第3章-交通流模型

智能交通系统中的交通流理论与模型研究第一章：绪论智能交通系统（Intelligent Transportation System，ITS）是一种应用信息和通信技术的交通管理系统，旨在提高交通效率、缓解交通拥堵、减少事故风险和改善交通环境。

交通流理论与模型的研究是智能交通系统中的重要组成部分，对于合理规划和管理交通系统至关重要。

第二章：交通流理论2.1 交通流特性交通流是交通行为的统计特征，通过对交通流进行特性分析可以了解交通系统的基本运行规律。

包括车流量、速度、密度、延误、饱和度等指标。

2.2 交通流模型交通流模型用于描述交通流的演化过程，是研究交通流理论的基础工具。

根据交通流模型的不同，可以分为宏观模型、微观模型和混合模型等。

2.3 交通流稳定性与不稳定性交通流稳定性与不稳定性是研究交通流理论的关键问题。

交通流稳定性是指交通流在一定约束条件下的演化趋势，而不稳定性则是指交通流在达到饱和状态时出现的拥堵和事故等现象。

第三章：交通流模型研究3.1 宏观模型宏观模型是研究交通流整体性的模型，常用的宏观模型包括流量密度关系模型、基于饱和流率的模型等。

3.2 微观模型微观模型是研究交通流个体行为的模型，一般采用车辆间的微观运动学关系来描述交通流的行为特性，常用的微观模型包括单车模型、车辆跟踪模型等。

3.3 混合模型混合模型是将宏观模型和微观模型结合起来，更全面地研究交通流的特性。

宏观模型可以提供整体性的交通流特性，而微观模型可以更精细地分析车辆间的相互作用和交通流的行为。

第四章：智能交通系统中的交通流模型应用4.1 交通拥堵预测与控制通过建立准确的交通流模型，可以预测城市交通拥堵情况并采取相应的交通控制措施，例如动态调整信号配时、限制交通流量等。

4.2 交通事故分析与预防交通流模型可以用于分析交通事故的发生概率和原因。

通过建立相应的模型，可以预测交通事故风险，并及时采取措施降低事故概率，例如设置交通警示牌、提供交通信息等。

交通流模型的五个基本要素摘要：一、交通流模型简介二、交通流模型的五个基本要素1.交通流量的定义与测量2.交通流量的分配3.交通流的速度与密度4.交通流的空间分布5.交通流的随机性三、交通流模型的应用与发展正文：交通流模型是研究和分析交通现象的重要工具，它能够帮助我们了解交通流的产生、分布和变化规律。

在交通规划、管理和设计中，交通流模型被广泛应用。

本文将介绍交通流模型的五个基本要素。

一、交通流模型简介交通流模型是对交通流进行描述、分析和预测的一种数学模型。

它主要通过建立交通流的产生、分布和变化规律与相关因素之间的数学关系，来反映交通现象的本质特征。

交通流模型可以分为宏观模型、中观模型和微观模型三类，分别对应不同的研究层次和范围。

二、交通流模型的五个基本要素1.交通流量的定义与测量交通流量是指单位时间内通过某一截面的车辆数或行人数。

通常用q表示交通流量，单位可以是辆/小时、辆/分钟、人/小时等。

交通流量的测量方法有多种，如直接观测法、车速仪法、视频检测法等。

2.交通流量的分配交通流量的分配是指将交通流量合理地分配到不同的道路上，以达到优化交通流的目的。

通常需要考虑道路的等级、功能、地形、交通需求等因素。

交通流量的分配可以通过宏观模型（如交通分配模型）和微观模型（如路径选择模型）来实现。

3.交通流的速度与密度交通流的速度和密度是反映交通流状态的重要指标。

速度是指车辆在单位时间内行驶的距离，通常用v表示，单位可以是米/秒、千米/小时等；密度是指单位面积内通过的车辆数，通常用ρ表示，单位可以是辆/平方千米、辆/平方米等。

交通流的速度和密度受多种因素影响，如道路条件、交通流量、驾驶行为等。

4.交通流的空间分布交通流的空间分布是指交通流在不同区域、不同道路上的分布情况。

空间分布受多种因素影响，如城市规划、土地利用、交通需求等。

对交通流的空间分布进行研究，有助于优化交通资源配置，提高交通系统的整体效率。

5.交通流的随机性交通流的随机性是指交通流在时间和空间上的波动和不规律性。

交通流流体力学模型交通流流体力学模型是研究交通流动的数学模型，通过对交通流的运动规律和特性进行建模和分析，可以帮助我们更好地理解交通系统的运行机理，并提供科学的决策依据。

