，即特殊的截面，使正四棱锥的底面和正方体的面可以依托在此截面内，从而将空间问题转化为易于研究的平面问题，这里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.【例12】在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数 Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数图（3）图（2）图（1）Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数 Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数 【分析及解】由条件知()f x 是以2为周期的周期函数，取()cos f x x π=，求单调区间. 令22k x k ππππ-≤≤，解得增函数区间为[]21,2k k -，取2k =，得增区间[34]，； 令22k x k ππππ≤≤+，解得减函数区间为[]2,21k k +，取1k =-，得减区间[21]--，； 从而选C.【例13】（07上海）．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111lim 111p q n n n ∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭→（ ）A ．0B ．1C ．p qD ．11p q -- 【分析及解】取1,2p q ==，得22111111111lim lim lim lim 21121121111pq n n n n n n n n n n n n ∞∞∞∞⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→→→ 从而选C.【例14】（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、… 堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f __________ ；=)(n f __________（答案用n 表示）.…分析：通过观察与计算，得出 )4(),3(),2(),1(f f f f ，然后归纳探求其内在的变化规律，猜想出结论的一般形式，并给出证明.解：1)1(=f ，654310)2(6)3(,64324)1(3)2(⨯⨯==+=⨯⨯==+=f f f f ， 665420)3(10)4(⨯⨯==+=f f ，下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的个数之和，而各堆第一层球的个数分别是 ,10,6,3,1，2)1(+n n ，于是可得676535)4(265)5(⨯⨯==+⨯=f f ，… ，)1(2)1()(-++=n f n n n f ， 猜想：6)2)(1()(++=n n n n f ，此命题可用数学归纳法证明（略）. 评析：归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般结论的思维方法，本题的核心就是由特殊的)4(),3(),2(),1(f f f f 得到一般的6)2)(1()(++=n n n n f ，其主要意义是它的猜测发现，其重要作用是启发解决问题的思路.【例15】（2006年浙江卷）如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________________.分析：为了解决此问题，可考虑平面几何中与此类同的问题：求边长为1的正三角形上的所有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题的思路.解：在上述平面几何问题中，让正三角形绕其一个顶点旋转，如图，当正三角形的一条边平行于直线a 时，在直线a 上的射影为正三角形的边，是最大射影长为1；当正三角形的一条边垂直于直线a 时（图中b a ⊥），在直线a 上的射影为正三角形的高，是 最小射影长为23（证明略），得射影的取值范围是]1,23[. 有了平面几何问题的结论和已知棱AB ∥平面α，可类比得到立体几何问题的结论：当正四面体ABCD 的棱CD ∥α时，可得正四面体在α内的射影最大面积，是对角线长为1（正四面体的棱长）的正方形的面积等于21，当α⊥CD 时，可得正四面体在α内的射影最小面积，是底边长为1（正四面体的棱长）且对应高为22（对棱CD AB ,间的距离）的三角形的面积等于42，由此可得所求射影图形面积的取值范围是]21,42[（射影图及证明略）.α D C B A评析：本题的解法采用了由特殊（平面）到一般（空间）的类比方法，关键是从联想的角度先考虑平面几何中的类似问题（相对容易一些），从中挖掘出立体几何中相关问题的突破点，也为充分发挥空间想象能力提供重要线索.四、复习建议1．明确特殊化思想的特点特殊情形相对一般情形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的解答，而且普遍性存在于特殊性之中，一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一.2．明确一般化思想的特点从一般性问题入手，可以使我们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系.因此，从一般到特殊，是人们认识事物的另一个重要侧面，它与从特殊到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面.3．注意与其他数学思想方法的联合运用在同一道题中，有时需要运用多种数学思想方法，因此复习时要全面复习高中阶段的重要数学思想方法，不能重此轻彼，复习时要注意这一点.4．能适时正确的选用要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件，如特殊化处理的可行性，有时虽然能用特殊化思想解答，但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中，由于需要写出解答过程，因此对于一般性的结论，要防止用特殊代替一般的解答等.。
