数学 学案7

七年级上册 第二章 整式的加减数学活动：找规律（学案）【学习目标】(1)应用整式和整式的加减运算表示实际问题中的数量关系；(2)掌握从特殊到一般，从个体到整体地观察、分析问题的方法．尝试从不同角度探究问题，培养应用意 识和创新意识；(3)积极参与数学活动，在数学活动过程中，合作交流、反思质疑，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难 的意志，建立学好数学的自信心．【学习重点】应用整式表示实际问题中的数量关系，掌握数学活动从特殊到一般的探究方法【学习过程】活动1 创设情境播放儿歌《数青蛙》，找找规律.活动2 合作探究如图，用火柴棒拼成一排由三角形组成的图形.（1）观察图形，并填表：（2）如果图形中含有n 个三角形，需要多少根火柴棒？（3）当图形中含有2016个三角形时，需要多少根火柴棒？变式训练：用火柴棒按如图方式搭小正方形，思考下列问题：（1）搭2个小正方形需要 根火柴棒，搭3个小正方形需要 根火柴棒；（2）如果用n 来表示所搭小正方形的个数，那么搭n 个这样的小正方形需要 根火柴棒；（3）100根火柴棒按照如图方式可以搭 个正方形.活动3 观察归纳观察下列各组数，写出第n 个数：（1）3,5,7,9,… , ；（2）4,7,10,13…, ；（3）8,14，20，26…, ；（4）2,4,8,16…, ；（1） （2）（3）活动4 巩固提高1. 观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形有______个太阳．2. 用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要1个小正方形，拼第2个正方形需要4个小正方形……,拼一拼，想一想，按照如此操作：（1）拼第3个、4个、5个…第（n-1）个、第n个正方形各需要多少个小正方形？（2）第n个正方形比第（n-1）个正方形多几个小正方形？第1个第2个第3个第4个思考：结合你所探究的规律，能快速地计算出1+3+5+7+…+997+999的结果吗?活动5 课堂小结【课后练习】1．下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()A．21 B．24 C．27 D．302.下图是用火柴棒搭成的一系列三角形图案．按这种方式摆下去，第n个图案需要的火柴棒总数为。