在交通流流体力学模型中，我们将交通流看作是一种流体，交通参与者（如车辆、行人等）相当于流体粒子，而道路网络则相当于容器。

通过对流体力学的研究方法和理论的运用，可以对交通流的运动进行建模和仿真，从而揭示交通流的行为模式和规律。

交通流流体力学模型主要包括两个方面的内容：宏观模型和微观模型。

宏观模型主要关注整体交通流的运动特性和性能，通过对交通流的密度、速度和流量等宏观指标的研究，来描述交通流的整体行为。

而微观模型则更加注重个体交通参与者的行为和决策过程，通过对车辆运动的微观规则和交互行为的建模，来模拟交通流的微观行为。

在交通流流体力学模型中，我们可以使用诸如流量-密度关系、速度-密度关系和流量-速度关系等基本规律来描述交通流的运动特性。

例如，根据流量-密度关系，当道路上的车辆密度增加时，流量也会增加，但当密度达到一定程度时，流量会出现饱和现象，即流量不再增加。

这种关系可以通过实测数据和统计分析得到，并用数学模型进行描述。

交通流流体力学模型还可以考虑一些特殊情况和因素的影响，如交通信号灯、交叉口的影响等。

通过对这些因素的建模和分析，可以预测交通流的运动状态，并为交通管理和规划提供科学依据。

例如，可以通过模型来优化信号灯的配时方案，以减少交通拥堵和提高交通效率。

交通流流体力学模型的研究对于交通管理和规划具有重要的意义。

通过对交通流动的建模和分析，可以帮助我们更好地理解交通系统的运行机理，为交通管理者提供科学的决策依据。

同时，交通流流体力学模型也可以用来评估交通政策和措施的效果，从而指导交通规划的制定和实施。

交通流流体力学模型是研究交通流动的重要工具和方法，通过对交通流的运动规律和特性进行建模和分析，可以帮助我们更好地理解交通系统的运行机理，并提供科学的决策依据。

交通工程中的交通流模型随着城市化进程的加速，人们的出行需求也越来越强烈。

交通工程作为一门综合性学科，旨在为城市交通提供科学的规划和管理。

而交通流模型是交通工程中非常重要的研究领域，掌握了交通流模型，可以更准确地预测道路拥堵状况，制定科学的交通规划，提高城市的通行效率。

一、什么是交通流模型？交通流模型是指对交通环境中各种因素的分析和模拟，以便更好地了解流量、流速、密度、通行状况等交通行为和地段的各种规律。

主要包括宏观模型和微观模型。

宏观模型是基于系列统计数据，采用概率分析和流量预测的方法，根据交通环境的总体特征，对交通流动规律、特征参数等进行研究和分析。

微观模型是基于道路拓扑结构和行车规则，通过对单车辆运动状态的模拟，描述交通环境中车辆的一系列动作和行为，并探究其因素、变化和效果等方面的规律。

二、交通流模型的应用交通流模型的应用十分广泛。

应用交通流模型，可以确认拥挤路段及其所引起的拥堵原因，预测交通环境中的流量、速度、密度和通行能力，评估道路改善项目等。

在城市交通规划和设计中，交通流模型是一种非常有效的工具，可协助规划者制定科学的规划和解决实际问题。

三、常用交通流模型常用的交通流模型主要包括饱和流模型、排队模型、微观交通流模型等。

1.饱和流模型饱和流模型是交通流模型中常用的一种，它是即时流量和容量的比值。

在道路饱和时，路段上的车辆数已经超过了它所能承载的容量，此时路段的通行能力和效率就会降低。

因此，在交通规划中，饱和流模型可以用来了解道路瓶颈、道路吞吐量和等待时间等因素。

2.排队模型排队模型通常用于衡量交通拥堵状况，这类模型假设车辆以一定的速度前行，当前方存在车辆时，车辆必须改变速度或停下，引发拥堵。

排队模型可以表达车辆之间相互作用关系，以及车辆的移动效率等。

3.微观交通流模型微观交通流模型主要研究单个车辆行驶的动态特性，包括车辆行驶速度、车道变换、加速和减速规律、路线选择等行为。

与宏观模型不同，微观模型更进一步地分析交通流，能够更准确地反映实际交通状况。

交通流模型及其应用研究交通是现代社会的重要组成部分，它关系到人们的出行、货物的运输以及城市的发展。

而交通流模型作为研究交通现象和规律的重要工具，对于优化交通管理、提高交通效率、保障交通安全具有重要意义。

交通流模型的类型多种多样，每种模型都有其特点和适用范围。

其中，宏观交通流模型主要从整体上描述交通流的特性，例如流量、速度和密度之间的关系。