特殊与一般学案人们对一类新事物的认识往往是从这类事物中的个体开始的.通过对某些个例的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，由实践到理论，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识过程.但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程.于是这种由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过程，就是数学研究中的特殊与一般的思想.在教学过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来，证明后，又使用它们来解决相关的数学问题，在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想方法的集中体现，既然它是教学中经常使用的数学思想方法，那么也必然成为高考考查的重点.在高考中，会有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题.我们曾设计过利用一般归纳法进行猜想的试题;还着重体现选择题的特点，考查特殊与一般的思想方法，突出体现特殊化方法的意义与作用.通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问题、运动变化的问题、不确定的问题，等等.随着新教材的全面实施，高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般的思想必然成为今后命题改革的方向.特殊与一般的思想一、特殊与一般的思想和其它方法对比解析1．什么是特殊化思想对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.2．什么是一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想.【例1】（０５）设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为 （Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V 【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算. 方法一 常规方法 如图2-18,因为1PA QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的ABC A 1B 1C 1PQ两个梯形，从而11B APQC B PA C Q V V --=.又1111133B A B C V V V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PAC Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQC V V -=.方法二 特殊化的方法.仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1PA QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10PA QC =→，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方法来解决一般的问题.【例2】（04）已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -= （Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法.方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数.如果把,a b 看成是两个用字母表示的数，则它们也是确定的，已知的.于是由()f a b =，得1lg1a b a -=+.又1()lg 1a f a a+-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1a a +-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1a a-+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a a a a a -+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗？()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x x f x f x x x x x-+-++-=+=⋅==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-.方法三 特殊化方法考虑到是选择题，,a b 是用字母表示的数，那么不妨取特殊值来进行研究.令12a =，则11112()lg lg lg312312fb -===-=+，那么1112()lg lg31212f b +-===--.比较四个选项后，便可得出，只有（Ｂ）成立.对于这样一个求函数值的常规问题，其解法中蕴涵着特殊与一般的思维方法.如果将方法一与方法二相比较，方法一是对具体函数、具体函数值的研究，可以认为是对特殊问题的特殊研究.而方法二则是研究这个具体函数的一个一般性质，只要函数()f x 是奇函数，无论其解析式是否为1lg 1a a -+，都有()()f a f a b -=-=-.这种研究问题的方法体现出的恰是由特殊到一般的思维方法.由特殊函数，研究它的一个性质，再由一般函数的性质，得出一般的结论.不过最终还要回到这个特殊函数上来，得出所求结果，又由一般回到了特殊.这种特殊 —— 一般 —— 特殊的研究过程是特殊与一般思想方法的一种思维模式.如果将方法一与方法三相比较，由于方法一中含有字母已知数，而方法三中则是将字母具体化、特殊化，研究它的一咱特殊情况.这种研究问题的方法体现出的恰是由一般到特殊的思维方法.将用字母表示的一般函数值的研究，转化为某个特殊数值的特殊函数值的研究.