2.3.1 数学归纳法课堂导学三点剖析一、证明与自然数n 有关的等式.例1 已知a n =1+21+31+…+n 1(n ∈N *)，是否存在n 的整式q (n )，使得等式a 1+a 2+…+ a n -1=q (n )(a n -1)对于大于1的一切自然数n 都成立?证明你的结论.温馨提示这是一个探索性问题，整式q (n )需要用不完全归纳法来探求和发现，通过观察\，归纳\，猜想的思维途径去概括，然后用数学归纳法给出严密的证明.二、证明与数列有关的问题例2 已知S n =1+21+31+…+n 1(n >1，n ∈N *)， 求证：n S 2>1+2n (n ≥2，n ∈N *).温馨提示此题容易犯两个错误，一是由n =k 到n =k +1项数变化弄错，认为k 21的后一项为121+k ，实际上应为121+k ；二是121+k +221+k +…+121+k 共有多少项，实际上2k +1到2k +1是自然数递增，项数为2k +1-(2k +1)+1=2k .三、综合题型例3 某地区原有森林木材存量为a ，且每年的增长率为25%，因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 表示n 年后该地区森林木材的存量.(1)求a n 的表达式;(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于97a ，如果b =7219a ，那么该地区今后会发生水土流失吗?若会，需要经过几年？(取lg2=0.30)各个击破类题演练 1用数学归纳法证明：)1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯n n n n .变式提升 1 证明12-22+32-42+…+(2n -1)2-(2n )2=-n (2n +1).类题演练2已知数列{a n }的通项公式为a n =2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n =（1-a 1）(1-a 2)…(1-a n )，用数学归纳法证明b n =nn 2112-+.变式提升2 函数列{f n (x )}满足f 1(x )=21x x -(x >0)，且f n +1(x )=f 1［f n (x )］，求f 2(x )、f 3(x ).类题演练3 平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于同一点，求证：这n 个圆将平面分成n 2-n +2个部分.变式提升3 证明凸n 边形的对角线的条数f (n )=21n (n -3)(n ≥4).参考答案课堂导学例1 解：假设存在q (n )，去探索q (n )等于多少.当n =2时，由a 1=q (2)(a 2-1)，即1=q (2)(1+21-1)，解得q (2)=2. 当n =3时，由a 1+a 2=q (3)(a 3-1)，即1+(1+21)=q (3)(1+21+31-1)，解得q (3)=3. 当n =4时，由a 1+a 2+a 3=q (4)(a 4-1)， 即1+(1+21)+(1+21+31)=q (4)(1+21+31+41-1)， 解得q (4)=4.由此猜想q (n )=n (n ≥2，n ∈N *).下面用数学归纳法证明，当n ≥2，n ∈N *时，等式a 1+a 2+…+a n -1=n (a n -1)成立.①当n =2时，由以上验证可知等式成立.②假设当n =k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即a 1+a 2+…+a k -1=k (a k -1)，则当n =k +1时，a 1+a 2+…+a k -1+a k =k (a k -1)+a k =(k +1)a k -k =(k +1)a k -(k +1)+1=(k +1)(a k +11+k -1)=(k +1)(a k +1-1). ∴当n =k +1时，等式亦成立.由①②知，对于大于1的自然数n ，存在整式q (n )=n ，使得等式a 1+a 2+…+a n -1=q (n )(a n -1)总成立.例2 证明：(1)当n =2时，n S 2=1+21+31+41=1225>1+22， 即n =2时命题成立.(2)设n =k 时命题成立，即 k S 2=1+21+31+…+k 21>1+2k ， 当n =k +1时， 12+k S =1+21+31+…+k 21+121+k +…+121+k 211212122221212211212121++=++=+++>+++++++>+k k k k kk k k k k k， 故当n =k +1时，命题成立.由(1)(2)知，对n ∈N *，n ≥2， n S 2>1+2n 不等式都成立. 例3 解：(1)设第一年的森林木材存量为a 1，第n 年后的森林木材存量为a n ，∴a 1=a (1+41)-b =45a -b ， a 2=45a 1-b =v (45a -b )-b =(45)2a -(45+1)b ， a 3=45a 2-b =(45)3a -［(45)2+45+1］b ， 由上面的a 1，a 2，a 3推测a n =(45)n a -［(45)n -1+(45)n -2+…+45+1］b =(45)n a -4［(45)n -1］b (n ∈N *). 证明：①当n =1时，a 1=45a -b ，已证推测成立. ②假设n =k 时，a k =(45)k a -4［(45)k -1］b 成立. 则当n =k +1时，a k +1=45a k -b =45{(45)k a -4［(45)k -1］b }-b =(45)k +1a -4［(45)k +1-1］b . 也就是说当n =k +1时，公式也成立.由①②可知，对n ∈N *公式成立.(2)当b =7219a 时，若该地区今后发生水土流失时，则森林木材存量必须小于97a ， ∴(45)n a -4［(45)n -1］7219a <97a ，即(45)n >5. 两边取对数得n lg 45>lg5，n >2lg 25lg 5lg -=2lg 3112lg 1--≈7.2 ∴经过8年后该地区就开始水土流失.各个击破类题演练 1证明：(1)当n =1时，左边=421⨯=81，右边=81，等式成立. (2)假设当n =k 时， 421⨯+641⨯+861⨯+…+)22(21+k k =)1(4+k k 成立. 当n =k +1时，421⨯+641⨯+861⨯+…+)22(21+k k +)42)(22(1++k k=]1)1[(41)2(41)2)(1(4)1()2)(1(41)2()2)(1(41)1(412+++=++=+++=++++=++++k k k k k k k k k k k k k k ∴n =k +1时，等式成立.由(1)(2)可知对一切正整数n ∈N *，等式成立.变式提升 1 证明：(1)n =1时，左边=12-22=-3，右边=-1×(2×1+1)=-3等式成立. ∴n =1时等式成立.(2)假设当n =k 时，等式成立，就是12-22+32-42+…+(2k -1)2-(2k )2=-k (2k +1)成立.当n =k +1，12-2122+32-42+…+(2k -1)2-(2k )2+(2k +1)2-(2k +2)2 =-k (2k +1)+(2k +1)2-［2(k +1)］2=-k (2k +1)-(4k +3)=-(2k 2+5k +3)=-(k +1)［412(k +1)+1］， 所以n =k +1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何n ∈N *都成立.类题演练2证明：（1）当n =1时，a 1=4，b 1=1-a 1=1-4=-3，b 1=2×1+11-2=-3成立.（2）假设当n =k 时等式成立，即b K =2k +11-2k ，那么b K +1=(1-a 1)(1-a 2)…（1-a K ）(1-a K +1)=b K (1-a K +1)=2k +11-2k ［1-4（2k +1）2］=2(k +1)+11-2(k +1).这就是说，当n =k +1时，等式也成立.由（1）（2）可以断定，对任何正整数n ，b n =2n +11-2n 都成立.变式提升2解：f 1(x )=21x x+f 2(x )= 222221111x x x x x x+=+++ f 3(x )= 222222312121121x x x x x x xx x+=++=+++.类题演练3证明：(1)n =1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立.(2)假设n =k 时，k 个圆将平面分成k 2-k +2个部分.当n =k +1时，第k +1个圆C K +1交前面k 个圆于2k 个点，这2k 个点将圆C K +1分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k 个区域，所以这k +1个圆将平面分成k 2-k +2+2k 个部分，即(k +1)2-(k +1)+2个部分.故n =k +1时，命题成立.由(1)(2)可知，对n ∈N *命题成立.变式提升3 证明：(1)n =4时，f (4)=21×4×(4-3)=2， 四边形有两条对角线，命题成立.(2)假设n =k 时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )=21k (k -3)(k ≥4) 当n =k +1时，凸k +1边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A K +1，增加的对角线条数是顶点A K +1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A K ，共增加了对角线条数(k +1-3)+1=k -1.f (k +1)=21k (k -3)+k -1=21(k 2-k -2)=21(k +1)(k -2) =21(k +1)［(k +1)-3］， 故n =k +1时，命题成立.由(1)(2)可知，对于n ≥4，n ∈N *命题成立.。