常见的宏观模型有 LighthillWhithamRichards （LWR）模型，它基于流体动力学的原理，将交通流类比为流体的流动。

这种模型对于研究大规模交通网络的整体性能较为有效，能够帮助交通规划者了解整个区域的交通流量分布和变化趋势。

微观交通流模型则更加关注单个车辆的行为和相互作用。

比如，元胞自动机模型将道路划分为一个个小单元格，车辆在单元格中根据特定的规则移动。

这种模型能够较为直观地模拟车辆的加减速、换道等行为，对于分析局部交通现象，如路口的交通冲突、拥堵的形成和消散等具有很大的帮助。

还有一种中观交通流模型，它介于宏观和微观之间，既能反映交通流的总体特征，又能一定程度上考虑车辆的个体差异。

交通流模型在实际应用中发挥着重要作用。

在交通规划方面，通过建立交通流模型，可以预测未来交通需求的增长趋势，从而合理规划道路网络的布局和建设。

例如，在新城区的开发中，可以利用模型评估不同道路设计方案下的交通运行状况，选择最优的方案，以避免出现交通拥堵等问题。

在交通管理中，交通流模型可以为信号灯控制提供依据。

根据实时的交通流量和速度数据，结合模型的预测结果，动态调整信号灯的时长，优化路口的通行能力，减少车辆的等待时间和排队长度。

在智能交通系统（ITS）中，交通流模型也是不可或缺的一部分。

例如，在交通诱导系统中，模型可以预测不同路径上的交通状况，为出行者提供最优的出行路线建议，从而实现交通流在道路网络中的合理分配。

此外，交通流模型对于交通安全的研究也具有重要意义。

通过分析交通流的变化规律，可以识别出容易发生事故的路段和时段，从而采取相应的措施，如增设警示标志、加强巡逻等，降低事故发生的概率。

- 1 -第一讲 守恒律方程及其应用 ——红绿灯下的交通流问题1、守恒律2、双曲守恒律方程及基础知识3、交通流模型4、红绿灯下的交通流问题 第一章 守恒律对于一维空间变量的偏微分方程0)(=+x t u f u （*）称为守恒型方程，其中)u ,,(n 21 u u u=是关于t 和x 的n 维矢量函数，称为守恒量，或状态量，如流体力学中的质量、速度和能量等．更精确点就是i u 是第i个状态变量的密度函数．dx t x u x x i ),(21⎰表示该状态量在区间[]21,x x 中t时刻的总量．我们称这个状态变量是守恒的是指dxt x u x x i ⎰21),(关于t是不变的．))(),(),(()(21n u f u f u f u f =称为流函数．该守恒方程是由物理定律在任意两点1x 和2x 之间如下形式的积分得到的)),(()),((),(2121t x u f t x u f dx t x u dt d x x -=⎰表示在区间][21,x x 中的总流量．（如质量、动量、能量等）的变化仅仅与两端点处的流量有关，这就是守恒的基础，其中))((,1t x u f 和))((,2t x u f 分别表示在1x 和2x 点的流入流出量．例如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+⋅∇+=∇+⊗⋅∇+=⋅∇+（状态方程）（能量守恒）（动量守恒）（质量守恒）),,(,0)()(,0)()( ,0)(S f p up uE E p u u u u t t t ρρρρρρρ 其中S e p u ,,,，ρ分别为理想流体的密度、速度、压强、内能和比熵，e u E +=2||21，),,(z y x ∂∂∂=∇，⊗是张量积．第二章 双曲守恒律方程及基础知识2.1 间断现象方程0)(=+x tu f u （*）的特征方程为⎪⎩⎪⎨⎧==0)(dtduu dt dxλ （2.1）- 2 -其中)()(u f u '=λ.明显地可以看出，方程的解是),,(u t x 空间内的直线，其平行于),(t x 平面，且其值由特征线所决定．为简单起见，特征线在),(t x 平面上的投影仍称为特征．设0)(≠'u λ，称其为凸性条件，则方程（*）被称为凸方程．这个问题中映射)(u u λ→是一一对应的，并且方程在),,(u t x 空间中的解曲面与),(t x 平面的特征域具有相同的一一对应关系．