不过最终还要回到一般上来，利用“特殊情况下命题不成立，那么在含有这个特殊情况的一般情况下这个命题必定不成立”得出一般结论.这种一般 —— 特殊 —— 一般的研究过程是特殊与一般思想方法的又一种思维模式.可以认为，本例是体现特殊与一般思想方法的一个典型范例.二、特殊与一般的思想应用举例【例3】 （04福建）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）21 分析：确定一个等差数列需要两个独立条件，而题设中只给出了一个条件，因此不能确定这个等差数列，也就不能求出它的各项，自然也就求不出95,S S 的值.可以另辟蹊径，构造一个符合条件的特殊数列解此问题.解：由已知条件9535=a a ，令9,535==a a ，得公差23595-=--=d ， 13)2(291=-⨯-=a ，求出45,4595==S S ，所以159=S S ，选（A ）. 评析：符合条件的等差数列有无穷多个，虽然95,S S 的值不确定，但是由选择项可知，59S S 的值是确定的，即不因95,S S 的变化而变化，因此可以通过构造符合条件的特殊数列得出结果，也就是一般性结果，体现了由特殊到一般的“先退后进”的数学思想.【例4】（07安徽）．定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[]T T -，上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．5（提示：取()sin f x x =）【例5】（05江西）在△OAB 中，O 为坐标原点，),1,(sin ),cos ,1(θθB A ]2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最大值时，=θ（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π 分析：由已知，1sin 0,1cos 0≤<<≤θθ， 可以把△OAB 放在平面直角坐标系中边长为1的 一个正方形的内部（如图），即构造一个特殊的正 方形，使它与△OAB 之间建立关于面积大小的一种关系，在此思路下寻求题目中所求的θ值.解：在正方形ODEC 中，得)1,1(),0,1(),1,0(E D C ，所以AEB O D A O BC O AB S S S S ∆∆∆∆---=1)cos 1)(sin 1(21cos 21sin 211θθθθ-----= θ2sin 4121-=， 由]2,0(πθ∈可知， 当θ2sin 取最小值0时，OAB S ∆取最大值21，此时2πθ=，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现了特殊情境的构造，即通过条件，把△OAB 放在一个正方形的内部，在新的特殊情境之中发现解题思路并求出问题的解.【例6】(07江西)．若π02x <<，则下列命题正确的是（ ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3sin πx x > （提示：取4x π=，可排除A 、D ；取6x π=，可排除C ） 【例7】（06北京）已知⎩⎨⎧+-=,log ,4)13()(x a x a x f a .1,1≥<x x 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是（A ）)1,0( （B ）)31,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[分析：已知函数)(x f 是一个分段函数，从形的方面看，)(x f 的图象由一条直线的一部分和对数曲线的一部分组成，由条件，图象从左到右应呈下降趋势，若采用由特殊到一般的思想求解，可以对a 赋特殊值，并检验是否符合题意. 解：取31=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=,log ,34)(31x x f .1,1≥<x x 如图， 显然，)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（A ），（D ）； 再取91=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=,log ,9432)(91x x x f .1,1≥<x x 如图， 0)1()32(==f f ，即)(x f 在),(+∞-∞上不是减函数，可排除选项（B ），综上，选（C ）. 评析：求参数取值范围的选择题一般可考虑用特殊值方法求解，根据选择项对参数赋予适当的特殊值，再根据题设条件进行检验.究竟对参数赋予哪些特殊值，通常要结合参数所在的数学式中的位置及相应的数学概念等来考虑，这种特殊化的思想在解此类问题时往往是行之有效的.【例8】（2005年天津卷）在数列{}n a 中，2,121==a a ，且n n n a a )1(12-+=-+，*)(N n ∈，则=100S _____________.分析：可以考虑先求n S 或n S 2，再求100S ，这里采用先求n S 2的方法.解：由n n n a a )1(12-+=-+，得111)1(1--+-+=-n n n a a )2(≥n ，两式相加得2)()(121=+-+-++n n n n a a a a )2(≥n ，而2,121==a a ，得)()()(21243212n n n a a a a a a S ++++++=-)2(2)]12(3[)12(53+=++=++++=n n n n n ， 所以，26005250100=⨯=S . 评析：本题的解法采用的是一般化的思想，即把待求的100S 这一特殊值放在一般的n S 2中加以研究，正是因为一般性中蕴涵着特殊性，能使我们从该数列的本质特征入手，“先进后退”的解决了问题.【例9】（07湖南）．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………【例10】（07安徽）．若对任意x ∈R ，不等式x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．1a ≤C ．1a <D ．