高等数学复习归纳大全
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《高等数学复习》教程
第一讲函数、连续与极限
一、理论要求
1.函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期)
几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数)
2.极限极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续函数连续(左、右连续)与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值)
二、题型与解法
求法(1)用定义求
(2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子)
(3)变量替换法
(4)两个重要极限法
(5)用夹逼定理和单调有界定理求
(6)等价无穷小量替换法
(7)洛必达法则与Taylor级数法
(8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)
1.61
2arctan lim )21ln(arctan lim
3
030-
=-=+->->-x x x x x x x x (等价小量与洛必达) 2.已知2030)
(6lim 0)(6sin lim
x
x f x x xf x x x +=+>->-,求 解:2
0303'
)(6cos 6lim )(6sin lim
x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 362
72
2''lim 2'lim )(6lim
0020====+>->->-y x y x x f x x x (洛必达) 3.1
21)1
2(
lim ->-+x x
x x x (重要极限) 4.已知a 、b 为正常数,x
x x x b a 3
0)2(
lim +>-求 解:令]2ln )[ln(3
ln ,)2(3
-+=+=x x x x x b a x
t b a t 2/300)()
ln(23)ln ln (3lim
ln lim ab t ab b b a a b a t x
x x x x x =∴=++=>->-(变量替换) 5.)
1ln(1
2)
(cos lim x x x +>-
解:令)ln(cos )
1ln(1
ln ,)
(cos 2)
1ln(1
2
x x t x t x +==+
2/100
2
1
2tan lim
ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x (变量替换)
6.设)('x f 连续,0)0(',0)0(≠=f f ,求1)()(lim
2
2
=⎰
⎰
>-x
x x dt
t f x
dt
t f
(洛必达与微积分性质)
7.已知⎩⎨⎧=≠=-0
,0
,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续,求a
解:令2/1/)ln(cos lim 2
-==>-x x a x (连续性的概念)
三、补充习题(作业) 1.3cos 11lim
-=---->-x
x x e x x (洛必达)
2.)1
sin 1(
lim 0
x
x ctgx x ->- (洛必达或Taylor )
3.11lim
2
2
=--->-⎰x x
t x e
dt
e x (洛必达与微积分性质)
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求 1.导数与微分
导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题
3.应用
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径)
二、题型与解法
A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.⎩⎨
⎧=+-==5
2arctan )(2t
e ty y t x x y y 由决定,求dx dy
2.x y x y x x y y sin )ln()(3
2
+=+=由决定,求
1|0==x dx
dy
解:两边微分得x=0时y x y y ==cos ',将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy
+==2
)(由决定,则dx dy x )12(ln |0-==
B.曲线切法线问题
4.求对数螺线)2/,2
/πθρρπθ
e e (),在(==处切线的直角坐标方程。
解:1|'),,0(|),(,sin cos 2/2
/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθ
θ
θ
θy e y x e y e x 5.f(x)为周期为5的连续函数,它在x=1可导,在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在(6,f(6))处的切线方程。 解:需求)1('),1()6('),6(f f f f 或,等式取x->0的极限有:f(1)=0
C.导数应用问题
6.已知x
e
x f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2
满足对一切,
)0(0)('00≠=x x f 若,求),(00y x 点的性质。
解:令⎩⎨⎧<>>>===-0
,00
,0)(''00010000x x x e e x f x x x x 代入,,故为极小值点。 7.2
3
)
1(-=x x y ,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解:定义域),1()1,(+∞-∞∈ x 8.求函数x
e
x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。