七年级数学下学案
一、整式的加减
1.掌握整式的加减法法则，能够进行整式的加减运算。

2.掌握去括号法则，能够将多项式中的括号去掉。

3.理解同类项的概念，能够合并同类项。

二、平面图形的认识
1.掌握常见的平面图形，如三角形、四边形等的基本性质。

2.了解图形的平移、旋转和轴对称等基本变换。

3.能够根据平面图形的性质解决一些实际问题。

三、三角形
1.掌握三角形的基本性质，如角平分线、中线、高线等。

2.了解三角形的分类，如等腰三角形、直角三角形等。

3.能够运用三角形的性质解决一些实际问题。

四、平行线与相交线
1.掌握平行线和相交线的概念及性质。

2.了解线段的垂直平分线及其性质。

3.能够运用平行线和相交线的性质解决一些实际问题。

五、数据的收集与整理
1.掌握数据收集和整理的基本方法，如调查问卷、统计表格等。

2.了解数据的表示方法，如平均数、中位数、众数等。

3.能够运用所学知识解决实际问题的数据分析和处理。

六、概率初步认识
1.了解概率的基本概念，如随机事件、概率等。

2.掌握概率的基本计算方法，如等可能事件的概率计算等。

3.能够运用概率知识解决一些实际问题。

人教新课标数学一年级下册：7 《找规律》学案6
学案内容
本学案主要围绕一年级下册第七单元的《找规律》这一主题展开，通过一系列的活动和练习，帮助学生理解、掌握规律的概念，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

学习目标
1.能够发现简单的规律并进行总结；
2.能够运用所学规律解决简单的问题；
3.培养学生的观察能力和逻辑思维能力。

学习任务
1.观察图片，并找出其中的规律；
2.补全规律表格；
3.完成规律练习题。

学习活动
活动一：观察图片
老师呈现一组有规律的图片，让学生观察并发现其中的规律。

学生可以用自己的话描述规律，老师可以引导学生总结规律的特点。

活动二：补全规律表格
老师给出一些规律表格，部分缺少内容，学生需要根据已有的规律填写缺失的内容。

这个活动旨在让学生巩固对规律的理解，并培养学生的综合运用能力。

活动三：完成规律练习题
老师出示一些规律练习题，让学生独立思考并解答。

这些练习题涵盖了不同难度的规律问题，旨在检验学生对规律的掌握程度。

总结
通过本学案的学习，相信学生们能够对如何找规律有更深刻的认识，并能够运用所学知识解决实际问题。

规律是数学中非常重要的概念，希望学生们能够在今后的学习中更加灵活地运用规律解决各种数学问题。

以上就是本学案的内容和安排，希望同学们认真学习，积极参与。

祝大家学习进步！。