1a ≥（提示：取1a =±）【例11】（2006年江苏卷）两个相同的正四棱锥组成如图（1）所示的几何体，可放入棱长为1的正方体图（2）内，使正四棱锥的底面与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个分析：由已知，图（1）所示的几何体体积由正四棱锥的底面正方形的面积决定，根据该底面与正方体的位置关系，可考虑用一个特殊的平面衬托该底面，以此分析它与正方体的面的关系及该底面的面积情况.解：把图（1）所示的几何体放入棱长为1的正方体图（2）内，沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，截面如图（3）所示，由平面几何知识可知，一个正方形有无穷多个边长各不相等的内接小正方形，设其面积为S ，则图（1）所示的几何体体积等于S 31，选（D ）. 评析：本题解法的特殊化思想体现在选取一个特殊的位置，即特殊的截面，使正四棱锥的底面和正方体的面可以依托在此截面内，从而将空间问题转化为易于研究的平面问题，这里的特殊化起到了寻找转化途径的作用.【例12】（07天津）．在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()(2)f x f x =-，若()f x 在区间[12]，上是减函数，则()f x （ ）图（3）图（2）图（1）Ａ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是增函数Ｂ．在区间[21]--，上是增函数，在区间[34]，上是减函数Ｃ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是增函数Ｄ．在区间[21]--，上是减函数，在区间[34]，上是减函数【分析及解】由条件知()f x 是以2为周期的周期函数，取()cos f x x π=，求单调区间.令22k x k ππππ-≤≤，解得增函数区间为[]21,2k k -，取2k =，得增区间[34]，；令22k x k ππππ≤≤+，解得减函数区间为[]2,21k k +，取1k =-，得减区间[21]--，； 从而选C.【例13】（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f__________ ；=)(n f __________（答案用n 表示）.…分析：通过观察与计算，得出 )4(),3(),2(),1(f f f f ，然后归纳探求其内在的变化规律，猜想出结论的一般形式，并给出证明.解：1)1(=f ，654310)2(6)3(,64324)1(3)2(⨯⨯==+=⨯⨯==+=f f f f ， 665420)3(10)4(⨯⨯==+=f f ，下一堆球的个数等于其第一层球的个数与上一堆球的个数之和，而各堆第一层球的个数分别是 ,10,6,3,1，2)1(+n n ，于是可得676535)4(265)5(⨯⨯==+⨯=f f ，… ，)1(2)1()(-++=n f n n n f ， 猜想：6)2)(1()(++=n n n n f ，此命题可用数学归纳法证明（略）. 评析：归纳是通过对某类事物中的若干特殊情形分析得出一般结论的思维方法，本题的核心就是由特殊的)4(),3(),2(),1(f f f f 得到一般的6)2)(1()(++=n n n n f ，其主要意义是它的猜测发现，其重要作用是启发解决问题的思路.【例14】（2006年浙江卷）如图，正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________________.分析：为了解决此问题，可考虑平面几何中与此类同的问题：求边长为1的正三角形上的所有点在一条直线上的射影构成的线段长的取值范围.从解决平面问题的方法中得到解决立体问题的思路.解：在上述平面几何问题中，让正三角形绕其一个顶点旋转，如图，当正三角形的一条边平行于直线a 时，在直线a 上的射影为正三角形的边，是最大射影长为1；当正三角形的一条边垂直于直线a 时（图中b a ⊥），在直线a 上的射影为正三角形的高，是 最小射影长为23（证明略），得射影的取值范围是]1,23[. 有了平面几何问题的结论和已知棱AB ∥平面α，可类比得到立体几何问题的结论：当正四面体ABCD 的棱CD ∥α时，可得正四面体在α内的射影最大面积，是对角线长为1（正四面体的棱长）的正方形的面积等于21，当α⊥CD 时，可得正四面体在α内的射影最小面积，是底边长为1（正四面体的棱长）且对应高为22（对棱CD AB ,间的距离）的三角形的面积等于42，由此可得所求射影图形面积的取值范围是]21,42[（射影图及证明略）. 评析：本题的解法采用了由特殊（平面）到一般（空间）的类比方法，关键是从联想的角度先考虑平面几何中的类似问题（相对容易一些），从中挖掘出立体几何中相关问题的突破点，也为充分发挥空间想象能力提供重要线索.四、复习建议1．明确特殊化思想的特点特殊情形相对一般情形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的解答，而且普遍性存在于特殊性之中，一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一.2．明确一般化思想的特点从一般性问题入手，可以使我们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系.因此，从一般到特殊，是人们认识事物的另一个重要侧面，它与从特殊到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面.3．注意与其他数学思想方法的联合运用在同一道题中，有时需要运用多种数学思想方法，因此复习时要全面复习高中阶段的重要数学思想方α D C B A法，不能重此轻彼，复习时要注意这一点.4．能适时正确的选用要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件，如特殊化处理的可行性，有时虽然能用特殊化思想解答，但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中，由于需要写出解答过程，因此对于一般性的结论，要防止用特殊代替一般的解答等.五、练习题1．