可以证明当且仅当方程在),(t x 平面上的特征域是单值连续变化时，方程的解),(t x u 是单值连续的． 为简单起见，设0)(>'u λ. （2.2）对于标量u 考察初值问题))(()0,(0+∞<<-∞=x x u x u （2.3）并且求解0>t时方程（*）/(2.3)的解．很明显，从特征域出发并且由初始条件（2.3）所决定的特征线，在0>t 的半内是单值连续变化的，当且仅当)(0x u 是非减函数.并且解的这种非减的性质不随t 变化，即当连续函数)()0,(0x u x u =是非减的，则函数),(t x u 对任意0>t也是非减的．这样的解),(t x u 称为稀疏波，用R 表示．图2-1)(0x u 是非减的当)(0x u 是减函数时，例如，存在1x 、2x 点，有))(()(20)(01x u f u f x '>' 那么始于)0,(1x 和)0,(2x 的特征线在p 点相交（0>t ），在p 点解是超定的．因为不同的特征线相交，每一个特征线代表不同的u 值，很容易得到解是不连续的．这种解的不连续问题对应于力学中的激波现象．- 3 -图2-2)(0x u 是非增的上述结论与f和)(0x u 是否光滑无关，无论初始条件多么光滑，都会出现不连续解．这是拟线性双曲方程最重要的特征，也是与线性双曲方程最根本的不同．定理2.1.1 假设)(u f 是定义在R I ⊂上的一条光滑的函数，并且满足凸性条件．那么对于0>t ，当且仅当)(0x u 是非减函数则初值问题（*）/（2.3）的解是一个连续单值解．引理2.1.2 在定理（2.1.1）的假设条件下，对于0>t ，当)(0x u 是减函数时，间断解)(x u 总会出现．2.2 黎曼问题- 4 -图2-3 图2-4但是，对于上述+->u u时这类函数是无解的．现在我们来考查分片光滑函数．在ωξ=处，间断的函数在广义积分下0)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎰+-ξξξξεωεωd d u df d du成立，则)(ξu 称为（*）/（2.4）的一个弱解．利用分部积分并且令0→ε时得到[][])(u f u =ω（2.9）其中[])0()0(--+≡ωωu u u ，[]))0(())0((--+≡ωωu f u f f ．在力学数学语中（2.9）称为Rankine-Hugoniot 约束条件，简称Rankine-Hugoniot 关系，它代表间断线的切线斜率ω与它对应的跳跃值之间的关系． 我们得到的间断解称为激波（见图）.xtξtu][)]([u u f =ω-ut+u t -u t+u t图2-5- 5 -第三章 交通流模型各种类型的汽车一辆接着一辆沿公路飞驶而过，其情景就像在湍急的江河中奔腾的水流一样．在这种情况下我们不去分析每辆汽车的运动规律，而是把车队看作连续的流体，称为交通流或车流．研究每一时刻通过公路上每一点的交通流的流量、速度和密度等变量间的关系，特别是在出现譬如红绿灯改变、交通事故等干扰的情况下交通流的变化过程，下面建立交通流的模型对其进行分析． 3.1交通流模型研究对象是在无穷长公路上沿单向运动的一条车流．假定不允许超车，公路上也没有岔路，即汽车不会从其它通道进入公路或从公路驶出．在公路上选定一个坐标原点，记作0=x ．以车流运动方向作为x 轴的正向，于是公路上任一点可用坐标x 表示．对于每一时刻t和每一点x ，引入下面三个基本函数：流量),(t x q ：时刻t 单位时间内通过点x 的车辆数；密度),(t x ρ：时刻t 点x 处单位长度内的车辆数；速度),(t x u ：时刻t通过点x 的车流速度．将交通流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流量、密度和速度．注意：这里速度),(t x u ，不表示固定的哪一辆汽车的速度．这三个基本函数之间存在着密切关系．首先可以知道，单位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积． 即),(),(),(t x t x u t x q ρ= （3.1）其次，经验告诉我们，车流速度u 总是随着车流密度ρ的增加而减小的．当一辆汽车前面没有车辆时，它将以最大速度行驶，可描述为0=ρ时m u u = (最大值)；当车队首尾相接造成堵塞时，车辆无法前进，可记为m ρρ= (最大值)时0=u ．显然在这两种极端情况下的车流量0=q ．进一步观察可以发现，当ρ较小时随着ρ的增加q 也会增长；但当ρ较大时，q 将随着ρ的增加而减小．同理，当u 较小时随着u 的增加q 也会增长；但当u 较大时，q 将随着u 的增加而减小．综上分析，流量q与密度ρ之间的关系可表为图3-1的形式（流量q与速度u之- 6 -图）．图3-1 流量q 与密度ρ的关系在交通流模型中流量和密度的关系常用以下的二次函数表述．)1(mm u q ρρρ-= （3.2） 显然2*mρρ=时，由（3.2）可以看出流量取得最大值．应该指出(3.2)式是在平衡状态下ρ 、u 和q 之间的关系，即假定所有车辆的速度相同，公路上各处的车流密度相同．3.2连续交通流问题3.2.1 连续交通流问题的疏散波解对于正常运动的交通流，可以假定流量),(t x q 密度),(t x ρ和速度),(t x u 都是x 和t 的连续可微函数，并满足解析运算所需要的性质．下面根据守恒原理推导这些函数满足的方程．考察x 轴的任意区间][b a ,和任意时刻t ，单位时间内通过a 、b 点的流量分别为),(t a q 和),(t b q ．因为时刻t 在区间][b a ,内的车辆数为dx t x b a ⎰),(ρ，其变化率为dx t x dtd b a ⎰),(ρ在公路没有岔路的假定下区间][b a , 内的车辆数守恒，于是=-),(),(t b q t a q dx t x dtd ba ⎰),(ρ （3.3） 这是交通流方程的积分形式，它并不需要函数对x 的连续性．在关于q 和ρ的解析性质的假定下，=-),(),(t b q t a q dx t x q x ba ),(⎰∂∂-, dx t x dtd ba ⎰),(ρ=dx t x q xb a ),(⎰∂∂- 所以（3.3）式化为0)(=∂∂+∂∂⎰dx xqt baρ （3.4）- 7 -由于区间][b a ,是任意的，故0=∂∂+∂∂xqt ρ （3.5）这就是连续交通流方程．当把q 表示为ρ的已知函数)(ρq q =时（如（3.2）式）导数ρd dq也是已知函数，记为)(ρθ，于是按照求导法则有=∂∂=∂∂x d dq x q ρρ)(ρθx∂∂ρ 这样，方程（3.5）可以写成：⎪⎩⎪⎨⎧=+∞<<∞->==∂∂+∂∂)()0,(,0,,0)(x f x x t d dq x tρρρθρρθρ）（ （3.6）其中)(x f 是初始密度．方程（3.6）的解),(t x ρ描述了任意时刻公路上各处的车流分布状况，再由)(ρq 即可得到流量函数),(t x q ．（3.6）式是一阶拟线性偏微分方程，可用特征方程和首次积分法求解如下: 由首次积分，与方程（3.6）的同解方程为,0)(1ρρθd dx dt == （3.7） 即0=dtd ρ, 且)(ρθ=dtdx， 则0)()(x t t x +=ρθ, 0)0(x x =即00))(()(x t x f t x +=θ （3.8）容易验证（3.8）满足方程（3.6）．实际上对)),((t t x ρ求关于t 的全导数有0=∂∂+∂∂dtdxx t ρρ（3.9）再将（3.7）)(ρθ=dtdx代入（3.9）就是方程（3.6）．至于（3.7）（3.8）满足初始条件)()0,(x f x =ρ则是显然的． 3.2.2 交通流的特征线上面方程（3.6）的解（3.7）（3.8）两式有着明显的几何意义，在t x ~平面上（3.8）表示一族直线（图3-2），它与x 轴- 8 -的交点是坐标是0x ，斜率为))((10x f k θ=（t 对x 的斜率），当函数θ 、f给定后，k 随0x 改变，这族直线称为方程的特征线．（3.7）式表明，沿每一条特征线)(t x x =车流密度),(t x ρ是常数)(0x f ，当然在不同的特征线上),(t x ρ随0x 不同而不同．图3-2 方程（3-6）的特征线这样，从形式上看当流量函数)(ρq 和初始密度)(x f 给定后，（3.7）（3.8）就完全确定了方程（3.6）的解，但是下面将会看到，由于初始密度)(x f 不同可以导致两种截然不同结果．