（2005年北京卷）对任意的锐角βα,，下列不等式关系中正确的是（A ）βαβαsin sin )sin(+>+ （B ） βαβαcos cos )sin(+>+（C ）βαβαsin sin )cos(+<+ （D ）βαβαcos cos )cos(+<+答案：（D ）. 提示，取特殊值，令==βα30°，再令==βα1°.2．（2006年全国卷Ⅰ）函数)4tan()(π+=x x f 的单调区间为 （A ）Z k k k ∈+-),2,2(ππππ （B ）Z k k k ∈+),)1(,(ππ （C ）Z k k k ∈+-),4,43(ππππ （D ）Z k k k ∈+-),43,4(ππππ 答案：（C ）. 提示，取特殊值，令0=k ，并结合)(x f 的图象.3．（2006年天津卷）已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,b a ，且*,,51111N b a b a ∈=+，设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于 （A ）55 （B ） 70 （C ）85 （D ）100答案：（C ）. 提示，取特殊数列，令11=a ，得41=b ，3,+==n b n a n n ，所以3+=n c n .4．（2006年上海卷） 若关于x 的不等式4)1(42+≤+k x k 的解集是M ，则对任意实数k ，总有（A ）M M ∈∈0,2 （B ）M M ∉∉0,2 （C ）M M ∉∈0,2（D ）M M ∈∉0,2答案：（A ）. 提示，取特殊值，令0=k ，得4≤x .5．（2006年福建卷）1=3=，0=∙OB OA ，点C 在AOB ∠内，且 30=∠AOC ，设),(R n m n m ∈+=，则n m 等于 （A ）31 （B ）3 （C ）33 （D ）3 答案：（B ）. 提示，取特殊位置，由0=∙，将点C 取在直角△AOB 的斜边AB 上.6．（2006年辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则=αcos __________.答案：36 . 提示，取特殊图形，求正方体的体对角线与各个面所成角的余弦值. 7．（2006年山东（文）卷）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，30,147104=-=S S S ，则=9S __________.答案：54 . 提示，先求一般的n S ，设bn an S n +=2，求出b a ,的值，可求9S .8．（2006年重庆卷）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第20,19,18层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：（1）随机变量ξ的分布列；（2）ξ的期望.答案：（1）24332)0(==ξP ，24380)1(==ξP ，24380)2(==ξP ，24340)3(==ξP ， 24310)4(==ξP ，2431)5(==ξP ；（2）35=ξE . 提示，用一般化思想化为二项分布的模型. 9（07福建）．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， （提示：取2(),()f x x g x x ==）10（07安徽）．如果点P 在平面区域22021020x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为（ ） A1 B1- C．1 D111（07广东）．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示）12（07湖北）．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱11AA BB ，的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG λλ=≤≤．则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）图4 1D 1E A14（07重庆）．已知定义域为R的函数()f x在(8)+∞，上为减函数，且函数(8)y f x=+为偶函数，则Ａ．(6)(7)f f>Ｂ．(6)(9)f f>Ｃ．(7)(9)f f>Ｄ．(7)(10)f f>（提示：取2()(8)f x x=-）15(07江西)．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x++=+++++++，则01211a a a a++++的值为（）Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．2（提示：取1x=-）11。
特殊化方法
特殊化方法的含义
所谓特殊化是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。
特殊化通常就是考虑一般性命题的特殊例子。
特殊化的作用在于，当研究的对象比较复杂时，通过研究对象的特殊情况，能使我们对研究对象有个初步了解。
我们考察了这个特殊情况后，可以弄清蕴含于其中的一些概念和关系，并且熟悉我们面对的问题类型，这对我们进一步解决问题肯定是有帮助的。
特殊化的作用还在于，事物的共性存在于个性之中。
对个别的特殊情况的讨论，常常可以突出问题的关键，有助于揭示出问题的本质。
特殊化就是研究个性中的共性的一种方法。
●用特殊化解决问题的过程
用特殊化解决问题的一般过程，可以用框图表示如下：
这个框图告诉我们：若我们面对的问题A解决起来比较困难，可以先将A特殊化为A＇，因为A＇与A相比较，外延变小，因此内涵势必增多，所以由A＇所导出的结论B＇，它包含的内涵一般也会比较多。
把信息B＇反馈到问题A中，就会为问题解决提供一些新的信息，再去推导结论B就会比较容易一些。
若解决问题A仍有困难，则可对A再次进行特殊化，进一步增加信息量，如此反复多次，最终推得结论B，使问题A得以解决。
●特殊化方法的应用
特殊化方法在数学教学中有重要的作用：
（1）在选择题时，我们经常选择特殊值来考察；
（2）利用特殊化探求问题的结论；
（3）利用特殊化检验一般结果；
（4）利用特殊化探索解题思路。
●特殊化与一般化的辩证关系。