设)(ρq 如（3.2）式表出，则)21()(mm u d dq ρρρρθ-==（3.10） )(ρθ是减函数，当2*mρρρ==时0*)(=ρθ，对于*1ρρ< 0)(1>ρθ，对于*2ρρ>，0)(2<ρθ（见图3-3）图3-3)(ρθ的图形如果初始密度)(x f 是x 的减函数，如图3-4所示，即沿车辆行驶的x 轴正向，前面的密度小，后面的密度大，则特征线的形状如图3-5．在密度*ρ的*x 点（即**)(ρ=x f ），因为0*))((=x f θ，从*x 出发的特征线的斜率∞→=))((1*)(0x f x k θ，所以这条特征线垂直于x轴．对于*1x x >，*)(11ρρ<=x f ，因为- 9 -0)(1>ρθ，0)(1)(11>=ρθx k ，所以从1x 出发的特征线的斜率方向如图3-5所示；对于*2x x <，*)(22ρρ>=x f ，因为0)(2<ρθ，0)(2<x k ，所以从2x 出发的特征线向相反的方向倾斜．这种情况下（3.7）（3.8）的确是方程（3.6）的解．图3-4 初始密度 图3-5 特征线 但是如果初始密度)(x f 是x 的增函数，如图3-6，前面密度大，后面密度小，则用类似于上面的分析方法可知，特征线的形状如图3-7所示，它们必然相交．我们知道，在任一条特征线上密度),(t x ρ等于该线与x 轴交点处的初始密度，那么当如图所示从1x 和'1x 两点出发的特征线相交于),(t x p 点时，p 点的密度),(t x ρ将既等于)(1x f 又等于)('1x f ．当)(1x f ≠)('1x f 时这个结果显然是荒谬的．图3-6 初始密度 图3-7 特征线相交从实际现象分析为什么会得到这个错误的结果．与图3-4给出的初始密度)(x f 不同，图3-6的)(x f 表示前面的车辆拥挤，后面的车辆稀疏，于是后面的车速比前面的大．当速度快的汽车追上速度慢的汽车又不允许超车时，它的速度就会突然降下来，并且引起在它后面的汽车的连锁反应，一辆一辆地突然减速．车流速度),(t x u 的突变像水波一样向后传播，我们在日常生活中可以观察到这种现象．速度的突变必然导致密度),(t x ρ和流量),(t x q 的突变，这意味着函数),(t x ρ和),(t x q 在某些),(t x 处出现了间断．这种情况下不能再假定这些函数是连续可微的，因而不能再用微分方程（3.6）描述车流的分布，方程（3.7）（3.8）也没有意义了． 3.2.3 连续流问题的间断解当密度函数),(t x ρ出现间断时，具有实际意义的也是常见的一种情况，一连串的间断点),(t x 在t x ~平面上构成一- 10 -条孤立的间断的间断线，记做)(t x x =．图3-7引出的间断就是这种情况．下面推导间断线)(t x x s =应满足的方程时，还假设它是可微的．在任意时刻t ，)(t x x s =在x 轴上是孤立的，可以取区间][b a ,，使b t x a s <<)(．在][b a ,内交通流的方程的积分的形式（3.4）仍然成立．将][b a ,分为两个区间[))(,t x a s 和(]b t x s ),(，在每个区间内),(t x ρ是连续可微的，于是有dtdx t t x dx t dt dx t t x dx t dx t x dx t x dt d t b q t a q ss b t x s s t x a t x a b t x s s s s )),(()),((),(),(),(),()()()()(+--∂∂++∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-⎰⎰⎰⎰ρρρρρρ （3.11）其中)(t x s -和)(t x s +分别表示从小于和大于)(t x s 一侧趋向)(t x s 时的极限值．在这种趋势下),(t x ρ和),(t x q 的极限记作))((,t s t x --=ρρ ))((,t s t x ++=ρρ))((,t s t x q q --= ))((,t s t x q q ++= （3.12）ρ和q 在间断点s x 处的跳跃值记作[]-+-=ρρρ []-+-=q q q （3.13）如图3-8所示．图3-8),(t x ρ在)(t x s 处间断当)(t x as -→，)(t x b s +→时（3.11）式中的0)(=∂∂⎰dx tt x as ρ0)(=∂∂⎰dx tb t x s ρ．利用（3.12）、（3.13）式的记号立即得到[][]dtdx q s ρ=，或者[][]ρq dtdx s=（3.14）这就是间断线)(t x x s =应满足的方程，其中[]ρ和[]q 可以用连续的交通流方程解得的ρ和q 在间断点处的极限值算出．- 11 -第四章 红绿灯下的交通流问题为了方便起见设交通信号灯置于0=x 处．若原来公路上的交通处于稳定状态，即初始密度)(x f 是常数．某时刻交通灯突然变红，于是交通灯前面（0>x ）的车辆继续行驶，而后面（0<x ）的车辆则一辆辆的堵塞起来．经过一段时间后交通灯变绿，被堵塞的车辆得以快速的向前行驶．此模型主要研究这一过程中车流密度和速度的变化，红绿灯亮后被堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队，多长时间堵塞状态才会消失，多长时间交通会恢复正常等问题．红绿灯的变化必然引起密度函数),(t x ρ和速度函数),(t x u 的间断，下面用方程（3.14）研究间断线的变化规律，而在),(t x ρ和),(t x u 的连续点处仍用（3.7）（3.8）式进行分析．设+=0t时交通灯突然由绿变红，τ=t 时又由红变绿．下面依时间顺序用图形结合公式计算的方法讨论),(t x ρ的演变过程并回答上面的“何时追上车队”、“何时堵塞消失”等问题．1、-≤0t时设0)()0,(ρρ==x f x （常数），见图（4-1） 为确定起见不妨设定*0ρρ<，即初始密度小于使流量达到最大的*ρ，这种交通流称为稀疏流．2、τ<≤+t 0红灯亮．在红灯后面（0<x ）车辆堵塞导致最大密度m ρρ=，与初始密度0ρρ=形成间断，这条左间断线记作)(t x x sl =，表示堵塞的车队尾部随时间向后（左）延伸的过程，红灯前面（0>x ）的车辆继续行驶，空出的路段导致0=ρ（此时车辆速度达到最大m u u =）与0ρρ=形成间断，这条右间断线记作)(t x x sr =，表示远离的车队尾部向前（右）延伸的过程，见图（4-2），)(t x sl 和)(t x sr 由方程（3.14）确定．而流量)(ρq 的计算由(3.2)式给出．对于0][ρρρ-=m , mm m m u q q q ρρρρρρ)()()(][000--=-=于是⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(0sl m m slx u dtdx ρρ其解为t u t x mm sl ρρ0)(-=. （4.1）对于)(t x xsr =, []0ρρ=, mm m u q ρρρρ)(][00-=,⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(0sr m m m sr x u dtdx ρρρ- 12 -t u t x mm m sr ρρρ)0()(-=（4.2）因为2*0mρρρ=< 由（4.1）（4.2）可知)(t x sr 向前的速度比)(t x sl 向后的速度大．3、τ=t 时绿灯亮，被阻止在0<x 处的车队开始向前行驶（图4-3）4、τ>t ，见图（4-4）．用)(1t x 表示堵塞车队行驶时最前面那辆车的位置，即由0=ρ变为0>ρ那一点的位置；用)(2t x 表示堵塞车队行驶时最后面那辆车的位置，即由m ρρ<变为m ρρ=那一点的位置．将时间坐标轴平移为τ-=t t '，初始密度(0'=t)可记作⎪⎩⎪⎨⎧=0)(ρρmx fsrsl sr sl x x x x x x x x ><<<<<,00对于sr x x <<00，由（3.10）式可得m u x f =))((0θ，在特征线0'x t u x m +=上，密度0),('=t x ρ，令+→00x ，我们得到''1)(t u t x m = 或 )()(1τ-=t u t x m（4.3）其实因为前面的那辆车能以最大的速度m u 行驶（0=ρ时m u u =）．（4.3）式立即可写出． 类似的，对于00<<x x sl 时,由（3.10）得m u x f -=))((0θ，)()(2τ--=t u t x m （4.4）而对于)()(12t x x t x ≤≤，利用（3.7）（3.8）可知')(t x ρθ= ．再注意到)(ρθ的表达式（3.10），我们得到))(21(τρρ--=t u x mm （4.5）即))(1(2),(τρρ--=t u xt x m m， )()(12t x x t x ≤≤（4.6）),(t x ρ对x 是线性的，且2),0(mt ρρ=，所以图中用直线表示．实际上，在)(1t x 和)(2t x 之间的那些车辆，是一辆辆的逐渐动起来的，由于初始速度是均匀的，)(1t x 和)(2t x 又是线性的，所以),(t x ρ与x 之间的线性关系是可以预料的．5、d t t =时堵塞消失，见图（4-5）．由于)(1t x 、)(2t x 向前向后的移动速度都是m u ，)(t x sl 向后的速度为mm u ρρ0，)(t x sr 向前的速度为mm m u ρρρ)(0-．在2*0mρρρ=<的假定下不难知道，)(2t x 会首先赶上)(t x sl，记这个时刻为d t ，在（4.1）（4.4）式中令)()(2d d sl t x t x =，即d mmd m t u t u ρρτ0)(=- 可解得- 13 -τρρρ0-=m m d t（4.7）显然，d t 是堵塞消失的时刻．6、u t t=时追上车队，见图（4-6）．当)(1t x 赶上)(t x sr 时，堵塞车队的最前面那辆车追上远离的车队，记这个时刻为u t ，在（4.2）（4.3）式中令)()(1u u sr t x t x =，可计算出τu u u t m mu -=（4.8）7、u t t >，见图（4-7）．)(t x sl 和)(t x sr 继续移动，而),(t x ρ的跳跃值逐渐减小．下面分析)(t x sl 的变化规律．)(t x sl 满足间断交通流方程（3.14），其中+ρ由（4.6）))(1(2τρρ--=+t u x m slm来确定，而0ρρ=-，由（3.2）式计算出)(++=ρq q ，)(--=ρq q可得[][]⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-==m m m sl sl ut u x q dtdx ρρτρ0212)(2 （4.9）方程（4.9）的定解条件是)()(τ--=d m d sl t u t x（4.10）其中 τρρρ0-=m m dt 给出. 其通解为,)())(21()(2110ττρρ-+--=t B t u t x mm sl （4.11）0))(1(221001<---=ρρτρρρm m m u B （4.12）对（4.11）求导可得,)()21()(2110--+-=τρρt B u dt t dx mm sl当t 足够大时，必有)21(|)(|0211mm u t B ρρτ-<--（4.13）这时- 14 -0)21(lim>-=∞→mo m sl t u dt dx ρρ（4.14）所以一定存在某个时刻，使)(t x sl 由d t t =时的向后移动（因为0|<=d t t sldtdx ）变成向前移动.同理可得 0)21(lim>-=∞→mo m sr t u dtdx ρρ（4.15）这说明当t足够大时，间断线)(t x x sl =和)(t x x sr =移动的速度是一样的，它们不会再相交而形成新的间断．8、*t t=时0=x 处交通恢复，见图（4-8）．)(t x sl 向前移动确定0=x 点的时刻记作*t ，在（4.11）式中令0)(*=t x sl 可以解出2*)21(mt ρρτ-=（4.16）从（4.16）式可知，红灯的时间τ越短，初始速度与最大速度之比mρρ0越小，恢复的就越快．设830=m ρρ，由（4.16）式可以算出τ16*=t .将τ看做由交通事故造成的堵塞而停止交通的时间，那么5=τ分钟的堵塞，需要755516=-⨯分钟堵塞才会恢复原状.当*t t >后，)(),(t x t x sr sl 都在0>x 处向前移动，并且ρ的跳跃值越来越小.理论上要当∞→t 时全线（∞<<∞-x ）的交通才能恢复到初始状态0ρρ=.。